CALCUL DU FLOT OPTIQUE PAR PROGRAMMATION
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CALCUL DU FLOT OPTIQUE PAR PROGRAMMATION
6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2 CALCUL DU FLOT OPTIQUE PAR PROGRAMMATION DYNAMIQUE : APPLICATION A LA VELOCIME TRIE PAR IMAGE DE PARTICULES G. M. Quenot1 , J. Pakleza1 & T.A. Kowalewski2 1 LIMSI-CNRS, BP 133, F-91403 Orsay Cedex, France 2 Polish Academy of Sciences, IPPT PAN, PL 00-049 Warszawa Resume Une technique de calcul du ot optique basee sur l'utilisation de la programmation dynamique a ete appliquee a la Velocimetrie par Image de Particules conduisant a une amelioration signicative de la precision et de la resolution spatiale du champ de vitesses. La technique est decrite et des resultats sont presentes pour des sequences synthetiques calibrees et pour des sequences reelles issues d'une experience sur la congelation d'un liquide. La precision moyenne est meilleure que 0.5 pixel/image pour des sequences de deux images et meilleure que 0.2 pixel/image pour des sequences de quatre images m^eme avec un niveau de bruit de 10 % et un taux d'apparition et de disparition de particules de 10 %. 1 - Introduction La velocimetrie par Images de Particules (VIP) s'est revelee recemment ^etre une methode tres ecace pour l'analyse des structures d'ecoulement bidimensionnelles dans les uides 1]. Elle permet la mesure directe des vitesses dans une section plane d'un uide, par l'observation du mouvement de particules transportees. Dans sa version numerique, maintenant la plus repandue, des sequences d'images numeriques sont acquises puis analysees, classiquement par des methodes d'inter-correlation 2] 3]. Ces methodes sont assez ecaces mais elles sont neanmoins limitees par trois problemes principaux 4] : L'absence de coherence du champ de vitesses obtenu (les vecteurs vitesses sont recherches independament dans chaque fen^etre de correlation), Le choix le la taille de la fen^etre de correlation (si elle est grande, la resolution spatiale du champ de vitesses est faible si elle est petite, la sensibilite au bruit et a l'ambigute de la texture est elevee), L'utilisation de blocs rigides comme elements de base pour la recherche de la correlation, qui ne convient pas dans les zones a forts gradients de vitesses. L'utilisation d'une technique de calcul du ot optique a ete consideree ici an de resoudre ces problemes. Le calcul du ot optique consiste a extraire un champ de vitesses apparentes a partir d'une sequence d'images en faisant l'hypothese que l'intensite (ou la couleur) est conservee au cours du deplacement. Initialement, cette technique a ete developpee an de poursuivre des objets se deplacant dans des scenes reelles. Elle peut ^etre rapprochee de la technique de velocimetrie par correlation d'images introduite par Tokumaru et Dimotakis 5]. De nombreuses techniques ont ete proposees pour le calcul du ot optique. Dans une presentation et une etude de performances comparees, Barron, Fleet et Beauchemin 6] les classent en quatre categories : dierentielles, basees sur la correlation, basees sur l'energie et basees sur la phase. Elles ne sont pas toutes egalement adaptees pour le probleme de la VIP. Beaucoup d'entre elles necessitent de longues sequences qui ne sont pas faciles a obtenir experimentalement et/ou ne fonctionnent pas bien sur la texture des images de particules (en particulier les methodes multi-resolution). Nous avons retenu une technique de Calcul du Flot Optique basee sur l'utilisation de la programmation dynamique 7]. Comparativement aux autres approches de calcul du ot optique ou a la VIP classique basee sur la correlation, elle presente les avantages suivants : Elle peut fonctionner sur des sequences de longueur quelconque (deux images ou plus), Elle eectue une mise en correspondance globale en propageant des contraintes de continuite et de regularite. Ceci aide a trouver une reponse correcte dans les regions ambigues