La théorie des optima au sens de Pareto

Chapitre 5
La théorie des optima au sens de Pareto
Pour la philosophie cynique, comme
d’ailleurs pour toute philosophie, la fin et
le but suprême, c’est de vivre dans le
bonheur.
Julien
Il n’y a qu’une erreur innée : c’est celle qui
consiste à croire que nous existons pour
être heureux.
Schopenhauer
Sommaire
5.1 Les états optimaux au sens de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.1.1 Les états réalisables de l’économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.2 Le critère servant au classement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.3 Supériorité et optimum de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.4 Optimum au sens de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.5 Le premier théorème de l’économie du bien-être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.6 Le second théorème de l’économie du bien-être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Les conditions « marginales » d’un optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.3 Les conditions marginales d’une économie avec production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
ous avons jusqu’à présent étudié des économies marchandes et nous avons montré que — sous certaines
conditions — l’interaction de nombreux agents sur des marchés concurrentiels n’était pas incompatible
avec l’existence d’une situation à la fois « globalement cohérente » et « individuellement satisfaisante ». Nous
avons appelé une telle situation un équilibre général walrassien.
Supposons maintenant qu’une collectivité dispose exactement des mêmes ressources qu’une économie marchande mais qu’elle soit organisée selon les principes de la « planification socialiste soviétique ». Il est probable
que « l’équilibre planifié » ne sera pas le même que l’équilibre walrassien1 .
Et pour faire bonne mesure, rien ne nous empêche d’imaginer une économie organisée suivant des principes
coopératifs2 et où l’équilibre serait différent des deux précédents3 .
Mais si trois types d’organisations économiques conduisent à des équilibres différents, on est en droit de se
demander quel est le « bon » ou du moins le « meilleur » des trois ?
N
1. Il n’est pas question d’aborder ici la question de la définition et de l’existence d’un équilibre dans une économie planifiée.
2. Il existe depuis le xixe siècle un courant dit d’économie sociale qui défend une idéologie de la coopération, c.-à-d. « l’alliance du
principe libéral avec le principe de la solidarité » (manifeste de 1868). Ce courant a connu son heure de gloire avec l’économiste Charles
Gide et l’École de Nîmes.
3. Il n’est pas non plus question d’aborder la question de la définition et de l’existence d’un équilibre dans une économie « coopérative ».
54
5.1. LES ÉTATS OPTIMAUX AU SENS DE PARETO
55
Il n’est pas sûr qu’on puisse répondre à cette interrogation. Mais la question est finalement intéressante : a-t-on
les moyens de dire ce qu’est une « bonne façon » d’organiser l’économie et peut-on comparer ou « classer par
ordre de mérite » les différentes façons de répartir et d’utiliser les ressources à la disposition d’une économie ?
C’est à ces questions que la théorie des optima au sens de Pareto entend donner des réponses.
5.1 Les états optimaux au sens de Pareto
Pour introduire la théorie des optima au sens de Pareto, nous allons nous contenter d’économies simples : deux
biens et deux agents suffiront amplement à notre propos4 .
5.1.1 Les états réalisables de l’économie
Puisqu’il n’y a pas de production dans cette économie, on admet qu’il existe dans l’économie une dotation
globale initiale des deux biens x̄ i . Ces biens ne sont pas appropriés pas les deux agents. En revanche, ils peuvent
être distribués entre les agents. La notion d’état réalisable de l’économie se propose de décrire l’ensemble des
distributions possibles entre les deux agents de cette économie.
Définition 29 (état réalisable). On appelle état réalisable d’une économie toute répartition possible des ressources initiales de l’économie entre les agents qui la composent :
n
o
X
X = ((x 11 , x 21 ), (x 12 , x 22 )) ∈ R4+ | ∀i
x i h ≤ x̄ i
h
N
Il n’existe pas de façon simple de représenter l’ensemble des états réalisables de l’économie. Ceci vient de ce que
la définition que nous avons donnée n’exclut par les états réalisables qui n’épuisent pas la totalité des ressources
disponibles (on a une inégalité large). Si on se cantonne aux seuls états réalisables qui épuisent les ressources de
l’économie dans leur totalité, alors les états réalisables sont représentés par l’ensemble des points du diagramme
emboîté d’Edgeworth (voir graphique 5.1).
individu 2
x1
x2
Q'
Q
x2
individu 1
x1
Fig. 5.1 – Ensemble des états réalisables (épuisant les ressources)
5.1.2 Le critère servant au classement
Notre objectif est de classer les différents états réalisables de cette économie de façon à pouvoir déterminer celui
ou ceux qui peuvent être dits les « meilleurs ». Mais tout classement suppose un critère de référence. Ainsi, on
peut classer des élèves selon la taille, le poids ou la moyenne obtenue en mathématiques ; et il est clair que selon
le critère retenu le « meilleur » sera à chaque fois différent5 .
Le principe fondamental qui guide le classement des états sociaux est qu’il faut partir des agents consommateurs
et de leurs préférences. Ce principe paraît raisonnable6 : il revient à exclure tout classement dicté par une autorité
supérieure ou extérieure.
4. La généralisation à I biens et H agents est immédiate.
5. À moins d’admettre que seuls les grands particulièrement pesants sont bons en math !
6. Dans Malinvaud (1982), p. 77, note 1, on trouve quelques remarques intéressantes sur le sujet.
56
CHAPITRE 5. LA THÉORIE DES OPTIMA AU SENS DE PARETO
On sait que les consommateurs sont capables d’exprimer des préférences sur les paniers de biens et que — sous
certaines conditions — ces préférences peuvent se représenter à l’aide de fonctions d’utilité Uh (x 1h , x 2h ). Dès
lors, il est possible de représenter chaque état réalisable sous la forme d’un vecteur d’utilité. L’ensemble des
états réalisables en termes d’utilité s’écrit
X
ª
©
x i h ≤ x̄ i
(u 1 , u 2 ) ∈ R2+ | u 1 = U1 (x 11 , x 21 ), u 2 = U1 (x 12 , x 22 ) et ∀i
h
Le graphique 5.2 en donne une illustration.
u2
individu 2
x1
x2
4
5
10
20
Q'
20
Q'
Q
Q
10
x2
x1
individu 1
4
5
u1
Fig. 5.2 – États réalisables en termes d’utilité
5.1.3 Supériorité et optimum de Pareto
Nous savons représenter l’ensemble des états réalisables sous la forme d’un ensemble de vecteurs d’utilité
(u 1 , u 2 ). Comparer et classer ces états revient à comparer et classer les vecteurs d’utilité qui les caractérisent. Or,
classer des vecteurs ne vas pas de soi, comme le montre les exemples suivants.
Supposons que nous cherchions à comparer deux états réalisables Q et Q 0 caractérisés par les vecteurs d’utilité
Q → (10, 5) et Q 0 → (8, 4). Puisque notre principe de base est de partir des consommateurs et de leurs préférences,
il « intuitivement évident » que le premier état est « supérieur » au second puisque les deux consommateurs
le trouvent supérieur (10 > 8 et 5 > 4). De même, Q est supérieur à Q 00 quand les deux états sont Q → (10, 5) et
Q 00 → (8, 5).
