Table des matières

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Table des matières

Table des matières
1 Introduction
2
2 Bases sur les lignes de transmission
3
2.1 Equations fondamentales de la propagation sur une ligne TEM . . . . . . .
3
2.1.1
Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.2
Lignes uniformes ; solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.3
Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.4
Tension, courant et impédance en un point de la ligne . . . . . . . .
8
2.1.5
Ondes progressives et vitesse de phase . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.6
Ondes stationnaires et coefficient de réflexion . . . . . . . . . . . . 11
2.1.7
Transmission d’un signal à spectre étroit ; vitesse de groupe . . . . . 16
2.1.8
Puissance transmise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Etude des lignes sans pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1
Impédance caractéristique et exposant de propagation . . . . . . . . 18
2.2.2
Ondes progressives, ondes stationnaires, coefficient de réflexion . . . 19
2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1
Ligne de transmission TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2
Ligne capacité série - bobine parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
Chapitre 1
Introduction
Nous avons choisi de présenter une théorie de la propagation la plus générale possible.
Le modèle à constantes réparties que nous utilisons est, comme nous le verrons dans
le chapitre 2 très général. Il permet de traiter bien d’autres applications que celle de la
propagation le long d’une ligne de transmission usuelle.
Cependant, pour ne pas nuire à la clarté de l’exposé, les notations et le vocabulaire
utilisés seront ceux classiquement employés depuis de nombreuses années, pour décrire la
théorie des lignes de transmission.
Nous n’utiliserons que les variables tension et courant, dans le plan de la notation
complexe puisque seul le comportement en régime sinusoïdal permanent sera décrit.
L’analyse des champs éléctromagnétiques ne sera pas abordée, même celle se limitant
au cas usuel d’ondes transverses électromagnétiques. C’est cependant le seul procédé correct en haute fréquence : les notions de tension et de courant devenant de plus en plus
contestables. Sachez que les premiers théoriciens de la radioélectricité (Hertz, Poincaré,
Mie,....) ont envisagé la ligne de transmission, comme un guide d’ondes électromagnétique
se propageant dans le diélectrique dans lequel cette ligne est plongée. Ce n’est pas la théorie développée dans les chapitres suivants. La théorie que nous allons développer, comme
extension des circuits de Kirchhoff, a été inventée et mise au point par Lord Kelvin et
Oliver Heaviside.
2
Chapitre 2
Bases sur les lignes de transmission
2.1
Equations fondamentales de la propagation sur
une ligne TEM
2.1.1
Cas général
Soit une ligne de longueur dz, caractérisée par son impédance linéique série Z exprimée
en Ohms/mètre et son admittance linéique shunt Y en Siemens/mètre conformément à
la figure 2.1 qui définit les polarités des courants, des tensions et le sens positif des z.
I(z)
I(z+dz)
Z
Y
V(z)
z
V(z+dz)
z+dz
F. 2.1 — Circuit équivalent infinitésimal.
Z = R + jLω
ou Z = R + pL
Y = G + jCω ou Y = G + pL
Bien entendu, Z et Y sont deux variables totalement décorrélées, ce qui veut dire qu’en
aucun cas, Y n’est égal à Z −1 .
Par contre, Z et Y sont des nombres complexes car la résolution se fait en régime
sinusoïdal permanent (jω) soit dans le plan de Laplace auquel cas v (z, t) et i (z, t) sont
3
4
PAD - Module Lignes de Transmission : Bases sur les lignes de transmission
remplacés par I (z, p) et V (z, p). Pour analyser le circuit, on applique les lois de Kirchhoff
en tension et en courant.
Le différentiel de courant : I (z) − I (z + dz) est égal au courant qui parcourt l’admit-
tance Y :
I (z) − I (z + dz) = Y dzV (z + dz)
Le différentiel de tension : V (z) − V (z + dz) est égal à la chute de tension aux bornes
de l’impédance Z :
V (z) − V (z + dz) = ZdzI (z)
Choisissant dz infiniment petit, on obtient, après division par dz et réarrangement :
dI
= YV
dz
dV
−
= ZI
dz
−
(2.1)
(2.2)
Les deux relations précédentes se découplent par dérivation et substitution :
d2 I
dY
dV
d2 I
dY
−1 dI
=
V
+
Y
→
−
=
×
− Y ZI
2
2
dz
dz
dz
dz
dz
Y dz
d2 V
dZ
dI
d2 V
dZ −1 dV
− 2 =
I +Z
→− 2 =
×
− Y ZV
dz
dz
dz
dz
dz
Z dz
−
Dans le cas général des lignes non uniformes (les paramètres linéiques sont fonctions de
z : Z (z) et Y (z)), tension et courant sont solutions des équations différentielles suivantes :
d2 V
1 dZ dV
= ZY V +
2
dz
Z dz dz
1 dY dI
d2 I
= ZY I +
dz 2
Y dz dz
(2.3)
(2.4)
Dans le cas particulier des lignes uniformes, les paramètres linéiques ne dépendent
pas de z ; les équations précédentes se simplifient. V et I satisferont la même équation
différentielle :
d2 V
− ZY V = 0
dz 2
d2 I
− ZY I = 0
dz 2
2.1.2
(2.5)
(2.6)
Lignes uniformes ; solution générale
Les équations 2.5 et 2.6 sont des équations différentielles du second ordre, à coefficients
constants ; le polynôme caractéristique :
X 2 − ZY = 0
5
√
a pour racine : ± ZY .
Les équations 2.5 et 2.6 ont donc comme solution :
√
ZY z
V (z) = V+ e−
√
− ZY z
I (z) = I+ e
√
ZY z
+ V− e
(2.7)
+ I− e
(2.8)
√
ZY z
Les coefficients V+ , V− , I+ et I− sont des constantes pouvant être complexes dépendant
de ω ou de p, suivant le régime temporel considéré.
