Modèle d`Ising, approximation de Bethe et dualité de Kramers

ESPCI 1ère année, Tutorat de physique statistique
Modèle d’Ising, approximation de Bethe et dualité de Kramers-Wannier
Le modèle d’Ising, imaginé en 1920 par le physicien allemand Wilhelm Lenz (Ernst Ising était son étudiant),
est une modélisation de la transition ferromagnétique-paramagnétique qui se produit à une température dite
de Curie dans des matériaux comme le fer. Nous allons étudier ici ce modèle dans plusieurs cas : tout d’abord
en dimension 1, puis dans une version champ moyen évoluée, et enfin en dimension 2.
Dans le modèle d’Ising, N spins Si = ±1 sont disposés sur un réseau cubique de dimension d. Le
hamiltonien du système s’écrit
X
H=−
Si Sj ,
(1)
hi,ji
où la somme porte sur les plus proches voisins (les sites séparés par une arête).
1
Chaîne d’Ising en dimension 1
La fonction de partition est simple à calculer en dimension d = 1. Il s’agit alors de N spins Si (1 ≤ i ≤ N)
sur une chaîne avec conditions aux limites ouvertes (les spins i = 1 et i = N n’interagissent qu’avec
un seulP
spin). La somme portant sur les premiers voisins, on peut réécrire le hamiltonien sous la forme
H = − N−1
i=1 Si Si+1 .
1. Soit ZN la fonction d’une partition d’une chaîne de N spins. Exprimez ZN+1 en fonction de ZN . Déduisezen ZN par récurrence.
2. L’énergie libre – ou ses dérivées – présentent-elles des singularités à température finie ? Qu’en déduisezvous sur la présence ou l’absence de transition de phase ?
À cause de ce dernier point, Lenz et Ising ont conclu que leur modèle était trivial et non pertinent
dans l’analyse de la transition ferromagnétique. Nous savons aujourd’hui que la présence ou l’absence d’une
transition de phase dépend crucialement de la dimension de l’espace.
2
Calcul équivalent avec des « champs effectifs »
Nous allons retrouver le résultat de la partie précédente d’une manière différente, qui sera utile pour la
suite. On considère un seul spin S dans un champ magnétique h ; le hamiltonien est donné par H = −hS.
3. Calculez la magnétisation m = hSi du spin.
On considère maintenant une chaîne de deux spins, dont seul le premier est soumis à un champ magnétique ; le hamiltonien vaut H = −hS1 − S1 S2 .
1
Figure 1 – Arbre de Bethe en dimension d = 2 où chaque site à c = 2d = 4 voisins (c − 1 à la génération
précédente, 1 à la génération suivante). À droite, sous-arbre où des champs magnétiques sont appliqués aux
spins S1 , S2 et S3 .
4. Calculez la magnétisation du deuxième spin, hS2 i, et montrez qu’elle correspond à celle qu’aurait un spin
unique dans le champ effectif
1
(2)
heff = argth(th(β) th(βh)).
β
Si on construit la chaîne de façon récursive, on aura un champ effectif sur le i + 1-ème spin hi+1 =
β −1 argth(th(β) th(βhi )).
5. Donnez la limite limi→∞ hi . Déduisez-en l’absence de phase ordonnée.
3
Approximation de Bethe
6. Rappelez les résultats de l’approximation de champ moyen (ou de « Curie-Weiss ») vue en cours, en
dimension d quelconque.
Une approximation similaire, donnant pourtant de bien meilleurs résultats est celle de « l’arbre de Bethe ».
Dans le modèle d’Ising sur un réseau cubique en dimension d, chaque site à c = 2d voisins. Nous allons
maintenant représenter un modèle sur un arbre tel que représenté Fig. 1. Un arbre est un réseau sans boucle
dans lequel chaque site est connecté à c = 2d voisins, et qui peut être construit de manière itérative comme
illustré. L’avantage des modèles sur arbres est que l’on peut les résoudre par une méthode itérative similaire
à celle utilisée en dimension d = 1.
On considère la partie de l’arbre constituée des spins S1 , . . . , Sc−1 (génération k), que l’on suppose
soumis à des champs magnétiques h1 , . . . , hc−1 . On les relie au spin S0 ; le hamiltonien de ce petit arbre est
donné par
c−1
c−1
X
X
H=−
h i Si −
S0 Si .
(3)
i=1
i=1
7. Déterminez l’aimantation moyenne S0 et montrez qu’elle est celle d’un seul spin soumis au champ effectif
h0 =
c−1
1X
argth(th(β) th(βhi )).
β
(4)
i=1
Vous pourrez utiliser que
argth
1−x
1+x
1
= − log(x).
2
À défaut de la démontrer, vous pouvez justifier la relation (4).
2
(5)
8. Donnez une équation auto-cohérente pour la valeur du champ effectif vu par un spin pour un arbre infini.
Donnez la condition pour laquelle cette équation admet une solution non-nulle. Conclure quant à l’existence
d’une transition de phase.
9. Donnez la valeur de la température critique en dimensions 1, 2 et 3.
4
Dualité de Kramers-Wannier en dimension 2
En dimension 2, nous allons écrire la fonction de partition de deux manières différentes, ce qui nous
permettra d’obtenir une expression exacte de la température critique. Cet argument a été utilisé par Kramers
et Wannier en 1941.
10. Quelles sont les configurations qui contribuent le plus à la fonction de partition à basse température ?
Quelles sont les premières corrections ? Réécrivez de manière symbolique la fonction de partition à l’aide
d’une somme sur tous les contours fermés du réseau carré.
11. Développez la fonction de partition à haute température avec l’identité
e βSi Sj = ch(β) + Si Sj sh(β).
(6)
Montrez que seuls les termes faisant apparaître chaque site un nombre pair de fois contribuent. Déduisez-en
que la fonction de partition s’écrit là encore comme une somme sur les contours fermés.
12. Montrez qu’il existe trois fonctions f , g et h où g et h sont C ∞ telles que les deux expressions de la
fonction de partition obtenues aux questions précédentes s’écrivent f (g(β)) et f (h(β)) (dans la limite d’un
réseau infini, à une constante près). La fonction f fait intervenir la somme sur les contours. Si la fonction
de partition Z(β) est non analytique en un seul point β ∗ , que vérifie β ∗ ?
Si on veut calculer exactement la fonction de partition, il est malheureusement difficile d’aller plus loin
en dimension finie. En 1949, Lars Onsager a résolu le modèle d’Ising en dimension 2 en champ magnétique
nul et on n’a pas vraiment fait beaucoup mieux depuis. Il existe cependant tout un arsenal de simulations et
de méthodes pour aller plus loin (simulations numériques, méthodes variationnelles, développements haute et
basse températures, renormalisation, théorie conforme, etc.). Comparez par exemple la température critique
obtenue sur l’arbre avec celle exacte obtenue par dualité en 2d et avec βc (d = 3) ' 0.22 obtenue par des
simulations numériques.
3