Courants électriques

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UE 3-1 : Physique
Chapitre 3 :
Courants électriques
Pr. Eva PEBAY-PEYROULA
Année universitaire 2014/2015
Université Joseph Fourier (UJF) Grenoble I - Tous droits réservés
III - Courants électriques
Finalité du chapitre
•
•
•
Après avoir vu l’existence des charges et les actions qu’elles provoquent,
ce chapitre s’intéresse aux mouvements des charges. Nous décrirons dans
un premier le courant électrique au niveau des particules élémentaires, les
électrons, responsables de ce courant dans un matériau conducteur.
Nous définirons des grandeurs permettant de décrire les propriétés des
circuits électriques (courant, tension, résistance), ou des solutions d’ions.
Nous expliciterons les relations entre tension et courant dans le cas de
circuits simples.
Plan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Le courant électrique
Intensité et densité de courant
Courant électrique dans les conducteurs
Conductivité et résistivité
Loi d’Ohm - résistance électrique
Effet Joule dissipation d’énergie
Courants dans un électrolyte
Courants continus
Courants variables
Exemples d’application
•
•
Beaucoup de phénomènes dans le vivant sont basés sur des mouvements
de charges électriques:
Influx nerveux: phénomène électrique au niveau de cellules excitables
(neurones), phénomènes de dépolarisation suivi d’une repolarisation, font
intervenir des ouvertures et fermetures de canaux ioniques dans les
membranes
•
Dans les mitochondries le flux de protons qui entrent par la membrane
interne permet la synthèse de l’ATP
•
Techniques d’analyse des protéines : les protéines sont chargées et
soumises à un champ électrique pour les faire migrer, cette migration
dépend de leur taille
2. Intensité et densité de courant
Considérons un cylindre de section S dans
lequel se déplacent des charges à une
vitesse v. Le mouvement se fait dans l’axe
du cylindre, c’est-à-dire la vitesse est
parallèle à cet axe comme indiqué sur la
figure.
A B
v
S
t
v
t+dt
Pendant un temps élémentaire dt, les charges parcourent une distance dl= v dt
(elles vont de la section A à la section B)
Pendant ce temps dt, la quantité de charges dQ traversant la section S correspond
à la quantité de charges présente dans le volume entre les sections A et B
A B
v
S
t
v
t+dt
Nous pouvons définir l’intensité I du courant électrique par la variation de
quantité de charge par unité de temps:
I = dQ/dt
L’unité dans le système international est l’Ampère (A)
dQ est la quantité de charge qui traverse la surface S par unité de temps
A B
v
S
t
t+dt
Nous pouvons définir une densité de courant j
I=jS
j représente une intensité électrique par unité de surface et s’exprime
dans le système SI en A m-2
A B
Nous pouvons aussi définir le nombre n de
porteurs de charges par unité de volume
v
S
Si q est la charge élémentaire,
alors dQ est relié à n par:
t
dQ = n q (S dl) = n q S v dt
d’où I= dQ/dt= n q S v
et
t+dt
j=I/S = n q v
En réalité j est un vecteur, la direction est celle de la vitesse des charges
Application: calcul du courant généré par les électrons dans un synchrotron
Un synchrotron est constitué d’un anneau circulaire parcouru par des électrons qui
circulent à une vitesse proche de la vitesse de la lumière. Cet anneau produit ainsi
des rayons X utilisés pour la recherche.
On considère un anneau de circonférence L=240 m, 1011 électrons parcourent ce
cercle à chaque cycle. Calculons l’intensité du courant.
Par définition I=dQ/dt,
dans ce cas courant uniforme donc I=Q/t
À chaque tour 1011 électrons parcourent l’anneau donc :
et
t=L/v=240/(3 108) (par définition de v)
Q=1011 x 1,6 10-19 C
d’où I=0,02 A
Remarque: L’ESRF (European Synchrotron Research Facility) localisé à Grenoble est un
synchrotron Européen très puissant (parmi les plus performants au monde).
A B
v
S
t
t+dt
Si nous avons plusieurs types de charges qi avec vitesse vi:
Par convention :
Le sens du courant électrique est le sens de déplacement des charges positives
Donc les électrons circulent en sens inverse du courant
3. Courant électrique dans les conducteurs
Il existe différents types de matériaux: les isolants et les conducteurs
Isolant : exemple quartz constitué de molécules de silice
Non ionisées, pas de charges libres
Conducteur: exemple cuivre, quelques ions positifs et électrons libres, les
électrons se déplacent de façon aléatoire dans le matériau
En appliquant un champ E à un matériau conducteur les électrons vont subir une
force électrique
Mouvement d’ensemble des électrons, dans le sens contraire à E
(q<0)
Les électrons dans le matériau se heurtent aux atomes constituant le matériau
À chaque choc: perte d’énergie. En moyenne les électrons ont une vitesse v
suivant la direction du champ. Dans ce chapitre, la vitesse v des charges sera
toujours cette vitesse moyenne.