En revanche, il est paraît impossible de classer les états Q → (10, 5) et R → (6, 11). En effet, si le premier individu
préfère Q à R, le second préfère R à Q. Et dans ce cas, on ne voit pas pourquoi l’un devrait prévaloir sur l’autre.
Bref, nous constatons que s’il n’est pas impossible de classer certains vecteurs, il n’est en revanche pas possible
de classer tous les vecteurs7 . Nous devons donc nous contenter des deux définitions suivantes :
¡
¢
Définition 30 (supériorité au sens de Pareto). Un état réalisable
Q = (xh=1 , xh=2
) = (x 11 , x 21 ), (x 12 , x 22 ) est dit
¡
¢
0
0
0
0
supérieur au sens de Pareto à un autre état réalisable Q 0 = (x 11
, x 21
), (x 12
, x 22
) si
∀h,
0
0
Uh (x 1h , x 2h ) ≥ Uh (x 1h
, x 2h
) et ∃ h,
0
0
Uh (x 1h , x 2h ) > Uh (x 1h
, x 2h
),
ou, de façon alternative,
∀h, xh=1 % x0 h=2 et ∃ h, xh=1 Â x0 h=2 .
h
h
N
¡
¢
Définition 31 (supériorité stricte). Un état réalisable Q = (xh=1
, xh=2 ) = (x 11 , x 21¢), (x 12 , x 22 ) est dit stricte¡
0
0
0
0
ment supérieur au sens de Pareto à un autre état réalisable Q 0 = (x 11
, x 21
), (x 12
, x 22
) si
∀h,
0
0
Uh (x 1h , x 2h ) > Uh (x 1h
, x 2h
),
ou, de façon alternative
∀h, xh=1 Â x0 h=2 .
h
N
5.1. LES ÉTATS OPTIMAUX AU SENS DE PARETO
57
S
R
Q''
Q''
Q'
Q'
R
Q
Q
S
états préférés à Q
Fig. 5.3 – Supériorité au sens de Pareto
Sur le graphique 5.3, on a représenté une série d’états réalisables dans un diagramme d’Edgeworth et leur image
en termes d’utilité. On voit que les états Q 0 et Q 00 sont strictement supérieurs au sens de Pareto à l’état réalisable
Q.
Dans le diagramme d’Edgeworth, ces deux états sont situés dans la « lentille » des états qui procurent à la fois
plus d’utilité au premier et au second individu. Dans la second graphique, ils sont dans le quadrant situé au
nord-est de l’état réalisable Q. On remarquera que les états R et S sont incomparables avec Q.
5.1.4 Optimum au sens de Pareto
La supériorité au sens de pareto permet d’ordonner en partie l’ensemble des états réalisables. Il nous reste à
déterminer les états qui sont d’une certaine façon les « meilleurs ». Une solution semble s’imposer aussitôt : les
« meilleurs » ne sont-ils pas ceux qui ne sont surpassés8 par aucun autre ?
Nous pouvons définir un état optimal au sens de Pareto (ou efficace au sens de Pareto) en suivant cette intuition :
¡
¢
Définition 32 (optimalité). Un état réalisable Q = (xh=1 , xh=2 ) = (x 11 , x 21 ), (x 12 , x 22 ) est dit optimal au sens
de Pareto dans X s’il n’existe aucun autre état dans X qui lui soit supérieur au sens de Pareto, c.-à-d.,
¡ 0
¢
0
0
0
¬ (∃ Q 0 = (x0 h=1 , x0 h=2 ) = (x 11
, x 21
), (x 12
, x 22
) tel que ∀h, x0 h=1 % x0 h=2 et ∃h, x0 h=1 Â x0 h=2 .
h
h
N
La figure 5.4 représente des états
réalisables optimaux au sens de pareto. C’est le cas des états Q et S.
S
Étant données les remarques faites
sur le graphique 5.3, on voit que Q et
R
S sont ici optimaux parce qu’ils sont
Q
R
Q
situés au point de tangence de deux
courbes d’indifférence ; la « lentille »
S
des états supérieurs au sens de Pareto est donc vide. De même, dans
la partie du graphique représentant
les états optimaux en termes d’utilité, on voit que Q et S sont situés sur
Fig. 5.4 – Optima au sens de Pareto
la frontière des utilités. Il n’existe aucun état réalisable dans le quadrant nord-est de ces deux points. On fera immédiatement quelques remarques :
– les optima au sens de Pareto sont incomparables entre eux9 ;
7. Ceci ne devrait pas surprendre des ... étudiants. Les étudiants sont en effet évalués par des vecteurs de notes qui sont généralement
incomparables. Si on tente de classer les étudiants par ordre de mérite, il faudra transformer ces vecteurs (incomparables) en un nombre
réel unique (le corps des réels est ordonné). Ce nombre est bien entendu la fatidique moyenne (éventuellement pondérée).
8. C’est une façon classique de définir un maximum. Si vous reprenez la définition du maximum d’une fonction de une variable, vous
constaterez que x 0 est un maximum s’il n’existe aucun autre x appartenant au domaine de définition de f tel que f (x) > f (x 0 ).
9. Aux Jeux olympiques cela reviendrait à vouloir comparer le gagnant de la médaille d’or du 100 mètres et le médaillé d’or en haltérophilie.
58
CHAPITRE 5. LA THÉORIE DES OPTIMA AU SENS DE PARETO
– il existe une infinité d’optima au sens de Pareto. Cela signifie donc qu’il n’existe pas un état qui soit le
meilleur ;
– un état non optimal n’est pas forcément « moins bon » qu’un état optimal. Dans le graphique 5.4, R n’est
pas optimal. Il ne peut cependant être comparé avec l’état optimal Q. Par conséquent, il faut s’interdire
toute classification erronée que seule la fascination qu’exerce le mot optimal justifierait10 !
En partant de la définition 32, nous pouvons en déduire une autre d’ailleurs beaucoup plus fréquente : un
état optimal au sens de Pareto est un état tel qu’on ne peut améliorer la situation d’un individu sans ipso facto
détériorer celle d’un autre individu.
5.1.5 Le premier théorème de l’économie du bien-être
Le premier théorème de l’économie du bien-être dit que tout équilibre général walrassien est un optimum au
sens de pareto. Ce théorème est important parce qu’il apporte une réponse à un problème qui a fasciné les
économistes depuis les débuts de l’économie politique. Une économie de marché — et plus précisément une
économie capitaliste — donne l’impression d’une confrontation anarchique de nombreux intérêts individuels.
