Processus de branchement multitypes conditionnés à l`extinction
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Processus de branchement multitypes conditionnés à l`extinction
Processus de branchement multitypes conditionnés à l’extinction tardive et illustration en analyse des risques épidémiologiques Sophie Pénisson IRTG SMCP Berlin / Université de Potsdam INRA Jouy-en-Josas Neuvième Colloque ”Jeunes Probabilistes et Statisticiens” Le Mont-Dore 3-7 mai 2010 rtg s Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie cp 1 / 22 Plan 1 Processus de branchement multitype Introduction Quelques propriétés 2 Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB 3 Quantification de l’infection 4 Analyse des risques liés à une extinction très tardive Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive Estimation et prédiction 5 Un mot sur le processus de diffusion de Feller Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 2 / 22 Processus de branchement multitype Introduction Processus de branchement multitype Processus de Bienaymé-Galton-Watson (BGW) d types de particules processus de Markov à valeurs dans Nd type 1 type 2 n X0= (1,1) X3= (3,0) distribution de la descendance (p1 (k))k∈N2 , (p2 (k))k∈N2 pi (k1 , k2 )= probabilité qu’une particule de type i donne naissance à k1 particules de type 1 et k2 particules de type 2 Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 3 / 22 Processus de branchement multitype Quelques propriétés Propriété de branchement = propriété additive ~ Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie + 4 / 22 Processus de branchement multitype Quelques propriétés Extinction vs. explosion matrice moyenne M mij := nombre moyen de descendants de type j pour une particule de type i Théorème de Perron-Frobenius ⇒ si ∃n tel que Mn > 0 alors M a une valeur propre maximale réelle ρ qui est > 0 et simple Le processus est alors dit irréductible. Sous cette hypothèse: Théorème P lim Xn = 0 + P lim Xn = ∞ = 1 n→∞ n→∞ P lim Xn = 0 = 1 ⇐⇒ ρ 6 1 n→∞ ρ < 1: processus sous-critique ρ = 1: processus critique ρ > 1: processus sur-critique Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 5 / 22 Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB Maladie SEIR INFECTION INCUBATION horizontal or vertical susceptible exposed clinical case slaughtered Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 6 / 22 Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB Problématique quantification de l’infection persistant après la suppression des farines animales année d’extinction de l’épidémie évolution de l’épidémie en cas d’extinction très tardive Remarque: les états de santé S et E sont indifférentiables apparently healthy animals clinical cases But: construire un modèle basé sur l’incidence des cas cliniques Non rigoureux: modèle déterministe modélisation stochastique directe des cas cliniques Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 7 / 22 Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB Plus rigoureux: modélisation stochastique de tous les états de santé n n+1 n+2 n+3 C B A infected by A infected by B Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 8 / 22 Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB Modèle limite (C.Jacob) Obtenu lorsque la population totale initiale temps vers ∞ Hypothèses clés: maladie SEIR rare, infection de type Reed-Frost Xn := incidence de cas cliniques pour l’année n Xn = d X n−k X X D Yn−k,n,i , {Yn−k,n,i }i i.i.d. Yn−k,n,i ∼ Poisson (Ψk (θ0 )) k=1 i=1 n n+1 ... Yn,n+1,1~ Poiss ( Ψ1 ) ... n+d time Yn,n+d,1~ Poiss ( Ψd ) Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 9 / 22 Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB Pd+1 Si Sk+1 Ψk (θ0 ) := θ0 Pinc. (k) Pi=k+1 + pmat. Pinc. (k) Pd+1 . d+1 j=1 Sj j=1 Sj d = 9, 10 ans étant l’âge maximal observé pour l’abattage du béétail θ0 = paramètre inconnu d’infection horizontale persistante après la suppression de farine animale en 1989 (θ0 = nb moyen par infectieux et par an d’animaux infectés via ingestion de prions excrétés par d’autres animaux vivants); pmat. = paramètre d’infection maternelle (proba pour un nouveau-né de mère infectieuse d’être infecté à la naissance); Sk = proba pour un animal apparemment sain de survivre au moins k années; Pinc. (k) = proba que la période d’incubation intrinsèque soit de k années. Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 10 / 22 Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB Xn processus d-Markovien 1-dimensionnel, de loi de transition ! d X D Xn |(Xn−1 , . . . , Xn−d ) ∼ Poisson Xn−k Ψk (θ0 ) , k=1 ou Xn := (Xn , Xn−1 , . . . , Xn−d+1 ) processus 1-Markovien d-dimensionnel, D Xn |Xn−1 ∼ (Poisson (Xn−1 · Ψ(θ0 )) , Xn−1 , . . . , Xn−d+1 ) . Proposition Xn est un processus de branchement à d types. Matrice moyenne ... 0 . . . 0 . . .. M(θ0 ) = . . Ψd−1 (θ0 ) 0 . . . . . . 1 Ψd (θ0 ) 0 . . . . . . 0 Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Ψ1 (θ0 ) Ψ2 (θ0 ) .. . 1 0 .. . 0 1 Processus de branchement en épidémiologie 11 / 22 Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB On a [M(θ0 )]d > 0. Soit ρ la plus valeur propre maximale de M(θ0 ). Alors ρ 6 1 ⇐⇒ d X Ψk (θ0 ) 6 1. k=1 On peut écrire Ψk (θ0 ) = ak θ0 + bk , où ak et bk sont connus. Alors Proposition extinction p.s. de l’épidémie ⇐⇒ d X Ψk (θ0 ) 6 1 k=1 P 1 − dk=1 bk ⇐⇒ θ0 6 Pd ' 23. k=1 ak Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 12 / 22 Quantification de l’infection Estimation du paramètre d’infection θ0 Conditional Least Squares Estimator n X [Xk − Eθ (Xk |Xk−1 )]2 θbX0 := arg min . θ a · Xk−1 k=1 Proposition (S.P.) p.s. lim θbX0 = θ0 , X0 →∞ sP lim X0 →∞ Pd n k=1 i=1 ai Xk−i 2 σ (θbX0 ) D θbX0 − θ0 = N (0, 1) . (k) où mij (θ) denote l’entrée (i, j) de la matrice [M(θ)]k , et Pn Pd Pd (k−1) (θ) k=1 j=1 i=1 bi mji 2 . σ (θ) := θ + P P P (k−1) n d d (θ) k=1 j=1 i=1 ai mji Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 13 / 22 Quantification de l’infection Résultats numériques obs obs |X0 | = |Xobs 1997 | = X1997 + . . . + X1989 = 167977 θbX0 = 2.4486 P θ0 ∈ [2.4000 ; 2.4971] ' 0.95 Conclusion Existence d’une source d’infection horizontale persistant après 1989, mineure mais non-nulle. Nb moyen d’animaux infectés par cette voie est seulement de qques unités par infectieux et par an (infection par farines animales de l’ordre de 1000). Permet l’estimation de l’année d’extinction de l’épidémie, du nombre de cas à venir etc. Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 14 / 22 Analyse des risques liés à une extinction très tardive Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive Conditionnement à une extinction très tardive But: Étude des trajectoires à extinction très tardive: P (Xn = . | Xn+k 6= 0) , k très grand. Approximation par P (X∗n = . ) := lim P (Xn = . | Xn+k 6= 0) . k→∞ Proposition (A.Joffe & S.Dallaporta (2008)) Supposons ρ 6 1. Alors 1 j · ξ(θ0 ) P X∗n+1 = j|X∗n = i = P (Xn+1 = j|Xn = i) , ρ i · ξ(θ0 ) où ξ(θ0 ) est le vecteur à droite normalisé de M(θ0 ) pour ρ. X∗n est le Q-processus associé à Xn . Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 15 / 22 Analyse des risques liés à une extinction très tardive Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive Quasi-stationnarité et stationnarité Théorème (A.Joffe & F.Spitzer (1967)) Supposons ρ < 1, alors νθ0 (j) := lim P (Xn = j | X0 = i, Xn 6= 0) n existe, ne dépend pas de i, et est une mesure de probabilité. On appelle la mesure de probabilité νθ0 la limite de Yaglom. Proposition (A.Joffe & S.Dallaporta (2008)) Supposons ρ < 1 et E (X1 ln X1 ) < ∞. Alors X∗n est récurrent positif de probabilité stationnaire πθ0 (j) := P Sophie Pénisson (Berlin / INRA) j · ξ(θ0 )νθ0 (j) . k∈Nd k · ξ(θ0 )νθ0 (k) Processus de branchement en épidémiologie 16 / 22 Analyse des risques liés à une extinction très tardive Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive Application au processus épidémiologique Rappel: le processus Xn a pour loi de transition D Xn |Xn−1 ∼ Poisson (Xn−1 · Ψ(θ0 )) . Le Q-processus associé X∗n vérifie alors: Proposition (S.P.) D Xn∗ |X∗n−1 ∼ Poisson X∗n−1 · Ψ(θ0 ) ∗B Sophie Pénisson (Berlin / INRA) ξ1 (θ0 )X∗n−1 · Ψ(θ0 ) P ∗ ξ1 (θ0 )X∗n−1 · Ψ(θ0 ) + di=2 Xn−i+1 ξi (θ0 ) Processus de branchement en épidémiologie ! . 17 / 22 Analyse des risques liés à une extinction très tardive Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive Simulation d’une trajectoire du processus Xn (en rouge) et du processus Xn∗ (en bleu), pour le même paramètre d’infection θ0 = θbX0 = 2.4486. 35 30 number of clinical cases 25 20 15 10 5 0 2010 2015 Sophie Pénisson (Berlin / INRA) 2020 2025 2030 2035 2040 2045 Processus de branchement en épidémiologie 2050 2055 2060 18 / 22 Analyse des risques liés à une extinction très tardive Estimation et prédiction Estimation et prédiction 2 n ∗ ∗ |X∗ X X X − E θ k−1 k k θbn∗ := arg min θ a · X∗k−1 k=1 Proposition (S.P.) p.s. lim θbn∗ = θ0 , n→∞ s lim n→∞ P d j∈N n P j∈Nd f ∗ (θ0 , j)πθ0 (j) g ∗ (θ0 , j)πθ0 (j) D θbn∗ − θ0 = N (0, 1) . n = 11 ∗ b θn = 2.4472 P θ0 ∈ [2.3988 ; 2.4956] ≈ 0.95 Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 19 / 22 Analyse des risques liés à une extinction très tardive Estimation et prédiction Simulation de 1000 trajectoires de Xn∗ à partir de 2009 80 maximum 97.5% quantile median 2.5% quantile minimum 70 number of clinical cases 60 50 40 30 20 10 0 2010 2015 Sophie Pénisson (Berlin / INRA) 2020 2025 2030 2035 Processus de branchement year en épidémiologie 2040 2045 2050 20 / 22 Diffusion de Feller Un mot sur le processus de diffusion de Feller Proposition (N.Champagnat & S.Roelly (2008) / S.P. (2010)) Soit P la loi d’un processus de diffusion de Feller (resp. d’un BGW à temps continu) multitype, irréductible et (sous-)critique (ρ 6 0). Alors la loi du Q-processus associé, défini par ∀t > 0, ∀B ∈ Ft , P∗ (B) := lim P (B | Xt+θ 6= 0) θ→∞ est une h-transformée de Doob de P, satisfaisant: pour tout t > 0 et x ∈ Rd+ (resp. x ∈ Nd ), x 6= 0, Xt · ξ −ρt e Px |Ft . P∗x |Ft = x·ξ Proposition (S.P.) De même que la diffusion de Feller multitype peut-être obtenue comme limite de BGW multitypes, le Q-processus associé peut-être obtenu comme limite de Q-processus associés aux BGW. Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 21 / 22 Diffusion de Feller Champagnat, N. and Rœlly, S. (2008). Limit theorems for conditioned multitype Dawson-Watanabe processes and Feller diffusions. Electron. J. Probab. 13, 777–810. Dallaporta, S. and Joffe, A. (2008). The Q-process in a multitype branching process. Int. J. Pure Appl. Math. 42, 235–240. Jacob, C., Maillard-Teyssier, L., Denis, J. B. and Bidot, C. (2009). A branching process approach for the propagation of the BSE in Great-Britain. In Branching processes and their Applications, Lecture Notes in Statistics, Springer-Verlag, 227–242. A. Joffe, A. and Spitzer, F. (1967). On multitype branching processes with ρ 6 1. J. Math. Anal. Appl. 19, 409–430. Pénisson, S. (2010). Continuous-time multitype branching processes conditioned on very late extinction. ESAIM P&S. Pénisson, S. (2010). Estimation of the infection parameter in the different phases of an epidemic modeled by a branching process. Pénisson, S. and Jacob, C. (2010). BSE epidemic in Great-Britain: prediction of the disease spread and study of the very late extinction case scenario, based on a stochastic branching model. Sophie Pénisson (Berlin / INRA) Processus de branchement en épidémiologie 22 / 22