Communication M. BOUTABAA CFM2009

19ème Congrès Français de Mécanique
Marseille, 24-28 août 2009
Etude de l’établissement de l’écoulement principal d’un fluide
viscoélastique dans une conduite courbe de section carrée
M. BOUTABAAa, G. MOMPEANb, A. BOUNIFc
a. Département de Mécanique, Université de Chlef, BP 151 Hay Es-Salem 02000 Chlef (Algérie).
b. Laboratoire de Mécanique de Lille, UMR-CNRS 8107, Polytech’Lille, Cité Scientifique ,59655 (France).
c. Laboratoire de Combustibles Gazeux et Environnement, UST Oran (Algérie).
Résumé :
Le travail présenté consiste à simuler en 3-D l’écoulement non établi d’un fluide viscoélastique de PhanThien-Tanner s’écoulant dans une conduite courbe en U (180°) de section carrée, les simulations produites
pour des nombres de Dean allant de 50 à 300 mettent en évidence l’influence des forces d’inertie et des
forces centrifuges sur le développement de l’écoulement principal et montrent la présence de zones de
stabilité intermédiaires le long de la conduite courbe.
Abstract :
The present work is devoted to the 3-D numerical simulation of developing flow of a Phan-Thien-Tanner
viscoelastic fluid, through a curved duct of square cross-section. The numerical simulations produced for
Dean numbers from 50 to 300 show clearly the influence of centrifugal and inertial forces on the
development of streamwise flow and the presence of an intermediate stability zones along the curved part.
Mots clefs : Fluides viscoélastique, modèle PPT, écoulement non établis, conduite courbe, section
carrée
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Introduction
Les écoulements dans les conduites courbes sont présents dans les applications industrielles diverses tels que
les échangeurs de chaleur, les systèmes de refroidissement et de chauffe des turbines à gaz et les chambres de
combustion, les réacteurs chimiques et les systèmes de mélange. L’importance de ces écoulements réside
dans la présence d’écoulements secondaires qui favorisent nettement les taux d’échange et de transfert de
masse, de chaleur, de quantité de mouvement et de mélange.
Dean [1] fut le premier à étudier les instabilités dues aux courbures des lignes de courant d’un écoulement
pleinement développé d’un fluide newtonien, il a montré qu’au delà d’une valeur critique du nombre de
Dean ( Dn = Re ( a / Rc )1/ 2 où Re est le nombre de Reynolds, a une dimension caractéristique de la conduite
et Rc le rayon de courbure moyenne de la conduite), des cellules contrarotatives appelés vortex de Dean
apparaissent au sein de l’écoulement à proximité de la paroi externe de la conduite courbe.
La première analyse théorique montrant l’existence des écoulements secondaires dans les conduites courbes
à section rectangulaires a été faite par Ito [2] et Cuming [3]
Des travaux numériques et expérimentaux tels ceux de Joseph et al. [4], Cheng et al. [5], Winters [6] ont
porté sur la présence des vortex habituels et les vortex additionnels, les conditions de passage du régime à
deux cellules vortex au régime à quatre vortex de Dean et l’existence des solutions multiples (Co existence
du régime à deux vortex et du régime à quatre vortex pour le même nombre de Dean).
Les études concernant les écoulements laminaires non établis sont relativement peu nombreuses comparées
aux études consacrées aux écoulements pleinement développées, on peut citer dans cette catégorie les
travaux de Ghia et Sohkey [7], Hill et al. [8], Soh [9], Bara et al.
Plusieurs études sur les écoulements de Dean en non newtoniens ont été faites, nous citons a titre d’exemple
Joo et Shaqfeh [10] qui ont montré que les écoulements secondaires apparaissent même en absence d’inertie,
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c'est-à-dire pour des nombres de Dean très petits (instabilités purement élastiques), d’autres travaux ont porté
sur des fluides de Bingham et en loi de puissance [11], de fluide de Reiner-Rivlin [12] et des fluides
d’Oldroyd-B [13].
La présente étude s’inscrit dans le cadre des écoulements non établis des fluides non-Newtoniens, l’objectif
est d’explorer numériquement le développement de l’écoulement d’un fluide de Phan-Thien-Tanner
s’écoulant dans une conduite en U de section carrée, notre attention sera axée sur l’évolution de la vitesse
axiale le long de la partie courbe de la conduite, la méthode des volumes finis est ici adoptée et les équations
de conservation sont écrites en coordonnées orthogonales généralisées sur un maillage décalé. Le rayon de
courbure moyenne est fixé a Rc = 18,5 , les nombres de Dean allant de 50 à 300 ( rappelons que le nombre
de Dean représente le rapport des forces d’inertie aux forces centrifuges), le nombre de Deborah
De = λU / a est fixé à 0,3 et les rapports des viscosités newtonienne et polymérique est
η s / (η s + η p ) = 1/ 9 ( λ représente le temps de relaxation du fluide considéré et U la vitesse débitante).