La vitesse des électrons est reliée au
champ appliqué
 mobilité des porteurs de charges (dans le cas d’un
matériau conducteur: électrons libres)
E
4. Conductivité et Résistivité
La densité de courant j est reliée à la vitesse :
or la vitesse est reliée au champ électrique
Donc la densité de courant est reliée au champ électrique
Cette relation est appelée la loi d’Ohm locale
 est la conductivité du matériau (m)-1
La résistivité est l’inverse de la conductivité:

en m
La résistivité et la conductivité sont caractéristiques du matériau
Application: calcul de j et v dans un fil de cuivre parcouru par un courant I
Soit un fil de cuivre de 1,2 mm de diamètre est parcouru par un courant de 5 A.
Intéressons-nous à la densité de courant et à la vitesse des électrons.
Le cuivre est caractérisé par un numéro atomique A=63,5; une masse volumique =9 g/cm3
et nous savons qu’il y a un électron libre par atome.
Par définition j=I/S= I / ( r2 ) = I / ( (d/2)2 ) = 4,4 106 A/m2
La vitesse est reliée à j par j=nqv d’où v=j/(nq)
les porteurs de charges sont les électrons libres, c’est-à-dire 1 par atome de Cu
le nombre de porteurs de charge par unité de volume est donc égal au nombre d’atomes de Cu
par unité de volume
volume d’1 atome de Cu = A/ ( NA) donc inversement n =  NA / A (NA est le nb d’Avogadro)
D’où
Pour l’application numérique, il faut écrire toutes les valeurs en SI
A= 63 10-3 kg/mol, =9 103 kg/m3, q=1,6 10-19 C, NA=6,02 1023 d’où v=3,2 10-4 m/s = 0,32 mm/s
4. Conductivité et Résistivité
MATÉRIAU
RÉSISTIVITÉ (m)
TYPE
Plomb
0 pour T<7K
Supraconducteur
Cuivre (à 20°C)
1,7 10 ‐8
conducteur
Silicium (20°C)
2300
semi‐conducteur
Verre (20°C)
10 10 à 10 14
isolant
Membrane de lipide
1,6 10 7
Variation avec T:
 augmente avec T pour conducteurs
 diminue quand T augmente pour isolants
5. Loi d’Ohm - résistance électrique
Considérons un fil conducteur. Entre 2 points du fil distant de L, nous appliquons
une différence de potentiel V = V1 –V2
(on choisit V2<V1 donc V>0)
Le fil peut être considéré comme un cylindre filiforme.
Nous avons vu dans le chapitre précédent que le potentiel est relié à un champ
électrique par
Dans ce cas, il est possible de montrer
que le champ électrique entre les 2 points
est défini par:
-une direction suivant l’axe du cylindre,
-une orientation dans le sens des V
décroissants
-une norme
L
V1
j
E
V2
S
S
Démonstration facultative
V1
Le fil conducteur est un cylindre très fin: par
approximation on considère que le mouvement
des charges se fera juste sur l’axe Ox
E
V2
x
L
Le potentiel entre les 2 points varie de façon uniforme, donc en un point défini par x,
V = a x (a: cte )
D’après la relation reliant le champ et le potentiel,
V ne dépend que de x, donc le champ est suivant Ox
Relions a à V1, V2 et L
donc
Le champ électrique du à la différence de potentiel entraîne un mouvement de
charges. Le courant I et la densité de courant j associés sont définis par
D’où
D’où la loi d’Ohm
V1
L
V2
E
S
j S
R est la résistance en Ohm (Ω)
Remarques:
Cette expression de R est valable pour un conducteur cylindrique S, L
La résistivité  est une propriété du matériau
La résistance R est une propriété d’un morceau de matériau (ici une portion de fil cylindrique)
6. Effet Joule - Dissipation d’énergie
Nous avons mentionné dans une diapositive précédente que les électrons se
déplacent en moyenne suivant la direction du champ électrique, mais que de façon
individuelle ils subissent des chocs avec les atomes du matériau.