Elles seront déterminées en écrivant les conditions aux limites sur la charge et sur le
générateur.
Ces coefficients ne sont cependant pas indépendants car V et I doivent satisfaire les
conditions 2.1 et 2.2 qui sont des relations de couplage. Soit :
√
√
√
√
√
dI √
− ZY z
ZY z
− ZY z
ZY z
− = ZY I+ e
− ZY I− e
= Y V = Y V+ e
+ V− e
dz
La relation précédente devant être vraie quel que soit z, on en déduit :
Y
I+ =
V+
Z
Y
I− = −
V−
Z
Définissons des nouveaux paramètres caractéristiques de la ligne :
∆
ZC = YZ = RC + jXC
∆
ou ZC (p) = YZ(p)
en Ohms
(p)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
ZC est appelée impédance caractéristique de la ligne de transmission car :
V+
V−
= ZC et
= ZC
I+
−I−
L’admittance caractéristique YC est l’inverse de l’impédance caractéristique :
∆
YC = YZ = GC + jBC
∆
(p)
ou YC (p) = YZ(p)
en Siemens
(2.12)
Enfin, on appelle exposant de propagation complexe, la variable :
∆
γ=
√
ZY = α + jβ en (mètres)−1
α et β sont obtenus comme solution d’une racine carrée d’un nombre complexe
(2.13)
√
ZY .
Pour une ligne passive, dans laquelle les pertes de puissance sont dues à l’effet Joule, le
terme α est positif. Il est nul en l’absence de pertes.
6
Utilisant les deux définitions précédentes (ZC et γ) dans les relations 2.7 et 2.8, on
obtient la forme plus compacte suivante :
V (z) = V+ e−γz + V− e+γz
V+ −γz V− +γz
I (z) =
e
−
e
ZC
ZC
2.1.3
(2.14)
(2.15)
Conditions aux limites
La théorie des équations différentielles nous a permis de déterminer les variations en
z de la tension et du courant le long d’une ligne de transmission.
Considérons donc maintenant un tronçon de ligne de longueur L (figure 2.2). Conformément à l’usage le plus répandu, on fait coïncider l’origine de l’axe des abscisses, avec
l’extrémité de la ligne à laquelle est branchée l’utilisation.
I1
vers
V
alimentation 1
I2
vers
utilisation
V2
z
-L
0
F. 2.2 — Longueur de ligne.
Le tronçon de ligne peut donc être considéré comme un quadripôle ; les conventions
de signe utilisées pour les tensions et les courants aux deux accès sont celles classiques
en théorie des circuits de Kirchhoff. Ecrivons que les relations 2.14 et 2.15 sont satisfaites
aux deux accès.
Accès 1 :
Accès 2 :
V1 = V (−L) = V+ eγL + V− e−γL
I1 = I (−L) = YC V+ eγL − V− e−γL
(2.16)
(2.17)
V2 = V (0) = V+ + V−
(2.18)
I2 = I (0) = −YC (V+ − V− )
(2.19)
Notre objectif est d’obtenir une vision quadripolaire du tronçon de ligne de longueur
L. Les équations 2.16, 2.17, 2.18 et 2.19 font intervenir deux paramètres V+ et V− ; pour
définir la matrice de chaîne, nous devons exprimer (V1 , I1 ) en fonction de (V2 , −I2 ).
7
La résolution des équations 2.18 et 2.19 permet d’obtenir facilement les relations suivantes :
1
(V2 − ZC I2 )
(2.20)
2
1
(V2 + ZC I2 )
(2.21)
V− =
2
Utilisant les relations précédentes 2.20 et 2.21, dans 2.16 et 2.17, ces relations se
V+ =
modifient de la façon suivante :
V1 = V+ eγL + V− e−γL = 21 (V2 − ZC I2 ) eγL + 12 (V2 + ZC I2 ) e−γL
Soit :
eγL + e−γL
eγL − e−γL
V2 + ZC
(−I2 )
2
2
I1 = YC V+ eγL − V− e−γL = YC 21 (V2 − ZC I2 ) eγL − 12 (V2 + ZC I2 ) e−γL
V1 =
(2.22)
Soit :
eγL − e−γL
eγL + e−γL
V2 +
(−I2 )
(2.23)
2
2
Avec le formalisme matriciel, les vecteurs colonnes et en utilisant les relations de
I1 = YC
définition des fonctions hyperboliques, les relations 2.22 et 2.23 peuvent se mettre sous la
forme :
V cosh γL Z sinh γL
C
1 =
I1 YC sinh γL cosh γL
V
2
−I2
(2.24)
La matrice 2 × 2 définie par la relation 2.24 est la matrice de chaîne du tronçon de
ligne de longueur L, considérée comme un quadripôle au sens de Kirchhoff.
Le déterminant de cette matrice : ∆ = cosh2 γL − sinh2 γL est égal à 1 indiquant que
le quadripôle (longueur de ligne de transmission) est réciproque.
