itérations de Picard

Méthode des itérations successives de Picard
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Introduction
v
Première méthode : enregistrement de la fonction
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Deuxième méthode : la limite
v
Troisième méthode : « tel que »
v
Conclusion
Introduction
La méthode des itérations successives de Picard est une méthode intéressante à présenter car elle
est très proche de l’intuition, un peu au même titre que la méthode numérique d’Euler et la
méthode des champs de pentes.
Cette technique est évidemment très fastidieuse s’il faut faire tous les calculs à la main. C’est
pourquoi on utilise la calculatrice. L’utilisation de la calculatrice nous permet de voir les résultats
intermédiaires (les résultats de chaque itération), ce qui n’est pas toujours le cas avec des
logiciels plus puissants.
Il y a plusieurs façons de faire avec la calculatrice. Nous en présentons 3. La première nous
rapproche de la manipulation et de la technique puisque nous y voyons chaque résultat
d’intégration. Les deux autres sont beaucoup plus rapides mais nous éloignent beaucoup du
concept de base de la technique.
Exemple :
Supposons qu’on veuille résoudre
y ¢ = 3x + 2 y , avec y ( 0 ) = -1
C’est un exemple où les intégrales sont toutes faciles à effectuer, les résultats seront
polynomiaux.
Première méthode : enregistrement de la fonction
On commence en se disant que y0 = -1 , puisque y ( 0 ) = -1 . On entre donc cette valeur,
-1 , dans y ( x) , en tapant y ( x ) := -1
x
Puis on calcule y1 , en entrant -1 + ò ( 3 t + 2 y (t ) ) dt , suivi de ·. On vient d’obtenir
0
y1 .
Cette commande servira très souvent; c’est donc une bonne idée de l’avoir en mémoire
pour ne pas avoir à la réécrire à toutes les fois. Pendant qu’elle est sélectionnée (sur fond
bleu), on la copie dans la mémoire de la calculatrice : / C.
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Pour calculer y2 , il nous faut remplacer le y ( t ) de l’intégrale par y1 qu’on vient de
compter, et qui est le dernier résultat calculé. On entre donc Ë y ( x) , ce qui a pour effet
de prendre le dernier résultat (donc y1 ) et de l’enregistrer dans y ( x) .
Notons que le résultat que nous venons de calculer dépend de x (c’est une borne
d’intégration) ; nous avons donc une fonction de x. On veut calculer l’intégrale par
rapport à t, donc avec une fonction qui dépend de t.; c’est pourquoi on entrera y ( t ) dans
notre intégrale.
Maintenant il faut insérer la commande -1 + ò ( 3t + 2 y (t ), t , 0, x ) sur la ligne d’édition en
faisant / V. C’est la ligne que nous avions copiée plus haut.
· . On vient de calculer y2 .
Continuons :
1. On enregistre y2 dans y ( x) : Ë y ( x) ·;
2. On rappelle notre commande d’intégrale / V;
3. ·. On vient de calculer y3 ;
4. Retour à 1.
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Cette méthode présente l’avantage de nous faire manipuler y ( x) à chaque itération.
Les calculs sont très faciles à suivre. Il n’y a pas de difficulté particulière à utiliser cette méthode.
La première méthode à l’aide de la TI se résume avec la formule générale suivante :
On entre y0 Ë y ( x) ·.
y0 + ò
x
x0
f ( t , y (t ) ) dt ·.
On remonte sur la ligne de commande voulue puis / C
Ë y ( x) ·
/V·
Ë y ( x) ·
/ V ·...
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Si on veut éviter d’avoir à manipuler y ( x) , si on veut que ça aille plus vite et si on veut n’avoir
qu’à appuyer sur ·à répétition, voici deux autres méthodes.
Deuxième méthode : la limite
Au lieu d’appeler la fonction y ( x) , puis d’entrer y ( t ) dans l’intégrale, on prend
lim y ( x ) .
x®t
x
Allons-y avec notre exemple. On calcule y1 = -1 + ò ( 3t + 2 ( -1) ) dt
0
Pour calculer les prochaines itérations, nous utiliserons la formule suivante :
x
(
)
-1 + ò f t , lim ( ans ) dt .
