Files d`attente (2)

Files d’attente (2)
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Cours de Tronc Commun Scientifique
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Files d’attente (2)
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Les processus de
naissance et de
mort
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/MX
Files M/G
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Les files d’attente (2)
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
Conclusion
Frédéric Sur
École des Mines de Nancy
www.loria.fr/∼sur/enseignement/RO/
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Les files d’attente (2)
1
Les processus de naissance et de mort
2
Files M/MX
Files d’attente (2)
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Les processus de naissance et de mort : définition
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
3
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Conclusion
C’est un processus de Markov à temps continu tel que
∀n > 1, Pr(Nt+h = n) ne dépend (à l’ordre 1) que de
Pr(Nt = n − 1), Pr(Nt = n), Pr(Nt = n + 1)
Files M/MX
Représentation :
Conclusion
0
3/21
4
Réseaux de files d’attente
5
Conclusion
u
µ1
51
λ0
u
µ2
52
λ1
u
µ3
λ2
t
4...
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
µn+1
µn
5n
u
λn−1
Interprétation : états = taille de la population
transition n −→ n + 1 : naissance
transition n −→ n − 1 : mort
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F. Sur - ENSMN
Les processus de
naissance et de
mort
Définition - Processus de naissance et de mort
Files M/MX
Files d’attente (2)
λn
4...
Les processus de naissance et de mort : propriétés
0
u
µ1
51
λ0
u
µ2
52
u
λ1
µ3
λ2
4
µn+1
µn
...t
5n
u
λn−1
En régime stationnaire (convergence de la série
pn =
n
Y
λi−1
i=1
µi
λn
P
4...
Files d’attente (2)
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pn . . .) :
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Les processus de
naissance et de
mort
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/MX
Files M/G
Les processus de naissance et mort modélisent les files
d’attente M/M.
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
n
Files d’attente (2)
Remarque
Mais tous les phénomènes d’attente ne sont pas des
processus de naissance et de mort. . .
Conclusion
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
−→ cf exercices.
−→ exemple des files M/MX
p0 .
Cas particulier : toutes les files M/M !
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Les files d’attente (2)
1
Les processus de naissance et de mort
2
Files M/MX
Files d’attente (2)
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Processus de Markov en lots (1)
Hypothèse : arrivées Markoviennes
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Les processus de
naissance et de
mort
mais plusieurs départs possibles.
Files M/MX
Files M/G
En général :
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
4
5
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Pr(Nt+h = n)
PASTA
Pollaczek-Khinchine
=
Conclusion
+∞
X
k=n−1
=
Pr(Nt+h = n|Nt = k) · Pr(Nt = k) + o(h)
λh Pr(Nt = n − 1) + α Pr(Nt = n)
+∞
X
+
Pr(D(t, t + h) = k − n) · Pr(Nt = k)
k=n+1
Réseaux de files d’attente
+ o(h)
Conclusion
où D(t, t + h) est le nombre de départs entre t et t + h.
(indépendant des départs avant t.)
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(au plus une arrivée sur un intervalle de temps h “très petit”)
Files M/G
3
Files d’attente (2)
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Réseaux de files
d’attente
Conclusion
Files d’attente (2)
Processus de Markov en lots (2)
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Cas particulier pour les départs :
Pr(D(t, t + h) = k) ne dépend pas de t, et est sous la
forme αk h + o(h)
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
−→ processus de Markov en lots (batch Markov).
Notation de Kendall : MX
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Représentation “locale” :
αn
Conclusion
αn−1
Exemple (cf “attente dans un club sportif”)
→ Arrivée Poissonnienne de joueurs dans un club avec deux
courts de tennis. (taux λ)
→ Une partie commence dès que deux joueurs sont présents,
et a une durée exponentielle. (moyenne 1/µ)
→ dès que la partie est terminée, le perdant part, le
vainqueur part avec la probabilité π, et reste jouer avec la
probabilité 1 − π.
Question : Combien de joueurs présents dans le club ?
(1−π)µ
1
~
2
|
...
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Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
Graphe associé :
αn−2
0
Files d’attente (2)
n-1
s
α1
n
λ
0]
2 n+1
λ
51]
u
λ
πµ
Remarque 1 : ce n’est pas un processus naissance/mort.
Remarque 2 : situation symétrique pour une file MX /M
(MX /MX ?)
(1−π)µ
52]
πµ
u
λ
2(1−π)µ
53^
u
2πµ
λ
2(1−π)µ
54^
u
2πµ
λ
4...
2πµ
−→ régime permanent avec théorème des coupes, etc.
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Les files d’attente (2)
1
Les processus de naissance et de mort
Files d’attente (2)
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Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/G
2
Files M/MX
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
3
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
4
Réseaux de files d’attente
5
Conclusion
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La propriété PASTA pour un système M/G
(R.W. Wolff 1981)
Propriété PASTA - Poisson Arrivals See Time Averages
Sous hypothèse d’arrivées Poissonniennes, chaque arrivant
voit une distribution des clients (πn ) dans le système égale
au régime permanent (pn ).
Conclusion
Files d’attente (2)
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Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
Donc tout nouvel arrivant voit N clients en moyenne avant
lui dans le système.
Contre-exemple : arrivées déterministes à t = 0, 2, 4 . . .
et durée de service 1.
