L`utilisation de variables instrumentales pour l`évaluation de

Intro
1° étape
Forme réduite
Définition
Interprétation
Doubles moindres carrés
L’utilisation de variables instrumentales pour
l’évaluation de politiques publiques
http ://pagesperso-orange.fr/pierre.andre01/Econometrie
Pierre ANDRE
[email protected]
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Doubles moindres carrés
Les variables instrumentales : principe
La plupart des politique publiques ne sont pas distribuées
aléatoirement
Les MCO permettent donc rarement de mesurer leur effet
Idée des variables instrumentales : trouver des variations de la
politique publique qui seraient aléatoires
On veut estimer y = x β + ε. On sait que z cause u mais n’est pas
lié au terme d’erreur
y
z
x
ε
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Les variables instrumentales : Exemple du comportement
d’épargne des agriculteurs
On cherche à mesurer dans quelle mesure les agriculteurs épargnent plus
quand ils gagnent plus
Mais les variations de revenus entre agriculteurs sont dus à de
multiples facteurs, comme l’épargne passée, la préférence pour le
présent vs. le futur, etc.
Il faut donc trouver une variation de revenus des agriculteurs qui
serait aléatoire et générer des variations de revenus sur des
agriculteurs comparables
Exemple de l’effet des chocs de revenus dus aux climat sur le
comportement d’épargne des agriculteurs (Paxson, 1992 - Thaı̈lande)
Pluies
Revenu
Comportement d’épargne
Stock d’épargne, préférence pour le présent . . .
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Les variables instrumentales : Formalisation
On un modèle à “deux” équations :
y[1×1] = x[1×K ] β [K ×1] + ε
x[1×K ] = z[1×K ] θ [K ×K ] + u
La seconde équation comporte une ligne par variable du vecteur x.
Il faut un vecteur d’instruments de taille K .
Le vecteur d’instruments est supposé être exogène (Corr (z, ε) = 0)
et prédire x
Si seul x1 est endogène dans la seconde équation, on aura comme
vecteur d’instruments z = (1, z1 , x2 , x3 . . .)
Si tous les xi sont endogènes, on peut (en théorie) avoir un vecteur
z = (1, z1 , z2 , z3 . . .) (presque) totalement différent de x
Difficile en pratique. De +, en termes de politiques publiques, on est
souvent intéressés à l’effet une variable particulière
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Les variables instrumentales : première étape (1)
On a l’équation de première étape
x = zθ + u
Soit, avec seul x1 endogène :

1 = 1 × 1 + 0z1 + 0x2 + . . .



 x1 = θ 0 × 1 + θ 1 z1 + θ 2 x2 + . . .
x2 = 0 × 1 + 0z1 + 1x2 + . . .



 ..
.


1 0 0 0 ...
 θ0 θ1 θ2 θ3 . . . 




δ =  0 0 1 0 ... 
 0 0 0 1 ... 


