Cours 2: Flots et couplages

Transcription

• Flots et coupes
• Algorithmes de calcul du flot maximal
• Modélisation par flots
• Couplages et graphes des augmentations
• Mariages stables
1-1
Gilles Schaeffer
INF-550-2: Flots et couplages
• Flots et coupes
2-1
Gilles Schaeffer
Réseau de transport et flots
Données: Un graphe orienté G = (X, A),
une valuation c : A → N, et 2 sommets
s et t avec din (s) = 0 et dout (t) = 0.
s
2
2
1
2
t
2
• Les sommets s et t sont la source et puit, c(a) la capacité de l’arc a.
3-1
Gilles Schaeffer
s
2
2
1
2
t
2
• Un flot est une application φ de A dans R+ telle que
- le flot en chaque arc a est inférieur à la capacité: φ(a) ≤ c(a)
- pour tout sommet de X \ {s, t}, flot entrant = flot sortant
La valeur du flot φ est le flot sortant de s (égal au flot entrant en t).
s
2
1
1
3-2
Gilles Schaeffer
1
t
2
s
2
2
1
2
t
2
Problème: Trouver un flot de valeur maximale.
s
2
1
1
3-3
Gilles Schaeffer
1
t
2
s
2
2
1
2
t
2
Problème: Trouver un flot de valeur maximale.
• Un flot φ est saturé si sur tout chemin de
s à t il existe un arc a tel que φ(a) = c(a).
3-4
Gilles Schaeffer
s
2
1
1
1
t
2
Les coupes d’un réseau de transport
• Une coupe est une partition de l’ensemble des sommets en 2 parties
disjointes, l’une contenant la source et l’autre le puit:
Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅, s ∈ Y, t ∈ Z
Y
3
Z
s
1
5
t
4
4-1
Gilles Schaeffer
Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅, s ∈ Y, t ∈ Z
Y
3
Z
• La capacité C(Y, Z) d’une coupe est la
1
somme des capacités des arcs de Y à Z.
s
5
t
4
4-2
Gilles Schaeffer
Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅, s ∈ Y, t ∈ Z
Y
3
Z
1
s
5
t
4
C(Y, Z) = 8
4-3
Gilles Schaeffer
Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅, s ∈ Y, t ∈ Z
23
Y
Z
11
s
52
t
• Le flux de Y à Z X
dans un flot φ est
42
φ(Y, Z) =
φ(u)
u∈Y ×Z
C(Y, Z) = 8
et le flux orienté de la coupe (Y, Z) est
∆(Y, Z) = φ(Y, Z) − φ(Z, Y ).
4-4
Gilles Schaeffer
Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅, s ∈ Y, t ∈ Z
23
Y
Z
11
s
52
t
dans un flot φ est
42
φ(Y, Z) =
φ(u)
u∈Y ×Z
C(Y, Z) = 8
φ(Y, Z) = 5
∆(Y, Z) = φ(Y, Z) − φ(Z, Y ).
∆(Y, Z) = 3
4-5
Gilles Schaeffer
Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅, s ∈ Y, t ∈ Z
23
Y
Z
11
s
52
t
dans un flot φ est
42
φ(Y, Z) =
φ(u)
u∈Y ×Z
C(Y, Z) = 8
φ(Y, Z) = 5
∆(Y, Z) = φ(Y, Z) − φ(Z, Y ).
∆(Y, Z) = 3
Tout flot a pour valeur Vφ = φ({s}, X \ {s}) = ∆({s}, X \ {s}).
4-6
Gilles Schaeffer
Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅, s ∈ Y, t ∈ Z
23
Y
Z
11
s
52
t
dans un flot φ est
42
φ(Y, Z) =
φ(u)
u∈Y ×Z
C(Y, Z) = 8
φ(Y, Z) = 5
∆(Y, Z) = φ(Y, Z) − φ(Z, Y ).
∆(Y, Z) = 3
Lemme. Plus généralement Vφ = ∆(Y, Z) pour toute coupe.
