Référentiels non galiléens Notes de cours - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2014/2015
Référentiels non galiléens
Notes
de cours
mardi 23 septembre 2013
I-
Dynamique dans un référentiel en translation par rapport à un
référentiel galiléen
1. Rappel : référentiels galiléens
Référentiel galiléen
dénition
un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie s'applique : un objet isolé (c'est
à dire ne subissant aucune force) suit un mouvement rectiligne uniforme.
Dans un référentiel galiléen R, le principe fondamental de la dynamique s'applique :
m~a/R (M ) =
X
f~→M
Exemples de référentiels
s'y retrouver
Position du problème :
s'y retrouver
Le référentiel de Copernic (dans lequel le centre du système solaire et trois étoiles lointaines sont xes)
peut être considéré comme galiléen avec une excellente approximation.
Le référentiel héliocentrique a pour point xe le centre du Soleil. Il est lui aussi galiléen avec une
excellente approximation.
Le référentiel géocentrique a pour point xe le centre de la Terre et trois étoiles lointaines. Le référentiel
géocentrique est donc en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic. Il peut être
considéré galiléen pour des expériences de durées courtes devant 1 an.
Le référentiel terrestre est lié à la Terre. Il est en rotation uniforme autour d'un axe xe du référentiel
géocentrique. Il peut être considéré galiléen pour des expériences de durées courtes devant 24 h.
Le principe fondamental de la dynamique ne peut pas être appliqué directement dans un référentiel non
galiléen R0 . En eet, les forces sont inchangées entre le référentiel galiléen R et le référentiel R0 pourtant,
si R0 est accéléré par rapport à R, l'accélération du point M est diérente dans les référentiels R et R0
(ce que l'on va voir).
L'objectif de ce chapitre est de généraliser le principe fondamental de la dynamique en référentiel non
galiléen. Cette généralisation est d'autant plus nécessaire que de très nombreuses études s'eectuent en
référentiel non galiléen.
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2. Lois de composition des vitesses et des accélérations
Position du problème
s'y retrouver
On s'intéresse à deux référentiels :
• R est le référentiel galiléen muni d'un repère (O, ~ux , ~uy , ~uz ) et d'une horloge ;
• R0 est un autre référentiel muni d'un repère (O0 , ~ux0 , ~uy0 , ~uz0 ) et d'une autre horloge.
Si l'on néglige les eets relativistes, le temps
s'écoule de la même façon dans les deux référentiels.
D'autre part, on suppose que R0 est en translation par rapport à R. Aussi, on peut choisir

 ~ux0 = ~ux
~uy0 = ~uy

~uz0 = ~uz
Un point matériel en M est repéré par
−−→
• OM (t) = x (t) ~ux +y (t) ~uy +z (t) ~uz dans
R;
−−−→
• et O0 M (t) = x0 (t) ~ux +y 0 (t) ~uy +z 0 (t) ~uz
dans R0 .
1 Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en translation théorème
La vitesse ~v/R (M ) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v/R0 (M ) du point M dans le
référentiel R0 par
~v/R (M ) = ~v/R0 (M ) + ~ve
où ~ve est la vitesse d'entraînement du référentiel R0 par rapport à R.
Point coïncident
dénition
Le point coïncident est le point P qui coïncide avec M à l'instant t mais qui serait xe dans R0 .
Exemple de point coïncident
s'y retrouver
Vitesse d'entraînement et point coïncident
s'y retrouver
si un train (assimilé au référentiel R0 se déplace par rapport au sol (le référentiel R) et qu'on y lance
une balle (le point matériel M ), la trace laissée sur le sol à l'instant t est le point coïncident P .
La vitesse d'entraînement est la vitesse du point coïncident : ~ve = ~v/R (P ).
remarque
Le point coïncident change : à un instant t ultérieur, le point P est diérent du point M . On peut alors
dénir un nouveau point coïncident P 0 .
0
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2 Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en translation
théorème
L'accélération ~a/R (M ) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération ~a/R0 (M ) du point M
dans le référentiel R0 par
~a/R (M ) = ~a/R0 (M ) + ~ae
où ~ae est la vitesse d'entraînement du référentiel R0 par rapport à R.
3. Force d'inertie d'entraînement
3 Expression de la force d'inertie d'entraînement :
théorème
dans R non galiléen, il faut ajouter aux forces F~ la force d'inertie d'entraînement :
0
f~ie = −m.~ae
4. Exemples de translations
Loi galiléenne de composition des vitesses
s'y retrouver
Si R est en translation rectiligne uniforme par rapport à R, la vitesse d'entraînement est partout la
−→
même et constante au cours du temps : ~ve (M ) = ~v0 = −
cste
0
~v/R (M ) = ~v/R0 (M ) + ~v0
4 Ensemble des référentiels galiléens
théorème
Tout référentiel R en translation rectiligne par rapport à un autre référentiel galiléen R est lui même
galiléen.
