Lampe à incandescence et bilans thermiques

Transcription

Concours Centrale – Supelec 2000
Epreuve :
PHYSIQUE
Filière
MP
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Lampe à incandescence et bilans thermiques
Partie I : Lampe à incandescence en régime permanent
I.A- Détermination de la température du filament
I.A.1.
L’expression locale de la loi d’Ohm est : j = σE =
1
E où j est le vecteur densité de courant.
ρ
I .A.2.
•
•
R=ρ
L
.
S
En utilisant le S.I., l’unité de R est : [R ] = Ω.m
m
m2
=Ω
• Application numérique : L = 4 cm
I.A.3.a.
∆L
∆L
= 0,01
= α∆T soit
L
L
I.A.3.b.
 ρ (T0 ) = 7,67.10 −7 Ωm
∆ρ
= 9,76
. On en déduit :
On calcule numériquement : 
−8
ρ (TA )
 ρ (TA ) = 7,125.10 Ωm
I.A.3.c.
On voit que les variations relatives de L et de S sont très petites devant celle de ρ. En conséquence, on pourra négliger les
variations de L et de S avec T, et considérer que la résistance ne varie avec la température qu’essentiellement à travers ρ.
Donc : R(T ) ≈ ρ (T )
aT 2 + bT
L
RA
L
RA
avec
=
, soit : R(T ) =
aTA2 + bTA
S
S ρ (TA )
I.A.4.
U
, puis de chercher la température
I
correspondante à l’aide de l’expression de R(T). On obtient : (les valeurs en italique sont les valeurs manquantes)
1,25
3,07
4,20
5,60
6,86
8,65
U(V)
0,237
0,386
0,460
0,539
0,603
0,685
I(A)
5,27
7,95
9,13
10,4
11,4
12,6
R(Ω)
1416
2525
2960
T(K)
2007
2253
2702
Pour compléter le tableau, il suffit pour chaque couple (U,I) de trouver la valeur de R =
I.B- Bilan énergétique et caractéristique du filament
I.B.1.
I.B.2.
La puissance surfacique rayonnée par la surface d’un corps noir à l’équilibre thermique est : P = σT 4
P s’exprime en W.m-2
T s’exprime en K.
σ est la constante de Stefan et s’exprime en W.m-2.K-4
Stefan : Physicien Autrichien né en 1835 et mort en 1893 à Vienne. Il énonce en 1879 la « loi de Stefan » qui sera interprétée
par Boltzmann en 1884.
I.B.3.
On utilise la loi de Wien : λmTm = cte. On trouve ici à l’aide des données sur le soleil : cte=3000 K.µm.
En notant λ0 la longueur d’onde correspondant au maximum d’émission du filament, on obtient : λ0T0 = 3000 K .µm soit
λ0 = 1,15 µm c’est-à-dire dans l’infrarouge.
I.B.4.
Le verre absorbe toute l’énergie correspondant à la partie du spectre λ>3µm
C:\Mes documents\CORUPS\reçu 2000c\c00p089.doc
1
I.B.5.
4
φ = σT 4
T 
φ
⇒
≥ 10 donne   ≥ 10 soit T ≥ 1,78TV