4-7
Gilles Schaeffer
Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅, s ∈ Y, t ∈ Z
23
Y
Z
11
s
52
t
dans un flot φ est
42
φ(Y, Z) =
φ(u)
u∈Y ×Z
C(Y, Z) = 8
φ(Y, Z) = 5
∆(Y, Z) = φ(Y, Z) − φ(Z, Y ).
∆(Y, Z) = 3
Preuve par récurrence sur |Y |: Y 0 = Y ∪ {y}, i + i0 = o + o0 .
4-8
Gilles Schaeffer
Y ∪ Z = X, Y ∩ Z = ∅, s ∈ Y, t ∈ Z
23
Y
Z
11
s
52
t
dans un flot φ est
42
φ(Y, Z) =
φ(u)
Y Y0 0
o
u∈Y ×Z
i
i0
o
y
∆(Y, Z) = φ(Y, Z) − φ(Z, Y ).
Preuve par récurrence sur |Y |: Y 0 = Y ∪ {y}, i + i0 = o + o0 .
4-9
Gilles Schaeffer
Le graphe des augmentations d’un flot
Le graphe des augmentations Gφ :
• Les sommets de Gφ sont ceux de G,
• Tout arc a = (x, y) de G reste dans Gφ si φ(a) < c(a).
• L’opposé (y, z) de l’arc a = (x, y) de G est dans Gφ si φ(a) > 0.
s
5
3
3
3
2
1
2
2
4
3
5-1
Gilles Schaeffer
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
1
2
3
3
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
2
1
2
3
4
3
t
s
5
3
3
3
2
1
2
2
4
3
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
1
2
3
3
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
2
1
2
3
4
3
t
Lemme. S’il existe un chemin de s à t dans Gφ , le flot peut être amélioré.
5-2
Gilles Schaeffer
s
5
3
3
3
2
1
2
2
4
3
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
1
2
3
3
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
2
1
2
3
4
3
t
5-3
Gilles Schaeffer
s
5
3
3
3
2
1
2
2
4
3
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
1
2
3
3
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
2
1
2
3
4
3
t
Lemme. S’il n’existe pas de chemin de s à t dans Gφ , alors il existe une
coupe (Y, Z) telle que c(Y, Z) = Vφ .
5-4
Gilles Schaeffer
s
5
3
3
3
2
1
2
2
4
3
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
1
2
3
3
2
s
4
t
5
3
2
3
2
0
2
1
2
3
4
3
t
Lemme. S’il n’existe pas de chemin de s à t dans Gφ , alors il existe une
coupe (Y, Z) telle que c(Y, Z) = Vφ .
Théorème. Valeur du flot maximal = Capacité de la coupe minimale.
5-5
Gilles Schaeffer
• Flots et coupes
6-1
Gilles Schaeffer
Algorithme de Ford Fulkerson
• Initialiser avec un flot quelconque (nul par exemple).
• Tant qu’il existe un chemin dans le graphe des augmentations,
augmenter le flot.
7-1
Gilles Schaeffer
augmenter le flot.
Théorème. L’algorithme de Ford Fulkerson constuit un flot maximal.
Les sommets atteignables depuis s dans le graphe des augmentations
forment une coupe minimale.
7-2
Gilles Schaeffer
augmenter le flot.
Remarques. • Le flot maximal obtenu est à valeur entière.
7-3
Gilles Schaeffer
augmenter le flot.
Complexité O(mΦ)
• On a pas spécifié quel chemin on choisit à chaque étape.
7-4
Gilles Schaeffer
augmenter le flot.
Complexité O(mΦ)
s
N
N
1
N
7-5
Gilles Schaeffer
N
t
s
i
i
0
i
t
i
augmenter le flot.
Complexité O(mΦ)
s
N
N
1
N
7-6
Gilles Schaeffer
N
t
s
i
i
0
i
t
i
augmenter le flot.