Les consommateurs maximisent leur utilité alors que les entreprises maximisent leurs profits. Lorsque les agents
sont nombreux, ces « égoïsmes » individuels se rencontrent, se confrontent, s’affrontent sur des marchés, qui
ne sont pas exempts de règles (respect de la propriété, possibilité d’une information parfaite, libre entrée et
sortie, etc.). L’ensemble de ces règles assurent justement le maintien de la concurrence entre les participants
au marché. À la question : « que doit-on attendre d’une telle confrontation d’intérêts égoïstes ? », on est tenté
de répondre : « le chaos, l’anarchie ... ». Or, il n’en est rien. Tout d’abord, rien ne s’oppose à ce que s’instaure
spontanément un équilibre11 des marchés. Et des marchés équilibrés ne correspondent pas à l’idée qu’on se fait
du chaos ou de l’anarchie. Mais cet équilibre spontané peut-il être encore amélioré ? C’est ici qu’entre en jeu le
premier théorème de l’économie du bien-être : partant de l’équilibre, il n’existe aucun moyen d’améliorer la
situation d’aucune personne sans aussitôt en léser une autre. Bref, l’équilibre général compétitif semble doué de
toutes les vertus : respectueux de la liberté des agents (dans le cadre de la concurrence), il assure une certaine
cohérence globale (équilibre des marchés) et le résultat — obtenu spontanément — est optimal au sens de
Pareto !
Adam Smith avec sa fameuse main invisible avait déjà noté l’étonnante convergence de la poursuite de l’intérêt
individuel et de l’intérêt de la société :
« À la vérité, son intention, en général n’est pas en cela de servir l’intérêt public, et il ne sait même
pas jusqu’à quel point il peut être utile à la société. En préférant le succès de l’économie nationale à
celui de l’industrie étrangère, il ne pense qu’à se donner personnellement une plus grande sûreté ;
et en dirigeant cette industrie de manière à ce que son produit ait le plus de valeur possible, il ne
pense qu’à son propre gain ; en cela, comme dans beaucoup d’autres cas, il est conduit par une
main invisible à remplir une fin qui n’entre nullement dans ses intentions ; et ce n’est pas toujours
ce qu’il y a de plus mal pour la société, que cette fin n’entre pour rien dans ses intentions. Tous en
cherchant son intérêt personnel, il travaille souvent d’une manière bien plus efficace pour l’intérêt
de la société, que s’il avait réellement pour but d’y travailler. Je n’ai jamais vu que ceux qui aspiraient,
dans leurs entreprises de commerce, à travailler pour le bien général, aient fait beaucoup de bonnes
choses. Il est vrai que cette belle passion n’est pas très commune parmi les marchands, et qu’il ne
faudrait pas de longs discours pour les en guérir ». (A. Smith, Enquête sur la nature et les causes de la
richesse des nations, liv. IV, chap. II)
Pour démontrer le premier théorème de l’économie du bien-être, nous allons nous placer dans le cadre simplificateur d’une économie d’échange à deux biens et deux agents12 . La démonstration repose sur un raisonnement
par l’absurde : nous allons supposer qu’un équilibre général walrassien n’est pas un optimum au sens de Pareto
et montrer que cette hypothèse conduit à une conclusion absurde et intenable.
Théorème 5 (premier théorème de l’économie du bien-être). Tout équilibre général walrassien est optimal au
sens de Pareto.
ä
10. Cela reviendrait par exemple à prétendre que le médaillé d’argent du 100 mètres est « moins bon » que le médaillé d’or en haltérophilie.
11. C.-à-d., l’équilibre n’est pas le résultat d’une volonté organisatrice consciente.
12. La généralisation au cas de I biens et H agents est immédiate ... avec des notations plus complexes.
5.1. LES ÉTATS OPTIMAUX AU SENS DE PARETO
59
¡ w w
¢
w
w
Démonstration. Soit W = (x 11
, x 21 ), (x 12
, x 22
) un équilibre walrassien.
suppose
qu’il n’est pas optimal au
¡ p p On
p
p ¢
sens de Pareto. Cela veut dire qu’il existe un état réalisable P = (x 11 , x 21 ), (x 12 , x 22 ) préférable au sens de Pareto
p
p
p
p
w
w
w
w
à W . Ce qui signifie que ∀h, Uh (x 1h , x 2h ) ≥ Uh (x 1h
, x 2h
) et ∃h, Uh (x 1h , x 2h ) > Uh (x 1h
, x 2h
).
Nous allons supposer que
p
p
w
w
U1 (x 11 , x 21 ) > U1 (x 11
, x 21
),
(5.1)
p
p
w
w
U2 (x 12 , x 22 ) ≥ U2 (x 12
, x 22
).
(5.2)
Il convient de noter que W est un équilibre général walrassien ; cela signifie que les marchés sont équilibrés
pour un certain vecteur de prix p = (p 1 , p 2 ). En l’absence de saturation (locale) des besoins, on sait aussi que
l’équilibre de chaque agent se trouve sur sa droite de budget.
p
p
Demandons-nous maintenant pourquoi l’individu 1 n’a pas — à l’équilibre — acheté le panier (x 11 , x 21 ) qu’il
w
w
préférait pourtant au panier (x 11 , x 21 ). La réponse est simple : il ne l’a pas acheté parce qu’il ne pouvait pas
l’acheter. C’est à dire
p
p
w
w
p 1 x 11 + p 2 x 21 > p 1 x 11
+ p 2 x 21
.
(5.3)
En effet, le panier d’équilibre maximise l’utilité du consommateur 1. Cela veut dire que pour tout panier (x 11 , x 21 )
w
w
appartenant à son ensemble de budget
¡ B 1 (p), U (x 11 , x 21 ) ≥ U (x 11 , x 21 ). Enwprenant
¢ la double négation de cette
w
proposition, on peut aussi écrire ¬ ∃(x 11 , x 21 ) ∈ B h (p) | U (x 11 , x 21 ) > U (x 11 , x 21
) . Ce qui revient à dire que si
w
w
U (x 11 , x 21 ) > U (x 11
, x 21
) alors (x 11 , x 21 ) ∉ B h (p). Pour l’individu 2, les choses sont un peu plus compliquées. Soit
p
p
w
w
le panier (x 12 , x 22 ) était strictement préféré au panier (x 12
, x 22
) et dans ce cas, il n’a pas été acheté parce qu’il
coûtait trop cher, soit il était jugé équivalent et dans ce cas l’individu 2 pouvait peut-être l’acheter mais il ne l’a
— en définitive — pas fait. On a alors
p
p
w
w
p 1 x 12 + p 2 x 22 ≥ p 1 x 12
+ p 2 x 22
.
(5.4)
Si on additionne ces deux inégalités, il vient
p
p
p
p
w
w
w
w
p 1 (x 11 + x 12 ) + p 2 (x 21 + x 22 ) > p 1 (x 11
+ x 12
) + p 2 (x 21
+ x 22
).
(5.5)
Or, en l’absence de saturation des besoins, W et P sont des allocations réalisables totales de cette économie. Par
conséquent, l’équation 5.5 devient
p 1 x̄ 1 + p 2 x̄ 2 > p 1 x̄ 1 + p 2 x̄ 2 ,
(5.6)
ce qui est évidemment la contradiction recherchée.
