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Modélisation et prévision Séries chronologiques - Séance 5
Modélisation et prévision Cours SG042 Modélisation et prévision Séries chronologiques - Séance 5 Modélisation avec variable exogène: modèle à fonction de transfert F. Sur - ENSMN F. Sur - ENSMN Modèles à fonction de transfert 1 Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse 2 Conclusion Exemple Frédéric Sur École des Mines de Nancy 1/22 Modèles à fonction de transfert Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse 3 Conclusion 4 Exemple www.loria.fr/∼sur/enseignement/modprev/ Conclusion Exemple 2/22 Exemples modèles proie-prédateur : nombre de proies lié au nombre de prédateurs, avec effet retard pour les naissances, construction de logements neufs en fonction de prêts immobiliers accordés, dépendance avec les valeurs sur différents retards, Modélisation et prévision Exemple de la chronique CO2 (cf poly) Modélisation et prévision F. Sur - ENSMN F. Sur - ENSMN Modèles à fonction de transfert Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Exemples Définition Identification du modèle Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Conclusion Exemple Exemple émission de CO2 d’une chaudière fonction du débit de gaz (cf poly). etc. 3/22 Modélisation et prévision Séance 5 4/22 Exemple de la chronique CO2 (cf poly) Modélisation et prévision Modèles à variable exogène F. Sur - ENSMN Xt : débit de gaz en entrée d’une chaudière Yt : émission de CO2 F. Sur - ENSMN Modèle à fonction de transfert : Modèles à fonction de transfert (cf ARIMAX : ARIMA with exogeneous factors) Exemples Définition Yt = µ + β0 Xt + β1 Xt−1 + · · · + βk Xt−k + ut Identification du modèle Modèle identifié : Yt = 53.26 − 0.535 + 0.376B + 0.518B 2 Xt−3 1 − 0.548B 1 + εt 1 − 1.532B + 0.632B 2 Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse avec : (Yt ) est la chronique à modéliser Conclusion (Xt ) est la chronique explicative Exemple Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Exemple (ut ) est la chronique des erreurs (ARMA) → les chroniques sont supposées stationnaires. Intérêt double : −→ modélisation −→ prévision. → éventuellement : βi = 0 pour i < b (b est le retard), et k = +∞ (cf AR. . .) 5/22 6/22 Écriture avec l’opérateur de décalage Modèle à fonction de transfert : Ω(B) Θ(B) Yt = µ + Xt−b + εt ∆(B) Φ(B) Modélisation et prévision Séance 5 F. Sur - ENSMN b > 0 le retard Ω(B) = ω0 − ω1 B − · · · − ωs B s ∆(B) = 1 − δ1 B − · · · − δr B r Θ(B) = 1 − θ1 B − · · · − θq B q Modèles à fonction de transfert 1 Exemples Définition Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse 2 Conclusion Exemple Φ(B) = 1 − φ1 B − · · · − φp B p et (εt ) bruit blanc (gaussien). Définition : Ω(B) ∆(B) Modélisation et prévision F. Sur - ENSMN Identification du modèle avec : Rappel : µ + est la représentation ARMA d’un processus stationnaire linéaire gaussien. 8/22 Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse 3 Conclusion 4 Exemple est appelé fonction de transfert. Θ(B) Φ(B) εt 7/22 Modélisation et prévision Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Exemple Stationnarisation Modélisation et prévision Blanchiment de la chronique explicative F. Sur - ENSMN Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Dans le modèle, Xt et Yt doivent être stationnaires. . . −→ il faut éventuellement dériver au préalable Xt et Yt (de la même manière) pour que le résultat soit stationnaire. Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Modélisation et prévision F. Sur - ENSMN Xt : chronique explicative Pré-blanchiment (pré-filtrage) (Xt ) est un processus stationnaire ( donc ARMA). → il existe des polynômes Φ1 et Θ1 t.q. : Θ1 (B) χt Φ1 (B) Xt = Conclusion Exemple Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Exemple où χt est un bruit blanc (gaussien). On écrit χt = → le filtre 9/22 Φ1 (B) Θ1 (B) a Φ1 (B) Xt Θ1 (B) blanchi la chronique Xt . 10/22 Blanchiment de la chronique explicative Modélisation et prévision Le corrélogramme croisé F. Sur - ENSMN F. Sur - ENSMN Modèles à fonction de transfert Ω(B) Θ(B) Yt = (µ + ) Xt−b + εt ∆(B) Φ(B) On applique Φ1 (B) Θ1 (B) à Yt : Φ1 (B) Ω(B) Υt = Yt = χt−b + εet Θ1 (B) ∆(B) Ω(B) Υt = χt−b + εet ∆(B) Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Comment identifier Ω et ∆ ? (ou la fonction de transfert Ω/∆) Outil : le corrélogramme croisé Exemple 11/22 Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Exemple Cov(χt , Υt+h ) ρ(h) = p Var(χt ) · Var(Υt ) (les polynômes symboliques commutent) avec εet stationnaire (pas un bruit blanc comme εt ), indépendant de χt . Modélisation et prévision (ne dépend pas de t, cf slide suivant) Remarque : ρ(h) est défini pour h ∈ Z (a priori, ρ(h) 6= ρ(−h)) 12/22 Identification de la fonction de transfert Υt = Ω(B) χt−b + εet ∆(B) Inversion de ∆ : Υt = où (χt ) b.b. et X h>0 νh χt−h + εet (e εt ) stationnaire (si h < b, νh = 0) Proposition (intérêt du corrélogramme croisé) σχ ∀h > 0, ρ(h) = νh σΥ et ∀h < 0, ρ(h) = 0 Modélisation et prévision Exemple de corrélogramme croisé Modélisation et prévision F. Sur - ENSMN F. Sur - ENSMN Modèles à fonction de transfert Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Exemples Définition Identification du modèle Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Conclusion Exemple Exemple Preuve : X Cov(χt , Υt+h ) = Cov χt , νh0 χt+h−h0 (χt et εet décorrélés) h0 >0 = νh Var(χ) (χt bruit blanc) Conclusion : coef. νh du “polynôme” Ω/∆ proportionnel au coef. ρ(h) du corrélogramme croisé. 