0
5 Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une
translation uniformément accélérée
théorème
Dans le cas d'une translation uniformément accélérée ~ae = a0 ~ux , alors la force d'inertie d'entraînement
dérive de l'énergie potentielle Ep = m a0 x.
Voiture qui freine
schéma
La gure 1 représente une voiture (le référentiel R0 ) qui est en translation rectiligne dans le référentiel
(R) du sol (~ve = +v(t) ~ux ), mais qui freine : ~ae = −a ~ux . La force d'inertie d'entraînement "pousse" les
passagers vers l'avant du véhicule.
Grande roue
schéma
La gure 2 représente une cabine (le référentiel R ) de grande-roue (de rayon R0 ) qui est en translation
2
circulaire uniforme dans le référentiel (R) du sol (~ve = +v0 ~uθ ) : ~ae = − Rv00 ~ur .
0
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Figure 1 Voiture qui freine
Figure 2 Grande roue
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II-
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Dynamique dans un référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen
1. Lois de composition des vitesses et des accélérations
Position du problème
s'y retrouver
On s'intéresse à deux référentiels :
• R est le référentiel galiléen muni d'un repère (O, ~ux , ~uy , ~uz ) et d'une horloge ;
• R0 est un autre référentiel muni d'un repère (O0 , ~ux0 , ~uy0 , ~uz0 ) et d'une autre horloge.
Si l'on néglige les eets relativistes, le temps
s'écoule de la même façon dans les deux référentiels.
D'autre part, on suppose que R0 est en rotation par rapport à un axe xe dans R. Aussi,
on peut choisir :
O0 en O et ~uz0 = ~uz
~ = Ωz ~uz avec Ωz = dθ
Ω
dt
Un point matériel en M est repéré par
−−→
• OM = x ~ux + y ~uy + z ~uz dans R ;
−−−→
• et O0 M = x0 ~ux0 + y 0 ~uy0 + z ~uz dans R0 .
6 Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en rotation théorème
La vitesse ~v/R (M ) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v/R0 (M ) du point M dans le
référentiel R0 par
~v/R (M ) = ~v/R0 (M ) + ~ve
où ~ve est la vitesse d'entraînement, c'est-à-dire la vitesse du point coïncident.
7 Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en rotation
théorème
L'accélération ~a/R (M ) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération ~a/R0 (M ) du point M
dans le référentiel R0 par
~a/R (M ) = ~a/R0 + ~ae + ~aC (M )
où l'accélération de Coriolis est
~ R0 /R ∧ ~v/R0 (M )
~aC = 2.Ω
et l'accélération d'entraînement est l'accélération du point coïncident :
~ae = ~a/R (P )
.
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8 Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen en
rotation :
théorème
dans R0 non galiléen, il faut ajouter aux forces f~→M la force d'inertie d'entraînement :
f~ie = −m.~ae = −m.~a/R (P )
et la force d'inertie de Coriolis :
~ R0 /R ∧ ~vM/R0
f~iC = −m.~aC = −2.m.Ω
9 Tige tournant par rapport au sol
exercice
On s'intéresse à une tige (le référentiel R0 ),
qui fait à l'instant t un angle θ(t) avec l'axe
Ox xe dans le référentiel R du sol supposé
galiléen. Cette tige tourne autour de l'axe Oz
avec une vitesse angulaire θ̇. Une perle est assimilée à un point matériel M sur cette tige à
une distance r(t) de O à l'instant t.
Déterminer le mouvement du point coïncident P dans R et celui de M dans R0 .
En déduire dans R0 la vitesse du point M et dans R la vitesse du point coïncident P et celle du point
M . Vérier la loi de composition des vitesses.
Déterminer dans R0 l'accélération du point M et dans R l'accélération du point coïncident P et celle
du point M . Vérier la loi de composition des accélérations.
2. Eets de la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel terrestre
10 Force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angulaire constante :
théorème
0
Dans le cas d'un référentiel R qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentiel
galiléen R autour de son axe xe Oz , la force d'inertie est centrifuge : f~ie = m.r.ω 2 ~ur en coordonnées
cylindriques d'axe Oz .
11 Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une
rotation à vitesse angulaire
constante :
théorème
0
Dans le cas d'un référentiel R qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentiel
galiléen R autour de son axe xe Oz , la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle
Ep = − 21 m r2 ω 2 en coordonnées cylindriques d'axe Oz .