φ′
φ ′ = σTV4
 TV 
Application numérique : T ≥ 746 K
I.B.6.
•
On multiplie la surface latérale du filament par la puissance surfacique. On obtient la puissance rayonnée par le filament :
Pr = 2πrL σT 4 d’où : T = 4
•
Pr
2πrLσ
On voit que à T et r constants, pour augmenter Pr il faut augmenter L.
I.B.7.
Puisqu’il n’y a pas de phénomène de convection, la puissance électrique consommée par l’ampoule doit intégralement se
retrouver sous forme de rayonnement, autrement dit : UI = Pr = 2πrLσT 4
Donc en traçant ln(UI ) en fonction de ln(T ) on doit obtenir une droite dont la pente sera l’exposant de la loi de Stefan.
C’est ce que l’on vérifie en utilisant les données du tableau I :
U(V)
I(A)
T(K)
ln(UI)
ln(T)
1,25
0,237
1416
-1,22
7,26
3,07
0,386
2007
0,17
7,60
4,2
0,46
2253
0,66
7,72
5,6
0,539
2525
1,10
7,83
6,86
0,603
2702
1,42
7,90
8,65
0,685
2960
1,78
7,99
Ln(UI)=f(ln(T))
On trouve bien une droite de pente 4.
2,00
ln(UI)
1,00
0,00
-1,007,20
7,40
7,60
7,80
8,00
8,20
-2,00
ln(T)
I.B.8.
U
I
T
U*I/T^4
On a
UI
4
1,25
0,237
1416
7,37E-14
3,07
0,386
2007
7,30E-14
4,2
0,46
2253
7,50E-14
5,6
0,539
2525
7,43E-14
6,86
0,603
2702
7,76E-14
8,65
0,685
2960
7,72E-14
= 2πrLσ = 7,51.10-14 , d’où σ = 9,96.10−9Wm −2 K −4 . On prendra σ1=10-8 W.m-2K-4.
T
Comparé à la valeur tabulée, on en conclu que le filament rayonne moins d’énergie qu’un corps noir à la même température :
il se comporte comme un corps gris, c’est à dire un corps qui rayonne simplement une fraction de ce que rayonne un corps
noir à la même température.
I.B.9.
1/ 4

 UI 
T = 

 2πrLσ 

1

UI = Pr = 2πrLσ 1T 4 = R(T ) I 2 , d’où : 
UI U
L
L
= R(T ) = ρ 2 = aT 2 + bT
 2 =
I
πr
πr 2
I
Il suffit de remplacer T dans la deuxième expression par sa valeur en fonction de UI (1ère expression) pour obtenir la relation
(
)
2
de l’énoncé :
U
= α (UI )p + β (UI )q
I
1/ 2

L  1 
1




=
α
a
 p = 2

πr 2  2πrLσ 1 
avec : 
et 
1/ 4

q = 1
L  1 


b
=
β


4
πr 2  2πrLσ 1 

I.B.10.
On a donc : Pe = UI d’où R =
Par ailleurs, Pe = RI 2 d’où I =
U
= αPe p + βPe q
I
Pe
Pe
. En définitive : I =
p
αPe + βPeq
R
On dresse le tableau suivant :
U (V)
1,25
I (expérimental) (A)
0,237
U*I (W)
2,96E-01
I (théorique) (A)
2,37E-01
3,07
0,386
1,19E+00
3,88E-01
4,2
0,46
1,93E+00
4,60E-01
5,6
0,539
3,02E+00
5,38E-01
6,86
0,603
4,14E+00
6,00E-01
8,65
0,685
5,93E+00
6,80E-01
I
I=f(Pe)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,00E+00 2,00E+00 4,00E+00 6,00E+00 8,00E+00
Pe
Les points expérimentaux sont exactement sur la courbe théorique.
I.C- Evolution de la température au voisinage des points de fixation
1.C.1.
Fuite latérale
La tige métallique a une très bonne conductivité
thermique de sorte que l’énergie thermique s’y répartit
très rapidement et donc que la température y est
pratiquement uniforme. (En vérité le bon paramètre pour
cette approche qualitative serait plutôt la diffusivité
thermique)
Energie apportée par
effet Joule
j(x+dx)
j(x)
I.C.2.
Ecrivons qu’en régime stationnaire, l’énergie
apportée au tronçon de filament de longueur dx est
égale à l’énergie partie de ce même tronçon :
πr 2 j ( x ) + ρ
dx 2
I = πr 2 j ( x + dx ) + 2πrdxσ 1T 4
πr 2
dx
soit : −
ρ
2
dj
dx = σ 1T 4 dx −
dx
r
πr 2
( )
En tenant compte de la loi phénoménologique de Fourier ( j ( x) = −λ
+λ
d 2T
dx 2
=
2
I 2 dx
∂T
), et en simplifiant par dx, on obtient :
∂x
ρ
2
σ 1T 4 −
r
πr 2
( )
2
I2
I.C.3
La température T0 est la température atteinte lorsque T ne dépend plus de x, de sorte que l’on a :
2
ρ
σ 1T04 =
r
πr 2
( )
2
I 2 . En
3
remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient la formulation demandée :
2
2
d 2T 2σ T 3 T 4 − T04
d 2T 2
=0
+ λ 2 = σ 1T 4 − σT04 = σ 1 T 4 − T04 soit + 2 − 1 0
rλ
r
r
r
dx
T03
dx
(
On a bien l’équation : +
d 2T
dx
2
−
(T
4
− T04
δ 2T03
)= 0
avec δ =
(
)
)
rλ
2σ 1T03
Application numérique : δ=2,8.10-3 m
I.C.4.
•
Multiplions l’équation précédente par
(
)
d 2T dT
T 4 − T04 dT
=
2
δ 2T03 dx
dx dx
dT
:
dx
2
1 d  dT  
1 d 1 5


