Algorithme de flip pour les triangulations de segments

Transcription

Algorithme de flip pour les triangulations de
segments
Mathieu Brévilliers
Nicolas Chevallier
Dominique Schmitt
Laboratoire LMIA
Université de Haute-Alsace
Journées Informatique et Géométrie 2008
M. Brévilliers & al. (LMIA, UHA)
Algorithme de flip pour les TS
JIG 2008
1 / 22
Triangulations d’ensembles de points
Triangulation quelconque
JIG 2008
2 / 22
Théorème
Toute triangulation de S admet
2n − n′ − 2 faces et 3n − n′ − 3
arêtes, où n est le nombre de
sites de S et n′ le nombre de
côtés de l’enveloppe convexe
de S.
JIG 2008
2 / 22
Triangulation de Delaunay
JIG 2008
3 / 22
Diagramme de Voronoï
JIG 2008
3 / 22
Algorithme de flip
⇓
Modifications Locales
⇓
JIG 2008
4 / 22
Algorithme de flip
⇓
⇓
1
Comment savoir si la triangulation courante est de Delaunay ?
2
Quelles sont les modifications locales à effectuer ?
JIG 2008
4 / 22
Légalité d’une arête
JIG 2008
5 / 22
JIG 2008
5 / 22
Arête légale
Arête illégale
JIG 2008
5 / 22
Arête légale
Arête illégale
Théorème
La triangulation de Delaunay est l’unique triangulation sans arête
illégale.
JIG 2008
5 / 22
Algorithme de flip
⇓
⇓
1
Comment savoir si la triangulation courante est de Delaunay ?
2
JIG 2008
6 / 22
Modification locale
Arête illégale
JIG 2008
7 / 22
Modification locale
Arête illégale
JIG 2008
7 / 22
Modification locale
Arête illégale
Arête légale
JIG 2008
7 / 22
Algorithme de flip pour les triangulations de points
Mettre les arêtes internes dans une pile.
Tant que la pile n’est pas vide :
Dépiler une arête,
Si l’arête est illégale :
flipper l’arête,
remettre dans la pile les quatre autres
arêtes de la configuration locale.
(si elles n’y sont pas déjà)
JIG 2008
8 / 22
Le flip d’une arête fait baisser le relèvement
JIG 2008
9 / 22
Triangulations de segments
Triangulation de segments
JIG 2008
10 / 22
S6
S7
S2
S5
S1
S3
S8
S4
JIG 2008
10 / 22
S6
S7
Topologie
S6
S2
S5
S1
S7
S3
S8
S5
S1
S3
S8
S4
S2
S4
JIG 2008
10 / 22
S6
S7
Topologie
S6
S2
S5
S1
S7
S3
S8
S5
S1
S3
S8
S4
S4
S2
JIG 2008
10 / 22
S6
S7
Topologie
S6
S2
S5
S1
S7
S3
S8
S5
S1
S3
S8
S4
S4
S2
JIG 2008
10 / 22
S6
S7
Topologie
S6
S2
S5
S1
S7
S3
S8
S5
S1
S3
S8
S4
S4
S2
JIG 2008
10 / 22
S6
S7
Topologie
S6
S2
S5
S1
S7
S3
S8
S5
S1
S3
S8
S4
S2
S4
JIG 2008
10 / 22
S6
S7
Topologie
S6
S2
S5
S1
S7
S3
S8
S2
S5
S3
S8
S4
S1
S4
Théorème
Toute triangulation de segments de S admet 2n − n′ − 2 faces et
3n − n′ − 3 arêtes, où n est le nombre de sites de S et n′ le nombre de
côtés de l’enveloppe convexe de S qui ne sont pas des sites.
JIG 2008
10 / 22
Triangulation de Delaunay de
segments
JIG 2008
11 / 22
Triangulation de Delaunay de
segments
Diagramme de Voronoï de
segments
JIG 2008
11 / 22
Algorithme de flip
Triangulation de segments quelconque
⇓
⇓
Triangulation de Delaunay de segments
1
Comment savoir si la triangulation de segments courante est de
Delaunay ?
2
JIG 2008
12 / 22
Exemple 1
JIG 2008
13 / 22
Exemple 1
JIG 2008
13 / 22
Exemple 1
Arête légale
JIG 2008
13 / 22