12 Calcul de la force d'inertie d'entraînement à la surface de la Terre : exercice
On peut supposer que le référentiel géocentrique est galiléen. Par rapport à celui-ci, le référentiel terrestre
2π
est en rotation autour de l'axe polaire, avec un vecteur rotation Ω = 24h
~uz , où ~uz est orienté du Pôle
Sud vers le Pôle Nord.
Soit un point à la surface de la Terre, de coordonnées dans le repère sphérique de centre O, le centre
de la Terre : r = RT (le rayon de la Terre), θ = π2 − λ (λ est la latitude) et ϕ, la longitude. Montrer
que la force d'inertie d'entraînement ressentie par un point matériel de masse m en ce point est f~ie =
m.RT . cos λ.ω 2 . (cos λ.~ur − sin λ.~uθ ).
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Le poids :
On dénit le poids comme la somme de deux forces :
- l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet f~G ;
- la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre f~ie .
Direction du poids
dénition
schéma
La gure 3 représente un point P à la surface de la Terre, de latitude λ. Un point matériel M de masse
m coïncident avec P subit :
• l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre de masse MT est, dans les coordonnées sphériques
−−→
T
OP ;
f~G = −G m.M
R3
T
−−→
• et la force d'inertie d'entraînement f~ie = m.Ω2 HP .
La force d'inertie d'entraînement est une correction devant l'attraction gravitationnelle. Elle s'oppose en
partie à cette dernière.
La direction indiquée par un l à plomb est celle du champ de pesanteur ~g . Elle ne passe pas a priori par
O, le centre de la Terre.
Figure 3 Direction du poids
Inhomogénéités du champ de pesanteur à la surface de la Terre : s'y retrouver
La force d'inertie d'entraînement est la plus grande à l'équateur, là où l'on est le plus éloigné de l'axe
de rotation. C'est donc à l'équateur que le poids d'un objet est le plus petit, et aux pôle qu'il est le plus
grand.
De la même façon, plus l'altitude est élevée, plus l'attraction gravitationnelle est faible, et plus la force
d'inertie est forte : un objet est moins lourd en altitude.
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3. Eets de la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel terrestre
13 Propriétés de la force d'inertie de Coriolis
théorème
La force d'inertie de Coriolis n'existe que si le point matériel M se déplace dans le référentiel non
galiléen R0 . Un point immobile dans le référentiel R0 ne subit donc, outre les forces habituelles, que la
force d'inertie d'entraînement.
Le travail de la force d'inertie de Coriolis est toujours nul.
14 Calcul de la force d'inertie de Coriolis sur un manège :
exercice
On s'intéresse à un manège qui tourne à une vitesse angulaire ω par rapport à un référentiel galiléen
autour de son axe xe Oz vertical. Montrer que la force d'inertie de Coriolis ressentie par un point
matériel de masse m qui se déplace avec une vitesse ~v horizontale tend à faire tourner le point matériel
vers la droite si le manège tourne dans le sens trigonométrique, vers la gauche si le manège tourne dans
le sens horaire.
Le pendule de Foucault
photo
La déviation vers l'est :
schéma
Foucault met au point au XIXième siècle un pendule qui oscille susamment longtemps pour qu'on ait
le temps de voir son plan d'oscillation tourner dans le référentiel terrestre. Aujourd'hui, on peut voir un
pendule de Foucault au musée des Arts et Métiers, à Paris.
La déviation du plan d'oscillation s'explique par la force d'inertie de Coriolis qui tend à dévier vers la
droite la masse dans l'hémisphère nord, et vers la gauche dans l'hémisphère sud.
Vous pouvez retrouver la photo sur le site alain.lerille.free.fr.
La gure 4 représente un point matériel de masse m lâché en A sans vitesse initiale dans le référentiel
terrestre R0 . Il est dévié vers l'est lors de sa chute. En eet, sa vitesse initiale dans le référentiel géocentrique
R supposée galiléen est non nulle et plus importante que celle du sol (en B), plus proche de l'axe de
rotation.
Figure 4 La déviation vers l'est :
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Technique
à maîtriser
jeudi 25 septembre 2013
I-
Capacités
1. Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en translation par
rapport à un référentiel galiléen
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Relier les lois de composition des vitesses (transformation de Galilée) dans le cas d'un référentiel en
translation rectiligne uniforme par rapport à un autre à la relation de Chasles et au caractère supposé
absolu du temps.
Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dans
le cas d'un référentiel en translation par rapport à un autre.
Dans le cas d'un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen, déterminer la force
d'inertie d'entraînement. Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et
la loi de l'énergie cinétique dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à un référentiel
galiléen.
2. Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en rotation par
rapport à un référentiel galiléen
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dans
le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe.
Dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen,
exprimer la force d'inertie axifuge. Associer la force d'inertie axifuge à l'expression familière force
centrifuge .
Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétique
dans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen.
Distinguer le champ de pesanteur et le champ gravitationnel.
Associer les marées à un terme gravitationnel diérentiel et comparer l'inuence de la Lune et du Soleil
pour analyser des documents scientiques.
Établir et utiliser l'expression de la force d'inertie d'entraînement volumique.
3. Eet des forces d'inertie de Coriolis dans un référentiel en rotation par rapport
à un référentiel galiléen
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Citer et utiliser l'expression de l'accélération de Coriolis.
Dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen,
exprimer la la force d'inertie de Coriolis.
Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétique
dans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen.
Utiliser l'expression de la force de Coriolis pour analyser des documents scientiques portant sur les
eets de la force de Coriolis sur les vents géostrophiques ou les courants marins.
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II-
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Methodes
A) Principe fondamental de la dynamique et théorème du moment cinétique
dans un référentiel non galiléen :
méthode
dans R0 non galiléen, il faut ajouter aux forces F~ la force d'inertie d'entraînement :
f~ie = −m.~ae (M )
et la force d'inertie de Coriolis :
~ R0 /R ∧ ~vM/R0
f~iC = −m.~aC (M ) = −2.m.Ω
1. Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en translation par
rapport à un référentiel galiléen
B) Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen en
translation par rapport à un référentiel galiléen :
méthode
Dans le cas d'une translation uniformément accélérée ~ae = a0 ~ux , alors la force d'inertie d'entraînement
dérive de l'énergie potentielle Ep = m a0 x.
2. Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en rotation par
rapport à un référentiel galiléen
C) Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen en
rotation par rapport à0 un référentiel galiléen :
méthode
Dans le cas d'un référentiel R qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentiel
galiléen R autour de son axe xe Oz , la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle
Ep = − 12 m r2 ω 2 en coordonnées cylindriques d'axe Oz .
3. Eet des forces d'inertie de Coriolis dans un référentiel en rotation par rapport
à un référentiel galiléen
D) Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen
pour la force d'inertie de Coriolis :
méthode
La force d'inertie de Coriolis ne travaille pas.
III-
Exercices supplémentaires
1. Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en translation par
rapport à un référentiel galiléen
1.1) Pendule dans un ascenseur
Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le
référentiel R2 ), a un mouvement de translation rectiligne vertical.
Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de masse m est suspendu en O
dans l'ascenseur. Sa longueur est l = OM . θ est l'angle que fait le l avec la verticale.
L'accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz .
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1) Déterminer la période T des petites oscillations du pendule dans les cas suivants :
1.a) L'ascenseur est immobile ;
1.b) L'ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ;
1.c) L'ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz .
q
1) T = 2.π.
l
g+az .
q
1.a) L'ascenseur est immobile : T = 2.π.
l
g.
q
1.b) L'ascenseur commence à monter : T = 2.π.
l
.
g+a
q
l
.
1.c) L'ascenseur commence à descendre : T = 2.π. g−a
1.2) Pendule dans une voiture
Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un véhicule (assimilé à un solide auquel on attache
le référentiel R2 ), a un mouvement de translation rectiligne horizontal uniformément accéléré, d'accélération
~a = a.~ux .
Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de masse m est suspendu en O
dans le véhicule. Sa longueur est l = OM . θ est l'angle que fait le l avec la verticale (cet angle étant orienté,
avec ~uz pointant vers nous, (~ux , ~uy , ~uz ) étant un trièdre direct).
L'accélération du champ de pesanteur est ~g = g.~uy .
1) Déterminer l'équation diérentielle suivie par θ.
2) Déterminer la position d'équilibre repérée par l'angle α que fait le l avec la verticale.
3) Quelle est la période des petites oscillations autour de α ?
On donne sin (α ± β) = sin α. cos β ± cos α. sin β et cos (α ± β) = cos α. cos β ∓ sin α. sin β .
cos θ
1) θ̈ + g. sin θ−a.
l = 0.
2) α = arctan ag .
q
3) T = 2.π.
l
g. cos α+a. sin α .
1.3) Ressort vertical dans un ascenseur
Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le
référentiel R2 ), a un mouvement de translation rectiligne vertical.
On suspend en un point O de l'ascenseur un ressort de raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide
l0 qui soutient un point matériel M de masse m (initialement immobile dans l'ascenseur).
L'accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz .
1) Déterminer l'altitude z de M au cours du temps :
1.a) si l'ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ;
1.b) si l'ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz .
2) Que faut-il pour transformer ce dispositif en un accéléromètre, même si M n'est pas au repos initialement ?