Ces chocs se traduisent par une dissipation d’énergie par échauffement, ce
phénomène s’appelle l’effet Joule
Il est possible de montrer que la puissance dissipée par effet Joule
dans un circuit de résistance R parcouru par un courant I, s’écrit:
où U est la différence de potentiel, U =V
AN: Courant parcourant la résistance d’un sèche-cheveux de 1600 W sous une tension de 220V?
I = 1600/220 = 7,3 A
7. Courant dans un électrolyte
Liquides avec dissociation partielle ou totale des molécules:
ions > et <0
exemple:
H2O
H+ + OH-
HCl
H2SO4
H+ + Cl2 H+ + SO42-
électrolyte globalement neutre
coefficient de dissociation  = nbre de mol. dissociées/ nbre total de mol.
électrolyte fort:
=1 (sels, bases et acides forts)
électrolyte faible:
 <1 (sels, bases et acides organiques)
n0 molécules AxBy en solution par unité de volume:
Densité volumique de porteurs:
n+ = x  n0
x ions Aq+ et y ions Bqet
n- = y  n0
Neutralité globale:
Densité volumique de charge:
Champ électrique: déplacement d’ions, ions - vers anode, ions + vers cathode
Courant électrique de densité:
Remarques:
- q+ + et q- - sont >0
- mobilités des ions dépend de leur masse, ions sphériques:  prop. à m-1/3
Pour Na+, Cl- :  ~10-8 SI, hémoglobine: ~10-9 SI
Application: courant créé par un déplacement d’ions dans un électrolyte
Deux électrodes de 5 cm2 de surface, distantes de 10 cm, plongent dans une
solution aqueuse de NaCl (29,25 g/L, supposés complètement dissociés). La
mobilité des ions Na+ est de 5 10-8 SI, celle des ions Cl- de 7 10-8 SI. On applique
entre les électrodes une tension continue de 5V. On s’intéresse à l’intensité du
courant, la résistivité de la solution et les vitesses de déplacement des ions Na+ et
Cl-.
La densité de courant provient des mouvements des Na+ et des Clj= (n+q++ + n-q-- ) E
avec + =5 10-8 SI; -= -7 10-8 SI; q+ = 1,6 10-19 C ; q- = -1,6 10-19 C ; E= V/d= 5/0,1 = 50 V/m
Calcul de n+ et n-:
Une concentration de 29,25 g/L correspond à 0,5 mole/L (MW NaCl= 58,44 g/mol)
donc n+=n- = 0,5 103 NA = 3 1026 porteurs/m3.
d’où j= 300 A/m2
et
I=jS=0,15A
Résistivité =E/j = 0,165 m,
Vitesse de déplacement : v=E donc vCl=3,5 10-6 m/s et vNa=2,5 10-6 m/s
Exemple: électrophorèse
Identification des protéines contenues dans une solution
Migration des grosses molécules plus lentes que les petites
1: marqueurs (protéines de
masse connue
2 et 3: extrait cellulaire
8. Courants continus
Générateur: maintenir une différence de potentiel (ddp) cte entre ses bornes
La ddp est la force électromotrice fem du générateur
Exemple : pile électrique, accumulateur,…
Récepteur: consomme de l’énergie, chute de potentiel, force contreélectromotrice fcem
Pour fonctionner: récepteur doit être alimenté par générateur fem>fcem
Exemple: moteur
Rque: générateur et récepteur ont une résistance interne r
Lois de Kirchhoff
I1
A
I2
A
Loi des nœuds: On considère un noeud dans un circuit
électrique: 2 branches arrivant en A et deux branches
repartant de A
I1 + I2 = I3 + I4
I3
I4
B
Loi des mailles: soit UMN la différence de
potentiel entre 2 points M et N (UMN= VM-VN)
UAB + UBC + UCD = UAD
D
C
Il s’agit des lois de Kirchhoff.
Elles expriment la conservation de l’énergie et de la charge électrique.
Association de résistances en série
Placées en série, elles sont parcourues par un même courant
R2
R1
I
A
M
R3
N
B
La différence de potentiel entre les points A et B s’écrit:
VA - VB = (VA - VM) + (VM - VN)+ (VN - VB)
Il est possible d’appliquer la loi d’Ohm pour chaque résistance:
D’où
VA – VB = R1I + R2I + R3I = (R1+ R2+ R3 ) I = R I
Avec R = R1+ R2+ R3
Placées en série, la résistance résultante est la
somme des résistances
R =  i Ri
Association de résistances en parallèle
Placées en en parallèle, elles sont soumises à la même différence de potentiel VA-VB
Pour chaque résistance Ri traversée par un courant
Ii la loi d’Ohm s’écrit VA-VB = RiIi d’où
D’après la loi de Kirchhoff
R1
I
A
R2
B
R3
Avec
Placées en parallèle (ou en dérivation), l’inverse de la résistance résultante est la
somme des inverses des résistances individuelles.
