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Transcription

Les régularités en
mathématiques
Durée suggérée : 3 semaines
85
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
Aperçu du chapitre
Orientation et
contexte
Les élèves doivent posséder une solide base à analyser et à comprendre
les régularités pour réussir leur apprentissage progressif des notions
d’algèbre de niveau intermédiaire et secondaire. L’utilisation de
tableaux, comme les organisateurs graphiques, permet aux élèves
de voir la relation entre les valeurs d’entrée et de sortie. Ils doivent
dégager les tendances que présentent les colonnes d’une table de
valeurs ainsi que la relation entre les lignes. Cette relation est décrite
au moyen d’expressions algébriques. L’objectif est de générer une
table de valeurs à partir d’une expression algébrique et de déduire
l’expression caractérisant une table de valeurs donnée. En partant de
leur compréhension de la représentation des régularités sous forme
concrète, du prolongement des régularités, de la recherche des valeurs
manquantes et de la construction d’expressions algébriques, les élèves
sont encouragés à utiliser leur connaissance des régularités pour
résoudre des problèmes.
En 6e année, l’accent est mis sur le maintien de l’égalité dans
les équations algébriques. La résolution de ces équations est au
programme de la 7e année. Les élèves utiliseront des modèles concrets,
principalement une balance à plateaux, pour démontrer la préservation
de l’égalité, en mettant l’accent sur l’équilibre des deux membres de
l’équation. Cette opération s’effectue en modifiant chaque membre de
l’équation de la même manière.
Pourquoi est-ce
important ?
86
Les régularités constituent un moyen efficace de démontrer la relation
entre les variables. Fournir aux élèves des occasions d’analyser, de
modéliser et de prolonger des régularités les aidera à se préparer à
l’acquisition des notions d’algèbre des années suivantes. Le concept
de modélisation d’équations équivalentes au moyen d’une balance est
également important. Les compétences acquises en 6e année contribuent
au développement d’une meilleure compréhension des mathématiques
et se révéleront toujours utiles dans les situations de la vie courante.
PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES 6e ANNÉE (VERSION PROVISOIRE)
Processus
mathématiques
Résultats
d’apprentissage
[C] Communication
[CE] Calcul mental et estimation
[L] Liens
[R] Raisonnement
[RP] Résolution de problèmes
[T] Technologie
[V] Visualisation
DOMAINE
RÉSULTATS
D’APPRENTISSAGE
6RR1 Démontrer une
compréhension des
Les régularités
relations qui existent
et les relations
dans des tables de
(les régularités)
valeurs pour résoudre
des problèmes.
6RR3 Représenter
Les régularités des généralisations
et les relations provenant de relations
(les variables et numériques à l’aide
les équations) d’équations ayant des
lettres pour variables.
6RR4 Démontrer
Les régularités et expliquer la
et les relations signification de
(les variables et maintien de l’égalité,
les équations) de façon concrète et
imagée.
PROCESSUS
MATHÉMATIQUES
[C, L, R, RP]
[C, L, R, RP, V]
[C, L, R, RP, V]
87
Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)
Résultats d’apprentissage
spécifiques
Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
L’élève doit pouvoir :
Donner aux élèves un tableau de valeurs et les inviter à observer
l’évolution de chaque variable et à la modéliser
sous forme imagée (en dessinant une image)
ou concrète (au moyen de matériel de
manipulation). Les régularités peuvent être
modélisées en utilisant n’importe quel matériel
de manipulation. P. ex., les élèves pourraient
représenter le tableau des valeurs ci-contre au moyen de cure-dents.
6RR1 Démontrer une
compréhension des relations qui
existent dans des tables de valeurs
pour résoudre des problèmes.
[C, L, R, RP]
Indicateurs de rendement :
6RR1.1 Créer une représentation
concrète ou imagée de la relation
représentée par une table de
valeurs.
6RR1.2 Identifier des erreurs
dans une table de valeurs donnée.
Les élèves doivent d’abord saisir que la suite de carrés commence à 1 et
progresse par pas de 1. Puis, ils détermineront que le nombre de curedents commence à 4 et progresse par sauts de 3. Cela signifie que chaque
nouveau carré du modèle doit être construit en utilisant seulement
3 cure-dents de plus. À partir de la relation établie, les élèves doivent
construire chaque nouveau carré à partir d’un des côtés d’un carré déjà
construit.
Il importe que les élèves soient capables de repérer les erreurs dans un
tableau de valeurs donné afin de ne pas prolonger la suite de manière
incorrecte. Ils doivent être en mesure de justifier leur réponse.
P. ex., Samuel a un parcours de livraison de journaux hebdomadaires. Il
est payé 30 $ par semaine. Le tableau suivant montre ses gains sur une
période de 5 semaines. Repère l’erreur dans le tableau.
88
Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde et résoudre des
problèmes à l’aide des régularités.
Stratégies d’évaluation
Ressources / Notes
Performance
Compas Mathématique 6
•
Leçon 1: Identifier des régularités
numériques
Présenter le tableau de valeurs suivant. Demander aux élèves
d’utiliser les triangles verts du jeu de blocs-formes pour représenter
ce à quoi le ver pourrait ressembler au 3e, 4e et 5e jour.
6RR1
GE p. 13 - 17
P. ex., voici un ver âgé d’une journée :
ME p. 4 - 7
Voici un ver âgé de deux jours :
(6RR1.1)
•
Une locomotive a 8 roues et tire des voitures ayant 4 roues chacune.
Le tableau de valeurs ci-dessous indique le nombre de roues en
fonction du nombre de voitures tirées. Dessine ou fait un modèle
du train pour chaque quantité de voitures tirées.