Complexité O(mΦ)
s
N
N
1
N
7-7
Gilles Schaeffer
N
t
s
i
i
0
i
i
t
s
i+1
i
1
i
t
i+1
augmenter le flot.
Complexité O(mΦ)
s
N
N
1
N
7-8
Gilles Schaeffer
N
t
s
i
i
0
i
i
t
s
i+1
i
1
i
t
i+1
Algorithme de Dinic, Edmonds et Karp
• Effectuer Ford-Fulkerson en choisissant à chaque étape le premier
chemin d’augmentation obtenu par recherche en largeur dans Gφ .
8-1
Gilles Schaeffer
Gφ
8-2
s
Gilles Schaeffer
1
2
3
t
4
autrement dit on choisit un plus
court chemin d’augmentation.
Gφ
s
1
2
3
t
4
Théorème. L’algorithme DEK effectue au plus O(nm2 ) opérations si
le graphe G à n sommets et m arcs.
8-3
Gilles Schaeffer
Gφ
s
1
2
3
t
4
Preuve. • Lorsqu’un chemin d’augmentation est utilisé, le flot devient nul
ou maximal sur au moins l’une des arêtes: celle-ci est retournée.
8-4
Gilles Schaeffer
Gφ
s
1
2
3
t
4
8-5
Gilles Schaeffer
Gφ
s
1
2
3
t
4
• Quand l’arc (x, y) du chemin se retourne, les distances à s ne peuvent
qu’augmenter. Si (y, x) revient sur le chemin ce sera plus loin.
8-6
Gilles Schaeffer
Gφ
s
1
2
3
t
4
• Donc chacun des m arcs peut être retourné au plus n fois.
8-7
Gilles Schaeffer
Gφ
s
1
2
3
t
4
• Le nombre de chemins d’augmentation utilisés est donc O(nm).
8-8
Gilles Schaeffer
Gφ
s
1
2
3
t
4
• Le nombre de chemins d’augmentation utilisés est donc O(nm).
• Le coût de la recherche d’un chemin d’augmentation est O(m).
8-9
Gilles Schaeffer
• Flots et coupes
9-1
Gilles Schaeffer
Répartition d’approvisionnement
Données: • les fournisseurs A1 , . . . , Ap , avec Ai de capacité ai .
• les clients B1 , . . . , Bq , le client Bi demande une quantité bi .
• les contraintes: Bj ne peut être livré que par les {Ai }i∈Cj .
Problème: maximiser l’approvisionnement mutuel.
10-1
Gilles Schaeffer
Modélisation en flot: sommets X = {s, t, A1 , . . . , Ap , B1 , . . . , Bq }
A4
s
B3
A3
B2
t
A2
A1
10-2
Gilles Schaeffer
B1
A4
s
arête (Ai , Bj ) si i ∈ Cj
de capacité ∞.
B3
A3
B2
t
A2
A1
10-3
Gilles Schaeffer
B1
s
10-4
Gilles Schaeffer
a4 A4
a3
a2 A3
a1 A2
B3
A1
B1
B2
de capacité ∞.
t
arête (s, Ai ) de capacité ai
s
a4 A4
a3
a2 A3
a1 A2
A1
10-5
Gilles Schaeffer
B3 b3
b2
B2 b
1
B1
de capacité ∞.
t
arête (Bj , t) de capacité bj
s
a4 A4
a3
a2 A3
a1 A2
A1
B3 b3
b2
B2 b
1
B1
de capacité ∞.
t
arête (Bj , t) de capacité bj
Approvisionnement mutuel maximal = flot maximal dans ce graphe.
10-6
Gilles Schaeffer
Problème de l’expédition idéale
Données: • les instruments A1 , . . . , Ap , avec Ai de coût ci .
• des expériences B1 , . . . , Bq à faire, Bi rapporte bi .
• pour pouvoir effectuer Bj il faut avoir {Ai }i∈Cj .