2
Les équations gouvernantes
Nous considérons dans cette étude l’écoulement laminaire isotherme tridimensionnel d’un fluide
viscoélastique incompressible, le problème est régit par les équations habituelles a savoir les équations de
conservation de masse et d quantité de mouvement et la loi de comportement du fluide PTT qui relie le
tenseur des contraintes au tenseur dynamique.
2.1 Les équations en coordonnées cartésiennes
Equation de conservation de masse
∇. u = 0
(1)
Où u est le vecteur vitesse et ∇ l’opérateur gradient
Equation de conservation de quantité de mouvement
ρ ( Du/Dt ) = ∇(− pI + 2η s S + τ )
(2)
D / Dt est la dérivée matérielle, ρ est la masse volumique du fluide, p la pression, I la matrice identité,
ηs la viscosité newtonienne du solvant, τ la contribution polymérique ou non newtonienne dans le tenseur
des extra-contraintes, et S = 1/ 2(∇u + ∇uT ) le tenseur symétrique des taux de déformation.
Equation constitutive du modèle de Phan-Thien-Tanner
f ({τ })τ + λ ( Dτ/ Dt − τ∇u − ∇utτ ) = 2η p S
(3)
Dans la présente étude on a utilisé la formulation non linéaire [14] où la fonction f est définie par
f ({τ }) = exp((ελ / η p ) {τ })
(4)
η p représente la viscosité polymérique, {τ } la trace de τ , λ le temps de relaxation et ε est un paramètre
caractérisant le comportement élongationnel du modèle. (Notons que dans le cas où ε est nul le modèle PTT
se réduit au modèle d’Oldroyd-B)
2.2 Les équations en coordonnées orthogonales généralisées
L’utilisation des coordonnées orthogonales généralisées est d’un intérêt certain pour simuler les écoulements
évoluant dans des géométries présentant des frontières courbes ou aigues. Cette méthode a été utilisée par de
nombreux auteurs tels que Pope [15], Magnaudet et al. [16]. Nous utilisons cette technique pour simuler
l’écoulement du fluide viscoélastique dans la conduite courbe à 180°. Les équations (1), (2) et (3) sont
réécrites en fonction des coordonnées orthogonales généralisées ψ 1 = ψ 1 ( x1 , x2 ) , ψ 2 = ψ 2 ( x1 , x2 ) et
ψ 3 = x3 , ( x1 , x2 , x3 sont les coordonnées cartésiennes).
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En adoptant les coordonnées orthogonales généralisées les équations du problème s’écrivent comme suit :
Equation de conservation de la masse
∑ ∇.
(i )
(Vi ) = 0
(5)
i
Où Vi est le champ des vitesses contravariantes physiques et
∑ ∇.
(i )
l’opérateur de divergence généralisé.
i
Equation de conservation de la quantité de mouvement
∂ ( ρV j )
∂t
+ ∑ ∇.(i ) ( ρVV
i j − Tij ) = −
i
∂p
j
− ∑ H ij (ρVV
i j − Tij ) + ∑ H i ( ρVV
i i − Tii )
∂ξ j
i
i
(6)
Où Tij = τ ij + 2η s Sij est la somme des composantes physiques du tenseur polymérique τ ij et des composantes
des tensions newtoniennes exprimées en coordonnées orthogonales généralisées. H i j représentent les
facteurs d’étirement qui sont définis à partir de la matrice Jacobienne de la transformation des coordonnées
xi → ψ i et ∂ξ j les variations des longueurs physiques curvilignes.
Equation constitutive du fluide de Phan-Thien-Tanner
L’équation du fluide de Phan-Thien-Tanner (PTT) en coordonnées orthogonales généralisées résulte de la
transformation du tenseur du 2ème ordre provenant de l’advection du tenseur τ , elle s’exprime comme suit :
 ∂τ ij

+ ∑ ∇.( k ) (Vkτ ij ) − ∑ H kiVkτ kj + ∑ H ikViτ kj 


k
k
k
f ({τ ij })τ ij + λ  ∂t
 = 2η p Sij
−∑ H kjVkτ ik + ∑ H kj V jτ ik − ∑ Likτ kj − ∑ L jkτ ki 
 k

k
k
k
Avec Lij les composantes de l’opérateur du gradient de vitesse généralisé.
3
(7)
La méthode numérique
3.1 Discrétisation spatiale
La méthode des volumes finis avec un maillage décalé est utilisée pour discrétiser les équations de
conservation de masse et de quantité de mouvement et l’équation constitutive de PTT. La pression et les
composantes normales du tenseur des contraintes viscoélastiques sont évaluées aux centres des volumes de
contrôle, les vitesses sont stockées et calculées aux centres des faces du volume de contrôle, les composantes
de cisaillement du tenseur des contraintes viscoélastiques sont stockées aux milieux des arêtes du volumes de
contrôle. Les termes de diffusion des équations de quantité de mouvement sont calculés par un schéma de
différences centrées du second ordre, les termes non linéaires (flux convectifs) des équations de quantité de
mouvement et les termes d’advection de l’équation constitutive de PTT sont évalués par le schéma QUICK
proposé par Leonard [17], pour améliorer la stabilité numérique des calculs nous avons utilisé l’algorithme
EVSS (Elastic Viscous Split Stress) développé par Rajagopalan et al. [18].