Noter :
Le terme “table de valeurs” se trouve
dans les RAS, tandis que la ressource
Compas Mathématique utilise
“tableau de valeurs”. Ce document se
sert des deux termes.
(6RR1.1)
Papier et crayon
•
Construire des tableaux dont la colonne de droite contient une
erreur et demander aux élèves d’essayer de trouver la valeur qui brise
la régularité. Demander aux élèves d’expliquer pourquoi la valeur
en question est erronée. Leur demander de justifier leur choix.
(6RR1.2)
89
spécifiques
Lorsqu’ils décrivent les régularités que présente une colonne d’une table
de valeurs, les élèves oublient parfois d’indiquer la valeur de départ
du modèle. La table ci-dessous montre la croissance d’une plante en
fonction du temps.
6RR1 Démontrer une
[C, L, R, RP]
(suite)
6RR1.3 Décrire la régularité qui
se dégage de chacune des colonnes
d’une table de valeurs.
6RR1.4 Créer une table de
valeurs pour noter et représenter
une régularité afin de résoudre un
problème.
La plupart des élèves diraient que les semaines changent « en
augmentant d’un » et que la hauteur de la plante change « en
augmentant de 4 ». Ces deux descriptions ne tiennent pas compte de la
valeur de départ. Il serait préférable de décrire ces deux variables comme
suit : « les semaines commencent à 1 et augmentent de 1 chaque fois et
la hauteur commence à 6 et augmente de 4 chaque fois ».
Les élèves ont déjà prolongé des régularités sous forme concrète et
imagée. Les élèves de 6e année décriront la régularité en consignant les
termes de la suite dans un tableau de valeurs pour la première fois. À
cette étape, les élèves ne font que prolonger la suite de valeurs d’une
colonne donnée pour résoudre un problème plutôt qu’utiliser une règle
de répétition qui établit la relation entre les colonnes.
Les élèves doivent être en mesure de construire leur propre tableau
de valeurs. Ils peuvent trouver difficile de trouver le titre de chaque
colonne. Rappeler aux élèves que les valeurs de la deuxième colonne
résultent (ou dépendent) du changement intervenu dans la première
colonne. Ainsi, dans l’exemple précédent, la croissance de la plante est
déterminée par le nombre de semaines qui se sont écoulées.
90
Ressources / Notes
Journal
•
Demander aux élèves de repérer la régularité caractérisant chaque
colonne du tableau suivante :
(6RR1.3)
Leçon 1(suite) : Identifier des
régularités numériques
6RR1
GE p. 13 - 17
ME p. 4 - 7
Performance
•
Dire aux élèves qu’un monument en forme de tour se compose
d’une colonne de cubes (voir le schéma ci-dessous). Un peintre a été
embauché pour peindre toutes
les faces visibles des cubes. Cela
comprend les côtés ainsi que les
faces supérieures. La face inférieure
de chaque cube n’est pas visible.
Les élèves peuvent construire le modèle avec des cubes emboîtables
ou des blocs de base dix. Demander aux élèves de construire un
tableau de valeurs qui indique le nombre de faces à peindre sur
les tours de 1, 2, 3, 4 et 5 blocs de haut. Demander aux élèves de
trouver le nombre de faces à peindre sur des tours formées de 10
cubes et de 20 cubes.
(6RR1.4)
91
spécifiques
6RR1 Démontrer une
[C, L, R, RP]
(suite)
6RR1.5 Générer les valeurs
d’une colonne d’une table de
valeurs, étant donné les valeurs de
l’autre colonne et la règle d’une
régularité.
6RR1.6 Expliquer, en langage
mathématique, la relation
représentée par une table de
valeurs donnée.
6RR1.7 Prédire la valeur d’un
terme inconnu en se basant sur
la relation présente dans une
table de valeurs, et vérifier la
prédiction.
6RR1.8 Formuler une règle pour
décrire la relation qui existe entre
deux colonnes de nombres dans
une table de valeurs.
L’objectif est de repérer les régularités croissantes ou décroissantes entre
les valeurs d’une même colonne et entre les colonnes d’un tableau de
valeurs et d’en écrire la règle de régularité. Il importe que les élèves
identifient d’abord le premier terme de la série puis indiquent la
quantité qu’ils ajoutent ou enlèvent à cette valeur.
Dans les classes précédentes, les élèves ont appris à compléter des
tableaux de valeurs à partir d’expressions simples comportant une seule
opération, soit l’addition ou la soustraction.
En 6e année, on leur présentera des
expressions comportant deux opérations,
soit le plus souvent une multiplication suivie
d’une addition ou d’une soustraction. P. ex.,
Judith paie 10 $ pour son téléphone cellulaire.
Chaque fois qu’elle utilise Internet, cela lui coûte 2 $. Cette relation
peut être représentée par la règle de régularité 2n+10. Utiliser cette règle
de régularité pour compléter la table ci-dessous.
Il faut inciter les élèves à employer le langage mathématique approprié
pour décrire la relation entre les termes d’une colonne ou entre
les colonnes d’un tableau de valeurs. Inviter les élèves à partager la
démarche les ayant menés à leurs conclusions. Pour que les élèves se
sentent à l’aise de justifier leur raisonnement, modéliser le langage
approprié. Lancer un remue-méninges afin de trouver d’autres mots
ou énoncés susceptibles d’être utilisés et afficher ce bon vocabulaire
mathématique.
À force d’explorer les relations entre les nombres des colonnes d’une
table de valeurs, les élèves parviendront à trouver les valeurs manquantes
et à prédire les nombres qui ne sont pas couverts dans la table.