Problème: maximiser le gain de l’expédition.
11-1
Gilles Schaeffer
Modélisation en flot: on utilise le même graphe
s
a4 A4
a3
a2 A3
a1 A2
A1
11-2
Gilles Schaeffer
B3 b3
b2
B2 b
1
t
B1
s
a4 A4
a3
a2 A3
a1 A2
B3 b3
b2
B2 b
1
B1
A1
Gain maximal =
11-3
Gilles Schaeffer
t
P
bj − c(Y, Z) pour la coupe de capacité minimale.
A4
s
B3 b3
b2
B2 b
1
a4
a3
a2 A3
a1 A2
11-4
Gilles Schaeffer
t
B1
A1
Gain maximal =
une coupe minimale doit
éviter les arcs (Ai , Bj )
P
A4
s
B3 b3
b2
B2 b
1
a4
a3
a2 A3
a1 A2
11-5
Gilles Schaeffer
t une expédition ⇔ une coupe (Y, Z):
Z = {Ai emportés}∪{Bi effectués}∪{z}
B1
A1
Gain maximal =
P
A4
s
B3 b3
b2
B2 b
1
a4
a3
a2 A3
a1 A2
B1
A1
Gain maximal =
11-6
Gilles Schaeffer
P
t une expédition ⇔ une coupe (Y, Z):
Z = {Ai emportés}∪{Bi effectués}∪{z}
P
P
c(Y, Z) = Ai ∈Z ai + Bi ∈Z
/ bj
Résistance aux pannes
Données: Un graphe G, non orienté.
Problème: Nb minimum d’arêtes à retirer pour déconnecter G ?
12-1
Gilles Schaeffer
Modélisation en flot: le nb min d’arêtes à enlever pour séparer deux
sommets s et t de G est la capacité de la coupe minimale dans le graphe
symétrique associé avec capacité 1 sur chaque arête
12-2
Gilles Schaeffer
s
s
t
12-3
Gilles Schaeffer
t
s
s
t
12-4
Gilles Schaeffer
t
s
s
t
t
On trouve la résistance aux pannes en appliquant un calcul de flot au
réseau (R(G), s, t) pour chaque sommet t du graphe, avec s fixé
arbitrairement.
12-5
Gilles Schaeffer
• Flots et coupes
13-1
Gilles Schaeffer
Couplages dans un graphe non orienté
Données: un graphe non orienté (ou symétrique)
Un couplage est un ensemble d’arêtes sans extrémités comunes
Problème: déterminer un couplage de cardinalité maximale.
14-1
Gilles Schaeffer
14-2
Gilles Schaeffer
14-3
Gilles Schaeffer
14-4
Gilles Schaeffer
14-5
Gilles Schaeffer
maximal pour l’inclusion
14-6
Gilles Schaeffer
Un chemin alternant alterne les arêtes libres
et couplées.
14-7
Gilles Schaeffer
et couplées.
14-8
Gilles Schaeffer
et couplées.
Théorème. Couplage maximum ⇔ pas de
chemins alternants entre 2 sommets libres.
14-9
Gilles Schaeffer
et couplées.
Preuve de la réciproque: comparer un couplage maximal (sans chemin
augmentant) avec un couplage optimum en les superposant.
14-10
Gilles Schaeffer
et couplées.
Preuve de la réciproque: comparer un couplage maximal (sans chemin
augmentant) avec un couplage optimum en les superposant.
Théorème (Edmonds 1965) On peut trouver les chemins alternants en
temps polynomial.