Connaissant littéralement la matrice de chaîne (formule 2.24), on peut déterminer
les expressions des autres matrices caractérisant un quadripôle de Kirchhoff. La matrice
impédance s’écrit en particulier :
coth γL
1
sinh γL
[Zij ] = ZC 1
coth γL
sinh γL
De même la matrice admittance a pour expression :
coth γL − 1
sinh γL
[Yij ] = YC − 1
coth γL
sinh γL
(2.25)
(2.26)
Rappelons les formules classiques exprimant l’impédance d’entrée Ze
en fonction
de
A B l’impédance d’utilisation Zu et des paramètres de la matrice de chaîne ou
C D de la matrice admittance [Yij ] :
Ze =
1 + Y22 Zu
B + AZu
=
D + CZu
Y11 + ∆Y Zu
(2.27)
8
∆Y est le déterminant de la matrice [Y ]
L’application littérale de la relation 2.27, en utilisant 2.25 ou 2.26 conduit à la relation :
ZC + Zu coth γL
Ze = ZC
(2.28)
Zu + ZC coth γL
De la relation précédente, on peut déduire les cas particuliers classiques de la théorie
des lignes :
— Ligne terminée par un circuit ouvert (Zu → ∞)
Ze = ZC coth (γL)
(2.29)
— Ligne terminée par un court-circuit (Zu = 0)
Ze = ZC tanh (γL)
(2.30)
— Ligne terminée par son impédance caractéristique (Zu = ZC )
Ze = ZC
2.1.4
(2.31)
Tension, courant et impédance en un point de la ligne
On souhaite exprimer la tension V (z) et le courant I (z) en un point d’abscisse z en
fonction de la tension V2 et du courant I2 dans le plan z = 0 ; on se réfère à la figure 2.3
en notant que sur la figure, z est négatif.
I(z)
V(z)
I2
V2
Z(z)
z
z
0
F. 2.3 — Impédance de ligne.
Il suffit de rapporter dans les expressions générales 2.14 et 2.15, les expressions 2.20 et
2.21 exprimant V+ et V− en fonction de V2 et I2 . Le calcul est semblable à celui effectué
dans le paragraphe précédent (dans le cas L = −z). On obtient les relations suivantes :
V (z) = V2 cosh γz + ZC I2 sinh γz
(2.32)
I (z) = −YC V2 sinh γz − I2 cosh γz
(2.33)
9
L’impédance dans un plan d’abscisse z est par définition l’impédance appelée Z (z)
par laquelle on peut remplacer l’accès utilisation de la ligne (accès 2) sans modifier le
comportement de l’accès alimentation (accès 1). Conformément à la figure 2.3, on peut
écrire :
V (z)
V2 cosh γz + ZC I2 sinh γz
=−
(2.34)
I (z)
YC V2 sinh γz + I2 cosh γz
Si l’on suppose de plus que l’extrémité réceptrice est raccordée à un dipôle d’utilisation
Z (z) =
modélisé par une impédance Zu , on a la condition de fermeture :
V2 = −Zu I2
La relation 2.34 se modifie de la façon suivante :
Z(z) = ZC
ou
Zu − ZC tanh γz
ZC − Zu tanh γz
(2.35)
ZC − Zu coth γz
(2.36)
Zu − ZC coth γz
On remarque bien entendu que si dans la relation 2.36, on impose z = −L, on obtient :
Z(z) = ZC
Z (−L) = ZC
ZC + Zu coth γL
Zu + ZC coth γL
identique à la relation 2.28.
2.1.5
Ondes progressives et vitesse de phase
Les relations générales 2.14 et 2.15 se simplifient pour deux cas particuliers importants : V− = 0 et V+ = 0. Ces cas particuliers méritent à être étudiés en détail. Nous
allons les étudier séparément en faisant apparaître la signification physique associée à ces
phénomènes.
Cas V− = 0
Les équations 2.14 et 2.15 se simplifient de la façon suivante :
V (z) = V+ e−γz
V+ −γz
I (z) =
e
ZC
(2.37)
(2.38)
L’équation 2.36 donnant l’impédance en ligne devient :
Z (z) =
V (z)
= ZC
I (z)
(2.39)
Cette situation (V− = 0) peut s’obtenir en pratique, dans les deux configurations
suivantes :
10
— Longueur de ligne semi-infinie.
Faisant l’hypothèse que la ligne est passive, nous avons déjà noté que α doit être
positif. La ligne étant semi-infinie à l’accès 2, z est positif. Tension et courant le
long de la ligne devant rester finis, le coefficient V− doit être identiquement nul.
— Longueur de ligne terminée par son impédance caractéristique.
Dans le cas où l’impédance d’utilisation Zu est égale à l’impédance caractéristique
ZC , on dit que la ligne est adaptée. Dans ce cas, c’est l’application de l’équation
2.21 qui conduit à la condition : V− = 0.
Allons plus loin dans la description du cas V− = 0. Le régime sinusoïdal permanent
s’obtient à partir des relations 2.37 et 2.38 en utilisant les transformations classiques
rappelées ci-après :
v (z, t) = Re V (z) ejωt
i (z, t) = Re I (z) ejωt
Re est écrit à la place de Partie Réelle.
Définissons les nombres complexes, γ,V+ et ZC de la façon suivante :
γ = α + jβ ; V+ = |V+ | ejϕ+ , ZC = |ZC | ejϕC .
On peut réécrire les relations 2.37 et 2.38 de la façon suivante :
v(z, t) = |V+ | e−αz cos ωt − βz + ϕ+
i (z, t) = |YC | |V+ | e−αz cos ωt − βz + ϕ+ − ϕC
(2.40)
(2.41)
Les équations précédentes définissent un régime Tension-Courant particulier, appelé
onde progressive ; caractérisons la vitesse de phase de cette onde. Par définition, c’est la
vitesse à laquelle se déplace un observateur le long de la ligne de telle façon que tension
et courant conservent le même angle de phase.
Phase en (z, t) : ωt − βz + ϕ
Phase en (z + dz, t + dt) : ω (t + dt) − β (z + dz) + ϕ
Soit par soustraction : ωdt − βdz = 0, ou :
vϕ =
dz
ω
=
dt
β
(2.42)
On constate que cette vitesse est positive ; ce qui s’interprète par une propagation dans
le sens des z positifs, donc avec nos notations, de gauche à droite. L’utilisation étant à
droite, on parlera d’onde incidente. Dans certains cas que nous détaillerons par la suite,
nous trouverons que β dépend linéairement de ω (β = kω) : alors la vitesse de phase
définie en 2.42 ne dépend pas de ω (elle est indépendante de la fréquence). Dans le cas
général, la vitesse de phase dépend de la fréquence : on dit que la ligne de transmission est
11
dispersive. On parle de milieu dispersif ou de dispersion. Le diagramme (ω en ordonnée,
β en abscisse) est appelé diagramme de dispersion ou diagramme de Brillouin. Dans le
cas d’une ligne non dispersive, c’est une droite passant par l’origine.