Auparavant, les élèves trouvaient les relations (règles de régularité)
dans une colonne et utilisaient cette règle pour prédire les termes
manquants de la table de valeurs. Cette stratégie fonctionne bien lorsque
les nombres d’une colonne forment une suite ordonnée et lorsqu’on
demande aux élèves de trouver les termes de rang supérieur d’une suite
qu’il est peu pratique de prolonger (p. ex., prédire la valeur du 50e terme
de la série). Ce type de problèmes nécessite l’élaboration d’une règle de
régularité qui peut servir à déterminer la valeur de la deuxième colonne à
partir de la valeur correspondante de la première colonne.
Les élèves doivent parvenir à déduire une règle de régularité qui établit
une relation entre les deux colonnes d’un tableau de valeurs.
Les élèves discerneront d’abord la régularité dans chaque colonne du
tableau, mais pourront avoir de la difficulté à dégager la relation entre
les colonnes d’entrée et de sortie. La méthode par tâtonnements pour
déduire une règle de régularité permet d’introduire ce concept.
92
Ressources / Notes
Performance
•
Leçon 2 : Décrire des relations
dans un tableau
Proposer la situation suivante aux élèves : Vous allez jouer au
paintball avec vos amis. L’admission coûte 20 $ et chaque jeu
de balles coûte 5 $ de plus. Cette relation peut être représentée
par l’expression 5b + 20. Utiliser cette règle de régularité pour
compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
6RR1
GE p. 18 – 22
ME p. 8 - 11
(6RR1.5)
•
Demander aux élèves de créer un tableau de valeurs représentant la
régularité ci-dessous.
i) Écrire une règle de régularité qui décrit le changement à
l’intérieur de chaque colonne.
ii) Prédire le nombre de pailles qu’il y aura dans le 10e motif.
(6RR1.6, 6RR1.7)
Journal
•
Demander aux élèves de trouver les
valeurs manquantes dans la table
ci-dessous, en fonction des régularités
observées. Poser la question suivante :
Combien de sandwiches chaque
personne aura-t-elle ? Selon cette
régularité, prédire le nombre de sandwiches requis si 60 personnes
participent au pique-nique. Combien de personnes pourraient
participer s’il y avait 90 sandwiches ?
(6RR1.7)
93
spécifiques
Boîte « Trouver la règle » – Préparer des languettes de papier marquées
d’un nombre à chaque extrémité, comme dans l’illustration
ci-dessous. Insérer la languette dans la boîte pour que les élèves puissent
voir les nombres d’entrée et de sortie. Montrer la boîte aux élèves et
leur demander de proposer plusieurs opérations ou combinaisons
d’opérations différentes susceptibles d’être exécutées pour produire la
valeur de sortie à partir de la valeur d’entrée.
6RR1 Démontrer une
[C, L, R, RP]
(suite)
P. ex., on insère le nombre 4 dans la boîte et on obtient le nombre 12.
Indicateur de rendement :
(suite)
Poser la question suivante : « Quelle règle aurait pu être utilisée pour
générer le nombre 12 à partir du nombre 4 ? »
Voici différentes réponses que les élèves peuvent donner : « Nous avons
multiplié le premier nombre par 3 », « Nous avons ajouté 8 au premier
nombre », « Nous avons doublé le premier nombre puis ajouté 4 », etc.
Noter toutes les suggestions des élèves, puis présenter une autre paire
de valeurs d’entrée-sortie basée sur la même règle de régularité. Par
exemple, on insère le nombre 5 dans la boîte et on obtient le nombre 15.
Poser la question suivante aux élèves : « Quelle règle décrivant la
première paire de valeurs d’entrée-sortie peut également s’appliquer à la
nouvelle paire de valeurs 5-15? »
Les élèves répondront probablement ce qui suit : « ajouter 8 ne marche
pas, parce que 5 + 8 = 13. Mais, si on multiplie la valeur d’entrée par
3, cela fonctionne. Par conséquent, voici quelle doit être la règle de
régularité : multiplier par 3 la valeur d’entrée. »
Vérifier qu’il s’agit de la bonne règle en présentant un autre scénario
d’entrée-sortie affichant la même régularité.
94
Performance
•
Utiliser la boîte « Trouver la règle » pour modéliser les valeurs
d’entrée et de sortie de chaque ligne des tableaux de valeurs
ci-dessous. Demander aux élèves de trouver une règle de régularité
capable de décrire la relation entre toutes les paires de valeurs
d’entrée-sortie de la table.
Ressources / Notes
Leçon 2 (suite) : Décrire des
relations dans un tableau
6RR1
GE p. 18 – 22
ME p. 8 - 11
Rappeler aux élèves que la règle de régularité doit s’appliquer à
toutes les combinaisons de valeurs d’entrée-sortie de la table, et non
uniquement à la première paire de valeurs.
(6RR1.8)
•
Demander à deux volontaires de modéliser le fonctionnement de la
boîte « Trouver la règle » (décrite à la page précédente). Donner à un
élève une fiche sur laquelle figure une opération
(p. ex., +2, x 3, -1, etc.). Aucun autre élève ne doit connaître
l’opération inscrite sur la fiche remise à cet élève. Demander à
l’autre volontaire de choisir un nombre d’entrée entre 1 et 10.
L’élève ayant la fiche d’opération calcule mentalement la valeur de
sortie à partir de la valeur d’entrée et met la fiche de sortie résultante
dans la fente de sortie et dit la réponse à haute voix devant la classe.
Demander à la classe de trouver l’opération effectuée sur la valeur
d’entrée. Répéter le processus avec la même opération, mais sur
une nouvelle valeur d’entrée afin de vérifier la réponse de la classe.