ou avec une faible densite de particules, La correlation locale est recherchee iterativement sur des regions dont la forme est modiee par le ot et non pas sur des blocs rigides. Ceci ameliore grandement la precision dans les regions a fort gradient de vitesses, Elle fournit un champ dense et continu (un vecteur vitesse pour chaque pixel d'image), F.2.1 6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2 Sonogramme 0 Sonogramme 1 fréquence temps Figure 1: Alignement temporel de sonogrammes La propagation dynamique necessite un ordre sur les elements a aligner, c'est pourquoi il n'est pas possible 2.2 - Alignement des bandes i1 L'alignement des bandes s'eectue par un algorithme derive d'un algorithme de programmation dynamique utilise pour la reconnaissance de mots isoles 8]. Il a ete legerement modie pour permettre le glissement relatif des extremites des bandes. I La methode de calcul du ot optique utilisee ici constitue une amelioration des methodes simple d'intercorrelation. Elle a ete developpee pour resoudre les trois problemes principaux lies a ces methodes evoques ci-dessus. Le principe est, d'une part, d'introduire des contraintes de continuite et de regularite sur le champ de vitesses et, d'autre part, d'utiliser un processus multiresolution 7] (la multi-resolution porte ici sur la taille des zones de recherche pour la correlation et non pas, comme cela se fait classiquement, sur la taille des images qui, elle, reste maximale). Plut^ot que de rechercher localement et independament les correlations sur des fen^etres, on recherche des approximations successives d'un champ de vitesses continu et regulier entre deux images qui minimise globalement la distance de Minkowski L1 ou L2 entre elles. La recherche directe d'un champ bidimmensionnel de vitesses a deux composantes avec propagation de contraintes de continuite et de regularite semble impossible en temps polynomial. Toutefois, il existe une technique permettant un calcul en temps polynomial dans le cas d'un champ monodimensionnel de vitesses a une composante. Celle-ci, connue sous le nom de programmation dynamique, a ete utilisee avec succes en reconnaissance automatique de la parole pour l'alignement temporel de sonogrammes (representation bidimensionnelles temps frequence d'enonces vocaux) 8]. Dans ce contexte, les donnees a aligner sont bidimensionnelles mais l'ensemble des vecteurs d'alignement (equivalents de la vitesse) est monodimensionnel (tous les elements ayant la m^eme coordonnee de temps ont le m^eme vecteur d'alignement) et chaque vecteur a une seule composante (l'alignement se fait suivant l'axe temporel uniquement). Les elements consideres pour l'alignement par la programmation dynamique sont les segments de sonogramme correspondant a une m^eme coordonnee temporelle (Figure 1). ligne d’arrivée bande s de l’image 1 2.1 - Principe ligne de départ 0 2 - Calcul du ot optique de la generaliser au cas de l'alignement avec propagation de contraintes sur deux dimensions (il est par contre possible de la generaliser au cas de l'alignement avec des vecteurs a deux composantes si l'ensemble de ces vecteurs et, par voie de consequence, la propagation des contraintes restent monodimensionnels mais cela ne sera pas utilise ici). La methode proposee ici consiste a rechercher par programmation dynamique la correlation entre des bandes d'images deformables analogues a des sonogrammes au lieu de la rechercher sur des carres rigides. La propagation de contraintes, m^eme si elle est seulement monodimensionnelle, augmente notablement la robustesse (une propagation est eectuee par ailleurs indirectement dans la direction perpendiculaire par l'intermediaire d'un processus de lissage). Le resultat de l'alignement des bandes est utilise pour corriger iterativement le champ des vecteurs vitesse. La continuite et la regularite imposees au niveau de l'alignement des bandes se retrouvent au niveau du champ de vitesses global. m