Alors : p0 = p1 = 1/2,
et : π0 = 1, π1 = 0 . . .
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Les formules de Pollaczek-Khinchine
On montre à l’aide de PASTA que :
Propriété
Dans une file M/G/1 (arrivée Poissonniennes de taux λ et
durée de service aléatoire Y ) :
N=τ+
τ 2 (1 + Var(Y )/E (Y )2 )
2(1 − τ )
Files d’attente (2)
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Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
τ (1 + Var(Y )/E (Y )2 )
T = E(Y ) 1 +
2(1 − τ )
Quel est le temps moyen de réparation à l’atelier ?
(il ne traite qu’une machine à la fois)
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
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Les files d’attente (2)
1
Les processus de naissance et de mort
2
Files M/MX
Files d’attente (2)
F. Sur - ENSMN
4
Réseaux de files d’attente
5
Conclusion
Files d’attente (2)
F. Sur - ENSMN
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/MX
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Remarque
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/G
15/21
La réparation dure (exactement) 20 jours avec proba 0,2 et
1 jour avec proba 0,8.
F. Sur - ENSMN
→ On calcule alors avec Pollaczek-Khinchine :
T = 12, 57 jours.
→ Nombre moyen de machines dans l’atelier :
N = 1, 257 machine.
τ = 1 − p0 .
Cas particulier : G=M, VarY = E (Y )2 = 1/µ2 . . .
3
Soit une entreprise utilisant des machines identiques.
Ces machines tombent en panne au bout d’une durée
Poissonnienne de taux λ.
(1/λ = 10 jours est le MTBF)
Files d’attente (2)
E (Y ) = 20 × 0, 2 + 1 × 0, 8 = 4, 8 jours.
Var(Y ) = E (Y 2 ) − E (Y )2 = 57, 76 jours2 .
τ = λE (Y ) = 0, 48
(donc p0 = 0, 52)
où τ = λE (Y ).
On démontre aussi (cf poly) :
Application
Conclusion
On peut écrire les formules du slide 8 avec Nt ∈ Zd
D’où un graphe dont les sommets correspondent à un
d-uplet.
−→ cf exercice 3.9.11 (serveur semi-actif),
ou réseaux de files d’attente.
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Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
Files d’attente (2)
Réseaux de files d’attente (1)
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Exemple : une file M/M/1/3 suivie d’une file M/M/1/2.
2
1
λ0
S1
1
Les processus de
naissance et de
mort
HH
HHµ2
HH
λ
HH
H
µ1
/ 0,1
1,0 dH
dHH
HH
HH µ
HHµ2
HH 2
HH λ
λ
HH
HH
HH
H
µ1
µ1
/ 0,2
/
2,0 dH
1,1 dH
U
HH
HH
HHµ2
HHµ2
HH λ
HH λ
µ1
λ
HH
HH
H H µ1
µ1
/ 1,2
/ 2,1
3,0 dH
H
U
d
HH
HH
HHµ2
HHµ2
HH λ
HH λ
µ1
HH
HH
H H µ1
/ 2,2
3,1 dH
U
HH
HHµ2
HH λ
µ1
HH
H Files M/MX
PASTA
Pollaczek-Khinchine
S2
µ1
µ2
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0,0 dH
Files M/G
λ
Files d’attente (2)
Réseaux de files d’attente (2)
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
→ Ici λ0 = 0 lorsqu’il n’y a pas de client servi en S1 ,
sinon λ0 = µ1 .
→ Lorsque l’une des files est pleine, les clients arrivant sont
perdus.
Graphe ?
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
3,2
17/21
18/21
Les files d’attente (2)
Files d’attente (2)
F. Sur - ENSMN
Conclusion
Files d’attente (2)
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Cas général : formule de Little.
1
Les processus de naissance et de mort
2
Files M/MX
Les processus de
naissance et de
mort
M/M : processus de naissance et de mort
cf formulaire dans le poly.
Files M/MX
M/MX , MX /M, MX /MX : toujours un processus de
Markov.
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
3
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
4
Réseaux de files d’attente
5
Conclusion
M/G : PASTA, Pollaczek-Khinchine.
Conclusion
Files M/MX
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Réseaux de files
d’attente
Conclusion
Remarque : (beaucoup) plus de résultats sur les cas M/G
ou réseaux de files d’attente dans la littérature.
Remarque : et dans le cas non-Markovien ?
Calculs explicites pas forcément possibles
−→ simulation.
Produit commercial professionnel : par exemple ExtendSim.
(CE42 H. Amet – Outils et méthodes pour la conception de
systèmes informatisés d’aide à la décision)
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Les processus de
naissance et de
mort
20/21
Test 2
Précision : polycopié p. 62, file M/M/1/K
“Cas de K places d’attente, un serveur”
→ Cas de K − 1 places d’attente, un serveur (donc K places
en tout dans le système d’attente)
Files d’attente (2)
F. Sur - ENSMN
Les processus de
naissance et de
mort
Files M/MX
Files M/G
PASTA
Pollaczek-Khinchine
Date du test : Mardi 14 janvier 8h30 ou 13h30
Réseaux de files
d’attente
(selon emploi du temps habituel)
Conclusion
Programme :
programmation dynamique,
chaı̂nes de Markov,
files d’attente.
Seul document autorisé : le polycopié.
(et dictionnaire pour les élèves étrangers)
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