La réponse impulsionnelle d’une ligne non dispersive se calcule facilement en considérant ce que nous démontrerons ultérieurement que l’exposant d’atténuation α ne dépend
pas de la fréquence.
Appliquons à l’entrée d’une ligne de longueur L fermée sur son impédance caractéristique, une impulsion de tension δ (t). La tension aux bornes de la charge est, conformément
à l’équation 2.37 une impulsion de tension de la forme :
e−αL δ (t − kL)
C’est une réplique de l’impulsion d’entrée, atténuée d’un facteur e−αL et décalée d’un
retard kL correspondant au temps mis par l’onde, se déplaçant à la vitesse vϕ =
1
k
= ωβ ,
pour parcourir la distance L.
Cas V+ = 0
On peut faire des raisonnements en tout point semblable aux précédents. Le point
de départ est toujours, les équations 2.14 et 2.15. On met en évidence encore une onde
progressive, dont la vitesse de phase est cette fois-ci négative et a pour valeur :
vϕ = −
ω
β
L’onde se propage alors dans la direction des z négatifs, donc avec nos notations, de
droite à gauche. Si l’utilisation est toujours à droite, on parlera d’onde réfléchie sur la
charge.
Tous les développements faits dans le cas V− = 0 peuvent être reproduit dans ce cas.
2.1.6
Ondes stationnaires et coefficient de réflexion
Dans le paragraphe précédent, nous avons étudié deux cas particuliers. Il apparaît à
l’examen des équations 2.14 et 2.15 que le cas général est la superposition de ces deux
cas.
Tension et courant le long d’une ligne sont donc la superposition d’une onde incidente
et d’une onde réfléchie se propageant avec des vitesses de phase égales en valeur absolue
et opposées en direction.
Une telle situation se rencontre souvent en physique (cordes vibrantes par exemple)
et conduit à la notion d’ondes stationnaires.
12
Nous allons sur un exemple mettre clairement en évidence cette notion de ”stationnarité”. Supposons que la ligne soit terminée en z = 0 par un circuit ouvert : I (0) = 0. La
relation 2.15 impose : V− = V+ . La relation 2.14 devient donc :
V (z) = V+ e−γz + e+γz
Supposons de plus que la ligne est sans pertes (α = 0) et que l’origine du temps est
choisie de façon telle que V+ soit réel positif. On peut alors écrire :
Soit :
V (z) = V+ e−jβz + e+jβz
v (z, t) = Re V (z) ejωt = V+ [cos (ωt − βz) + cos (ωt + βz)]
v (z, t) = 2V+ cos (ωt) cos (βz)
(2.43)
Pour obtenir l’expression du courant, on reprend l’équation 2.1 appliquée aux lignes
sans pertes ; quelques calculs conduisent à la relation :
i (z, t) = 2YC V+ sin (ωt) sin (βz)
(2.44)
Les deux variables, espace (z) et temps (t) apparaissent de façon séparée dans les
équations 2.43 et 2.44.
Si l’on se place en une abscisse quelconque (z donné), tension et courant s’expriment
en fonction du temps par une fonction cissoïdale : leur amplitude est indépendante du
temps : elle est stationnaire.
Sur la ligne, apparaissent des minima et des maxima de tension et de courant, dont
les positions sont fixes.
Si l’on compare 2.43 et 2.44, on constate que courant et tension sont déphasés de π/2
que l’on s’intéresse à la variation temporelle (sin ωt → cos ωt) ou à la variation spatiale
(sin βz → cos βz)
ω en temporel joue le même rôle que β en spatial. Donc il est judicieux de faire
correspondre ω = 2π/T avec β = 2π/λ.
T est la période temporelle ; λ apparaît comme la période spatiale : on l’appelle longueur d’onde.
On définit le coefficient de réflexion par le rapport des amplitudes complexes des ondes
réfléchie et incidente (en regardant vers les z croissants : l’alimentation est donc à gauche
et l’utilisation à droite) :
∆
Γ (z) =
V− 2γz
V− eγz
=
e
−γz
V+ e
V+
(2.45)
13
En particulier, dans le plan de l’utilisation (z = 0), on peut définir le coefficient de
réflexion Γu par la relation :
V−
(2.46)
V+
La valeur du coefficient de réflexion sur la charge Γu est entièrement déterminée par
Γu = Γ (0) =
la nature de la charge. En effet, reprenant les relations 2.20 et 2.21, dans lesquelles on
impose la condition de fermeture : V2 = −Zu I2 , on obtient la relation :
Zu − ZC
Γu =
=
Zu + ZC
Zu
ZC
Zu
ZC
−1
+1
(2.47)
Un cas particulier important se produit lorsque l’impédance d’utilisation est égale à
l’impédance caractéristique : Γ = 0. La charge satisfait la condition d’adaptation, il n’y a
pas d’onde réfléchie.
Si l’on connaît le coefficient de réflexion Γu , on peut en déduire facilement l’impédance
de charge Zu par la relation :
1 + Γu
(2.48)
1 − Γu
Faisant intervenir le coefficient de réflexion dans un plan d’abscisse z, Γ (z), les équaZu = ZC
tions générales de la tension 2.14 et du courant 2.15 se modifient de la façon suivante :
V (z) = V+ e−γz [1 + Γ (z)]
(2.49)
I (z) = YC V+ e−zγ [1 − Γ (z)]
(2.50)
Les équations particulières 2.47 et 2.48, définies dans le plan de l’utilisation peuvent
alors se généraliser dans un plan d’abscisse z ; on a :
Z (z) =
V (z)
1 + Γ (z)
= ZC
I (z)
1 − Γ (z)
ou :
Z (z) − ZC
=
Γ (z) =
Z (z) + ZC
Z(z)
ZC
Z(z)
ZC
−1
+1
(2.51)
(2.52)
Les relations que nous venons d’établir sont la base des techniques de l’ingénieur
associées aux lignes de transmission.