..
..
..
.. . .
.
.
.
.
.
On appellera usuellement dans ce cas l’équation de première étape
l’estimation de :
x1 = z θ̃ + u1
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Les variables instrumentales : première étape (2)
rang (θ ) = K
⇔ θ1 6 = 0
Dans le cas général :
Hypothèse 1 :
Cas général
Un seul instrument
Aucun x̂i n’est combinaison linéaire des autres x̂j .
Tous les xi varient
Avec un seul instrument, cela veut dire que z1 est vraiment corrélé à
x1 conditionnellement à x2 , x3 , . . ..
Exemple du climat et des agriculteurs
Si les pluies n’accroissent pas le revenu des agriculteurs, on ne
pourra pas se servir des pluies pour estimer l’effet d’une hausse
revenu des agriculteurs sur leur épargne
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Les variables instrumentales : première étape (3)
x = zθ + u
Faisons le point : on veut vérifier que les revenus exceptionnels modifient
l’épargne des agriculteurs. On cherche à vérifier que les chocs de climat
changaient réellement les revenus des agriculteurs.
Pluies
Revenu
Comportement d’épargne
Stock d’épargne, préférence pour le présent . . .
En général, on peut estimer θ avec les MCO
La première étape peut être à ce stade purement prédictive, et non
explicative : on a besoin que z soit corrélé à x, et non que ce prédicteur
soit exogène.
En pratique, le plus souvent, z sera un prédicteur exogène de x
(x = zθ + u) estimé causalement avec les MCO
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Estimation de l’effet des pluies sur les revenus des
agriculteurs
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La forme réduite
Forme structurelle du modèle :
Forme réduite du modèle :
⇔
y = xβ + ε
x = zθ + u
y = z θβ + uβ + ε
Hypothèse 2 : IE(zε) = 0
On peut alors généralement facilement identifier θβ par les MCO :
u n’est pas corrélé à z puisqu’on n’a pas cherché à donner un sens
causal à la première étape des MCO x = z θ + u
ε n’est pas corrélé à z par hypothèse
L’estimation de cette première étape par les MCO :
Donne le signe de β si on a estimé θ par les MCO auparavant
Pourrait permettre de recalculer β : on connait δ = θβ et θ.
β = θ −1 δ : θ est inversible
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Figure: Estimation de l’effet des chocs de pluie sur l’épargne
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Première étape : exemple
Figure: Estimation de l’effet des chocs de pluie sur l’épargne
Revenu = θ1 Pluie + . . .
Epargne = β 1 Revenu + . . .
Epargne = θ1 β 1 Pluie + . . .
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La forme réduite : conclusion
On sent qu’il est possible d’estimer le coefficient d’intérêt β grâce à une
variation exogène de x apportée par z :
On peut mesurer θ par les MCO.
On peut mesurer δ = θβ par les MCO.
Autrement dit :
On sait de combien la pluie augmente les revenus des agriculteurs.
On sait de combien la pluie augmente l’épargne des agriculteurs.
Si les pluies ne changent pas le comportement d’épargne des
agriculteurs pour d’autres raisons, on doit pouvoir trouver combien
les agriculteurs épargnent pour 1 ede revenu supplémentaire.
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Les variables instrumentales : définition
On part de l’hypothèse 2 : IE(z ε) = 0
IE(z 0 ε)
= 0
⇔ IE(z (y − x β)) = 0
⇔ IE(z 0 y ) = IE(z 0 x ) β
0
⇔ IE(z 0 x )−1 IE(z 0 y ) =
β
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Les variables instrumentales : définition et résultat
On définit β̂ IV = (Z 0 X )−1 Z 0 Y .
β̂ IV [K ×1] = (Z[0K ×N ] X[N ×K ] )−1 Z[0K ×N ] Y[N ×1]
−1 1 Σ z 0y
1 Σ z 0x
β̂ IV =
i
i
i
i
i
i
N
N
#
Théorème : si
IE(z 0 x )−1 IE(z 0 y )
1
rang (θ ) = K
2
IE(zε) = 0
Alors β̂ IV est un estimateur non biaisé et convergent de β
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Les variables instrumentales : Preuve partielle
β̂ IV
= (Z 0 X ) −1 Z 0 Y
= (Z 0 X ) −1 Z 0 X β + (Z 0 X ) −1 Z 0 e
=
β + (Z 0 X ) −1 Z 0 e
Si Z 0 X est de plein rang, Z 0 X est inversible. Alors, si IE(Z 0 ε) = 0,
IE( β̂ IV ) = β non : IE(Z 0 ε) = 0 mais IE(Z 0 ε|x ) 6= 0
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Les variables instrumentales : L’effet du revenu
supplémentaire sur l’épargne
Figure: Estimation de l’effet du revenu temporaire sur l’épargne des
agriculteurs Thaı̈landais
Source : Paxson, 1992. Je n’ai reporté que le coefficient de l’effet du revenu transitoire sur l’épargne
Revenu = θ1 Pluie + . . .