T − T04T 
 = 2 3
2 dx  dx   δ T0 dx  5

T = T0

, on obtient :
On peut intégrer entre x=0 où T = TV et x=d où  dT 
=0
 dx 
 x=d

Qui s’écrit encore :
2
1  dT 
1  1 5

5 1 5
4
=
− 

 T0 − T0  −  TV − T0 TV 
2  dx  x = 0 δ 2T03  5
5

 
Dans le membre de droite, on peut négliger la parenthèse de droite devant celle de gauche ( T0>>TV), ce qui donne :
2
2
−
8T 2
1  dT 
1 4
 dT 
= − 2 3 T05 soit : 
= 02



2  dx  x = 0
δ T0 5
 dx  x = 0 5δ
2 2
T
 dT 
= γ 0 avec γ =
On trouve le résultat demandé : 

δ
5
dx

 x =0
•
•
 dT 
Application numérique : 
= 1,17.106 Km −1 et δ = 1,26

dx

x=0
Sur la figure ci contre, on a représenté l’allure de l’évolution
de la température avec x. On voit que la tangente à l’origine T
T0
de la courbe l’asymptote en un point dont l’abscisse donne
une bonne idée de la distance caractéristique d sur laquelle le
filament monte en température.
 dT 
L’équation de la tangente est : T = TV + x

 dx  x = 0
En écrivant que cette droite coupe l’asymptote en x=d, on
δ
T −T
TV
obtient : d ≈ 0 V δ ≈
γT0
γ
Application numérique : d ≈ 2 mm
d
x
I.C.5.
Le transfert thermique se fait au niveau de la section du filament, en x=0, d’où Pther = πr 2λ
On a déjà explicité la puissance rayonnée : Pr =
filament)
2πrL σ 1T04
dT
dx
= πr 2λγ
x =0
T0
δ
(en vérité un peu moins à cause de la diminution de T en bout de
T
πr 2λγ 0
2
Pther
δ avec 1 = 2δ
D’où :
=
rλ
Pr
σ 1T03
2πrLσ 1T04
Il reste :
δ
Pther
=γ
Pr
L
4
Application numérique :
Pther
= 0,09 soit tout de même presque 10% !
Pr
I.C.6.
Si on augmente la puissance à température et rayon de filament constants, on augmente L en laissant δ constant, donc le
rapport Pther/Pr diminue.
Partie II : Lampe à incandescence en régime sinusoïdal forcé basse fréquence
II.A- Etude théorique de l’évolution périodique de la température
II.A.1.a.
A pression constante, pour une variation dT de la température du filament, on a dH = mc p dT
II.A.1.b.
•
On raisonne pendant dt et on écrit que l’énergie reçue durant cette durée sert d’une part à augmenter l’enthalpie du
filament, d’autre part est rayonnée. Il vient donc : Pe (t )dt = dH + 2πrLσ 1T (t ) 4 dt
on obtient en divisant par dt : Pe (t ) = mc p
•
Sachant que Pe (t ) =
dT
+ 2πrLσ 1T (t ) 4
dt
dθ
u 2 (t )
ua (t ) 2
4
= mc p
+ 2πrLσ 1 (T0 + θ (t ) )
, et que T (t ) = T0 + θ (t ) a
dt
R0
R0
II.A.2.
Puisque T (t ) = T0 + θ (t ) = T0 + θ (t ) = T0 , on a clairement θ (t ) = 0
Prenons la valeur moyenne temporelle sur une période τ de l’équation différentielle précédente.
Comme (T0 + θ ) =
4