■
5.1.6 Le second théorème de l’économie du bien-être
Nous allons encore nous placer dans le cas simple d’une économie d’échange à deux biens et deux agents car ce
théorème est assez délicat à démontrer dans le cas général d’une économie de production. Si la démonstration
est facilitée dans une telle économie élémentaire, son principe reste le même : tout repose sur un « théorème de
séparation des ensembles convexes ». L’idée générale du théorème peut être illustrée de la façon suivante : si on
trace deux ensembles convexes et disjoints dans un plan, alors il existe nécessairement une droite séparant ces
deux ensembles. La partie (a) du graphique 5.5 montre deux ensembles convexes disjoints séparés par une droite.
Un examen de la partie (b) du même graphique montre qu’aucune droite ne peut séparer ces deux ensembles.
a
b
Fig. 5.5 – Séparation d’ensembles convexes
60
CHAPITRE 5. LA THÉORIE DES OPTIMA AU SENS DE PARETO
Définition 33 (séparation des ensembles convexes). Soient deux ensembles non vides X et Y de RN et un
hyperplan H = {(x 1 , x 2 , ..., x N ) ∈ Rn | p 1 x 1 + ... + p N x N = r }. On dit que X et Y sont séparés par H si
p 1 x 1 + ... + p N x N ≤ r
∀(x 1 , x 2 , ..., x N ) ∈ X
p 1 x 1 + ... + p N x N ≥ r
∀(x 1 , x 2 , ..., x N ) ∈ Y
On dit qu’ils sont strictement séparés si les inégalités ci-dessus sont strictes.
N
Théorème 6 (second théorème de l’économie du bien-être). Soit une économie d’échange pur où les préférences des individus sont continues, convexes et localement non saturées. Alors, toute allocation optimale au
sens de Pareto est le support d’un équilibre général walrassien pour le vecteur de prix p si, à l’optimum, chaque
individu dispose au prix p d’un panier de consommation moins cher que le panier optimal13 .
ä
Voyons dans un premier ce que nous désirons démontrer. On suppose qu’un panier de biens est optimal au sens
de Pareto, par exemple le point Q dans le graphique 5.6. On veut montrer que Q est aussi un équilibre général
walrassien. On voit que les deux volets du graphique 5.6 ne diffèrent que par une « droite tangente » aux courbes
d’indifférence des deux individus. Bref, on cherche à montrer qu’une telle tangente peut toujours être construite
à partir d’un point optimal.
p . xh = r
Q
Q
Équilibre général walrassien
Optimum de Pareto
Fig. 5.6 – Le second théorème de l’économie du bien-être
Démonstration. Nous allons démontrer ce théorème dans le cadre simplifié d’une économie d’échange à
deux biens et deux agents. On appelle x̄ = (x̄ i =1 , x̄ i =2 ) le vecteur des dotations initiales de cette économie en
biens 1 et 2. On note %h les préférences de l’individu h. Soit xh = (x 1h , x 2h ) les quantités de biens 1 et 2 dont
?
?
?
?
dispose l’individu h. On notera (x?
, x? ) = (x 11
, x 21
, x 12
, x 22
) une allocation optimale au sens de pareto de
h=1 h=2
cette économie. Considérons dans un premier temps l’ensembles des paniers de biens strictement préférés par
chaque individu à celui dont il dispose à l’optimum. On note Vh ces ensembles
ª
©
Vh = xh = (x 1h , x 2h ) ∈ R2+ | xh Âh x?
h .
Soit
V=
2
X
h=1
X
©
ª
Vh = x ∈ R2+ | x = xh , xh ∈ Vh .
h
V est l’ensemble des paniers de biens pouvant être décomposés en paniers individuels strictement préférés par
leurs bénéficiaires au panier optimal qu’ils ont reçu.
On montre facilement que les ensembles Vh sont convexes. Supposons que xh Âh x?
et que x0h Âh x?
. Soit α tel
h
h
0
0
que 0 ≤ α ≤ 1. Puisque les préférences sont complètes, on a soit xh Âh xh soit xh Âh xh . Nous allons supposer que
xh Âh x0h . Puisque les préférences sont convexes, on sait que αxh + (1 − α)x0h %h x0h . Or, on a posé que x0h Âh x?
.
h
Par conséquent, par transitivité, il vient αxh + (1 − α)x0h %h x?
.
h
13. Ce qui revient à dire qu’à l’optimum et pour le vecteur prix p, la richesse de chaque individu n’est pas nulle. Cette hypothèse est faite
parce que sans elle, dans certaines configurations très particulières et assez « perverses », l’optimum ne conduit pas à un équilibre général.
5.1. LES ÉTATS OPTIMAUX AU SENS DE PARETO
61
La somme de deux ensembles convexes étant convexe, on en déduit que l’ensemble V est lui-même convexe.
On considère maintenant l’ensemble Y de toutes les allocations contenant au moins autant de biens que
?
?
?
?
l’allocation optimale (x 11
, x 21
, x 12
, x 22
)
©
ª
Yh = xh = (x 1h , x 2h ) ∈ R2+ | ∀i , x i h ≤ x i?h ,
et
X ª
©
Y = x ∈ R2+ | x = xh .
h
Yh est évidemment convexe et Y est convexe en tant que somme de deux ensembles convexes. Le graphique
5.7 illustre ces deux ensembles. On notera que V n’inclut pas la frontière en pointillé. De son côté, Y inclut
l’optimum Q.
x2
x2
a
V
V
Q
Q
Y
Y
b
p.x=r
x1
x1
Fig. 5.7 – Une représentation des ensembles V et Y
On montre sans difficulté que V ∩ Y = ;. En effet, supposons qu’il existe un vecteur appartenant à la fois à V
?
?
?
?
et Y . Cela signifie alors qu’il existe un vecteur « réalisable à partir de (x 11
, x 21
, x 12
, x 22
) » qui lui est strictement
préférable au sens de Pareto. Or, c’est impossible par la définition même d’un vecteur optimal au sens de Pareto.
Le théorème de séparation des ensembles convexes s’applique donc : il existe un vecteur p = (p 1 , p 2 ) 6= 0 et un
nombre r tel que ∀x ∈ V, p.x ≥ r et ∀x ∈ Y , p.x ≤ r .
P
On peut alors montrer que si ∀h, xh % x?
alors p.( h xh ) ≥ r . Supposons en effet que ∀h, xh % x?
. L’hypothèse
h
h
d’absence de saturation locale fait qu’il existe pour chaque individu h un panier x̂h voisin de xh tel que x̂h Âh xh .
P
P
P
Par conséquent, x̂h ∈ Vh et h x̂h ∈ V . Il s’ensuit que p.( h x̂h ) ≥ r . En passant à la limite, on a p.( h xh ) ≥ r
lorsque x̂h → xh . Cette propriété peut être vérifiée avec les points a et b du graphique 5.7.
P
P
On montre maintenant que p.( h x?
) = p.x̄ = r . En prenant x?
% x?
on voit que p.( h x?
) ≥ r 14 . On sait par
h
h
h
P ?
P ?
Ph ?
P
ailleurs que h xh = x̄ ∈ Y . Par conséquent, p.( h xh ) ≤ r . Donc, p.( h xh ) = r . Étant donné que h x?
= x̄ on en
h
déduit également que p.x̄ = r .
Plaçons-nous maintenant au niveau des individus h. On veut montrer que ∀h, xh Âh x?