j Elle peut fonctionner sur des images multi-bandes (couleur). i0 j 0 bande s de l’image 0 I Figure 2: Recherche de l'alignement optimal Un alignement se traduit par un \chemin" dans une matrice \produit" des deux bandes (Figure 2). On considere l'ensemble des chemins reguliers et continus joignant une ligne de depart et une ligne d'arrivee dans cette matrice. La continuite se traduit par le fait que chacune des deux coordonnees de deux points consecutifs ne doivent pas dierer de plus de une unite. La regularite se traduit par le fait que chaque coordonnee doit ^etre croissante (mais pas forcement strictement) lorsqu'on suit le chemin de F.2.2 6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2 la ligne de depart vers la ligne d'arrivee. On peut ajouter des contraintes supplementaires comme le fait que le chemin reste a une distance bornee m de la diagonale ou que sa pente soit bornee (en interdisant par exemple deux ou trois deplacements horizontaux ou verticaux consecutifs). L'alignement optimal est deni comme le chemin regulier et continu qui minimise la somme des \disparites locales" sur l'ensemble de ses points (ponderee suivant le poids des segments precedents et suivants, de telle sorte que tous les chemins aient la m^eme \longueur"). Considerons deux images im0(i j ) et im1(i j ) avec 0 i I et 0 j J (ce ne sont pas forcement les images initiales si l'on cherche ici une correction d'un champ de vitesses deja degrossi, les images sont les images intitiales pre-alignees en utilisant ce champ) et deux bandes a aligner denies dans ces images par une position centrale js et une largeur w. La disparite locale se denit par une distance entre segments de bandes : eux s'il n'est pas unique). Le chemin est nalement extrapole par continuite avant la ligne de depart et apres la ligne d'arrivee. Il reste encore a construire la correction du champ de vitesses a partir de l'alignement trouve. Nous avons ici plusieurs options suivant que nous souhaitions obtenir le champ de vitesses relativement a la premiere image (indice 0), a la deuxieme image (indice 1) ou a une image intermediaire (indice ). Dans le premier cas, nous souhaitons obtenir une fonction v0 denie par : i1 = i0 + v0 (i0 ) dans le deuxieme cas, nous souhaitons obtenir une fonction v1 denie par : i0 = i1 ; v1 (i1 ) et dans le troisieme cas (general), nous souhaitons obtenir une fonction v denie par : i0 = i ; v (i ) et i1 = i + (1 ; )v (i ) (en supposant le mouvement de chaque pixel rectiligne et uniforme entre les deux images). Ces fonctions peuvent facilement ^etre calculees par interpolation a partir de l'alignement trouve. Les valeurs des corrections de vitesses peuvent ^etre non entieres. Pour que la construction iterative du champ de vitesses soit consisj =jX s +w=2 p d(i0 i1) = (j ;js ): j im0(i0 j );im1(i1 j ) j tante, il faut que les images im0 et im1 pre-alignees soient construites a partir des images initiales imo0 j =js ;w=2 et imo1 et du champ de vitesses (vx vy ) de la facon la fonction etant une \courbe en cloche" dont le but suivante : est de reduire \l'eet de fen^etre" associe aux bords des im0(i j ) = imo0(i ; v (i j ) j ; v (i j )) x y bandes (par exemple : (p) = 1 + cos(2p=w)). im1(i j ) = imo1(i + (1 ; )vx(i j ) j + (1 ; )vy (i j )) Nous denissons une \disparite cumulee" D(i0 i1) pour les points (i0 i1) situes entre la ligne de depart et (les deux premiers cas se retrouvent simplement en la ligne d'arrivee et a une distance bornee m de la dia- prenant = 0 ou = 1). Les valeurs de , vx (i j ) et gonale par : le minimum, sur tous les chemins continus vy (i j ) ne sont en general pas entieres. Dans ce cas, les et reguliers joignant la ligne de depart au point (i0 i1), valeurs de im0 et im1 sont obtenues par interpolation de la somme ponderee des disparites locales. Gr^ace bilineaire a partir des images imo0 et imo1. a l'expression discrete des proprietes de continuite et de croissance des chemins