Si l’on connaît les paramètres de la ligne (ZC , γ) et l’impédance en un plan d’abscisse
quelconque, on peut calculer l’impédance en tout autre plan, en particulier, l’impédance
d’utilisation.
Le coefficient de réflexion joue le rôle d’intermédiaire de calcul. Pour se rendre compte
de l’efficacité de cet outil, il suffit de réécrire la relation 2.45 de la façon suivante :
Γ (z1 ) = Γ (z2 ) e2α(z1 −z2 )
(2.53)
14
Si l’on effectue le long de la ligne, un déplacement vers le générateur, compte tenu de
nos notations, on a : z1 < z2 < 0. L’équation 2.53 en module devient :
|Γ (z1 )| = |Γ (z2 )| e2α(z1 −z2 )
Le module du coefficient de réflexion diminue et le facteur d’atténuation vaut : e−2α∆z ;
α est exprimé en Néper/mètre. Lorsqu’on s’écarte suffisamment de l’utilisation, ce facteur
d’atténuation tend vers zéro ; il tend plus rapidement vers zéro que α est plus grand. On
en arrive à la conclusion pratique suivante :
L’impédance d’entrée d’une ligne dissipative longue se rapproche de l’impédance caractéristique de la ligne.
Revenons à la relation 2.53, réécrite cette fois-ci en faisant intervenir les arguments
Γ (z1 ) = Γ (z2 ) + 2β (z1 − z2 )
On peut fournir à cette relation l’interprétation suivante : dans le plan complexe, le
coefficient de réflexion est soumis à une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre,
d’un angle proportionnel au déplacement vers le générateur.
Si l’on tient compte maintenant, à la fois, du module et de l’argument, lors du déplacement vers le générateur, l’extrémité du vecteur Γ (z) décrit une spirale logarithmique dans
le plan complexe ; si la ligne a des pertes, au bout d’une certaine distance, cette spirale
tend vers l’origine des coordonnées (Figure 2.4). Si la ligne n’a pas de pertes, la spirale
devient un cercle.Une rotation de 2π autour de l’origine, correspond à un déplacement d
F. 2.4 — Variations du coefficient de réflexion.
15
tel que βd = π, c’est-à-dire à une demi-longueur d’onde.
Les évolutions des modules de la tension et du courant lors d’un déplacement peuvent
aussi se visualiser de façon simple si l’on interprète les relations 2.49 et 2.50 dans le plan
complexe. En effet, les modules des expressions 2.49 et 2.50 peuvent s’écrire de la façon
suivante :
|V (z)| = e−αz |V+ | |1 + Γ (z)|
(2.54)
|I (z)| = e−αz |YC | |V+ | |1 − Γ (z)|
(2.55)
Les variations du facteur d’atténuation e−αz étant uniformes, les valeurs extrêmes des
modules de la tension et du courant correspondent aux valeurs extrêmes |1 + Γ (z)| et
|1 − Γ (z)|. Les vecteurs 1 + Γ (z) et 1 − Γ (z) sont facilement construits dans le plan
complexe, à partir du vecteur Γ (z), conformément à la figure 2.5.
F. 2.5 — Variations des modules de la tension et du courant.
L’examen de la figure 2.5 montre aussi que ces valeurs extrêmes correspondent à la
situation pour laquelle Γ (z) est réel, positif ou négatif, dans le cas d’une ligne sans pertes
(α = 0) ; de plus, dans ce cas, la tension passe par un maximum quand le courant passe
par un minimum.
Les propriétés précédentes ne sont pas vraies en présence de pertes, comme on le voit
facilement sur la figure 2.5.
16
2.1.7
Transmission d’un signal à spectre étroit ; vitesse de groupe
Lorsqu’on travaille à fréquence fixe, les paramètres primaires (R, L, C, G) ou secondaires (ZC , γ) sont des constantes ; si la fréquence varie, la valeur des paramètres change.
Pour transmettre l’information, on travaille en général avec une fréquence porteuse et on
utilise comme technique la modulation. Le signal considéré n’est en général plus sinusoïdal
pur et a un certain étalement dans le domaine fréquentiel.
On se limitera au cas très simple où le spectre du signal considéré est limité à une
bande de fréquence étroite, autour d’une fréquence porteuse (paquet d’ondes).
Plus particulièrement, nous allons considérer une modulation d’amplitude, la porteuse
étant caractérisée par une pulsation ω0 et la modulation par une pulsation ∆ω. Le signal
d’excitation a donc pour expression :
v (t) = V [1 + m cos (∆ωt)] cos ω 0 t
soit :
m
m
v (t) = V cos ω 0 t + cos (ω 0 + ∆ω) t + cos (ω 0 − ∆ω) t
(2.56)
2
2
v (t) a donc trois composantes fréquentielles (ω0 , ω 0 + ∆ω, ω 0 − ∆ω) auxquelles il correspond trois facteurs de propagation : (α0 , β 0 ), (α0 + ∆α, β 0 + ∆β) et (α0 − ∆α, β 0 − ∆β).
Supposons pour terminer que la ligne est infinie, c’est à dire qu’il n’y a pas d’ondes
stationnaires.