=⇒ p.xh ≥ p.x?
. Soit en
h
h
P
?
?
? P
?
effet xh Âh xh . On en déduit que p.(xh + k6=h xk ) ≥ r = p.(xh + k6=h xk ). Ceci prouve que p.xh ≥ p.x?
.
h
Ce résultat est insuffisant car nous voulons montrer que ∀h, xh Âh x?
=⇒ p.xh > p.x?
.
h
h
C’est ici que nous allons nous servir de l’hypothèse d’un panier de consommation « moins cher », c.-à-d.
∀h, ∃x h0 ∈ X h vérifiant p.x0 h < p.x?
.
h
Supposons qu’il existe un panier possible xh Âh x?
tel que p.xh = p.x?
. L’hypothèse du panier moins cher nous
h
h
0
0
permet d’affirmer que ∀h, ∃x h ∈ X h vérifiant p.x h < p.x?
.
Dans
ces
conditions,
∀α ∈ [0 1[, αx0 h + (1 − α)xh ∈
h
0
?
X h et p.(αx h +(1−α)xh ) < p.xh . Faisons tendre α vers un ; la continuité de %h entraîne que αx0 h +(1−α)xh  x?
.
h
14. Ce résultat est la conséquence de l’étape précédente : il suffit de poser x?
= xh et la conclusion est immédiate.
h
62
CHAPITRE 5. LA THÉORIE DES OPTIMA AU SENS DE PARETO
Or, nous avons montré précédemment que ∀h, xh Âh x?
=⇒ p.xh ≥ p.x?
. Il est donc impossible qu’on ait
h
h
0
?
0
simultanément αx h + (1 − α)xh  xh et p.(αx h + (1 − α)xh ) < p.x?
.
h
Nous avons donc bien montré que ∀h, xh Âh x?
=⇒ p.xh > p.x?
.
h
h
L’optimum de Pareto est bien le support d’un équilibre où chaque consommateur h maximise son utilité.
■
Extrait de J. Quirk et R. Saposnik, Théorie de l’équilibre général et économie du bien-être, PUF, Paris, 1974, p. 134
et sq.
L’idée que le mécanisme concurrentiel possède certaines caractéristiques « désirables » par rapport aux autres
méthodes d’organisation de la production et de la répartition des biens et services est présente dans la plupart des
écrits des économistes classiques et néo-classiques. Cependant, l’étude comparée des systèmes économiques
n’a été formulée de façon rigoureuse que récemment ; aussi, il reste beaucoup de problèmes non résolus dans
ce domaine. En ce qui concerne le système concurrentiel, les travaux faits dans les années 1930 par Lerner et
Lange, parmi d’autres, ont conduit à l’étude novatrice d’Arrow au début des années 1950. Bien que plusieurs
extensions importantes du travail d’Arrow aient été publiées depuis, les notions essentielles sont présentes dans
son article original et nous suivrons l’argumentation de cet article dans la plus grande partie de ce paragraphe15 .
Considérons un mécanisme quelconque d’organisation de la production et de la répartition des biens et services,
comme le mécanisme concurrentiel, les contrôles centralisés, etc. Avec Hurwicz, nous dirons qu’un mécanisme
est satisfaisant au sens de Pareto s’il vérifie les propriétés suivantes16 :
1. Toute position d’équilibre du mécanisme est un état de l’économie optimal au sens de Pareto.
2. Quel que soit l’état optimal de l’économie, il existe un choix approprié des paramètres tel que cet état
apparaisse comme une position d’équilibre du mécanisme.
L’article d’Arrow du Berkeley Symposium démontre, sous des hypothèses assez larges, que le mécanisme concurrentiel est un mécanisme satisfaisant au sens de Pareto et qu’à tout état de l’économie optimal au sens de
Pareto on peut associer un ensemble de ressources initiales pour les consommateurs et un vecteur prix tels que
l’économie concurrentielle correspondante soit à l’équilibre dans cet état optimal. (Hurwicz qualifie la propriété
1 de propriété d’« efficience » et la propriété 2 de propriété d’ « absence de biais ». L’ « efficience » n’a pas ici la
signification que lui donne Koopmans (voir paragraphe précédent).)
La démonstration d’Arrow de la nature satisfaisante au sens de Pareto du mécanisme concurrentiel est parfois
résumée sommairement dans les formules « tout équilibre concurrentiel est optimal au sens de Pareto » et « toute
position optimale au sens de Pareto est un équilibre concurrentiel », mais la seconde de ces formules est quelque
peu trompeuse, comme le montre la lecture du paragraphe précédent. Il est possible dans un monde contenant
des structures monopolistiques d’atteindre des états optimaux au sens de Pareto – le mécanisme concurrentiel
n’est pas la seule méthode qui puisse conduire à de tels états.
Hurwicz a illustré ainsi cette remarque : soit trois individus M. A, M. B et M. C ; M. A a deux montres, M. B a
20 francs et M. C 5 centimes. Supposons qu’ils sont égoïstes, que M. A préfère l’argent aux montres, que M. B
préfère une montre plutôt que 20 francs et que M. C préfère une montre plutôt que 5 centimes. Si le marché des
montres fonctionne de façon concurrentielle, avec apparition d’un prix sur le marché et égalité de l’offre et de la
demande, le prix est de 5 centimes par montre ; après les transactions, M. A a 10 centimes, M. B une montre et
19,95 francs et M. C une montre. Il est facile de vérifier que cette position d’équilibre constitue un état optimal
au sens de Pareto. Supposons maintenant que M. A est un monopoleur parfaitement discriminant. La position
d’équilibre est telle que M. A fait payer 20 francs la montre à M. B et 5 centimes à M. C . L’état obtenu est encore
optimal au sens de Pareto, puisque M. A ne fait qu’éliminer tout le « surplus du consommateur » du marché. Le
monopole à discrimination parfaite conduit donc ici à un état optimal au sens de Pareto.
La propriété d’absence de biais des mécanismes satisfaisants au sens de Pareto (propriété 2 ci-dessus) assure que
tout état optimal au sens de Pareto peut être « atteint » par le mécanisme. On voit que le mécanisme concurrentiel
satisfait cette propriété dans l’exemple ci-dessus pour la position d’équilibre du monopole à discrimination
15. Kenneth J. ARROW, « An Extension of the Basic Theorems of Classical Welfare Economics », in J. NEYMAN (ed.), Proceedings of the
Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley, University of California Press, 1951, p. 507-532. Des
extensions des résultats d’Arrow sont présentées dans Kenneth J. ARROW et Gérard DEBREU, « Existence of an Equilibrium for a Competitive
Economy », Econometrica, vol. 22, 1954, p. 265-290 ; Gérard DEBREU, « Valuation Equilibrium and Pareto Optimum », Proceedings of the
National Academy of Sciences of the U.S.A., vol. 40, 1954, p. 588-592 ; David GALE, « The Law of Supply and Demand », Mathematica
Scandinavia, vol. 3, 1955, P. 155-169 ; et Gérard DEBREU, Theory of Value, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1959 (trad. franç. : Théorie de la
valeur, Paris, Dunod, 1966).