Une fois que les élèves sont capables de déduire une règle à une
seule opération, demander à l’autre volontaire de venir en avant et
lui remettre une fiche portant une deuxième opération. Le premier
élève dira une autre valeur d’entrée à voix haute. L’élève ayant la
fiche de la première opération exécute l’opération mentalement et
donne la valeur de sortie à voix haute. L’élève ayant la fiche de la
seconde opération exécute mentalement celle-ci sur la valeur de
sortie donnée et dit à haute voix le nombre résultant. Demander
aux élèves de déduire les deux opérations effectuées. Vérifier en
utilisant un autre nombre d’entrée. Lorsque les élèves sont capables
de déduire deux opérations, demander au premier élève de souffler
sa valeur de sortie au second élève de sorte que la classe n’entende
que le résultat final de ces deux opérations, et non la valeur de sortie
de chaque opération. Cette procédure exigera plus de vérification
au moyen de valeurs d’entrée différentes pour déduire la règle de
régularité.
(6RR1.8)
95
spécifiques
À cette étape, on peut commencer à utiliser des représentations
concrètes. Par exemple, quatre élèves pourraient s’asseoir autour d’une
table carrée, soit un de chaque côté. On peut ajouter des tables et
d’autres chaises de part et d’autre selon la configuration ci-dessous. On
peut modéliser concrètement cette régularité en utilisant de véritables
tables et chaises s’il y en a de disponible. On peut également construire
le modèle au moyen de blocs-formes ou de graphiques tracés au tableau
blanc interactif.
6RR1 Démontrer une
[C, L, R, RP]
(suite)
(suite)
Cette régularité peut être représentée par
le tableau de valeurs suivant.
Une fois le tableau de valeurs généré, il
faut souligner comment l’augmentation
des termes de la seconde colonne
(variation constante) est reliée à l’opération
ou aux opérations effectuées sur les valeurs
de la première colonne pour trouver la valeur
correspondante de la seconde colonne.
Avec 1 table, on aura 4 chaises.
Avec 2 tables, on aura 4 + 2 = 6 chaises
Avec 3 tables, on aura 4 + 2 + 2 = 8 chaises
Avec 4 tables, on aura 4 + 2 + 2 + 2 = 10 chaises
Noter que le nombre de chaises augmente de 2 chaque fois. Cela est
logique, car à chaque nouvelle table, on ajoute deux nouvelles chaises
(de part et d’autre de la table). Cependant, il y aura toujours deux
chaises de plus (une à chaque extrémité de la rangée de tables) et ce
nombre reste constant.
Ainsi, la règle de régularité de cette régularité serait :
2n + 2, où n = le nombre de tables.
96
(à suivre)
Ressources / Notes
6RR1
GE p. 18 – 22
ME p. 8 - 11
97
spécifiques
Par extension, je peux utiliser cette règle pour prédire le nombre de chaises
à mettre autour de 9 tables. On multiplie par 2 le nombre de tables
(9 × 2 = 18) et on ajoute les deux chaises constantes aux extrémités
(18 + 2 = 20). Par conséquent, il faudrait 20 chaises pour 9 tables.
6RR1 Démontrer une
[C, L, R, RP]
(suite)
(suite)
Les élèves doivent comprendre que la grandeur de la variation constante
de la valeur de sortie correspond au nombre par lequel la valeur d’entrée
est multipliée. Si le produit de la grandeur de la variation par une valeur
d’entrée donnée n’est pas égal à la valeur de sortie correspondante, il faut
alors déterminer la grandeur à ajouter ou à
soustraire pour obtenir cette valeur de sortie.
Par exemple, dans la table ci-dessous, les élèves
doivent d’abord déterminer la grandeur de la
variation constante dans les valeurs de sortie
(deuxième colonne).
Attirer l’attention sur les valeurs de sortie. Poser la question suivante:
« De combien les valeurs de sortie augmentent-elles à chaque fois ? » Les
élèves remarqueront que les valeurs de sortie augmentent de 3 dans chaque
cas. Cela signifie que chaque entrée doit d’abord avoir été multipliée par 3.
Ainsi, la première partie de notre règle de régularité est 3n, où n représente
une valeur d’entrée donnée.
La première valeur d’entrée est multipliée par 3.
1×3=3
Puis, poser la question suivante : « Quelle valeur avons-nous ajoutée ou
retranchée de ce produit pour obtenir la valeur de sortie 5 ? ». Les élèves
doivent voir que la valeur 2 a été ajoutée. Cela signifie donc que la règle
de régularité est 3n + 2, ou exprimée en mots : « multiplier par 3 la valeur
d’entrée et ajouter 2 ». Vérifier l’exactitude de cet énoncé en évaluant
l’expression au moyen des autres valeurs d’entrée de la table de valeurs.
3(2) + 2 = 8 est correct
3(5) + 2 = 17 est correct; 3n + 2 doit être la règle de régularité.
Il est important de noter que l’utilisation de la différence dans les valeurs
de sortie pour généraliser la règle de régularité ne fonctionnera que si les
valeurs d’entrée de la suite numérique sont des nombres consécutifs. (P.
ex., 1, 2, 3, 4, 5...) Par conséquent, lors de l’évaluation de ce résultat
d’apprentissage, s’assurer d’utiliser des nombres d’entrée consécutifs.