A une distance l du plan d’excitation de la ligne, en appliquant le principe de superposition, la tension résultante sera la somme des tensions causées par les trois excitations,
aux pulsations ω 0 , ω0 + ∆ω, ω 0 − ∆ω. Soit :
v (t, l) = V e−α0 l cos (ω 0 t − β 0 l) +
m −(α0 +∆α)l
e
cos [(ω0 + ∆ω) t − (β 0 + ∆β) l]
2
m −(α0 −∆α)l
+2e
cos [(ω0 + ∆ω) t − (β 0 + ∆β) l]
(2.57)
Faisant l’hypothèse supplémentaire que le facteur d’atténuation α ne dépend pas de
la fréquence (∆α = 0), la relation 2.57 peut se mettre sous la forme suivante :
v (t, l) = V e−α0 l [1 + m cos (∆ωt − ∆βl)] cos (ωt − βl)
(2.58)
A une distance l, la forme de la tension est toujours une modulation d’amplitude.
Nous pouvons cependant interpréter la relation 2.58 de deux façons différentes.
Pour que la phase de la porteuse reste constante, l’observateur doit se déplacer à la
vitesse ω/β que nous appellerons vitesse de phase.
Pour que la phase de la modulation reste constante, l’observateur doit se déplacer à la
vitesse ∆ω/∆β que nous appellerons la vitesse de groupe. La vitesse de groupe que nous
17
venons de définir, l’a été moyennant beaucoup d’hypothèses simplificatrices. En fait, la
relation est extrêmement générale et l’on peut poser par définition :
∆
vg =
dω
dβ
(2.59)
Dans le cas d’un milieu non dispersif, nous avons déjà noté la relation β = kω ; vitesses
de groupe et de phase sont égales dans ce cas.
Dans le cas général d’un milieu dispersif, vitesse de groupe et vitesse de phase sont
différentes. En dérivant par rapport à β, la formule de la vitesse de phase, on obtient
successivement :
vϕ =
ω
dvϕ
dω
→ vϕ β = ω →
β + vϕ =
β
dβ
dβ
soit :
dvϕ
(2.60)
dβ
En plus des vitesses de groupe et de phase, physiquement une troisième notion peut
vg = vϕ + β
encore être définie, c’est la vitesse de propagation de l’énergie. On peut démontrer que
pour une ligne faiblement dispersive, la vitesse de propagation de l’énergie est égale à la
vitesse de groupe ; la démonstration de cette propriété sort du cadre de cet exposé.
2.1.8
Puissance transmise
La puissance complexe traversant un plan d’abscisse z, est définie en notation complexe
par la relation :
1
P (z) = V (z) I ∗ (z)
2
Le facteur 1/2 dans la formule, indique que l’on utilise des valeurs crêtes ; l’étoile en
exposant signifie que l’on prend la valeur complexe conjuguée. Utilisant les relations 2.49
et 2.50, on obtient la forme développée suivante :
P (z) =
1
|V+ |2 YC∗ e−2αz 1 − |Γ|2 + 2jImΓ
2
(2.61)
ImΓ signifie : partie imaginaire du coefficient de réflexion.
Connaissant la valeur de la puissance complexe, on peut en déduire la puissance ac-
tive transmise en prenant la partie réelle ; soit après quelques manipulations, l’expression
suivante :
1
ImYC
2
2
−2αz
ReP (z) = |V+ | (ReYC ) e
1 − |Γ| + 2 (ImΓ)
2
ReYC
(2.62)
La relation 2.61 est une relation très générale qui s’applique à d’autres ondes (en particulier celles intervenant dans les guides d’ondes) pourvu que les amplitudes des variables
les décrivant soient convenablement normalisées.
18
On peut associer aux ondes incidente et réfléchie, les puissances P+ et P− telles que :
P+ =
1
2
|V+ |2 YC∗ e−2αz et P− = − 12 |V+ |2 YC∗ |Γ| e−2αz de telle sorte que la relation suivante
est vraie :
1
|V+ |2 YC∗ e−2αz 1 − |Γ|2
(2.63)
2
La puissance active associée à la superposition de ces deux ondes de puissance vaut
P+ + P− =
donc :
1
|V+ |2 (ReYC ) e−2αz 1 − |Γ|2
(2.64)
2
La puissance active n’étant pas calculée à l’aide d’une relation linéaire, il n’est pas
Re (P+ + P− ) =
anormal que, dans le cas général, comme on peut s’en rendre compte en comparant les
relations 2.62 et 2.64, la puissance transmise n’est pas la somme des puissances associées
aux ondes progressives, incidente et réfléchie.
L’égalité est obtenue uniquement lorsque l’impédance caractéristique est réelle ou
lorsque le coefficient de réflexion prend des valeurs réelles. Dans le cas général, il y a
présence d’un terme supplémentaire de valeur :
2ImΓ
ImYC
ReYC
Ce terme rend certainement compte de l’interaction entre les ondes incidente et réfléchie ; son interprétation physique n’est pas évidente. Dans le cas particulier d’une impédance caractéristique réelle, on a l’égalité : ReP = Re (P+ + P− ) ce qui rend particulièrement attractif le raisonnement en ondes progressives, incidente et réfléchie.
2.2
2.2.1
Etude des lignes sans pertes
Impédance caractéristique et exposant de propagation
Tout terme permettant de modéliser l’effet Joule doit être annulé puisque l’hypothèse
est faite que les lignes sont sans pertes. Donc :
Z = jX
et Y = jB
Aucune puissance ne peut être dissipée dans la ligne.
L’application de la formule 2.11, permet de conclure que l’impédance caractéristique
est réelle si X et B sont de même signe ; nous noterons RC sa valeur.