T04 1 +

4
θ 
 ≈ T04 + 4T03θ , on va avoir :
T0 
2
u aRMS
= 2πrLσ 1T04 soit : T0 =
R0
4
2
u aRMS
R0
2πrLσ 1
(T0 + θ )4
≈ T04 + 4T03θ = T04 d’où :
expression comparable à celle obtenue en I.B.6.
II.A.3.a.
Pe (t ) =
ua2 (t )
R0
ω 
2U a2 cos 2  t 
2 
=
R0
II.A.3.b.
II.A.3.c.
ω 
La fonction t 6 Pe (t ) a la même pulsation que la fonction t 6 cos 2  t  , c’est-à-dire ω. Comme c’est également la
2 
grandeur physique qui excite les oscillations thermiques du filament, il est normal que la réponse du filament soit de pulsation
ω.
En se souvenant que cos 2 x =
1 + cos 2 x
, on peut réécrire l’équation différentielle du II.A.1.b. en tenant compte de
2
l’expression de ua2 (t ) :
dθ
ua2 (t )
4
= mc p
+ 2πrLσ 1 (T0 + θ (t ) ) devient :
dt
R0
U a2
[1 + cos(ωt )] = mc p dθ + 2πrLσ 1 (T0 + θ (t ))4 ≈ mc p dθ + 2πrLσ 1T04 + 4 ⋅ 2πrLσ 1T03θ
dt
dt
R0
qui se simplifie en :
dθ
U a2
U a2
+ 8πrLσ 1T03θ puisque
= 2πrLσ 1T04
cos(ωt ) ≈ mc p
dt
R0
R0
On peut dès lors passer en notation complexe :
U a2 iωt
e = mc p (iω )θ eiωt + 8πrLσ 1T03θ eiωt
R0
5
U a2
θ0
R0
qui se met sous la forme de l’énoncé : θ =
Soit : θ =
3
ω
imc pω + 8πrLσ 1T0
1+ i
ωC
θ0 =
avec :
1
8πrLσ 1T03
U a2 T0
=
4
R0
ωC =
et
8πrLσ 1T03
mc p
Remarque : il est intéressant à ce niveau de vérifier l’unité de ωC. En S.I., on obtient : [ω C ] =
II.A.3.d.
•
•
m 2 Js −1m −2 K −4 K 3
kgJK −1kg −1
= s −1
On voit que le filtre est un filtre passe-bas : si les oscillations excitatrices sont très rapides, elles n’ont pas te temps de se
répercuter en oscillations de la température, et la température du filament devient quasiment constante.
En faisant intervenir la masse volumique µ du tungstène, on obtient : ω C =
8σ 1T03
µrc p
On constate effectivement que ωC est indépendante de la longueur du filament.
•
T
On a θ m = θ 0 et l’inéquation θ m < 0 donne :
10
T0
4
1+ i
ω
ωC
<
T0
, soit :
10
1
 ω
1 + 
 ωC




2
<
21
2
ω C ≈ 2,3ω C
et ω >
2
5
II.A.3.e.
Application numérique : ν C = 2,45 Hz (attention à l’unité de cp ! )
II.B- Modulation de l’intensité lumineuse par largeur d’impulsion
II.B.1.
On a vu que au II.A.2. que l’intensité lumineuse rayonnée était directement reliée à la valeur efficace de ua (t ) , c’est à dire à
la moyenne temporelle de ua2 (t ) . La valeur de α va conditionner cette moyenne temporelle, donc la valeur de l’intensité lumineuse
émise.
II.B.2.
+
a0 = ua (t ) =
1
τ
τ
2
+α
1
τ
2
2ατ
, soit :
2
1
∫ u (t )dt = τ ∫Udt = τ U
a
τ
−
2
τ
−α
2
a0 = αU
Puisque la fonction dont on cherche la décomposition est paire, la partie impaire de son développement doit être nulle :
∀n ∈ N , bn = 0
+
2
Pour n>0, an =
τ
τ
2
+α
2
ua (t ) cos( nωt )dt =
τ
τ
∫
−
2
Soit avec ωτ = 2π :
an =
τ
2
ατ
+
2
1
[sin (nωt )] ατ2 = 4U sin  nαω τ 
U cos(nωt )dt = U
−
τ nω
2
nωτ