98
Ressources / Notes
Journal
•
Présenter le scénario suivant à la classe :
Tom organise un repas-partage. Il a préparé 4 plats de nourriture
pour le souper et a dit à tous ses invités d’apporter deux plats
chacun. Le nombre de plats au souper dépend du nombre d’invités
qui viendront.
i) Écris une règle qui peut servir à déterminer le nombre de plats
qui seront servis au souper, quel que soit le nombre de personnes
qui y assisteront.
6RR1
GE p. 18 – 22
ME p. 8 - 11
ii) Utilise cette règle pour compléter la table de valeurs ci-dessous.
(6RR1.5, 6RR1.6, 6RR1.8)
99
spécifiques
6RR1 Démontrer une
[C, L, R, RP]
(suite)
Les élèves savent bien comment utiliser une règle de régularité donnée
pour compléter la colonne de droite d’un tableau de valeurs. Ils devront
désormais être capables de trouver les valeurs manquantes dans l’une
ou l’autre des colonnes d’une table incomplète à partir d’une règle de
régularité donnée. On peut parler de l’exécution d’opérations inverses
comme stratégie de résolution possible dans ce cas-ci.
P. ex.
6RR1.9 Identifier des éléments
manquants dans une table de
valeurs donnée.
problème.
(suite)
Les élèves trouveront les deux premières valeurs manquantes en
appliquant simplement la règle de régularité, 3n. Pour trouver les
troisième et quatrième valeurs manquantes, ils devront travailler en
sens inverse (utiliser l’opération inverse). Par exemple, pour déterminer
la troisième valeur manquante, l’élève doit se dire « Trois groupes d’un
nombre inconnu me donnent 18. Si je divise 18 en trois groupes égaux,
combien y aura-t-il de personnes dans chaque groupe ? »
(18 divisé par 3).
Les élèves devront désormais formuler une expression et construire un
tableau de valeurs pour résoudre un problème donné. Prenons l’exemple
suivant :
Gloria va à une fête communautaire. L’entrée est de 5 $ et chaque
activité coûte 2 $.
i) Utilise des mots pour décrire comment trouver le montant total
d’argent que Gloria dépensera, quel que soit le nombre d’activités
auxquelles elle participera. (Multiplier le nombre d’activités par 2 et
ajouter 5.)
ii) Écris une expression qui représente la situation décrite ci-dessus.
iii) Utilise cette expression pour construire un tableau de valeurs
indiquant combien d’argent Gloria dépensera si elle participe à de 0 à 5
activités.
100
Ressources / Notes
Performance
•
Leçon 3 : Créer des tableaux à
partir d’expressions
Présenter la situation suivante aux élèves :
i) Juliette travaille dans un magasin pour 9 $ l’heure. Aidez
Juliette à remplir le tableau ci-dessous pour qu’elle connaisse le
total de ses gains après chaque heure travaillée durant la journée.
Certaines valeurs ont été omises de chaque côté de la table. Trouve
les valeurs manquantes.
6RR1
6RR3
GE p. 23 – 27
ME p. 12 - 15
Demander aux élèves d’expliquer comment ils ont déduit chaque
valeur manquante au moyen de la règle de régularité.
ii) Juliette veut acheter deux paires de jeans qui coûtent 46 $
chacune. Combien d’heures doit-elle travailler pour acheter ces
jeans?
(6RR1.9)
•
Présenter la situation suivante :
Sheila travaille dans un atelier de réparation d’ordinateurs. Elle se
fait payer 75 $ par jour plus 5 $ pour chaque ordinateur qu’elle
répare.
i) Construis une table indiquant le montant total d’argent que
Sheila pourrait gagner en une journée quel que soit le nombre
d’ordinateurs qu’elle aura réparés.
ii) Énonce une règle de régularité que tu peux utiliser pour trouver
le montant total d’argent que Sheila pourrait gagner en une
journée quel que soit le nombre d’ordinateurs qu’elle aura
réparés.
iii) Utilise cette règle pour déterminer combien d’argent Sheila ferait
si elle réparait 12 ordinateurs en une seule journée.
(6RR1.4)
101
Domaine : Les régularités et les relations (les variables et les équations)
spécifiques
Les élèves ont pratiqué l’écriture d’une règle en mots pour décrire les
relations qui existent entre les termes d’un tableau de valeurs donné.
Ils vont maintenant accroître cette compétence et écrire la règle de
régularité du tableau au moyen d’une expression mathématique ou de
chiffres et de variables.
6RR3 Représenter des
généralisations provenant de
relations numériques à l’aide
d’équations ayant des lettres pour
variables.
[C, L, R, RP, V]
6RR3.1 Décrire la relation dans
une table donnée à l’aide d’une
expression mathématique.
6RR3.2 Représenter la règle de la
régularité à l’aide d’une expression
mathématique simple telle que 4d
ou 2n + 1.
102
Les élèves généreront une expression mathématique en utilisant des
variables à partir d’une règle écrite en mots. P. ex., le coût d’inscription
au hockey mineur est de 120 $ par joueur. Chaque joueur doit payer des
frais supplémentaires de 5 $ pour chaque pratique. Pour représenter le
coût total pour un joueur donné, la règle en mots s’énoncerait comme
suit : multiplier le nombre de pratiques par 5 $ et ajouter 120 $. On
peut maintenant convertir cet énoncé dans l’expression mathématique
suivante : 5p + 120, dans laquelle « p » représente le nombre de
pratiques. Les élèves peuvent ensuite utiliser cette expression pour
générer un tableau de valeurs indiquant le coût total selon différents
nombres de pratiques possibles.
Résultat d’apprentissage général : Représenter des expressions
algébriques de plusieurs façons.