consideres, le chemin qui 2.3 - Iterations orthogonales minimise la disparite cumulee jusqu'au point (i0 i1) est necessairement le prolongement d'un des chemins L'algorithme est initialise avec un champ de vitesses qui minimise la disparite cumulee jusqu'a l'un des trois nul ou avec une prediction initiale de celui-ci si une point (i0;1 i1), (i0 i1;1) ou (i0;1 i1;1). De plus la telle prediction est disponible (mouvement moyen esdisparite cumulee suit une relation de recurrence. Par time par exemple). Le champ de vitesses est ensuite exemple : D(i0 i1) = ane par des iteration d'alignements correctifs. A 8 D(i0 i1 ; 1) + (d(i0 i1 ; 1) + d(i0 i1))=2 chaque iteration, on commence par calculer les images < min : D(i0 ; 1 i1 ; 1) + d(i0 ; 1 i1 ; 1) + d(i0 i1) pre-alignees im0 et im1 a partir des images initiales imo0 et imo1 et du champ de vitesses (vx vy ) initial D(i0 ; 1 i1) + (d(i0 ; 1 i1) + d(i0 i1))=2 ou estime a partir des iterations precedentes. La fonction D peut alors ^etre calculee par recurrenCeci se fait en choisissant un parametre qui denit ce dans la region ou elle est denie avec les conditions l'indice de l'image dans laquelle on souhaite obtenir aux limites suivantes: le champ de vitesses nal (premiere, seconde ou inD(i0 i1) = 0 si i0 + i1 = m (ligne de depart). termediaire). Il y a, en realite, un champ de vitesses D(i0 i1) = 1 si j i0 ; i1 j> m ou i0 + i1 < m unique mais ce qui est mesure ici est en fait un champ Le minimum de la fonction D sur la ligne d'arrivee de deplacements. Celui-ci est egalement unique mais denie par i0 + i1 = 2I ; m fournit la position de sa representation sous la forme d'un ensemble discret l'extremite n du chemin optimal. On peut alors cons- de valeurs numeriques depend, elle, du fait que chaque truire le chemin optimal complet par retour arriere vecteur est determine par rapport a son point de jusqu'a la ligne de depart en suivant, pour chaque depart, son point d'arrivee ou un point intermediaire. point rencontre, le membre de l'equation de recurrence Le parametre est choisi au depart et doit rester conqui a eectivement minimise celle-ci (ou l'un d'entre stant pendant tout le calcul. F.2.3 6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2 Figure 3: Decoupage des images en bandes Les images pre-alignees sont sensuite decoupees de maniere identique en bandes paralleles et semirecouvrantes (Figure 3) suivant une direction horizontale ou verticale. Chaque bande d'une image est alors alignee de maniere optimale avec la bande correspondante de l'autre image en utilisant la programmation dynamique comme explique dans la section precedente. L'alignement des bandes se fait dans la direction du decoupage choisie. On construit une correction du champ de vitesses pour chaque pixel d'image (intermediaire dans le cas general) de la facon suivante : s'il est situe sur la ligne centrale d'une des bandes, on utilise la la correction v trouvee pour sa position sur cette bande s'il est situe entre deux lignes centrales de bandes voisines, on interpole les valeurs correspondantes s'il est situe a l'exterieur des lignes centrales, on choisit la valeur trouvee pour sa position sur la bande la plus proche. La correction du champ de vitesses est ensuite ajoutee a la composante de ce champ qui est parallele a la direction de decoupage des bandes. La composante corrigee est enn lissee par une convolution avec une courbe en cloche dont la largeur du support est de l'ordre de deux a trois fois la largeur de la bande. Ceci produit implicitement une propagation de contraintes entre les bandes voisines (dans la direction ou elles ne sont pas forcees explicitement par la programmation dynamique) et renforce les proprietes de continuite et de regularite du champ de vitesses. bande 1 bande 2 bande 3 itération 2 itération 3 itération 5 itération 6 itération 7 Bien que les alignements de bandes soient eectues avec une resolution egale a un pixel, l'algorithme, tel que decrit