1) z = z0 . cos
q
k
mt
+ ϕ − l0 −
m
k (g
+ az ).
Initialement, z0 = 0.
1.a) L'ascenseur commence à monter : z = −l0 − m
k (g + a).
1.b) L'ascenseur commence à descendre : z = −l0 − m
k (g − a).
2) L'axe z peut être gradué pour az .
1.4) Avion "zéro g"
On suppose que l'intensité du champ de pesanteur est constante et vaut g = 10 m · s−2 .
1) Pour entraîner à l'impesanteur, un avion "zéro g" est, pendant une phase de durée ∆t, en chute libre.
Montrer que les passagers sont alors en impesanteur.
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2) Quelle est alors la trajectoire de l'avion (assimilé à un point matériel) pendant cette phase ?
3) L'altitude maximale de l'avion est h = 9000 m. Quelle est la durée maximale ∆tmax ?
q
∆tmax = 2 2gh = 84 s.
2. Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en rotation par
rapport à un référentiel galiléen
2.5) Forces d'inertie sur un manège
On s'intéresse à un manège qui tourne à une vitesse angulaire ω par rapport à un référentiel galiléen autour
de son axe xe Oz .
1) Déterminer la force d'inertie d'entrainement ressentie par un point matériel de masse m à une distance
r de l'axe. Quel est son eet ?
2) Quel est l'eet de la force d'inertie de Coriolis ressentie par un point matériel de masse m qui se déplace
avec une vitesse ~v horizontale ?
f~ie = m.r.ω 2 ~ur . La force d'inertie est donc centrifuge.
La force d'inertie de Coriolis tend à faire tourner le point matériel vers la droite si le manège tourne dans
le sens trigonométrique, vers la gauche si le manège tourne dans le sens horaire.
2.6) Forces d'inertie d'entraînement sur la Terre
On peut supposer que le référentiel géocentrique est galiléen. Par rapport à celui-ci, le référentiel terrestre
2π
est en rotation autour de l'axe polaire, avec un vecteur rotation Ω = 24h
~uz , où ~uz est orienté du Pôle Sud vers
le Pôle Nord.
Soit un point à la surface de la Terre, de coordonnées dans le repère sphérique de centre O, le centre de la
Terre : r = RT (le rayon de la Terre), θ = π2 − λ (λ est la latitude) et ϕ, la longitude.
1) Déterminer la force d'inertie d'entrainement ressentie par un point matériel de masse m en ce point.
f~ie = m.RT . cos λ.ω 2 . (cos λ.~ur − sin λ.~uθ ).
2.7) Variations du poids sur la Terre
1) La direction indiquée par un l à plomb passe-t-elle par le centre de la Terre ?
2) Comment varie le poids avec :
2.a) l'altitude ?
2.b) la latitude ?
C'est à l'équateur que le poids d'un objet est le plus petit, et aux pôle qu'il est le plus grand. Un objet
est moins lourd en altitude.
2.8) Regulateur de Watt
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Le régulateur de Watt est un système ingénieux mis en place dans
des machines pour réguler leur vitesse : plus la machine tourne
vite et plus les boules du régulateur se soulèvent, actionnant une
valve qui diminue l'arrivée de combustible, faisant ainsi diminuer
la vitesse de rotation.
Soit une boule de masse m assimilée à un point matériel M , lié par
une tige de longueur L à un axe Oz qui tourne avec un vecteur
~ = ω~ez . M se trouve à la distance r de Oz . On prendra
rotation Ω
l'origine z = 0 de l'axe Oz à l'accroche de la tige.
1) Quelle est l'énergie potentielle dont dérive la force d'inertie
d'entraînement ? On l'exprimera en fonction de θ. Exprimer l'énergie potentielle totale de M en fonction de θ et ω .
2) En déduire l'altitude zM de M qui correspond à un équilibre
stable. Vérier que l'expression a bien un sens.
2.9) Fluide en rotation
Soit un vase de rayon R contenant un liquide dont la surface libre est initialement
à la hauteur h. On fait tourner le vase autour de son axe Oz à la vitesse angulaire
ω.
1) Quelle est l'énergie potentielle dont dérive la force d'inertie d'entraînement ?
2) En déduire l'équation de la surface libre du liquide.
z=
ω2 r2
2g
+ cste.
3. Eet des forces d'inertie de Coriolis dans un référentiel en rotation par rapport
à un référentiel galiléen
3.10) Déviation vers l'est
La Terre (référentiel R0 ) est assimilée à une
sphère homogène en rotation uniforme autour de
l'axe des pôles à la vitesse angulaire de module
2π
Ω = 24h
dans le référentiel géocentrique R supposé galiléen.
