Colle Info Radar de poursuite

CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
Colle informatique
RADAR DE POURSUITE
Objectifs:
• Modéliser l’asservissement en position angulaire de l’antenne d’un radar de poursuite.
• Etudier et améliorer les performances de cet asservissement.
Première partie : Présentation du système
On envisage l’étude de l’asservissement en position angulaire de l’antenne d’un radar de poursuite
destiné à connaître avec précision la position et la vitesse d’un mobile évoluant dans l’espace aérien.
Le système comporte une antenne parabolique émettant dans une direction précise appelée axe
radio-électrique. Cet axe est repéré par les angles de « site » et de « gisement » comme le montre la
figure ci dessous.
Des capteurs de position permettent d’avoir en
permanence une image des angles θs et αs
Parabole
M Salette- Lycée Brizeux- Quimper
En présence d’une cible réfléchissante, l’écho
reçu par la parabole dépend du “dépointage
angulaire” entre l’axe radio-électrique et la
ligne de visée.
Le dispositif radar est capable de délivrer deux
tensions proportionnelles aux écarts angulaires
(θe - θs) et (αe - αs ) .
θs
Réducteur
Valeurs numériques:
• Inertie de l’ensemble antenne, moteur,
réducteur rapportée à l’arbre du moteur:
J = 19.10-3 Kg.m²
• Rapport de réduction: r = 1000
• Coefficient de vitesse du moteur: Km =
0,5V/(rd.s-1)
• Résistance de l’induit du moteur: R= 0,5Ω
• Coefficient d’amplification de puissance: U2/U1 = A = 10
• Tension maxi du moteur: 400 V
• Accélération max du moteur 8 rad/s2
θm
ampli
Moteur
à CC
U2
U1
1 – Fonction de transfert du moteur :
Le moteur utilisé est un moteur à courant continu dont on rappelle les équation (l’influence de
l’inductance étant négligée):
• Loi d’Ohm: u2 (t) − e(t) = Ri(t)
• Equations électro-mécanique: Cm (t) =K i(t) et e(t) = K ω (t)
• Principe fondamental de la dynamique: C (t ) = J . dωm (t )
m
dt
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u2 : tension de commande d’induit.
i : courant d’induit.
L : self d’induit.
R : résistance d’induit.
e : force contre-électromotrice du moteur.
1- : Exprimer les équations de fonctionnement dans le domaine de Laplace, Construire le schémabloc ayant U2(p)en entrée et Ωm(p)en sortie. En déduire la fonction de transfert du moteur Hm(p).
2- Exprimer sous forme numérique cette fonction de transfert
3- Construire le schéma sous Didacsyde
e
H
s
N(s)
D(s)
Mettre une entrée échelon, retard = 0, amplitude = 100,
- Transmittance : on donne les coefficients de la fonction
suivant l’ordre décroissant des coefficients
du polynôme (séparés par une virgule). Exemple : pour le
polynôme
H ( p) =
3. p + 2 , on saisit
0,3 + 5. p 2
4- Lancer [Analyse][Réponse Temporelle] et définir horizon
temporel = 1s.
Visualiser les variables entrée et sortie.
Dans la fenêtre des résultats graphique, cliquer sur [Curseur], puis déplacer le curseur pour obtenir le
temps de réponse à 5% puis le temps de réponse pour obtenir 63% de la valeur finale.
Relever sur la courbe le gain et la constante de temps.
Vérifier que l’on retrouve bien les paramètres de la fonction de transfert.
5- Lancer [Analyse][Réponse Fréquentielle] et définir la plage de pulsation de 0.001 à 1000 , prendre
1000 points de calcul et faire tracer les diagrammes de Bode
Retrouver le gain et la constante de temps à partir du diagramme de Bode.
Tracer ensuite le diagramme de Nyquist : Faire apparaître la pulsation de coupure, la pulsation nulle
et la pulsation ∞ .Quelle est la nature de la courbe obtenue ?
2 – Fonction de transfert du système :
En boucle ouverte :
On peut représenter le système sous la forme suivante :
6- Exprimer la fonction de transfert H ( p ) = θ S ( p )
U1 ( p)
Modifier le schéma sous Did’acsyde. Faire afficher la réponse indicielle (on prendra 1000s pour
horizon temporel, le pas de calcul étant de 0,1).
7- Visualiser le diagramme de Bode et retrouver les éléments caractéristiques de la fonction de
transfert.
En boucle fermée :
On envisage le fonctionnement du système en asservissement, ce qui conduit au schéma-bloc
suivant, où K2 est la valeur de réglage du gain d’amplification de l’erreur détectée par le radar.
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8- Montrer que la fonction de transfert en boucle fermée est du second ordre et exprimer les
coefficients usuels (K’, ξ , ω)
9-Saisir le schéma sous Did’acsyde. Prendre pour K2 une variable formelle (par exemple K2) à
laquelle on pourra donner plusieurs valeurs.
Faire afficher la réponse indicielle dans le cas où K2 = 1 (on prendra 500s pour horizon temporel, et
0,01 pour le pas de calcul).Dans la fenêtre des résultats graphique, cliquer sur [Curseur], puis
déplacer le curseur pour obtenir Tr le temps de réponse à 5%.La courbe rappelle la réponse indicielle
d’un système du premier ordre. Sélectionner le tracé de θs par [Choix courbe] puis cliquer sur [Zoom]
et agrandir la courbe à l’origine. Que vaut la tangente à l’origine ?
10- Faire afficher la réponse indicielle dans le cas où K2 = 5000 (on prendra 1s pour horizon
temporel, 0,01 pour le pas de calcul).Déterminer le temps de pic Tp, le dépassement et Tr le temps
de réponse à 5%.
Réglage
11- Quelle valeur faut-il donner au coefficient K2
pour que le temps de réponse à 5% à un échelon
de position, soit le plus faible possible ?
Calculer ce temps de réponse.
12- Prendre la valeur K2 trouvée précédemment
et tracer avec Did’acsyde la réponse indicielle
(horizon temporel 1,5s).
• Mesurer l’écart statique, le temps de réponse à
5 % et le dépassement.
• Observer en prenant deux valeurs de K2 si nous
sommes bien dans le cas optimum.
Comportement en poursuite :
13- Pour la valeur de K2 calculée précédemment, exprimer puis calculer l’erreur de poursuite, notée
εT, si l’objectif évolue à vitesse angulaire sensiblement constante: θ
θ e (t ) = Ω 0 .t
avec Ω0 = 0,5 rad/s
On définit comme erreur de poursuite, ou erreur de traînage, la limite atteinte en régime permanent
par la différence (θe - θs)
Amélioration des performances
Une façon d’améliorer le comportement dynamique d’un tel système est de réaliser un retour de
vitesse, appelé “retour tachymétrique, voir schéma ci-dessous.
14- Exprimer la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée en fonction de α' et β .
Calculer les valeurs de α' et β qui permettent de limiter l’erreur de poursuite à 0,02 rad (ωe = 0,5rad/s)
tout en ayant un temps de réponse minimum pour une entrée en échelon.
Sous Did’acsyde, modifier le schéma puis vérifier le calcul précédent. Conclure sur le choix de α' et β.
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