jusqu'ici, produit deja, par eet de moyennage lie a ses procedures de lissage et d'interpolation, un champ de vitesses avec une resolution inferieure au pixel. Une amelioration supplementaire est encore possible en eectuant un alignement des bandes avec une resolution elle-m^eme inferieure au pixel 9]. Ceci s'obtient simplement, sans rien changer a l'algorithme de programmation dynamique, excepte que l'ensemble des points utilises pour les calculs est comprime contre la diagonale (Figure 5, a comparer avec la Figure 2). L'eet principal est que ces points n'ont plus des coordonnees entieres et donc que cela necessite une interpolation au moment du calcul des disparites locales. itération 4 I itération 1 2.4 - Alignement avec une resolution sous-pixel i1 bande 3 ligne d’arrivée bande s de l’image 1 bande 1 bande 2 iteration se fait typiquement avec des bandes larges d'environ une demi-image. On r peduit la largeur des bandes d'une facteur d'environ 2 a chaque double iteration borizontale - verticale jusqu'a une largeur de quelques pixels. La largeur de la fen^etre de recherche m decroit egalement avec la largeur et l'espacement des bandes. Ce processus multi-resolution ore un double avantage : d'une part, il resoud le probleme de la taille de la fen^etre de correlation evoque plus haut (compromis resolution spatiale - sensibilite au bruit et a l'ambigute de la texture), d'autre part, il resoud le probleme du decalage initial entre les bandes dans la direction perpendiculaire au decoupage (en effet : l'alignement se fait uniquement dans le sens du decoupage, un decalage dans la direction perpendiculaire perturbe donc l'alignement gr^ace a la robustesse de la programmation dynamique, ceci n'est pas g^enant si la bande est large par rapport au decalage attendu le processus pyramidal, avec l'alternance des directions d'alignement, permet de rester en permanence dans ce cas). ligne de départ 0 Figure 4: Reduction de la largeur et l'espacement des bandes au cours des iterations orthogonales i0 j Les iterations sont nalement eectuees alternativement avec des decoupages horizontaux et verticaux et en reduisant a chaque etape la largeur et l'espacement des bandes (Figure 4). La correction du champ de deplacements se fait donc alternativement sur les composantes horizontales et verticales et avec une resolution de plus en plus ne. La premiere j 0 bande s de l’image 0 I Figure 5: Alignement avec une resolution sous-pixel F.2.4 6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2 Dans l'algorithme decrit jusqu'ici, l'espacement des bandes, la largeur des bandes et la largeur de p la fen^etre de recherche sont reduits d'un facteur 2 a chaque double iteration tandis que la distance des points a la diagonale reste constante. Une dizaine d'iterations supplementaires sont ensuite ajoutees au cours desquelles l'espacement des bandes, la largeur des bandes et la largeur de la fen^etre de recherche restent cette fois constantes (a leur valeur minimale) tandis que la distancepdes points a la diagonale est reduite d'un facteur 2 a chaque double iteration. Ces iterations sous-pixel augmentent sensiblement la precision du champ de vitesses extrait. 2.5 - Utilisation de sequences de longueur arbitraire La methode peut facilement ^etre etendue pour travailler avec des sequences d'images de longueur arbitraire 9]. Dans ce cas, on fait l'hypothese (ou l'approximation) que le mouvement de chaque point est rectiligne et uniforme. Considerons N images imo(n i j ) avec 0 n < N . On peut construire N images im(n i j ) pre-alignees dans l'image d'indice arbitraire par rapport a un champ de vitesses (vx vy ). En generalisant les formules utilisees plus haut, on obtient : im(n i j ) = imo(n i + (n ; )vx (i j ) j + (n ; )vy (i j )) On cherche alors, de la m^eme facon que precedement, la correction du champ de vitesse qui ameliore au mieux l'alignement de ces images. On utilise pour cela le m^eme algorithme de