Z
X
=
= RC
ZC =
Y
B
(2.65)
19
Dans les mêmes hypothèses, l’application de la formule 2.13, permet de conclure que
l’exposant de propagation est imaginaire pur :
√
√
γ = ZY = j XB = jβ
(2.66)
Les équations générales 2.14 et 2.15 se réécrivent sous la forme :
V (z) = V+ e−jβz + V− ejβz
(2.67)
RC I (z) = V+ e−jβz − V− ejβz
(2.68)
Des développements semblables à ceux du paragraphe 2-1-4 permettent d’exprimer
tension, courant et impédance en un plan d’abscisse z en fonction des conditions satisfaites
sur l’utilisation. On obtient les relations :
V (z) = V2 cos βz + jRC I2 sin βz
(2.69)
RC I (z) = −jV2 sin βz − RC I2 cos βz
(2.70)
Z (z) = RC
2.2.2
Zu − jRC tan (βz)
RC − jZu tan (βz)
(2.71)
Ondes progressives, ondes stationnaires, coefficient de réflexion
Il est aisé, dans le cas des lignes sans pertes (α = 0) de particulariser les résultats
obtenus dans le cas général aux paragraphes 2-1-5 et 2-1-6.
Pour une onde progressive se propageant dans la direction des z croissants, les variations le long de la ligne, de la tension et du courant peuvent s’écrire :
v (z, t) = |V+ | cos ωt − βz + ϕ+
RC i (z, t) = V (z, t)
(2.72)
(2.73)
Conformément à l’interprétation physique, le terme d’atténuation en exponentielle a
disparu ; en un instant t donné, tension et courant varient de façon sinusoïdale ; en un
plan z donné, on a bien évidemment une variation temporelle sinusoïdale.
La sinusoïde se déplace le long de la ligne à la vitesse de phase. Les variations du
coefficient de réflexion, le long de la ligne s’écrivent :
Γ (z) = Γu e2jβz
(2.74)
|Γ (z)| reste donc constant, quelque sot le plan d’abscisse z ; |Γ (z)| = |Γu |.
Le module du coefficient de réflexion est un invariant le long de la ligne. Comme noté
sur la figure 2.5 et dans le paragraphe 2-1-6, l’extrémité du vecteur Γ (z) décrit dans le
20
plan complexe, un arc de cercle centré à l’origine ; le point représentatif tourne dans le
sens des aiguilles d’une montre lorsqu’on se déplace vers le générateur.
Les relations de passage entre coefficient de réflexion Γ (z) et impédance en un plan
d’abscisse z sont inchangées :
1 + Γ (z)
1 − Γ (z)
Z (z) − RC
Γ (z) =
Z (z) + RC
Z (z) = RC
(2.75)
(2.76)
Les expression générales 2.54 et 2.55 concernant la tension, le courant et la puissance
le long de la ligne s’obtiennent facilement en imposant α = 0 :
V (z) = V+ e−jβz [1 + Γ (z)]
(2.77)
RC I (z) = V+ e−jβz [1 − Γ (z)]
(2.78)
1 |V+ |2 1 − |Γ|2
(2.79)
ReP =
2 RC
La relation 2.78, comme on l’a déjà signalé dans le paragraphe 2-1-8, conduit à une
interprétation physique fondamentale : la puissance active transportée peut se calculer
en additionnant algébriquement la puissance active transportée par l’onde progressive
incidente et la puissance active transportée par l’onde progressive réfléchie.
Une charge passive, par définition, ne peut que prélever de la puissance active sur la
ligne, soit :
Ru ≥ 0 =⇒ ReP (0) ≥ 0
La conséquence sur le module du coefficient de réflexion est très importante :
|Γu |2 ≤ 1
et donc, en un plan quelconque de la ligne :
|Γ (z)| = |Γu | ≤ 1 ∀z
(2.80)
Le cercle de rayon unité est donc fondamental dans le plan complexe : l’extrémité du
vecteur Γ (z) doit toujours se trouver dans son intérieur. Cette remarque ne s’applique
pas dans le cas de charges actives, la partie réelle de l’impédance Ru pouvant alors être
négative : |Γu | peut alors être supérieur à l’unité. C’est le cas pour des amplificateurs en
réflexion.
L’extrémité de Γ (z) tournant sur un cercle et les expressions 2.77 et 2.79 faisant
intervenir e−jβz , ces relations impliquent des variations périodiques pour la tension et le
courant le long de la ligne.
21
On calcule facilement le module de ces expressions qu’on peut mettre sous la forme :
|V (z)| = |V+ | |1 + Γ (z)|
(2.81)
|I (z)| = |I+ | |1 − Γ (z)|
(2.82)
Les valeurs extrémales des modules, aussi bien pour la tension que pour le courant
s’obtiennent aux abscisses où le coefficient de réflexion est réel. Soit, conformément à la
figure 2.5 :
|V (z)|max = |V+ | [1 + Γ (z)]
(2.83)
|V (z)|min = |V+ | [1 − Γ (z)]
(2.84)
On appelle Rapport d’Ondes Stationnaires (ROS) le rapport :
∆
ROS =
|V (z)|max
|1 + Γ (z)|
=
|V (z)|min
|1 − Γ (z)|
(2.85)
On peut écrire |Γ (z)| puisque nous avons démontré que c’était une constante. Les
ouvrages anglo-saxons notent le ROS, V SW R pour Voltage Standing Wave Ratio.
Dans le plan d’abscisse de l’extremum (un maximum de tension correspond à un
minimum de courant et vice-versa), l’impédance Z (z) est une quantité réelle (tension et
courant sont en phase), de valeur extrémale (minimum ou maximum).
La distance entre deux extrema de tension est λ/2. La distance entre deux extrema
de courant est λ/2.
La distance entre un maximum et un minimum de tension/courant est λ/4.