τ
2
∫
−α
2
2U
sin (nαπ )
nπ
Spectre en fréquence : on porte cn = an2 + bn2 = an en fonction de n. Pour α =
n
cn /U
0
0,33
1
0,55
2
0,28
3
0,00
4
0,14
5
0,11
6
0,00
1
, on obtient le tableau suivant :
3
7
8
9
0,08
0,07
0,00
10
0,06
6
Spectre en fréquence
0,6
Amplitude
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Harmoniques
On remarquera que les harmoniques multiple de 3 sont nulles.
II.B.3.
D’après la définition de ua, on va avoir : Pe (t ) =
ua2 (t )
R0
U 2
ατ
pour t <

R
2
= 0
.
ατ
τ

0 pour 2 < t ≤ 2
La décomposition de Pe (t ) est donc identique à celle de ua (t ) : il suffit de remplacer U par
On obtient ainsi : P0 =
αU 2
R0
et Pn =
U2
R0
2 U2
sin (nαπ ) = 2 P0sinc(nπα )
nπ R0
II.B.4.
Reprenons l’équation différentielle obtenue en II.A.3.c.
dθ
ua2 (t )
4
= mc p
+ 2πrLσ 1 (T0 + θ (t ) )
dt
R0
qui devient :
Pe (t ) = mc p
dθ
dθ
4
+ 2πrLσ 1 (T0 + θ (t ) ) ≈ mc p
+ 2πrLσ 1T04 + 4 ⋅ 2πrLσ 1T03θ
dt
dt
puis :
P0 +
+∞
∑ P cos(nωt ) ≈ mc
n
n =1
p
dθ
+ 2πrLσ 1T04 + 4 ⋅ 2πrLσ 1T03θ
dt
qui se simplifie en :
+∞
∑ P cos(nωt ) ≈ mc
n
p
n =1
dθ
+ 8πrLσ 1T03θ puisque P0 = 2πrLσ 1T04
dt
On peut dès lors passer en notation complexe :
+∞
∑P e
n
inωt
= mc p
n =1
+∞
∑ (inω )θ
n =1
− iqωt
En multipliant chacun des deux membres par e
∀n ≥ 1,
ne
inωt
+ 8πrLσ 1T03
+∞
∑θ
ne
inωt
n =1
et en prenant la moyenne temporelle, il est facile d’en déduire :
Pn = mcP inωθ n + 8πrLσ 1T03θ n
Pn
2
2 sin (nπα )
Pn
8πrLσ 1T03
=
en se rappelant que : Pn =
2πrLσ 1T04
soit : θ n =
P0 sin (nαπ ) =
3
ω
nπα
nπα
mcP inω + 8πrLσ 1T0
1 + in
ωC
et en définitive : θ n =
1
T0 sin (nπα )
2 nπα 1 + ω
in
ωC
7
Dans le cas où ω >> ω C , l’expression précédente se simplifie en : θ n =
T0 sin (nπα ) ω C
2 nπα inω
II.B.5.
En ce qui concerne la fonction θ (t ) , l’égalité de Parseval (démontrée en annexe) s’écrit :
2
θ RMS
= θ2 =
D’où : θ RMS =
+∞
1 T0
2 2
∑
1
2
+∞
∑c
2
n
avec cn2 = θ n
n =1
sinc 2 (nπα )
2
et donc δ 0 =
 nω 

1 + 

 ωC 
Dans le cas où ω >> ω C , les expressions précédentes se simplifient en :
θ RMS =
n =1
+∞
1 T0 ω C
2 2 ω
∑
sinc 2 (nπα )
n2
n =1
2
et δ 0 =
+∞
1
∑
2 2
1 ωC
2 2 ω
n =1
+∞
∑
n =1
sinc 2 (nπα )
 nω 