On supposera ~g uniforme (|~g | = 9, 81 m · s−2 ).
On s'intéresse à un point matériel qui tombe sans
vitesse initiale. L'expérience a été faite dans un
puits de de profondeur h = 158 m , en Allemagne
(de latitude λ = 55◦ ) de façon à négliger la résistance de l'air.
Soit (~ex , ~ey , ~ez ) la base orthonormée associée au
référentiel terrestre. ~ez est la verticale ascendante,
~ex est suivant un méridien vers le sud et ~ey est
suivant un parallèle, vers l'est.
~ dans la base (~ex , ~ey , ~ez ) en fonc1) Exprimer Ω
tion de la latitude λ.
2) Ecrire le principe fondamental de la dynamique sous forme vectorielle dans R0 en fonction du poids et
de la force d'inertie de Coriolis.
3) Dans la suite, la verticale est confondue avec la direction du poids. Projeter la précédente relation dans
dans la base (~ex , ~ey , ~ez ).
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4) Simplier le système d'équations obtenues en tenant compte du fait que le déplacement suivant x et y
dy
reste faible par rapport à celui de z . On négligera les termes en dx
dt et dt dans l'expression de la force de Coriolis.
5) En déduire sous ces hypothèses des expressions approchées de x(t), y(t) et z(t).
6) Evaluer y au moment où la masse tombe sur le sol. Faire l'application numérique.
La déviation a lieu vers l'est de 23 g Ω cos λ
q
2h
g
32
= 5, 0 cm.
3.11) Le pendule de Foucault
Le pendule de Foucault est un pendule sans frottement, à petites oscillations. La pointe du mobile trace un
sillon dans le sable le long de sa trajectoire.
1) Montrer que le plan d'oscillation du pendule tourne.
2) Quelle serait la période du phénomène si le pendule de Foucault était suspendu au pôle nord ?
3) La latitude de Paris est : λ ≈ 50◦ N . Quelle est la période du phénomène observé au Panthéon ?
Au Pôle Nord, la période est de 23h560 .
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Résolution
de
problème
vendredi 26 septembre 2013
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
2001 - L'Odyssée de l'espace
D'après les scènes du lm
de Stanley Kubrick
Comment créer une pesanteur articielle dans l'espace ?
Dans le lm "2001 l'odyssée de l'espace" de Stanley Kubrick, un vaisseau spatial constitué d'un tore de
~ = ω.~ez constante dans un référentiel galiléen.
rayon R tourne autour de son axe Oz avec une vitesse angulaire Ω
A gauche : ache du lm où l'on voit le vaisseau spatial et schéma (à droite) du vaisseau.
Enoncé
1) Alors qu'ils sont loin de toute planète, les astronautes vivent dans le tore comme sur Terre : ils sont
soumis à une gravité articielle. Evaluer les valeurs numériques de R et de ω pour que les astronautes subissent
une gravité articielle de valeur g = 9, 81 m · s−2 , à 10% près entre les pieds et la tête.
2) Dans une des scènes du lm, un astronaute (Poole) fait un jogging dans le tore. Expliquer pourquoi il
peut être très fatigant pour Poole de courir dans la station spatiale (on choisira des valeurs numériques pour
illustrer le raisonnement). Le sens choisi pour faire le footing est-il important ?
Travaux
pratiques
vendredi 26 septembre 2013
La moitié de la classe fait un TP d'électricité sur les dipôles électrocinétiques.
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Approche
documentaire
vendredi 26 septembre 2013
Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Castellan Matthieu et Cherki Léa feront un exposé.
La courbe antisecousse
Jean-Michel COURTY et Roland LEHOUCQ
c Pour la Science - n◦ 425
Idées de physique - Mars 2013
La spirale de Cornu, ou clothoïde, est utilisée en travaux publics dans l'amorce
des virages : cette courbe évite aux véhicules des secousses intempestives
Comment construire une route ou une voie de chemin de fer qui
serpente ? Les amateurs de modélisme réalisent leurs circuits avec des
rails rectilignes et en arcs de cercle. Ils ignorent que, lors de la transition entre un rail droit et un rail circulaire, un passager serait fort
incommodé par une secousse brutale ! Il existe pourtant une solution :
construire les virages en forme de clothoïde, aussi nommée spirale de
Cornu. Ce tracé, où la courbure en chaque point est proportionnelle à
la distance parcourue jusqu'à ce point, est notamment au service des
bretelles d'autoroute et des loopings des montagnes russes.