3.2 Discrétisation temporelle
La procédure de découplage de la pression utilisée découle de l’algorithme « Marker and Cell » de Harlow et
Welch [19]. Le système linéaire symétrique obtenu pour la pression est résolu par la méthode de Choleski.
3.3 Géométrie, maillage et conditions aux limites
La conduite d’écoulement présentée sur la FIG. 1, est divisée en trois partie, (i) un canal droit à l’entrée de
longueur Le = 10a , (ii) un canal courbé à 180° de rayon intérieur R1 = 18a et de rayon extérieur R2 = 19a ,
(iii) un canal droit à la sortie semblable à celui de l’entrée de longueur Le = 10a . La section d’écoulement est
carrée de coté a .
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Non
glissement
Le =10a
Parois
latérales
Entrée
I
Condition
de symétrie
R2 =19a
X2
O
X1
R1=18a
K J
a/2
a =1
θ
Non
glissement
Paroi interne
Sortie
Paroi
externe
Le =10a
FIG. 1- Géométrie de la conduite d’écoulement et les conditions aux limites
Un maillage non uniforme est utilisé : 95 nœuds dans la direction de l’écoulement principal (maillage
cartésien de 10 nœuds sur chacun des tronçons droits de sortie et d’entrée, un maillage polaire uniforme de
75 nœuds sur la partie courbe de la conduite), le maillage transversal (sur la section d’écoulement) est
composé de J =16 nœuds sur la largeur et K=31 nœuds sur la hauteur.
Un profil de Poiseuille est imposé pour la vitesse u à l’entrée et à la sortie de la conduite. Et comme
mentionné sur la fig. 1, la condition de non glissement est imposée sur les parois, et une condition de
symétrie est utilisée le long du plan médian de la conduite.
4
Résultats
La définition largement utilisée pour définir la longueur d’établissement de l’écoulement est la longueur
nécessaire pour que l’écoulement requiert une stabilité et une invariance axiale, dans cette perspective, on a
représenter la valeur de la vitesse axiale maximale et la position du maximum de la vitesse axiale en fonction
de la position angulaire, c'est-à-dire le long de la partie courbe de la conduite pour les nombres de Dean
allant de 50 à 300.
Les figures 2 et 3, montrent clairement qu’aux nombres de Dean relativement faible l’écoulement principal
s’établit vite et au delà de la longueur d’établissement l’écoulement principal devient très stable, ceci est due
à la stabilisation de l’écoulement secondaire (dans ce cas l’écoulement secondaire est caractérisé par la
présence de deux vortex de Dean stables le long de la conduite courbe). En effet, la valeur de la vitesse
maximale se stabilise à la position angulaire 50° pour le nombre de Dean Dn=50 et à la position angulaire
80° pour le nombre de Dean Dn=100. Par contre le maximum de la vitesse axiale se positionne à 0,8a à
partir de la paroi interne de la conduite courbe, mais relativement vite pour Dn=50 que pour Dn=100 (à la
position angulaire 30° pour Dn=50 et à la position angulaire 50° pour Dn=100).
La figure 4 montre, qu’aux nombres de Dean relativement élevés (Dn > 100) l’écoulement principal est très
perturbé, en effet pour tout les nomdre de Dean (Dn=150 à Dn=300) on observe un début d’établissement de
la vitesse axiale maximale à la position angulaire 50°, puis se déstabilise aussi tôt et se stabilise de nouveau à
une position angulaire située entre 150° et 160°. Les courbes représentant la position du maximum de la
vitesse axiale de l’écoulement principal (figure 5) ne captent pas le premier palier de stabilisation mais elles
font apparaître le deuxième palier de stabilisation en amont de la sortie de la conduite courbe.
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FIG. 2 – Valeurs de la vitesse axiale maximale
FIG. 3 – Position du maximum de la vitesse axiale
dans le plan de symétrie de la conduite pour
dans le plan de symétrie de la conduite pour
Dn=50 et 100 en fonction de la position angulaire
Dn=50 et 100 en fonction de la position angulaire
.
.
FIG. 2 – Valeurs de la vitesse axiale maximale
FIG. 3 – Position du maximum de la vitesse axiale
dans le plan de symétrie de la conduite pour
dans le plan de symétrie de la conduite pour
Dn=150, 200, 250 et 300 en fonction de
Dn=150, 200, 250 et 300 en fonction de
la position angulaire
la position angulaire
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Références
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