1 + 

 ωC 
2
sinc 2 (nπα )
n2
Cette dernière expression montre que lim δ 0 = 0 . Autrement dit, on peut moduler l’intensité lumineuse ( à l’aide de α) sans
τ →0
que l’on observe des oscillations temporelles, à condition d’utiliser une fréquence suffisante.
II.- Vérification expérimentale
II.C.1.a.
Le plan sensible de la photodiode doit être placé normalement à la direction de propagation de l’énergie lumineuse.
II.C.1.b.
La puissance électrique absorbée par l’ampoule est intégralement rayonnée par le filament. A une distance D, cette puissance
se trouve répartie sur une sphère de surface 4πD2.
S
La puissance qui arrive au niveau de la photodiode de surface S est donc : Pi = Pe
4πD 2
II.C.1.c.
La puissance Pi qui arrive sur la photodiode est répartie sur tout le spectre électromagnétique selon la formule de Planck. Si
toute la puissance incidente était absorbée par le capteur, on retrouverait la loi de Stefan et on aurait us proportionnelle à T4.
Or seule la partie comprise entre 0,45µm et 1,1 µm est absorbée par la photodiode. On perd donc la dépendance en T4.
λ2
dPi
∫ dλ (T , λ )dλ qui selon l’énoncé doit être proportionnel à T
us doit dans ces conditions être proportionnelle à
7,5
.
λ1
II.C.1.d.
On peut tout d’abord remarquer que :
• us est de fréquence double de ua
• us est déphasée par rapport à ua
On sait que la réponse du capteur est us (t ) = KT 7,5 avec T (t ) = T0 + θ (t ) . Sachant que l’on a encore θ (t ) << T0 , on obtient
en développant : us (t ) = KT07,5 + 7,5 KT06,5θ (t )
On
voit
donc
K=
que
u s ~ eff = 7,5KT06,5θ eff = 7,5
On obtient ainsi : θ eff =
us
T07,5
us
T07,5
,
puis
T06,5θ eff = 7,5
us
T0
en
notant
u s ~ (t )
la
composante
alternative
de
θ eff
2 u s ~ eff
1 u s ~ eff
T0
T0 d’où on tire : θ m = 2θ eff =
7,5 u s
7,5 u s
Application numérique : θ m = 0,022T0 = 58 K
Les résultats du II.A.3. donnaient : θ m =
1
4
1
 ω
1 + 
 ωC




2
T0 soit en prenant
ω
20
=
= 8,16
ω C 2,45
: θ m = 0,03T0 = 79 K .
8
us :
II.C.2.
On a vu que u s ~ eff = 7,5 KT06,5θ eff =
7,5
2
KT06,5θ m =
7,5
2
KT06,5
1
4
Expression qui se simplifie dans la mesure où ω>>ωC : u s ~ eff ≈
1
 ω
1 + 
 ωC
7,5
4 2




KT07,5
2
T0
ωC
ν
7,5
8σ T 3
=
KT07,5 C avec ω C = 1 0
ω
ν
µrc p
4 2
T010,5
et donc : ln us ~ eff = ln(cte) + 10,5 ln(T0 ) − ln( f )
f
On vérifie expérimentalement la pente –1 de la courbe ln us ~ eff en fonction de ln( f )
(
En définitive : u s ~ eff = cte
)
(
II.C.3.
(
On voit sur l’expression de ln us ~ eff
)
)
en fonction de ln( f ) que l’ordonnée à l’origine de ces droites est reliée à la
température du filament.
A l’aide de l’expression trouvée, on obtient le décalage des ordonnées à l’origine pour les deux tensions :
 T0 
∆ ln u seff 0 = 10,5 ln 1 
 T0 
 2
( ( ))
Partie III : Détermination expérimentale du rapport hc/kB
Association photodiode-filtre interférentiel
III.A.
L’onde n°2 traverse une épaisseur 2e supplémentaire d’un milieu d’indice n. On a donc ψ =
2π
2ne
λ
III.B.
On va avoir interférences constructives lorsque ψ = m 2π , soit encore λ =
2ne
m
III.C.
2ne
m
Par ailleurs, la photodiode n’absorbe que les longueurs d’onde comprises entre 450 et 1100 nm
On cherche donc une épaisseur e telle que :
Les longueurs d’onde qui passent à travers le filtre sont données par : λm =
♥
λ0 = 510 nm soit une longueur d’onde passant à travers le filtre (il existe m0 tel que λm0 =
2ne
)
m0
♥ ∀ m ≠ m0 , λm ne soit pas dans l’intervalle [450 nm ; 1100 nm]
Il est facile de vérifier que le couple m0=1 et e=163 nm réalise cette double condition, et que c’est le seul.
III.D.
Ecrivons us à l’aide de la formule de Planck
us = K ′
On est dans un domaine de température tel que e
u s = K ′′′e
On trace donc ln(us) en fonction de
2πhc 2
dϕ e
∆λ = K ′′ 5
dλ
λ
hc
k B λT
1
e
hc
k B λT
−1
>> 1 , donc on peut simplifier l’écriture précédente sous la forme :
hc
−
k B λT
1
T
soit ln(u s ) = cte −
2,50
n(us)
2,00
1,50
1,00
hc 1
kB T
9
us
ln(us)
T
1/T*104
7,21 5,53
3,4 2,68
1,6
1,98 1,71 1,22 0,99 0,47
2510 2450 2348 2303 2210
3,984 4,082 4,259 4,342 4,525
Une régression linéaire donne une pente de 2,78.104
hc
= 2,78.10 4 K , d’où on tire :
Soit
kBλ
hc
= 1,44(6).10 − 2 Km
kB
en accord avec la valeur théorique.