E
A
Le circuit 1 comprend un générateur et une
résistance. Le générateur fournit une ddp E, il
en résulte un courant I relié à R par la loi d’Ohm.
E
R3
R4
R5
-
B
I = E/R
R
Le circuit 2 comprend un générateur
et plusieurs résistances.
R2
R1
I
+
Exemples de circuit
I
Connaissant les valeurs des 5 résistances, il
est possible de calculer la résistance
équivalente:
1)R’: Résistance équivalente à R2, R3, R4
2)R’’: Résistance équivalente à R1, R’
3)R’’’: Résistance équivalente à R’’, R5
9. Courants variables
Condensateur: capacité C chargé sous ddp V
charge Q sur les armatures avec Q= CV
Si pendant dt, la ddp varie de dV, alors la charge varie de dQ avec dQ = C dV
D’où un passage de courant
i = dQ/dt
Charge d’un condensateur
R
A
E
+
-
i
C
t = 0, Q =0
On bascule l’interrupteur en A,
C se charge à travers R:
B
r
D’où
Définition d’un temps caractéristique = RC
temps nécessaire à la charge du condensateur, aussi appelé constante de temps du circuit
Démonstration facultative (autre option: vérifier que la solution vérifie l’équation de départ
R
E
+
-
i
A
t = 0, Q =0
B
C
Solution de l’intégration:
solution générale de
r
+ solution particulière de
Solution particulière : condensateur chargé Q=CE
D’où la solution complète
Or à t=0 Q=0, d’où cte=-CE d’où
R
E
+
-
i
A
C
B
r
Variation de Q
t=0, Q=0; t tend vers l’infini, Q=CE; t = alors Q = 63% du max ( = CE)
Variation de i
t=0, i=E/R; t tend vers l’infini, i=0; t = alors i = 37% du max ( = E/R)
R
+
E
-
A
B
décharge du condensateur
i
C
r
T=0, Q =Q0
On bascule l’interrupteur en B, le
condensateur de décharge à travers r
D’où Q(t) = Q0 e-t/rC
= rC
rapidité avec laquelle le condensateur se décharge
Constante de temps du circuit de décharge
t = alors il ne reste que 37% de Q0
ATTENTION ici le condensateur se décharge, le nombre de charge diminue en fonction du
temps, l’intensité du courant qui est une quantité positive est donc égale à -dQ/dt (au lieu de
dQ/dt dans le cas où le condensateur se charge).
R
+
E
-
A
Décharge du condensateur
B
i
C
r
Variation de Q
t=0, Q=Q0; t tend vers l’infini, Q=0; t = alors Q = 37% du max
Variation de i
t=0, i=Q0/rC; t tend vers l’infini, i=0; t = alors i = 37% du max
Notion d’inductance
Un élément d’un circuit électrique possède une inductance L si la
tension à ses bornes est proportionnelle à di/dt, où di/dt est la
dérivée de l’intensité traversant l’élément.
générateur
U
L
i
U = L di/dt
Les éléments qui possèdent cette propriété sont en général
des bobines (fil conducteur enroulé autour d’un axe), d’où la
représentation symbolique de L.
Circuit électrique général
Un circuit électrique pourra être composé de différents éléments:
-Générateur
-Résistance
-Condensateur
-Bobine d’inductance
Le courant généré par une tension délivrée par le générateur dépendra
de ces éléments et de la façon dont ils sont agencés (montage en série
ou en parallèle).
Résumé des notions importantes
•
•
•
•
•
•
•
•
Définition du courant électrique, de la densité de courant, expression de la
densité de courant en fonction des porteurs de charges et de leur vitesse,
notion de mobilité des porteurs de charge, lien entre mobilité, vitesse et
champ électrostatique, origine physique de la mobilité (chocs)
Loi d’Ohm locale, définition conductivité et résistivité
Loi d’Ohm, résistance, puissance dissipée par effet joule
Densité de courant dans un électrolyte (expression)
Lois de Kirchhoff
Lois d’association de résistance (série et parallèle)
Charge et décharge d’un condensateur (principe, relation, entre I, Q, V,..)
Notion d’inductance
www.medatice-grenoble.fr
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