16. Leonid HURWICZ, « Optimality and Informational Efficiency in Resource Allocation Processes », Mathematical Methods in the Social
Sciences, 1959, Stanford, Stanford University Press, 1960. Hurwicz ajoute la condition « à valeur essentiellement unique », qui demande que,
pour des valeurs données des paramètres, si l’équilibre n’est pas unique, toutes les positions d’équilibre doivent être indifférentes au sens de
Pareto. Cette condition ne sera pas nécessaire dans notre discussion.
5.2. LES CONDITIONS « MARGINALES » D’UN OPTIMUM
63
parfaite, en redistribuant les avoirs initiaux de façon que M. A soit en possession de 20,05 francs, M. B d’une
montre et M. C d’une montre. Il n’y aura alors aucun échange, quels que soient les prix ; en outre, pour tout prix
de la montre inférieur ou égal à 5 centimes, nous sommes en présence d’un équilibre concurrentiel pour ces
avoirs initiaux.
5.2 Les conditions « marginales » d’un optimum
Nous avons vu précédemment (page 57) que les optima au sens de Pareto étaient situés sur la frontière des
utilités et, dans un diagramme emboîté d’Edgeworth, au « point de tangence des courbes d’indifférence des
deux individus ». Nous allons exploiter cette dernière remarque et déterminer ce qu’on appelle les conditions
marginales d’un optimum.
Plaçons-nous une fois de plus dans le cadre simple d’une économie sans production à deux biens et deux
agents et montrons qu’un optimum se trouve effectivement au point de tangence des courbes d’indifférence
des deux individus. On sait qu’une allocation optimale est telle qu’il est impossible d’améliorer l’utilité d’un
des deux individus sans détériorer ipso facto celle de l’autre. Nous allons mettre à profit cette idée. Supposons
qu’on fixe le niveau d’utilité d’un individu en examinant toutes les allocations qui respectent ce niveau d’utilité.
Dans le graphique 5.8, on a bloqué le niveau d’utilité du second individu à 15. On examine, du point de vue
individu 2
15
e
d
c
30
b
20
a
10
individu 1
Fig. 5.8 – Recherche d’un optimum
de l’optimalité, les points a, b, c, d , e. Ce procédé est intéressant car en comparant ces points, on sait qu’il
est inutile de se préoccuper du niveau d’utilité du second individu qui — par construction — ne peut pas se
détériorer. Donc, on porte toute son attention sur le seul niveau d’utilité atteint par le premier individu.
Le point a ne peut pas être optimal puisqu’au point b on améliore l’utilité du premier sans détériorer (par
construction) le niveau d’utilité du second. Mais ce n’est pas parce que le point b a éliminé le candidat a qu’il est
optimal. En effet, on voit qu’au point c l’utilité du premier s’améliore une nouvelle fois sans qu’on ait détérioré
l’utilité du second. Le point b ne peut donc pas non plus être optimal. Si on continue sur notre lancée, on voit
que désormais l’utilité du premier individu va se détériorer : les points d et e ne peuvent pas être optimaux. Il
nous reste donc un candidat — le point c — qui est situé au point de tangence des courbes d’indifférence u 1 = 30
et u 2 = 15. On peut traduire cela sous une forme plus « mathématique » en disant qu’au point c, on a :
– une allocation17 ;
– l’égalité des taux marginaux de substitution des deux individus.
c.-à-d.
¯ ∂u1 () ¯ ¯ ∂u2 () ¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ∂x11 ¯ ¯ ∂x12 ¯
¯ ∂u () ¯ = ¯ ∂u () ¯
¯ 1 ¯ ¯ 2 ¯
∂x 21
(5.7)
∂x 22
Ce type de résultat — où on retrouve les concepts clés de l’analyse marginaliste — s’appelle des conditions
marginales d’un optimum.
Au stade où nous en sommes, nous ne pouvons généraliser ce résultat. En effet, pour des courbes d’indifférence
quelconque, l’égalisation des taux marginaux de substitution n’est une condition ni nécessaire, ni suffisante d’un
optimum.
17. N’oublions pas que deux courbes tangentes ont i) un point commun et ii) des pentes identiques. En disant que c est une allocation, on
s’assure du respect de la condition i).
64
CHAPITRE 5. LA THÉORIE DES OPTIMA AU SENS DE PARETO
Exercice 3. Essayer de représenter graphiquement des économies où les préférences sont telles que la condition
d’égalisation des taux marginaux de substitution est prise en défaut.
♣
Nous n’avons pas fini d’exploiter les mérites de cette petite présentation. On remarque que pour trouver le point
c, on savait qu’il n’était pas nécessaire de se préoccuper du niveau d’utilité du second individu. En passant
de a à b, puis de b à c, on a vu le niveau d’utilité du premier individu croître. Passé le point c, il décroissait.
Réfléchissons un instant, lorsqu’une grandeur croît puis décroît, il y a de fortes chances pour qu’elle passe par
un maximum. Finalement, on s’aperçoit que pour obtenir le point c, nous avons maximisé l’utilité du premier
individu en fixant la contrainte suivante : le niveau d’utilité du second individu doit rester égal à 15. Bref, nous
avons fait quelque chose qui ressemble étrangement à une maximisation sous contrainte !
Notre procédure nous a permis de trouver un et un seul optimum au sens de Pareto. Pour trouver les autres
optima, il suffit de faire le même raisonnement en choisissant différents niveaux d’utilité pour le second
individu. En généralisant, on conçoit qu’il suffit de fixer le niveau d’utilité du second individu à un niveau
quelconque u 2 = u 2? et de maximiser l’utilité du premier sous cette contrainte pour trouver une condition
générale d’optimalité18 .
Proposition 6 (conditions marginales). On suppose que les préférences des individus — définies sur R2+ — sont
représentées par des fonctions d’utilité deux fois continûment différentiables
partielles
¡ et telles que les dérivées
¢
par rapport à chacune des variables sont partout strictement positives. Soit (x 11 , x 21 ), (x 12 , x 22 ) une allocation
optimale au sens de Pareto.
Alors elle est solution du programme de maximisation suivant
max u 1 (x 11 , x 21 )
sc : u 2 (x 12 , x 22 ) ≥ u 2?
sc :
2
X
x i h ≤ x¯i
∀i
h=1
sc : x i h ≥ 0
∀i , ∀h
ä
On généralise facilement cette proposition à une économie simple à I biens et H individus.
I
Proposition 7 (généralisation). On suppose que les préférences des individus — définies sur R+
— sont représentées par des fonctions d’utilité deux fois continûment différentiables
et
telles
que
les
dérivées
partielles
par¢
¡
rapport à chacune des variables sont partout strictement positives. Soit (x 11 , x 21 , . . . , x I 1 ), . . . , (x 1H , x 2H , . . . , x I H )
une allocation optimale au sens de Pareto.