Ressources/Notes
Journal
•
Leçon 3 (suite) : Créer des
tableaux à partir d’expressions
Demander aux élèves d’imaginer une situation pour chaque
expression :
(i)
p–3
6RR1
(ii)
3–p
6RR3
Expliquer comment la position de la variable change le sens de
l’expression dans chaque cas.
GE p. 23 – 27
ME p. 12 - 15
Cela s’appliquerait-il également aux expressions suivantes ?
•
(i)
p+3
(ii)
3+p
(6RR3.1)
Demander aux élèves d’énoncer une expression algébrique
représentant chacune des règles de régularité suivantes :
i)
Deux fois un certain nombre;
ii)
Cinq de plus qu’un certain nombre;
iii) Trois de moins qu’un certain nombre;
iv)
Dix auquel on soustrait un certain nombre;
v)
Six de plus que deux fois un certain nombre;
vi)
Un de moins que trois fois un certain nombre.
(6RR3.2)
Performance
•
Demander aux élèves de jumeler chacune des situations suivantes
avec l’expression correcte :
• Henri est deux fois plus âgé que Noël
4n + 2
• Susanne a un sac de bonbons et en distribue
quatre
2n
• Margot possède quatre paquets de cartes de
hockey et deux cartes individuelles
n+2
• Henri a deux ans de plus que Noël
4-n
• Susanne a 4 poupées et en donne un certain
nombre
n-4
(6RR3.1)
103
spécifiques
L’objectif est de comparer les régularités issues d’expressions différentes.
Les élèves devraient commencer à saisir que les expressions ayant les
mêmes nombres et variables ne produiront pas nécessairement la même
régularité. Par exemple, 2n + 3 ne produira pas la même régularité que
n + 3. Et, 4n + 2 ne générera pas la même suite que 4n + 3. Bien que
toutes les expressions présentent une caractéristique commune, elles
généreront chacune un tableau de valeurs différent.
6RR1 Démontrer une
[C, L, R, RP]
(suite)
(suite)
d’une table de valeurs. (suite)
variables.
[C, L, R, RP, V]
Il convient de présenter ce concept à l’aide de matériel de manipulation
en vue de générer deux régularités différentes. Deux tables de valeurs
distinctes seraient générées et deux expressions mathématiques distinctes
(règles de régularité) seraient déduites à partir de ces régularités.
Distribuer des jetons aux élèves. Les élèves commenceront par
placer 3 jetons en ligne. Chaque élève devra ensuite construire des
lignes progressant chacune d’une quantité constante de son choix.
Recommander aux élèves de prendre un pas de progression peu élevé
afin de ne pas être à court de jetons. Les élèves vont prolonger leur
régularité sur cinq rangées. Par exemple :
Demander aux élèves de consigner dans un tableau de valeurs le nombre
de jetons utilisés dans chaque ligne, comme dans l’illustration
ci-dessous : Par exemple :
ou 2n + 1.
(suite)
Demander aux élèves d’analyser leur tableau de valeurs et de créer une
règle en mots et une expression qui pourraient servir à trouver le nombre
de jetons quel que soit le nombre de lignes.
(à suivre)
104
Ressources / Notes
Leçon 4 : Comparer des
expressions mathématiques
6RR1
6RR3
GE p. 28 – 31
ME p. 16
Curiosités mathématiques:
Les régularités d’une horloge
6RR1
GE p. 32-33
ME p. 17
Lecture supplémentaire :
Small, Marion (2008), Making
Math Meaningful to Canadian
Students K-8, p. 582 - 588
105
spécifiques
6RR1 Démontrer une
[C, L, R, RP]
(suite)
(suite)
P. ex.
Après avoir analysé les expressions qu’ils ont formulées, les élèves
devraient en venir à la conclusion que, même si tous les élèves ont
commencé avec le même nombre, ils n’ont pas tous obtenu la même
expression parce que leur suite progressait par une grandeur différente.
Ensuite, demander aux élèves de commencer leurs lignes avec un
nombre de jetons de leur choix (leur conseiller de choisir un petit
nombre). Ils devront ensuite former des lignes progressant chacune par
pas de 2. Par exemple :
d’une table de valeurs. (suite)
variables.
(suite)
[C, L, R, RP, V]
ou 2n + 1.
(suite)
106
Demander à chaque élève de générer une table de valeurs qui illustre le
changement du nombre de jetons d’une ligne à l’autre. P. ex.
Demander aux élèves d’analyser
leur table de valeurs et de créer
une règle en mots et une
expression qui pourraient servir
à trouver le nombre de jetons
quel que soit le numéro de la
ligne.
Après avoir analysé les expressions
formulées, les élèves devraient en
venir à la conclusion que, même
si tous les élèves ont fait progresser
les termes de la même quantité,
ils n’ont pas tous obtenu la même
expression parce que leurs
régularités commençaient par des
grandeurs différentes.
Ressources / Notes
Leçon 4 (suite) : Comparer des
expressions mathématiques
6RR1
6RR3
GE p. 28 – 31
ME p. 16
107
spécifiques
Pour que des équations soient équivalentes, il faut effectuer les mêmes
opérations sur chaque membre alors que la valeur de la variable ne
change pas. P. ex., les expressions 3n + 1 = 7 et 3n = 6 sont des équations
équivalentes parce que 1 est soustrait de chaque côté de la première
équation pour obtenir la seconde équation. C’est ce qu’on appelle le
« maintien de l’égalité ».
6RR4 Démontrer et expliquer
la signification de maintien de
l’égalité, de façon concrète et
imagée.
