Composition
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Composition
Janvier 2013 Epreuve commune de mathématiques en 1èreS Durée : 3heures L’usage des calculatrices est autorisé Exercice 1 (nombres ombres dérivés et tangentes -4,5 points) 1. a) Vérifier que : x 2 ) (x ? 1)(x @ 3 3x b) Résoudre dans ℝ l’inéquation AB C AC@ @A x ≥ 0. 2) ) (x ? 1)@ ((x 2). 2. Dans un repère orthonormé on a tracé les courbes représentatives des fonctions : F ( ) ) (x2 f dé(inie sur ℝ par f(x) @ F 3) et g dé(inie sur ℝ-G0H par g((x) ) . A a) Calculer les coordonnées des points d’intersection A et B de ces deux courbes. b) Donner g - ( 1) et calculer f - ( 1) à l’aide de la définition du nombre dérivé. c) Démontrer que les deux courbes ont une tangente commune en A. 3. Etudier suivant les valeurs de x les positions relatives des deux courbes. Exercice 2 (géométrie plane--4 points) ABC est un triangle. A’ et C’ sont deux points tels que : A’ est le symétrique de A par rapport à C et C’ celui de C par rapport à A. Le point K est le milieu du segment IBCJ. (AB en I et la droite (C3K) coupe (AB) en J. La droite (A3K) coupe (AB) On choisit le repère 5A; 8888889 AB,9, 888889 ACK. 1. Déterminer une équation de (A’K) puis de (C’K). 2. a) En déduire les coordonnées de I et de J. 8889et 8889 b) Quel lien existe-t-il il entre les vecteurs 8889 AJ, JI IB ? 3. a) Déterminer une équation de la droite Δ parallèle à (BC) et passant par C’. b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection B’ des droites Δ et (AB). c) Que peut-on dire du quadrilatère BCB’C’ ? Exercice 3 (statistique-4 points) Voici, suivant les activités proposées, les tarifs en euros de deux agences A et B qui organisent des week-ends de canyoning sur différents sites. • • Agence A : Agence B : Tarif en 33 euros Nombre 1 de sites Tarif en 27 euros Nombre 1 de sites 35 40 45 55 60 62 65 80 100 120 130 3 2 1 2 2 1 4 2 1 1 1 34 35 48 50 55 70 90 105 112 1 3 1 4 2 2 1 2 2 1. a) Justifier à l’aide des définitions du cours que pour la série A : QF ) 40; MQ ) 60; Q ) 65. b) Calculer les paramètres QF , MQ et Q pour la série B (on pourra ici utiliser la calculatrice). c) représenter sur un même graphique chacune des séries par un diagramme en boîte. 2. Dire à quelle agence correspond l’information suivante : a) Trois quarts des tarifs dépassent 35 €. b) La moitié des tarifs ne dépasse pas 50€. c) Un quart des tarifs dépasse 65€. d) La moitié des tarifs est entre 40€ et 65€ . 3. Commenter la dispersion des deux séries à partir de la comparaison des deux diagrammes. 4. Compléter l’information en calculant pour A et pour B le couple (xX ; σ ) avec des valeurs décimales approchées à 0,1 près. Exercice 4 (algorithme et suite-2 points) 1. On considère l’algorithme suivant : Variables i, u, n, p Entrées Saisir n, p Traitement Pour i allant de n jusqu’à p u prend la valeur 3 × i 2 Afficher « u » i « ) » u FinPour Reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant obtenu pour e ) f gh i ) jk : i «u» i «)» u 7 u7)19 8 …………………………. u8 ) 22 ……………………………. 14 15 u14 ) 40 u15 ) 43 2. (um ) est la suite définie pour tout entier naturel n par : um ) n ? 4. @ En s’inspirant de l’algorithme précédent, écrire un algorithme permettant d’obtenir les dix termes qui suivent le terme d’indice n, n n’étant pas fixé. Exercice 5 (suite-2 points) Le prix d’un article augmente tous les ans de 3%. On note po son prix initial, pF son prix un an après, pm son prix au bout de n années (n est un entier naturel). 1. Exprimer en fonction de son prix initial, son prix au bout de cinq ans. 2. Exprimer en pourcentage l’augmentation de po à pp . Exercice 6 (suite- 3,5 points) 1. Vérifier que la suite (wm ) définie pour tout entier naturel n par : wm ) 2m n’est ni arithmétique ni géométrique. 2n ? 2, 2. a) Prouver que la suite (um ) définie pour tout entier naturel n par : um ) 2n ? 2, est arithmétique. Calculer la somme uF ? u@ … ? uFo . b) Prouver que la suite (vm ) définie pour tout entier naturel n par : vm ) 2m , est géométrique. Calculer la somme vF ? v@ … ? vFo stFo 3. Calculer la somme wF ? w@ ? ⋯ ? wFo notée r ws . stF