13/22 14/22 Intérêt pratique du corrélogramme croisé Modélisation et prévision F. Sur - ENSMN Yt = Ω(B) Θ(B) Θ(B) Xt−b + εt = ν(B)Xt−b + εt ∆(B) Φ(B) Φ(B) Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle 1 2 premier pic (significativement) non nul sur le corrélogramme donne le décalage b, si décroissance (assez) lente du corrélogramme : on envisage un dénominateur (cf inversion de (1 − λB)) si sinusoı̈de : dénominateur de degré > 2, (toujours avec l’objectif d’un modèle simple) 3 sinon le nombre (et la position) des pics non nuls donne le degré du numérateur (et les coefficients non nuls). Remarque : si le corrélogramme croisé a des pics significatifs pour des décalages h < 0, le modèle n’est (vraisemblablement) pas bien adapté. (non-causalité) 15/22 Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Exemple Identification du modèle : ARMA sur les résidus On cherche un modèle du type : Θ(B) Ω(B) Yt = Xt−b + εt ∆(B) Φ(B) Avec l’étape précédente, on connaı̂t les degrés de Ω et ∆ (et éventuellement la position des coef. nuls), et le décalage b. Ensuite : Calcul de la fonction de transfert On revient aux séries (stationnaires) initiales : Ω(B) Xt−b + ut ∆(B) → Première estimation des coefficients de Ω et ∆ Yt = (évaluation par maximum de vraisemblance par exemple.) → ACF / PACF des résidus ut . Modèle ARMA sur les résidus stationnaires ut → Estimation de Θ et Φ ; réestimation de Ω et ∆. 16/22 Modélisation et prévision F. Sur - ENSMN Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Exemple Résumé : identification et estimation Modélisation et prévision Remarque : régression fallacieuse F. Sur - ENSMN Yt = µ + Ω(B) Θ(B) Xt−b + εt ∆(B) Φ(B) 1. Pré-blanchiment (pré-filtrage de Xt ). 2. Corrélogramme croisé sur les séries préfiltrées. Permet l’identification du retard et de la forme de la fonction de transfert. Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Exemple 3. Estimation de la fonction de transfert Ω(B)/∆(B) et identification/estimation du modèle ARMA Θ(B)/Φ(B) · εt sur les résidus ut . Exemple : soient Xt et Yt intégrées d’ordre 1. Alors Yt − aXt − b = εt est généralement aussi intégrée d’ordre 1. → si estimation de a, b par régression (moindres carrés des εt ) : les t-tests (Student) sont trop “optimistes”. . . (car εt n’est pas un b.b.g., mais une marche aléatoire, ou un ARIMA(p,1,q)) Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Exemple → Pour contourner le problème, on sur (1 − B)Xt . . . régresse (1 − B)Yt 18/22 Séance 5 Modélisation et prévision F. Sur - ENSMN Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Modèle à variable exogène et fonction de transfert : Modèles à fonction de transfert Ω(B) Xt−b + ut Yt = µ + ∆(B) Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Modélisation et prévision Modèles à variable exogène Rappel : Modèle d’intervention : Xt = µ + αItt0 + ut = µ + Conclusion Exemple → modèle similaire : Ω(B) t0 I + ut ∆(B) t Itt0 ←→ Xt 3 Conclusion avec It0 (t) déterministe / (Xt ) stochastique stationnaire. 4 Exemple Donc même procédure SAS, mais pas d’interprétation du corrélogramme croisé pour les modèles d’intervention (ni de pré-blanchiment). 19/22 Modèles à fonction de transfert http://tylervigen.com/spurious-correlations 17/22 2 F. Sur - ENSMN On a supposé les chroniques X et Y stationnaires. → et si ce n’est pas le cas ? On parle de régression fallacieuse (spurious regression). Remarque : bien sûr, vérifications habituelles de rigueur (résidus εt du modèle final = bruit blanc gaussien, paramètres significatifs, etc). 1 Modélisation et prévision 20/22 F. Sur - ENSMN Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Exemple Dernières séances. . . 24 mai 2016. Petit cours (réponse aux questions) + TP d’application long. → venir à 8h30 en salle de cours. 31 mai 2016. Les modèles ARCH et GARCH. → séance habituelle. Modélisation et prévision Exemple : série J de Box et Jenkins F. Sur - ENSMN F. Sur - ENSMN Modèles à fonction de transfert Modèles à fonction de transfert Exemples Définition Exemples Définition Identification du modèle Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Identification du modèle Chronique d’entrée Xt : débit de gaz alimentant un appareil de chauffage. Conclusion Exemple Pré-blanchiment Corrélogramme croisé Résidus Résumé Régression fallacieuse Conclusion Chronique de sortie Yt : concentration en CO2. 7 juin 2016. Test. → horaires inversés par rapport au Test 1, même salle. Vérifiez sur Arche ! → fichiers personnels SAS autorisés. → pas de canevas à préparer. 21/22 Modélisation et prévision 22/22 Exemple
