La base canonique de Kn, c`est quoi au juste - MPSI-3

La base canonique de Kn , c’est quoi au juste ?
La base canonique de Kn est la famille Bn constituée (dans cet ordre) des n−uplets :
e1 = (1, 0, 0, ..., 0, 0)
e2 = (0, 1, 0, ..., 0, 0)
..
.
en = (0, 0, 0, ..., 0, 1)
Si a1 , ..., an sont des scalaires tels que a1 e1 + · · · , +an en = (0, · · · , 0) , alors d’évidence a1 = · · · = an = 0. La famille
Bn est donc libre.
Par ailleurs, pour tout a ∈ Kn , en notant a = (a1 , ..., an ), on constate que a = a1 e1 + ... + an en et ceci prouve que Bn
est génératrice de Kn .
Bref, Bn est une base de Kn . On l’appelle LA base canonique de Kn .
Ajoutons :
– qu’il existe une infinité d’autres bases dans Kn (à vrai dire, ceci suppose K infini, mais c’est le cas pour nous).
– que la notion de base canonique est définie pour certains autres espaces vectoriels (notamment : l’espace des
polynômes à coefficients dans K et de degré 6 n, l’espace des matrices rectangulaires à n lignes et p colonnes
et à coefficients dans K).
– que pour un espace vectoriel E non précisé, la notion de base canonique n’a pas de sens !