Éviter les discontinuités de l'accélération
La force subie par un véhicule est proportionnelle à son accélération, c'est-à-dire à la variation de sa vitesse par unité de temps. Cette
variation peut porter sur la valeur de sa vitesse, par exemple lors
du démarrage ou d'un freinage, mais aussi résulter d'un changement
de direction. An d'éviter que la force résultante ne soit trop élevée
et ne fasse déraper le véhicule, cette variation doit être progressive.
C'est pourquoi, en dehors des croisements, les routes et les voies de
chemin de fer sont constituées de segments droits reliés par des segments courbes. En choisissant des courbes en arc de cercle, donc d'un
rayon de courbure constant, la force centrifuge subie par le véhicule
est constante si ce dernier a une vitesse constante en module. Ainsi, le véhicule ne dérape pas s'il entame la
courbe à la vitesse appropriée.
L'arc de cercle serait-il
donc la courbe idéale ? Ce
raisonnement ignore une propriété répandue : l'élasticité.
Un objet élastique se déforme proportionnellement à
la force qui lui est appliquée. Si
cette force s'annule d'un coup,
toute l'énergie élastique stockée est instantanément libérée. Pour en comprendre les
conséquences sur un véhicule,
considérons un modèle simple
de montagnes russes : un arc
de cercle vertical se prolongeant en son point le plus bas
par une ligne horizontale (voir
la gure 1).
Lâchons une roue le long de
l'arc et imaginons qu'elle roule
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dessus sans frottement. Elle accélère à mesure qu'elle descend. Dans son référentiel, la roue subit, outre son
poids, deux forces radiales : la force centrifuge appliquée à son centre d'inertie et la réaction centripète du rail
appliquée sur son bord. Sa vitesse est maximale au bas de l'arc de cercle, et il en est de même de la force
centrifuge et de la réaction du rail.
Sous l'eet de ces deux forces, la roue se comprime et va entamer son mouvement sur le segment droit dans un
état de déformation maximale. Or à cet endroit, la trajectoire devient subitement rectiligne : la force centrifuge
disparaît, la roue se détend et l'énergie élastique stockée se libère. Le calcul montre que cette libération peut
provoquer un rebond : alors que la jonction entre les rails est continue et sans arête, la roue est susceptible de
décoller ! Ce rebond n'existerait pas si l'on modélisait la roue par un point (une tentation de théoricien...). Quels
que soient la nature et le lieu de la déformation (moyeu, amortisseur, etc.), le rebond est dû à la discontinuité
de l'accélération et montre qu'il convient de s'intéresser aux variations temporelles de celle-ci.
Une douce spirale
Chacun a pu ressentir une telle secousse, par exemple lorsque le
conducteur d'un véhicule freine et ne relâche pas la pédale juste avant
l'arrêt. Au cours de la phase de décélération, les passagers du véhicule
subissent une force d'inertie orientée vers l'avant. La vitesse décroît
progressivement, jusqu'à s'annuler à l'arrêt du véhicule. À cet instant,
la décélération et la force d'inertie cessent brusquement et nous avons
l'impression d'être projetés sur le dossier du siège. Pour éviter ce désagrément, il ne sut pas de réduire l'accélération : dans ce cas précis, il
faut qu'elle s'annule au même instant que la vitesse. C'est pourquoi le
conducteur ajuste la pression qu'il exerce sur la pédale de frein juste
avant l'arrêt.
Intéressons-nous maintenant au cas d'un véhicule roulant à vitesse
constante (en module). Comment assurer une accélération qui soit
continue tout au long du parcours ? En tout point, l'accélération est
proportionnelle à la courbure de la trajectoire, c'est-à-dire à l'inverse
du rayon de courbure (et dirigée vers le centre de courbure).
Avec une courbure constante, on garantit évidemment la continuité
de l'accélération, mais les trajectoires sont alors soit des droites, soit
des cercles. La solution la plus simple pour varier les trajectoires est de
faire appel à des courbes dont la courbure (et, partant, l'accélération)
augmente linéairement avec la distance parcourue. Une telle courbe,
qui s'enroule peu à peu sur elle-même, n'est autre que la clothoïde,
connue également sous les noms de spirale de Cornu, spirale d'Euler
ou encore spirale de Fresnel.
Les bretelles qui relient une route à une autre ont souvent la forme
de clothoïde, notamment dans les échangeurs d'autoroute. Elle est
en eet particulièrement adaptée pour joindre un segment droit à un
segment en arc de cercle, puisque sa courbure peut varier continûment
de zéro, à son début, jusqu'à la valeur du rayon de l'arc de cercle (voir la gure 2). La combinaison clothoïde -arc
de cercle- clothoïde permet même de relier deux segments droits. Par ailleurs, pour qu'un véhicule de vitesse
constante suive une route en clothoïde, le conducteur doit tourner son volant à vitesse angulaire constante, une
man÷uvre plus aisée que d'autres. Enn, la force centrifuge subie par les passagers augmente de façon continue
et leur confort est donc maximal.