[C, L, R, RP, V]
6RR4.1 Modéliser le maintien
de l’égalité pour l’addition à
l’aide de matériel concret (tel
qu’une balance) ou à l’aide d’une
représentation imagée, expliquer
et noter le processus.
de l’égalité pour la soustraction
à l’aide de matériel concret (tel
6RR4.3 Modéliser le maintien de
l’égalité pour la multiplication
à l’aide de matériel concret (tel
de l’égalité pour la division à
l’aide de matériel concret (tel
Les élèves vont maintenant être initiés aux équations faisant intervenir
une multiplication ainsi qu’aux équations à deux opérations, de
manière imagée et concrète. Les élèves apprendront la différence entre
une équation et une expression en 7e année, mais il importe de leur
donner l’exemple du bon vocabulaire. Une équation est un énoncé
mathématique complet indiquant une égalité entre deux grandeurs.
Les équations doivent comporter un signe d’égalité, p. ex., 2 + 3 = 5.
Un énoncé mathématique comportant une variable est une équation
algébrique, p. ex., p + 2 = 3 se lit comme suit : « Deux de plus qu’un
certain nombre est égal à 3 ». Il s’agit d’une équation algébrique, car
elle indique qu’une quantité inconnue plus 2 égale 3. Par ailleurs, une
expression algébrique est tout simplement un énoncé dépourvu de la
notion d’équivalence. Par exemple, p + 2 se lit comme suit : « Un certain
nombre plus 2 ». Dans ce cas, la variable p peut prendre n’importe
quelle valeur. L’accent est mis sur la modélisation de ces équations et la
notion voulant que l’addition ou la soustraction d’une même quantité
de chaque côté de l’équation préserve l’égalité. À cette étape, les élèves
n’ont pas à résoudre des équations, même si certains peuvent être portés
à le faire.
La modélisation des équations avec la balance à plateaux peut se faire
avec des sacs représentant les variables (grandeurs inconnues) et des
cubes emboîtables ou des blocs utilisés pour représenter les nombres.
Modéliser sur une balance à plateaux une équation simple comme
3n = 9.
Les élèves peuvent maintenant ajouter une quantité fixe à chaque côté.
Peu importe la quantité ajoutée, la balance restera en équilibre s’ils
ajoutent la même quantité de chaque côté. Cette activité permettra à
l’élève d’observer comment l’égalité des deux plateaux (membres de
l’équation) est conservée.
(à suivre)
108
Ressources/Notes
Performance
•
Demander aux élèves de dessiner ou de modéliser (à l’aide d’une
balance à plateaux ou d’une droite numérique) chacune des paires
d’équations ci-dessous. Détermine si chaque paire d’équations est
équivalente ou non. Explique ton raisonnement.
Leçon 5: Les équations
équivalentes
6RR4
•
n + 2 = 6 et n + 3 = 7
GE p. 34 - 41
•
2m + 1 = 9 et 2m + 2 = 8
ME p. 20 - 23
•
5p + 3 = 18 et 4p + 3 = 18
•
4y = 20 et 8y = 40
•
3k = 12 et 9k = 24
(6RR4.1)
Journal
•
Demander aux élèves si 2n + 2 = 6 et 2n + 4 = 6 sont des équations
équivalentes. Explique pourquoi c’est le cas ou non. Utilise un
modèle pour représenter chaque équation.
(6RR4.1)
Dialogue enseignant-élèves
•
Dire aux élèves que David
affirme que les droites
numériques suivantes
montrent que 8 = 2n et
16 = 4n sont des équations
équivalentes. A-t-il raison ? Leur demander de justifier leur réponse.
•
Présenter la situation suivante : Victoria affirme que les droites
numériques suivantes montrent
que 3p = 9 et 6p = 12 sont des
équations équivalentes. A-t-elle
raison? Leur demander d’expliquer
leur raisonnement.
(6RR4.1)
• Distribuer des fiches portant les équations suivantes :
15 – s = 9
3s = 12
2+s =7
7 + s = 15
11 = 22 – s
4s + 2 = 26
14 – s = 7
15 = 13 + s
17 – s = 11
3s – 4 = 8
2 + 2s = 12
9 + s = 17
4s = 24
21 – s = 14
18 = 16 + s
0 = 11 – s
Disposer les fiches d’équation (face recto retournée) pour que les
élèves puissent voir ce qui y est inscrit. Jumeler la fiche d’équation
avec son équation équivalente correspondante. Lorsque toutes les
fiches d’équation ont été appariées, choisis une équation et formule
un problème en mots. Demander aux élèves d’échanger leurs
problèmes et de résoudre celui d’un de leurs camarades de classe.
(6RR4.5)
109
spécifiques
6RR4 Démontrer et expliquer
la signification de maintien de
l’égalité, de façon concrète et
imagée.
[C, L, R, RP, V]
Par conséquent, 3n = 9 et 3n + 2 = 11 sont des équations équivalentes.
Après que les élèves ont expérimenté la construction d’équations
équivalentes à l’aide de la balance à plateaux, on peut leur présenter
d’autres activités en utilisant une balance numérique de la Bibliothèque
virtuelle en mathématiques ou un autre applet en ligne. Cette activité ne
doit cependant pas remplacer l’activité de manipulation de la balance à
plateaux.
6RR4.1 Suite
6RR4.2 Suite
Les équations équivalentes peuvent également être modélisées sur une
droite numérique.
P. ex., Est-ce que 3p = 15 est équivalente à 6p = 30 ?
Montrer aux élèves un modèle de 3p = 15 et de 6p = 30.
6RR4.3 Suite
6RR4.4 Suite
6RR4.5 Écrire des formes
équivalentes d’une équation
donnée en applicant le maintien
de l’égalité et les vérifier à l’aide
de matérial concret, ex. : 3b = 12
équivaut 3b + 5 = 12 + 5 ou
2r = 7 équivaut 3(2r) = 3(7).