En un plan d’abscisse z0 , pour lequel la tension est minimale en module, on a la
relation :
Γ (z0 ) = − |Γ (z)|
L’utilisation des relations 2.85 et 2.75 conduit à écrire :
Z (z0 )
1 + Γ (z0 )
1 − |Γ (z)|
1
=
=
=
RC
1 − Γ (z0 )
1 + |Γ (z)|
ROS
(2.86)
Rapport d’ondes stationnaires et module du coefficient de réflexion sont donc liés par
la relation :
ROS =
2.3
2.3.1
1 + |Γ (z)|
ROS − 1
; |Γ (z)| =
1 − |Γ (z)|
ROS + 1
(2.87)
Applications
Ligne de transmission TEM
On démontre en électromagnétisme qu’une ligne de transmission, siège d’une onde
TEM est caractérisée par les paramètres linéiques primaires R, L, C, G (Résistor série R
22
et bobine série L ; Résistor parallèle G et condensateur parallèle C).
Conformément à la figure 2.1, le schéma équivalent d’un tronçon de ligne de longueur
dz est représenté sur la figure 2.6.
Rdz
Ldz
Cdz
Gdz
F. 2.6 — Circuit équivalent infinitésimal.
Dans le plan de Laplace, les définitions du paragraphe 2-1-2 se particularisent de la
façon suivante :
Z = R + pL ; Y = G + pC
(2.88)
L’impédance caractéristique ZC et l’exposant de propagation γ ont donc les expressions
suivantes :
ZC =
R + pL
; γ = (R + Lp) (G + pC)
G + Cp
(2.89)
En régime sinusoïdal permanent (p = jω), on peut facilement calculer les parties
réelles (α) et imaginaire (β) de l’exposant de propagation (γ) en réécrivant :
γ = α + jβ =
(R + jLω) (G + jCω) ; γ 2 = α2 − β 2 + 2jαβ
Egalant les parties réelles de γ 2 , on obtient la relation :
α2 − β 2 = RG − ω 2 LC
(2.90)
Egalant les carrés des modules, on obtient la relation :
α2 − β 2 =
(R2 + L2 ω2 ) (G2 + C 2 ω 2 )
(2.91)
Par addition et soustraction, on obtient les expressions suivantes pour α et β :
1 2
α =
(R + L2 ω 2 ) (G2 + C 2 ω2 ) + RG − ω2 LC
(2.92)
2
1 2
2
2
2
2
2
2
β =
(R + L ω ) (G + C ω ) − RG + ω LC
(2.93)
2
On peut faire l’étude des variations en fonction de la fréquence (ou ω) des variables α
et β. En supposant que les paramètres primaires (R, L, C, G) ne varient pas en fonction
23
de la fréquence (ce qui n’est pas réaliste dans une grande bande de fréquence), on aboutit
aux conclusions suivantes :
A fréquence nulle, ces deux fonctions (α et β) passent par un minimum :
√
αmin = RG ; β min = 0
(2.94)
A fréquence élevée, α et de β tendent vers les valeurs asymptotiques suivantes :
√
R C G L
αmax =
+
; β ω LC
(2.95)
2 L
2 C
Les variations de α et β en fonction de la pulsation, sont représentées sur les figures
2.7.
F. 2.7 — Variations de α et β en fonction de ω.
Une situation très particulière est celle pour laquelle la condition suivante est réalisée :
R
L
=
G
C
(2.96)
L’impédance caractéristique, bien que la ligne ait des pertes, a une valeur réelle :
R
L
=
(2.97)
ZC = RC =
G
C
L’affaiblissement est constant :
αmax = αmin =
√
RG
Le déphasage est proportionnel à la fréquence :
√
β = ω LC
(2.98)
(2.99)
Les propriétés précédentes, en régime fréquentiel sont celles d’une ligne non-dispersive ;
c’est pourquoi, la relation 2.96 est appelée condition de non-dispersion. En régime temporel quelconque, on démontre que la dispersion entraîne la distorsion du signal transmis.
24
La relation 2.96 revêt donc une grande importance lorsqu’on étudie la propagation sur les
lignes de transmission de signaux impulsionnels.
La figure 2.8 représente les variations de α et β en fonction de ω, lorsque la condition
de non-dispersion (ou de non distorsion) est satisfaite.
F. 2.8 — Condition de non-dispersion.
2.3.2
Ligne capacité série - bobine parallèle
Les relations générales du paragraphe 2-1 s’appliquent à d’autres types de ligne : un
cas particulier important bien que n’ayant pas de représentation physique immédiate est
celui représenté sur la figure 2.9.
1 dz
Cp
1 dz
Lp
F. 2.9 — Modélisation par capacité série - bobine parallèle d’une section infinitésimale.
L’impédance série Z est modélisée par un condensateur ; l’admittance parallèle Y est
modélisée par une bobine.
Bien qu’en dehors des propos de ce document, on rencontre un tel type de modélisation,
lorsqu’on étudie des lignes de transmission, dont les paramètres subissent des variations
périodiques.
25
ω
β
F. 2.10 — Diagramme de dispersion de la ligne C − L.
Puisque
1
1
et Y =
(2.100)
Cp
pL
on obtient, dans le plan de Laplace, les expressions suivantes pour l’impédance caractéZ=
ristique et l’exposant de propagation :
ZC ≡ RC =
L
1
; γ=
C
p
1
LC
(2.101)
En particulier, pour le régime sinusoïdal permanent (p = jω), γ est imaginaire pur :
1
γ = jβ avec β = ± √
ω LC
(2.102)
La figure 2.10 représente les variations du diagramme de dispersion. Ce diagramme
est totalement différent du diagramme classique représenté sur la figure 7. Il présente une
particularité intéressante. La vitesse de phase ω/β est positive alors que la vitesse de
groupe dω/dβ est négative compte tenu de la décroissance.
On appelle onde rétrograde, une onde pour laquelle les vitesses de phase et de groupe
sont de signe opposé. Il y a transfert d’énergie dans une direction opposée à celle définie
par la vitesse de phase.
L’existence de ce type d’ondes n’est pas qu’un cas d’école : plusieurs applications
pratiques importantes utilisent les ondes rétrogrades en particulier les générateurs microondes.

Table des matières

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