programmation dynamique pour aligner les bandes de la premiere image avec les bandes de la derniere image mais en requerant, en plus, que les bandes intermediaires soient egalement alignees (Figure 6). bande s de l’image 0 bande s de l’image 1 bande s de l’image 2 Figure 6: Alignement de plus de deux bandes Les disparites locales se calculent en utilisnat les segments de toutes les bandes. Les segments intermediaires ont une coordonnee intermediaire entre celle des deux segments ext^emes qui peut ^etre non entiere. Une interpolation est alors necessaire pour obtenir ces segments (comme dans le cas de la recherche d'alignements avec une resolution souspixel). La disparite locale se calcule de la m^eme facon excepte que la distance pixel a pixel : d(p0 p1 ) =j p0 ; p1 jp est generalisee par une \distance multi-pixel": d(p0 : : : pN;1 ) = ou : X j pn N;2 n=0 +1 ; pn jp d(p0 : : : pN;1 ) = ((0 max p ) ; (0 min p ))p n<N n n<N n Tout le reste de l'algorithme est inchange y compris l'addition d'iterations eectuant un alignement avec une resolution sous-pixel. 2.6 - Extension aux images multi-bandes Comme il est base sur la correlation, l'algorithme peut egalement ^etre utilise pour des images multibandes. Les images multi-bandes sont constituees de plusieurs bandes contenant chacune une image monochrome (une bande rouge, une bande verte et une bande bleue pour les images en couleur par exemple). Les distances pixel a pixel (ou les distance multipixel sont modiees simplement en faisant la somme des distances pixel a pixel (ou multi-pixel) sur toutes les bandes. Tout le reste de l'algorithme est inchange. 3 - Calibration sur des sequences synthetiques La methode presentee ici a ete calibree sur des sequences d'images synthetiques 10]. Ces sequences ont ete generees a partir en appliquant l'eet d'un champ de vitesses connu et suppose representatif (provenant de la simulation numerique de l'ecoulement d'un uide autour de deux cylindre) sur une image constituee d'une texture representative des images de particules. 10 sequences dierentes, constituees chacune de 4 images, ont ete synthetisees correspondant a des conditions contr^olees de bruit et de taux d'apparition et disparition de particules (qui simule les particules entrant ou sortant de la zone eclairee a cause d'un mouvement dans la troisieme dimension). Ces sequences sont disponibles (ainsi qu'un protocole de test) sur le serveur ftp du LIMSI pour permettre des evaluations comparatives a l'adresse : ftp://ftp.limsi.fr/pub/quenot/opflow/testdata/piv. La precision moyenne est meilleure que 0.5 pixel/image en utilisant seulement deux images et meilleure que 0.2 pixel/image en utilisant les quatre images m^eme avec un niveau de bruit (aleatoire additif) de 10 % et un taux d'apparition et de disparition de particules de 10 %. Cette precision moyenne est a comparer avec le deplacement moyen entre deux images consecutives qui est de 7.5 pixel/image. 4 - Resultats sur des sequences reelles Les Figures 7 et 8 montrent les champs de vitesses obtenus en utilisant des sequences de deux ou quatre F.2.5 6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2 images de particules. Ces sequences ont ete prises a l'IPPT-PAN an d'observer les mouvements de convection induits par les dierences de temperature et de densite au cours de la congelation d'un liquide (eau) provoquee par un refroidissement asymetrique. Le volume etudie ici est cubique (38 mm de c^ote) et seul un plan (environ 2 mm d'epaisseur) de celui-ci est eclaire. Le liquide est ensemence avec des particules microscopiques diusant la lumiere an de rendre observable les mouvements du uide. La gure 7 montre que le champ est extrait est effectivement continu, regulier et de haute resolution spatiale. La gure 8 montre l'amelioration signicative apportee par l'utilisation de sequences de plus de deux images. Les vitesses sont representees suivant une echellle non lineaire : les vitesses faibles sont