Exemple 1
Arête légale
c
d
a b
JIG 2008
13 / 22
Exemple 1
Arête légale
c
a b
c
d
d
a
b
JIG 2008
13 / 22
Exemple 1
Arête légale
c
c
d
d
a b
a
b
Exemple 2
JIG 2008
13 / 22
Exemple 1
Arête légale
c
c
d
d
a b
a
b
Exemple 2
JIG 2008
13 / 22
Exemple 1
Arête légale
c
a b
a
Exemple 2
c
d
d
b
Arête illégale
JIG 2008
13 / 22
Exemple 1
Arête légale
c
c
d
d
a b
a
Exemple 2
d
Arête illégale
c
d
c
a b
b
b
a
JIG 2008
13 / 22
Légalité d’une arête : cas particulier
JIG 2008
14 / 22
Résultat
Théorème
Une triangulation de segments dont toutes les arêtes sont légales a la
même topologie que la triangulation de Delaunay de segments.
JIG 2008
15 / 22
Algorithme de flip
Triangulation de segments quelconque
⇓
⇓
Triangulation de Delaunay de segments
1
Comment savoir si la triangulation de segments courante est de
Delaunay ?
2
JIG 2008
16 / 22
Modifications locales : première approche
JIG 2008
17 / 22
JIG 2008
17 / 22
JIG 2008
17 / 22
Contre-exemple
Triangulation initiale
e3
e1
e2
JIG 2008
18 / 22
Contre-exemple
e3
e1
e2
JIG 2008
18 / 22
Contre-exemple
e3
e1
e2
JIG 2008
18 / 22
Modifications locales
Exemple 1
Exemple 2
JIG 2008
19 / 22
Algorithme de flip pour les triangulations de segments
Mettre les arêtes internes dans une file.
Tant que les arêtes de la triangulation
courante ne sont pas toutes légales :
Retirer la première arête de la file,
Calculer la triangulation de Delaunay de
segments à l’intérieur du polygone
associé à l’arête,
Ajouter la nouvelle arête obtenue à la fin
de la file.
JIG 2008
20 / 22
Exemple
e3
e1
e2
JIG 2008
21 / 22
Exemple
e3
e1
e2
JIG 2008
21 / 22
Exemple
e3
e3
e3
e3
e2
e1
e1
e2
JIG 2008
21 / 22
Exemple
e3
e2
e1
JIG 2008
21 / 22
Exemple
e3
e3
e2
e2
e2
e1
e1
e2
JIG 2008
21 / 22
Exemple
e3
e2
e1
JIG 2008
21 / 22
Exemple
e3
e3
e2
e2
e1
e1
e1
e1
JIG 2008
21 / 22
Exemple
JIG 2008
21 / 22
Exemple
JIG 2008
21 / 22
Exemple
JIG 2008
21 / 22
Conclusion
Algorithme de flip pour les triangulations de segments.
Le nombre d’étapes de l’algorithme est fini.
Complexité difficile à estimer :
l’algorithme traite même les arêtes légales,
une arête peut être traitée plusieurs fois,
une arête illégale n’est pas forcément immédiatement flippable,
une arête légale peut être flippée, devenir illégale, et être à
nouveau flippée quelques étapes plus tard pour redevenir légale.
Perspectives :
Meilleure gestion de la liste des arêtes à traiter,
Optimalité de la triangulation de Delaunay de segments,
Généralisation de l’ensemble des sites,
Extension en dimension 3.
JIG 2008
22 / 22

Algorithme de flip pour les triangulations de segments

Transcription

Documents pareils

Proposition de stage de Master 2

Optimisation du placement de caméras de

Comment fabriquer son flip book

Fiche pédagogique L3

Actions culturelles Flipbooks - Médiathèque départementale du Var

Fiche pédagogique M2 MRF

Conseil d`Administration du 03 au 14 juillet 2013

13 BOOYAH BOO JIG bd

Technicien.ne Hygiène Sécurité Environnement

exposition flip book - Livre et lecture en Bretagne