14-11
Gilles Schaeffer
Couplages dans un graphe biparti
Pour les graphes bipartis, on se ramène à un problème de flot:
15-1
Gilles Schaeffer
1. Décrire le problème de flots associé
15-2
Gilles Schaeffer
G
⇔s
1
1
1
1
1
1
1
t
R(G)
capacités 1 ou ∞
15-3
Gilles Schaeffer
G
⇔s
1
1
1
1
1
1
1
t
R(G)
2. Montrer l’équivalence entre pbl initial et maximisation du flot
15-4
Gilles Schaeffer
G
⇔s
1
1
1
1
1
1
1
t
R(G)
ici: bijection entre couplages sur G et flots à valeur entière sur R(G)
⇔
15-5
Gilles Schaeffer
1
1
1
1
1
1
1
1
1
G
⇔s
1
1
1
1
1
1
1
t
R(G)
⇔
1
1
1
1
1
1
1
1
1
telle que le cardinal du couplage maximum est égal au flot maximum.
15-6
Gilles Schaeffer
G
⇔s
1
1
1
1
1
1
1
t
R(G)
⇔
1
1
1
1
1
1
1
1
démarche à retenir!!
1
telle que le cardinal du couplage maximum est égal au flot maximum.
15-7
Gilles Schaeffer
Couplages et matroı̈des
Soit G = (Y ∪ Z, E) un graphe biparti.
La famille F des parties couplables de Y est l’ensemble des Y 0 ⊂ Y
tels qu’il existe un couplage parfait entre Y 0 et un Z 0 ⊂ Z.
16-1
Gilles Schaeffer
Lemme. F est un matroı̈de.
16-2
Gilles Schaeffer
Preuve. Si |Y 00 | > |Y 0 | on superpose les couplages associés à Y 0 et Y 00
pour trouver une chaine alternante qui permet d’étendre Y 0 .
16-3
Gilles Schaeffer
Corollaire (Cours 1). Les transversaux d’un ensemble de parties
forment un matroı̈de.
16-4
Gilles Schaeffer
Remarques. • La famille des couplages ne forme pas un matroı̈de.
mais c’est l’intersection de 2 matroı̈des: les ensembles d’arêtes sans
extrémité commune dans Y et dans Z respectivement.
16-5
Gilles Schaeffer
Remarques. • La famille des couplages ne forme pas un matroı̈de.
mais c’est l’intersection de 2 matroı̈des: les ensembles d’arêtes sans
extrémité commune dans Y et dans Z respectivement.
• Par augmentation on a trouvé un élément max de cette intersection.
16-6
Gilles Schaeffer
Intersection de matroı̈des
Données: un graphe à n sommets dont les arêtes sont partitionnées
en E1 , . . . , Ek sous-ensembles disjoints (couleurs).
Problème: Trouver une forêt multicolore maximale.
Remarque: ces forêts sont dans l’intersection de 2 matroı̈des.
17-1
Gilles Schaeffer
Algorithme glouton: T := ∅; tant qu’il existe une arête e d’une couleur
n’apparaissant pas dans T , et ne créant pas de cycle, faire T := T ∪ {e}.
17-2
Gilles Schaeffer
Algorithme glouton: T := ∅; tant qu’il existe une arête e d’une couleur
n’apparaissant pas dans T , et ne créant pas de cycle, faire T := T ∪ {e}.
Ça ne donne pas l’optimum !
17-3
Gilles Schaeffer
Algorithme Améliorant. Initialiser T := ∅ et itérer:
17-4
Gilles Schaeffer
• Soit D(T ) le graphe d’amélioration (E, X) biparti avec arêtes:
— de a ∈ T à b ∈ E \ T si T − a + b est sans cycle
— de b ∈ E \ T à a ∈ T si T − a + b est multicolore
17-5
Gilles Schaeffer
• Soit E1 = {b | T + b sans cycle}, E2 = {b | T + b multicolore}
17-6
Gilles Schaeffer
• Si D(T ) a un chemin C de E1 \ T à E2 \ T
faire T := T ∆Cmin où Cmin est un plus court tel chemin.
17-7
Gilles Schaeffer
• Si D(T ) a un chemin C de E1 \ T à E2 \ T
faire T := T ∆Cmin où Cmin est un plus court tel chemin.
Théorème. L’algorithme Améliorant trouve l’indépendant maximal
dans l’intersection de 2 matroı̈des.