Des loopings plus confortables
On retrouve la clothoïde dans les chemins de fer et notamment pour les trains rapides. Dans les virages où
la vitesse est élevée, la voie présente un dévers, c'est-à- dire une inclinaison choisie de façon que la résultante du
poids et de la force centrifuge soit perpendiculaire au plan de la voie. Les rails ne subissent alors pas de forces
latérales de la part du train. Un calcul simple montre que le dévers doit être proportionnel à l'accélération,
donc à la courbure. Pour que le dévers évolue de façon continue à partir d'une voie horizontale, il faut donc que
l'accélération en fasse de même, d'où l'intérêt des clothoïdes.
Une autre application des clothoïdes porte sur les montagnes russes (voir la gure 3). Les loopings modernes
ne sont plus forcément circulaires. En dehors du problème déjà évoqué de la secousse lors de la transition du
cercle à la droite, un autre désagrément provient des accélérations subies par le passager. Si l'on souhaite qu'au
point le plus haut, la force centrifuge compense le poids (avec la tête en bas, les épaules n'appuieront pas sur le
harnais), on s'aperçoit que tout en bas, dans le cas d'un looping circulaire, elle lui serait cinq fois supérieure :
l'accélération ressentie par le passager serait alors égale à 6g, six fois l'accélération de la pesanteur, valeur
dicilement acceptable pour un public familial !
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Cette forte accélération a pour origine le fait que la vitesse du wagon, donc la force centrifuge (à courbure
constante), diminue à mesure que le véhicule s'élève : la condition à respecter au sommet impose une vitesse
d'entrée dans le looping trop élevée. En choisissant un looping au moins partiellement en spirale de Cornu, on
entame la montée avec des courbures faibles à vitesse élevée et on l'achève avec des courbures plus fortes, mais
une vitesse inférieure. L'accélération ressentie peut ainsi être ramenée à des valeurs plus supportables (autour
de 3g-4g), notamment pour les enfants.
Enoncé
1) Calculs préliminaires de l'accélération
1.a) Exprimer l'accélération d'un véhicule assimilé à un point matériel dans le repère de Frénet (~ut , ~un )
en fonction de la courbure C (l'inverse du rayon de courbure) et de la norme de la vitesse v .
1.b) Vérier que l'accélération ~a de ce véhicule "peut porter sur la valeur de sa vitesse, par exemple
lors du démarrage ou d'un freinage, mais aussi résulter d'un changement de direction".
2) Le cas du trajet de la gure 1
2.a) Vérier que "en choisissant des courbes en arc de cercle, donc d'un rayon de courbure constant, la
force centrifuge subie par le véhicule est constante si ce dernier a une vitesse constante en module".
2.b) Est-ce que, lorsque "la trajectoire devient subitement rectiligne, la force centrifuge disparaît" ?
2.c) Y a-t-il "discontinuité de l'accélération" lors du trajet de la gure 1 ?
3) Le cas du freinage d'une voiture en ligne droite
3.a) Calculer l'accélération de la voiture avant (t < 0) et après (t > 0) l'arrêt.
3.b) Montrer que "au cours de la phase de décélération, les passagers du véhicule subissent une force
d'inertie orientée vers l'avant."
3.c) Sous quelle condition y a-t-il continuité de la force d'inertie à l'arrêt de la voiture ?
4) Le cas d'un train à vitesse constante dans un virage
4.a) Faire un schéma des forces appliquées sur le train dans un virage de façon que "la résultante du
poids et de la force centrifuge soit perpendiculaire au plan de la voie". On fera apparaître l'angle φ d'inclinaison
des rails par rapport à l'horizontale.
4.b) Faire "un calcul simple [qui] montre que le dévers doit être proportionnel à l'accélération, donc à
la courbure". On dénira pour cela le devers en fonction de φ.
5) Le cas des montagnes russes dans un looping circulaire
5.a) Quelle est la condition sur la norme de la vitesse vh pour "qu'au point le plus haut, la force
centrifuge compense le poids" ?
5.b) En appliquant un théorème énergétique au wagon de la montagne russe, déterminer alors la norme
de la vitesse vb "d'entrée dans le looping". On négligera les frottements.
5.c) Quelle est alors "tout en bas [...] l'accélération ressentie par le passager" ? Comparer la valeur
trouvée avec celle de l'énoncé.
Devoir
surveillé
samedi 27 septembre 2013
Un DS commun aura lieu samedi 27 septembre 2013 de 8h à 12h, il portera sur toute la thermodynamique.
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