0
x®t
Rappelons qu’on peut obtenir la limite via b 4 4.
Cette formule servira pour toutes les itérations. Il n’y a qu’à appuyer sur · à
répétition.
·, etc.
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Cette méthode déplaira à certains à cause de l’utilisation de la limite. Cependant, elle est
intéressante car elle nous fait voir chacune des itérations.
Cette méthode force les étudiants à pousser un peu leurs habiletés d’algèbre et leur capacité
d’abstraction à cause de l’aspect « non naturel » de la limite.
La deuxième méthode à l’aide de la TI, se résume avec la formule générale suivante :
x
y0 +
ò
x0
x
y0 +
ò
x0
(
x ®t
(
x ®t
( ))
f t , lim y0 dt ·
)
f t , lim ( ans ) dt ·
·, etc.
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Troisième méthode : « tel que »
Pour éviter d’avoir une limite à l’intérieur de l’intégrale, on peut remplacer la variable x
par la variable t. On y arrive en utilisant la barre verticale « tel que ». Cette barre
verticale est disponible, entre autres, dans la palette Í.
Entrons -1 Ë y ·.
Puis -1 + ò ( 3t + 2 y x = t , t , 0, x ) Ë y ·. La première fois, ça n’est pas très utile de
remplacer x par t (puisque -1 ne contient aucune variable), mais c’est une formule qui
servira pour toutes les autres itérations. Pourquoi ne pas l’entrer tout de suite, n’est-ce
pas?
·, etc.
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Cette méthode plaira ou non selon l’amour que vous portez à la barre verticale « tel que » à
l’intérieur de l’intégrale. Comme la précédente (avec la limite), elle nous fait voir toutes les
itérations.
Encore ici, ça n’est pas très facile de comprendre l’opération, tant que ça reste du langage de
calculatrice. Ça prend un oeil un peu « aguerri ». Les étudiants l’acceptent mieux s’ils voient la
formule au tableau, dans une écriture plus proche de l’écriture que nous utilisons habituellement.
Il vaut mieux utiliser plus de parenthèses que moins, pour isoler y x = t et mieux montrer l’effet
de la barre verticale « tel que » : -1 + ò ( 3t + 2 y x = t , t , 0, x )
La troisième méthode à l’aide de la TI se résume avec la formule générale suivante :
y0 Ë y ·
x
y0 +
ò f ( t , y x = t ) dt
Ëy·
x0
·, etc.
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Conclusion
Après avoir fait tous ces calculs, il est intéressant de remarquer, si ce n’est déjà fait, que le
résultat obtenu est le début du développement en série de la vraie solution.
Pour arriver à voir ce fait, on « demande » à la calculatrice de nous fournir la solution de
l’équation différentielle et on développe ce résultat en série de Taylor pour comparer les résultats.
La syntaxe pour faire résoudre une équation différentielle est
deSolve(équation, variable indépendante, variable dépendante)
si on n’a pas de conditions initiales. Mais on a des conditions initiales. Donc il faut entrer
deSolve(équation and condition initiale, variable indépendante, variable dépendante).
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Pour pouvoir comparer, calculons les itérations de Picard jusqu’à avoir du x 6 d’une part. Ensuite
-e2 x 3 ( 2 x + 1)
:
comptons la série de Taylor de
4
4
Il est facile de voir que les résultats sont identiques avec les deux méthodes. Et rassurant pour les
étudiants de voir qu’ils arrivent à la même chose avec deux méthodes différentes, même si l’une
d’entre elles s’appelle TI.
Il faut noter que le dernier terme, qui contient x 6 , diffère entre les résultats Picard et Taylor. Ça
sera toujours le cas avec la méthode de Picard : le dernier terme est ajusté à chaque itération.
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Chantal Trottier
novembre 2011
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