Ces équations sont équivalentes, car les « sauts » sont tous de la même
grandeur.
Pour vérifier le maintien de l’égalité pour la multiplication, il faut
déterminer si chaque côté de l’équation a été multiplié par la même
quantité. P. ex., 3n + 2 = 8 et 6n + 4 = 16 seraient des équations
équivalentes parce que tous les termes des deux côtés ont été multipliés
par deux (× 2).
Les équations 2n + 3 = 7 et 6n + 9 = 14 ne sont pas équivalentes parce
que les termes du côté gauche de l’équation ont été multipliés par
3 (n × 3) et que ceux du côté droit ont été multipliés par 2 (n × 2).
L’égalité n’est donc pas conservée. Utiliser une balance pour vérifier cet
énoncé.
110
Ressources/Notes
Performance
•
Leçon 5 (suite) : Les équations
équivalentes
Demander aux élèves de dessiner ou de modéliser une autre
équation (du modèle balance à plateaux) qui est équivalente à
la première équation présentée ci-dessous. Explique pourquoi le
modèle que tu as construit est équivalent à l’original.
P. ex.
6RR4
GE p. 34 - 41
ME p. 20 - 23
Réponse:
Y a-t-il d’autres façons de montrer que des équations sont
équivalentes au moyen d’autres opérations ? Explique.
(6RR4.1, 6RR4.2, 6RR4.3, 6RR4.4)
•
Demander aux élèves d’écrire une équation qui représente les
situations suivantes :
i) Bertrand a 3 ans de plus que Julien. Julien a 21 ans. Formule
et modélise une équation qui représente le problème. Écris une
équation équivalente qui représente le problème et conserve
l’égalité.
ii) Il reste 11 muffins sur un plateau. Il y en avait 24 au début.
Certains ont été mangés. Combien en manque-t-il? Formule
et modélise une équation qui représente le problème. Écris une
équation équivalente qui représente le problème et conserve
l’égalité.
(6RR4.1, 6RR4.2, 6RR4.3, 6RR4.4)
•
Dessine ou modélise une autre équation (balance à plateaux)
équivalente à chacune des équations présentées ci-dessous en
utilisant la multiplication. Explique pourquoi le modèle que tu as
dessiné est équivalent à l’original.
(6RR4.3)
i)
n+4=6
ii)
2p + 2 = 4
111
spécifiques
Les régularités peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes.
Auparavant, les élèves ont prolongé une suite dans une colonne d’un
tableau de valeurs et élaboré une règle de régularité qui représente
la relation entre les termes d’une colonne et entre les colonnes d’un
tableau de valeurs donné. À cette étape, il faut inciter les élèves à essayer
différentes stratégies pour résoudre un problème simple. Dans certains
cas, il peut s’avérer plus pratique de tout simplement prolonger la
suite des termes d’une colonne. Dans d’autres cas, les élèves trouveront
plus facile d’utiliser une règle de régularité (expression) pour résoudre
le problème. Les élèves devront maintenant déterminer la meilleure
approche à adopter selon le cas.
6RR1 Démontrer une
[C, L, R, RP]
(suite)
problème.
(suite)
112
Présenter la situation suivante. Laisser aux élèves le temps d’essayer de
résoudre le problème à l’aide de jetons avant de tenter de construire
une table. Utiliser une table pour consigner les données permettra aux
élèves de repérer les régularités qui peuvent ensuite servir à résoudre des
problèmes. Dire aux élèves que lorsque Marie rend visite à ses grandsparents, elle aime aller à la plage pour ramasser des cailloux. Elle en a
ramassé 12 lors de sa première visite. Les élèves peuvent utiliser la table
ci-dessous pour trouver combien de cailloux de plage Marie aurait
recueillis après 4 visites. Inviter les élèves à explorer, sans prolonger la
suite des termes de la table, combien de cailloux Marie aurait recueillis
après 8 visites chez ses grands-parents.
Ressources / Notes
Performance
•
Dire aux élèves que les cheveux d’une personne poussent au rythme
de 3 cm par mois en moyenne. Demander aux élèves de construire
une table qui les aiderait à déterminer la croissance des cheveux de
Daniel après 6 mois.
(6RR1.4)
Leçon 6 : Résoudre des problèmes
à l’aide des régularités
6RR1
GE p. 42 - 45
ME p. 24 - 26
Journal
•
Proposer aux élèves l’énoncé suivant :
La distance d’Irishtown à Pouch Cove est de 720 km. Un autobus a
quitté Pouch Cove à 8 h et roule vers l’ouest à une vitesse moyenne
de 90 km/h. Une voiture quitte Irishtown à 9 h et roule vers l’est
à une vitesse moyenne de 120 km/h. À quelle heure l’autobus et la
voiture se rencontreront-ils?
Exemple de solution : Afin de résoudre ce problème, les élèves
doivent construire un tableau de valeurs pour chaque véhicule et
comparer les deux tableaux :
Ignorer la question 1 à la page 26
du manuel de l’élève.
La leçon 3 a permis aux élèves de se
servir d’un tableau de valeurs pour
représenter une régularité et résoudre
un problème. Il sera peut-être utile
de revoir certains de ces exemples
durant ce chapitre.
Jeu de maths :
L’autobus et la voiture se croiseront à 12 h.
Dé-quations
GE p. 46 – 47
ME p. 27
(6RR1.4)
113
114

(3.Les r\351gularit\351s en math\351matiques 6e ann\351e.indd)

Transcription

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