17-8
Gilles Schaeffer
• Flots et coupes
18-1
Gilles Schaeffer
Mariages stables
Données: • Deux ensembles X = {x1 , . . . , xp } et Y = {y1 , . . . , yp }
19-1
Gilles Schaeffer
Mariages stables
• Les listes de préférences Fi de xi et Gj de yj pour tous i, j.
19-2
Gilles Schaeffer
Mariages stables
• Le graphe des mariages est le graphe biparti sur X ∪ Y avec
une arête (xi , yj ) si xi ∈ Gj et yj ∈ Fi .
19-3
Gilles Schaeffer
Mariages stables
19-4
Gilles Schaeffer
Mariages stables
• Un couplage dans ce graphe décrit un (multi)mariage acceptable.
Si x est couplé à y on note α(x) = y et β(y) = x.
19-5
Gilles Schaeffer
Mariages stables
X = {x1 , x2 , x3 } et Y = {y1 , y2 , y3 }
exemple:
F1
F2
F3
19-6
y2
y1
y1
Gilles Schaeffer
y1
y3
y2
y3
y2
y3
G1
G2
G3
x1
x3
x1
x3
x1
x3
x2
x2
x2
Mariages stables
X = {x1 , x2 , x3 } et Y = {y1 , y2 , y3 }
exemple:
F1
F2
F3
y2
y1
y1
y1
y3
y2
y3
y2
y3
G1
G2
G3
x1
x3
x1
x3
x1
x3
x2
x2
x2
• Un mariage stable est un couplage tel que si x et y ne sont
pas couplés alors x préfère α(x) à y ou y préfère β(y) à x.
19-7
Gilles Schaeffer
Mariages stables
exemple:
F1
F2
F3
X = {x1 , x2 , x3 } et Y = {y1 , y2 , y3 }
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 )
y2 y1 y3
G1 x1 x3 x2
instable: x1 ↔ y2
y1 y3 y2
G2 x3 x1 x2
(x1 , y1 ), (x2 , y3 ), (x3 , y2 )
y1 y2 y3
G3 x1 x3 x2
stable
• Un mariage stable est un couplage tel que si x et y ne sont
pas couplés alors x préfère α(x) à y ou y préfère β(y) à x.
19-8
Gilles Schaeffer
Mariages stables, algorithme de Gale Shapley.
• Initialiser α(xi ) au premier élément de la liste Fi , et β(y) indéfini.
• Itérer:
1. pour chaque yj choisir l’élément xi le plus intéressant dans Gj
parmi les xi tels que α(xi ) = yj et poser β(yj ) = xi .
2. pour chaque xi
– s’il existe yj tel que β(yj ) = xi , alors α(xi ) = yj ,
– sinon, si α(xi ) n’est pas le dernier dans Fi , descendre d’un rang
– sinon laisser α(x) indéfini.
20-1
Gilles Schaeffer
Mariages stables, algorithme de Gale Shapley.
• Initialiser α(xi ) au premier élément de la liste Fi , et β(y) indéfini.
• Itérer:
1. pour chaque yj choisir l’élément xi le plus intéressant dans Gj
parmi les xi tels que α(xi ) = yj et poser β(yj ) = xi .
2. pour chaque xi
– s’il existe yj tel que β(yj ) = xi , alors α(xi ) = yj ,
– sinon, si α(xi ) n’est pas le dernier dans Fi , descendre d’un rang
– sinon laisser α(x) indéfini.
Théorème. Si les toutes les listes de préférences sont complètes,
l’algorithme de Gale-Shapley constuit un mariage stable.
20-2
Gilles Schaeffer
• Flots et coupes
Retenir: Modélisation par flots et coupes,
algorithmes de Ford-Fulkerson/Edmonds Karp,
dualité MaxFlow=MinCut
21-1
Gilles Schaeffer

Cours 2: Flots et couplages

Transcription

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