ampliees par rapport aux vitesses importantes de facon a ce que l'on puisse voir plus clairement sur une m^eme gure l'ensemble des mouvements. L'echellle non lineaire est obtenue par une simple transformation en puissance (avec un exposant inferieur a 1) sur le module du vecteur, l'angle de celui-ci restant inchange. Les temps de calcul sont non negligeables : sur des images de 496 496 pixels comme celles utilisees ici, et avec un processeur Pentium II operant sous Linux, ils sont de l'ordre de 10 minutes pour des sequences de deux images et de 100 minutes pour des sequences de quatre images. 5 - Conclusion La technique de calcul du ot optique basee sur l'utilisation de la programmation dynamique a ete appliquee avec succes a la Velocimetrie par Image de Particules conduisant a une amelioration signicative de la precision et de la resolution spatiale du champ de vitesses. Des resultats ont ete obtenus pour des sequences synthetiques calibrees et pour des sequences reelles issues d'une experience sur la congelation d'un liquide. La precision moyenne est meilleure que 0.5 pixel/image pour des sequences de deux images et meilleure que 0.2 pixel/image pour des sequences de quatre images m^eme avec un niveau de bruit de 10 % et un taux d'apparition et de disparition de particules de 10 %. Plusieurs ameliorations sont encore possible, en particulier la generalisation a la VIP en 3D. 3] J. Westerweel, Digital Particle Image Velocimetry - Theory and Application, Delft University Press, 1993. 4] H.T. Huang, H.E. Fiedler and J.J. Wang Limitation and improvement of PIV. Part I: Limitation of conventional techniques due to deformation of particle image patterns. Exp Fluids 15:168-174, 1993 5] P.T. Tokumaru and P.E. Dimotakis, Image correlation velocimetry. Exp. Fluids 19:1-15, 1995. 6] J.L. Barron, D.J. Fleet and S.S. Beauchemin, Performance of Optical Flow Techniques, International Journal of Computer Vision, Vol. 12, No 1, pp. 43-77, 1994. 7] G.M. Quenot The \Orthogonal Algorithm" for Optical Flow Detection using Dynamic Programming, Proc. IEEE ICASSP, Vol III, pp. 249-252, San-Francisco, CA, March 23-26, 1992. 8] H. Sakoe and S. Chiba, Dynamic Programming Optimization for Spoken Word Recognition, IEEE Trans. Acoust., Speech, and Signal Proc, 26:43-56, 1978. 9] G.M. Quenot, Computation of Optical Flow Using Dynamic Programming, IAPR Workshop on Machine Vision Applications, Tokyo, Japan, 1214 nov 1996. 10] G.M. Quenot, Jaroslaw Pakleza and Tomasz A. Kowalewski, Particle Image Velocimetry with Optical Flow, To appear in Experiments in uids. Bibliographie 1] L. Hesselink, Digital Image Processing in Flow Visualization, Ann. Rev. Fluid Mech. 20:421485, 1988. 2] C.E. Willert and M. Gharib, Digital particle image velocimetry. Exp. Fluids 10:181-193, 1991. F.2.6 6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2 Figure 7: Congelation dans une cavite refroidie par le cote gauche. Resultats pour une sequence de 2 images (496 496). Une des images de la sequence (en haut a gauche) Champ de vitesses extrait (sous-echantillonne 12 fois dans les deux directions, echelle non lineaire, en haut a droite) Zooms 4 du champ de vitesses (sousechantillonne 4 fois dans les deux directions, echelles non lineaires, en bas a gauche et a droite). La vitesse maximale correspond a un deplacement d'environ 20 pixels entre les deux images. F.2.7 6eme Congres Francophone de Velocimetrie Laser, Session F, Numero 2 Figure 8: Congelation dans une cavite refroidie par le dessus. Resultats pour une sequence de 4 images (496 496). Une des images de la sequence (en haut a gauche) superposition de 15 images (en haut a droite) Champ de vitesses extrait (sous-echantillonne 12 fois dans les deux directions, echelle non lineaire) a partir de 2 images (en bas a gauche) et a partir de 4 images (en bas a droite). La vitesse au centre de l'image correspond a un deplacement d'environ 20 pixels entre deux images consecutives. F.2.8