Alors elle est solution du programme de maximisation suivant
max u 1 (x 11 , x 21 , . . . , x I 1 )
sc : u h (x 1h , x 2h , . . . , x I h ) ≥ u h?
sc :
H
X
x i h ≤ x¯i
∀h = 2, . . . , H
∀i = 1 . . . , I
h=1
sc : x i h ≥ 0
∀i = 1 . . . , I , ∀h = 1, . . . , H
ä
Examinons les conditions marginales dans le cas simple (la généralisation est immédiate). On écrit le lagrangien
du système
L(. . .) = u 1 (x 11 , x 21 ) + λ1 (u 2 (x 12 , x 22 ) − u 2? ) + λ2 (x̄ 1 − x 11 − x 12 ) + λ3 (x̄ 2 − x 21 − x 22 )
+ λ4 x 11 + λ5 x 21 + λ6 x 12 + λ7 x 22
(5.8)
Toute solution, si elle est optimale, vérifie le système19
18. En effet, la condition qu’on obtient étant valable pour n’importe quel u 2 , elle est bien « générale ».
19. La notation « cs » signifie complementary slackness. On a pour le couple (contrainte, multiplicateur) soit (> 0, = 0) soit (= 0, ≥ 0).
5.3. LES CONDITIONS MARGINALES D’UNE ÉCONOMIE AVEC PRODUCTION
65
∂u 1 ()
− λ2 + λ4 = 0
∂x 11
∂u 2 ()
λ1
− λ2 + λ6 = 0
∂x 12
∂u 1 ()
− λ3 + λ5 = 0
∂x 21
∂u 2 ()
λ1
− λ3 + λ7 = 0
∂x 22
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
u 2 (x 12 , x 22 ) − u 2? ≥ 0
λ1 ≥ 0
avec cs
(5.13)
x̄ 1 − x 11 − x 12 ≥ 0
λ2 ≥ 0
avec cs
(5.14)
x̄ 2 − x 21 − x 22 ≥ 0
λ3 ≥ 0
avec cs
(5.15)
λk ≥ 0 (k = 4, ..., 7)
avec cs
(5.16)
xi h ≥ 0
Si on admet que la solution est intérieure au diagramme emboîté d’Edgeworth (les x i h sont strictement positifs),
que les contraintes sont saturées et que les dérivées partielles des fonctions d’utilité ne sont pas nulles20 , le
système précédent conduit à la condition annoncée à la page 63
¯ ∂u1 () ¯ ¯ ∂u2 () ¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ∂x11 ¯ ¯ ∂x12 ¯
¯ ∂u () ¯ = ¯ ∂u () ¯ .
¯ 1 ¯ ¯ 2 ¯
∂x 21
(5.17)
∂x 22
La généralisation est immédiate21 . Dans une économie sans production à I biens et H agents, la condition
devient
¯ ¯
¯
¯
¯ ∂uh () ¯ ¯ ∂uh 0 () ¯
¯ ∂xi h ¯ ¯ ∂xi h 0 ¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ∂uh () ¯ = ¯ ∂uh 0 () ¯
¯
¯ ∂x ¯ ¯
i 0h
∀i , i 0 , h, h 0 .
(5.18)
∂x i 0 h 0
C’est pourquoi, on peut énoncer :
Proposition 8 (règle pratique). Étant données les hypothèses faites précédemment, si une allocation est optimale
au sens de Pareto alors les taux marginaux de substitution des consommateurs pour chaque couple de biens
s’égalisent
ä
5.3 Les conditions marginales d’une économie avec production
Dans cette section, nous allons introduire la production comme nous l’avons fait dans le cadre de la théorie de
l’équilibre général (voir page 38). Nous utiliserons en particulier la définition de la page 40.
Nous allons supposer qu’il existe des unités de production d’indice j en nombre J ( j = 1, . . . , J ). Comme précédemment, il existe des ressources non produites x̄ i auxquelles désormais s’ajoutent les outputs nets des unités
de production : y i j 22 .
En ce qui concerne les consommateurs, nous allons reprendre les hypothèses faites dans la section précédente
(voir page 63).
Dans ces conditions, la recherche des conditions marginales d’un optimum est faite de la même façon que
précédemment. On maximise l’utilité d’un consommateur (par exemple, le premier) :
– en fixant le niveau d’utilité des autres consommateurs (h = 2, . . . , I ) ;
– en s’assurant que le cumul des dotations individuelles en chaque bien n’excèdent pas les ressources
produites et non produites de ce bien ;
20. Bref, dans les cas non pathologiques !
21. À titre d’exercice, écrivez le programme de maximisation correspondant et les équations que vérifie la solution.
22. Vous noterez le changement de notation par rapport au chapitre 4. En effet, si on note x i j l’output net des entreprises, il est
presqu’impossible de le différencier des dotations des individus x i h . Il est difficile — hors de tout contexte — de savoir si x 54 se rapporte à
un ménage ou à une unité de production. L’utilisation de y lève les ambiguïtés. Mais il faut se souvenir que x 1• désigne le même bien que
y 1• !
66
CHAPITRE 5. LA THÉORIE DES OPTIMA AU SENS DE PARETO
– en veillant à ce que les ressources produites soient techniquement réalisables.
¡
¢
Proposition 9. Si un vecteur (x 11 , . . . , x I 1 ), . . . , (x 1H , . . . , x I H ), (y 11 , . . . , y I 1 ), . . . , (y 1J , . . . , y I J ) est un optimum de
Pareto, alors il est solution du programme
max u 1 (x 11 , x 21 , . . . , x I 1 )
sc : u h (x 1h , x 2h , . . . , x I h ) ≥ u h?
sc :
H
X
x i h ≤ x̄ i +
J
X
∀h = 2, . . . , H
yi j
∀i = 1 . . . , I
j =1
h=1
sc : F j (y 1 j , . . . , y I j ) ≤ 0
∀ j = 1, . . . , J
(
∀i = 1, . . . , I
sc : x i h ≥ 0
ä
∀h = 1, . . . , H
Le lagrangien du système s’écrit
L(. . .) = u 1 (x 11 , . . . , x I 1 ) +
H
X
h=2
λh (u h (x 1h , . . . , x I h ) − u h? ) −
J
X
α j F j (y 1 j , . . . , y I j )
j =1
+
I
X
βi (x̄ i +
i =1
J
X
j =1
yi j −
H
X
h=1
xi h ) +
I X
H
X
γi h x i h
(5.19)
i =1 h=1
Si un vecteur est optimal, alors il vérifie
∂u 1 ()
− βi + γi 1 = 0
∂x i 1
∀i = 1, . . . , I
(
∀i = 1, . . . , I
∂u h ()
− βi + γi h = 0
λh
∂x i h
βi − α j
∂F j ()
∂y i j
∀h = 2, . . . , H
=0
(5.20)
(5.21)
∀ j = 1, . . . , J
(5.22)
u h (x 1h , x I h ) − u h? ≥ 0
λh ≥ 0
∀h = 2, . . . , H
(5.23)
−F j (y 1 j , . . . , y I j ) ≥ 0
αj ≥ 0
∀ j = 1, . . . , J
(
∀i = 1, . . . , I
(5.24)
βi (x¯i +
J
X
j =1
yi j −
H
X
xi h ) ≥ 0
βi ≥ 0
xi h ≥ 0
γi h ≥ 0
∀h = 1, . . . , H
(
∀i = 1, . . . , I
h=1
∀h = 1, . . . , H
(5.25)
(5.26)
Si on admet que les contraintes sont saturées, que les x i h sont strictement positifs (ce qui implique que les
γi h sont nuls) et que les différentes dérivées partielles ne s’annulent pas, alors les conditions marginales d’un
optimum se résument à :
conditions portant sur les ménages Considérons les équations 5.20. En faisant le rapport de deux d’entre
elles, on obtient
∀i , i 0
∂u 1 ()
∂x i 1
∂u 1 ()
∂x i 0 1
=
βi
βi 0
(5.27)
En procédant de la même façon avec les équations 5.21, on obtient
∀i , i
0
∀h = 2, . . . , H
∂u h ()
∂x i 1
∂u h ()
∂x i 0 1
=
βi
βi 0
(5.28)
5.3. LES CONDITIONS MARGINALES D’UNE ÉCONOMIE AVEC PRODUCTION
Puisque le rapport
βi
βi 0
67
est commun au premier individu et aux autres, on en déduit que
∀i , i
0
∀h, h
0
∂u h ()
∂x i h
∂u h ()
∂x i 0 h
=
∂u h 0 ()
∂x i h 0
∂u h ()
∂x i 0 h 0
(5.29)
On peut énoncer :
Proposition 10. Étant données les hypothèses faites précédemment, si une allocation est optimale au sens de
Pareto alors les taux marginaux de substitution des consommateurs pour chaque couple de biens s’égalisent ä
conditions portant sur les unités de production On procède de la même façon avec les équations 5.22. Ce
qui donne
∀i , i 0
Les rapports
βi
βi 0
∀j
∂F j ()
∂y i j
∂F j ()
∂y i 0 j
=
βi
.