••• FIN •••
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Annexe : égalité de Parseval
Soit f une fonction à valeurs dans C périodique de période T1, on sait que :
f (t ) =
a0
+
2
+∞
∑ [a
n
cos( nω1t ) + bn sin( nω 1t )]
n =1
ou bien encore en utilisant la notation complexe (ici différente de celle utilisée dans l’énoncé) :
f (t ) =
+∞
∑
C n e inω1t
où on a
Cn =
n = −∞
Remarques:
1
T1
t 0 +T1
∫ f (t )e
−inω1t
dt
t0
c La formule donnant C n est également valable pour C 0=a0/2
d On passe facilement de la notation complexe à la notation réelle en remarquant que :
a n − ibn

C n =
2

a
C = n + ibn
 − n
2
e
Si f(t) est à valeurs réelles, alors
a n = ( C n + C − n )

bn = i (C n − C − n )
soit
C −n =
1
T1
t0 +T1
∫ f (t )e
+ inω1t
dt = C n , de sorte que an et bn sont donnés par :
t0
a n = 2 Re(C n )

bn = −2 Im(C n )
f Si f(t) est à valeur réelle, l'amplitude de l'harmonique de rang n est : cn = 2 Cn
Considérons maintenant un phénomène physique périodique décrit par f(t). L’énergie moyenne associée à ce phénomène fait
1
intervenir le carré de f. L’énergie moyenne sur une période est donc proportionnelle à :
f 2 (t )dt .
T1
∫
T1
L’égalité de Parseval exprime que cette énergie est répartie sur toutes les harmoniques du phénomène :
10
1
T1
∫
T1
2
1

 +
2

a
f 2 (t )dt =  0
 2
+∞
∑c
2
n
n =0
où cn est l’amplitude de l’harmonique de rang n : cn = an2 + bn2
Montrons cette propriété en évaluant dans le cas général où f est à valeurs dans C l’intégrale:
Comme f (t ) =
+∞
∑
C n e inω1t , on obtient :
n = −∞
1
T1
∫
f (t ) f (t )dt =
T1
1
T1
 +∞

1

C n einω1t  f (t )dt =


T1

T1  n = −∞
∫ ∑
+∞
=
1
∑ C T ∫ f (t )e
n
− inω1t
∫ f (t ) f (t )dt
T1
+∞
∑ C ∫ f (t )e
n
n = −∞
∑C
inω1t
+∞
n Cn
n = −∞
dt
T1
+∞
dt =
1T
1
n = −∞
1
T1
=
∑C
2
n
n = −∞
Si f est à valeurs dans R, alors C n = C − n et on obtient l’égalité de Parseval en rassemblant la sommation sur les indices négatifs et
celle sur les indices positifs :
1
T1
∫
f (t ) f (t )dt = C 0
2
−1
∑C
+
2
n
+
n = −∞
T1
= C0
2
+2
+∞
∑
n = +1
Cn
2
a
=  0
 2
+∞
∑C
2
n
n = +1
2
+∞
1

c n2
 +
2

n = +1
∑
Remarque: l’égalité de Parseval est plus belle en utilisant la forme complexe de la décomposition :
1
T1
∫
f (t ) f (t )dt =
T1
+∞
∑C
2
n
n = −∞
11

Lampe à incandescence et bilans thermiques

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