βi 0
(5.30)
étant communs aux différentes unités de production, on en déduit que
∀i , i 0
∀j, j0
∂F j ()
∂y i j
∂F j ()
∂y i 0 j
=
∂F j 0 ()
∂y i j 0
∂F j 0 ()
∂y i 0 j 0
.
(5.31)
Le rapport des dérivées partielles des fonctions de production F h () = 0 s’appelle de façon générique l’efficacité
relative des outputs nets utilisés par l’entreprise. Selon que i et i 0 sont des outputs nets positifs (outputs) ou
négatifs (inputs), cette appellation générique est plus spécifique : taux de transformation des produits, taux de
substitution technique etc. (sur ce point, se reporter à l’annexe B). Quoi qu’il en soit, on retiendra la proposition
suivante :
Proposition 11. Étant données les hypothèses faites précédemment, si une allocation est optimale au sens de
Pareto alors l’efficacité relative de chaque couple d’outputs nets s’égalise entre les unités de production.
ä
conditions générales Nous avons vu précédemment que
∀i , i
0
∀i , i
0
∀h
∂u h ()
∂x i 1
∂u h ()
∂x i 0 1
=
βi
βi 0
(5.32)
=
βi
βi 0
(5.33)
et que
Puisque le rapport
βi
βi 0
∀j
∂F j ()
∂y i j
∂F j ()
∂y i 0 j
est commun aux individus et aux unités de production en déduit que
∀i , i
0
∀j,h
∂u h ()
∂x i 1
∂u h ()
∂x i 0 1
=
∂F j ()
∂y i j
∂F j ()
∂y i 0 j
(5.34)
Ce qui nous amène à énoncer la condition générale d’optimalité :
Proposition 12. Étant données les hypothèses faites précédemment, si une allocation est optimale au sens de
Pareto alors le taux marginal de substitution de chaque individu doit s’égaliser à l’efficacité relative de chaque
entreprise pour chaque couple de biens possible.
ä
68
CHAPITRE 5. LA THÉORIE DES OPTIMA AU SENS DE PARETO
Exercice 4. La république socialiste de Yogourtie23 compte deux sovkhozes. Leurs fonctions de production (les
inputs sont comptés positivement) s’écrivent
Entreprise 1
0,6
x 12 + y 12 − L 0,4
1 K1 = 0
Entreprise 2
0,5
2x 22 + y 22 − L 0,5
2 K2 = 0
Les résultats obtenus par les deux sovkhozes se situant nettement en dessous des objectifs du plan, le camarade
expert Bouboutovich est chargé d’organiser au mieux la production de x et de y et d’allouer au mieux le travail L
et le capital K entre ces deux unités de production.
Première partie Établir l’ensemble des conditions de l’efficacité dans la production (on vous demande d’utiliser les résultats obtenus dans le cours)
Deuxième partie : la plus grande production possible On suppose que chaque entreprise utilise 10 unités de
travail et 10 unités de capital. Lorsque Bouboutovitch interroge les camarades responsables de la production, il
apprend que l’entreprise 1 produit x 1 = 0, 6 et y 1 = 3, 105 alors que l’entreprise 2 produit x 2 = 0, 5 et y 2 = 3, 08.
Il pense que — sans toucher à l’allocation des facteurs de production — il serait déjà possible de réorienter la
production de façon à obtenir de meilleurs résultats globaux.
1. Montrer que les choix de production des deux entreprises ne sont pas optimaux.
2. Montrer que — partant de la situation initiale — une amélioration parétienne est possible.
q
q
p
p
3. Bouboutovitch propose la répartition suivante des productions x 1 = 5, y 1 = 5, x 2 = 53 et y 2 = 2 53 .
Est-elle optimale au sens de Pareto ?
4. Représenter cette proposition sur le graphique de la figure 5.9.
Troisième partie : la meilleure répartition des inputs Le camarade Bouboutovitch se demande maintenant
si la répartition des facteurs de production est optimale. Il vient en effet de faire une proposition concernant les
productions des deux sovkhozes (cf. question 3 ci-dessus). Il reste à vérifier que la répartition actuelle des inputs
qui conduit à cette production est la plus efficace.
1. Étant donnée la proposition du camarade expert, la répartition actuelle des facteurs de production est-elle
optimale ?
2. Montrer qu’une amélioration parétienne est possible.
Quatrième partie : optimalité dans la production Le camarade Bouboutovitch travaille toute la nuit et, guidé
par la juste pensée créatrice du camarade Lénine, propose dès le matin le programme suivant :
– travail : L 1 = 10 et L 2 = 10
– capital : K 1 = 12 et K 2 = 8
– production24 de la première entreprise : x 1 = 2, 121 et y 1 = 2, 579
– production de la deuxième entreprise : x 2 =? et y 2 =?
1. Bouboutovitch a laissé en blanc la production que doit mettre en œuvre la deuxième entreprise. Au fait,
quelle est-elle ?
2. Un autre expert aurait-il pu donner une autre solution ?
♣
23. J’ai volontairement situé l’exercice dans une mythique république de l’ex-URSS. La théorie des optima de Pareto ne dit rien des
organisations sociales qui structurent l’économie.
24. Les valeurs indiquées sont arrondies.
5.3. LES CONDITIONS MARGINALES D’UNE ÉCONOMIE AVEC PRODUCTION
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Fig. 5.9 – Frontières des possibilités de production des deux sovkhozes
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