Epargne = β 1 Revenu + . . .
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Interprétation des variables instrumentales
Bien comprendre l’interprétation des variables instrumentales car c’est
une des techniques indispensables en économétrie
A partir des équations en forme réduite et de première étape
Comme une estimation en deux étapes : prédiction de X̂ , estimation
de β
Cas des traitements hétérogènes
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Forme réduite et variable instrumentales : calcul
On peut estimer le coefficient θ par MCO : θ̂MCO = (Z 0 Z )−1 Z 0 X
On peut estimer le coefficient δ = θβ par les MCO :
δ̂MCO = (Z 0 Z )−1 Z 0 Y
On avait vu que δ = θβ ⇔ β = θ −1 δ
−1
Il est facile de montrer que β̂ IV = θ̂MCO
δ̂MCO :
−1 −1
θ̂MCO
δ̂MCO =
(Z 0 Z ) −1 Z 0 X
(Z 0 Z ) −1 Z 0 Y
= (Z 0 X ) −1 Z 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 Y
= (Z 0 X ) −1 Z 0 Y
= β̂ IV
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Doubles moindres carrés
Forme réduite et variable instrumentales : interprétation
−1
β̂ IV = θ̂MCO
δ̂MCO
Autrement dit, mesurer β par les variables instrumentales est équivalent à
mesurer θ et δ par MCO et en déduire δ
Mesurer l’effet du revenu sur l’épargne via les variables instrumentales :
Mesurer dans quelle mesure la pluie affecte les revenus des
agriculteurs via les MCO
Mesurer dans quelle mesure la pluie affecte l’épargne via les MCO
En déduire la relation entre les revenus et l’épargne en calculant le
“rapport” des deux coefficients
Croire en la validité d’une démarche est donc similaire à croire en la
validité de l’autre
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Estimation en deux étapes et variables instrumentales :
Théorème
Théorème : Il est équivalent de :
Mesurer le coefficient de première étape θ̂MCO et en déduire les X̂
Régresser par les MCO Y sur les X̂ pour obtenir β̂ 2SLS
Calculer β̂ IV
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Doubles moindres carrés
Estimation en deux étapes et variables instrumentales :
Preuve (1)
θ̂MCO
X̂
X̂ 0
β̂ 2SLS
= (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
= Z θ̂MCO = Z (Z 0 Z )−1 Z 0 X
= X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0
−1 0
= X̂ 0 X̂
X̂ Y
h
i −1
= X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 Y
h
i −1
= X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 Y
−1 0
= X̂ 0 X
X̂ Y
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Doubles moindres carrés
Estimation en deux étapes et variables instrumentales :
Preuve (2)
β̂ 2SLS
=
h
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
i −1
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 Y
X’Z, Z’X, Z’Z étant carrées et inversibles, on a :
= (Z 0 X ) −1 Z 0 Z (X 0 Z ) −1 X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 Y
= (Z 0 X ) −1 Z 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 Y
= (Z 0 X ) −1 Z 0 Y
= β̂ IV
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Doubles moindres carrés
Estimation en deux étapes et variables instrumentales :
Interprétation
Calculer les X̂ permet d’avoir une approximation des X qui dépende
de Z et non de u
Cela permet donc de prendre en compte la part de X qui vient des Z
(la part de la variation du revenu des agriculteurs Thaı̈landais qui
vient du climat)
Alors X̂ n’est pas corrélée à ε car X̂ = Z θ̂ et Z n’est pas corrélé à ε.
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Doubles moindres carrés
Idée : Supposons qu’on ait plus d’instruments que de
variables
Les variables instrumentales ne marchent pas : la matrice z doit
avoir autant d’instruments que la matrice x
Les doubles moindres carrés pourraient marcher :
on peut régresser x sur les z.
on peut en déduire X̂ et en déduire β̂ 2SLS
Supposons que z est de dimension L.
β̂ 2SLS
=
=
0 −1 0
X̂ X̂
X̂ Y
h
i −1
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 Y
X[0K ×N ] Z[N ×L] (Z[0L×N ] Z[N ×L] )−1 Z[0L×N ] X[N ×K ]
X[0K ×N ] Z[N ×L] (Z[0L×N ] Z[N ×L] )−1 Z[0L×N ] Y[N ×1]
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Doubles moindres carrés
Validité des doubles moindres carrés
Remarque : on sait déjà que les variables instrumentales sont un cas
particulier de doubles moindres carrés avec L = K .
Les hypothèses seront donc similaires
Hypothèses :
1
IE(z 0 ε) = 0
2
rang IE(z 0 z ) = L
3
rang IE(z 0 x ) = K
Théorème : sous ces hypothèses, les doubles moindres carrés sont un
estimateur sans biais et convergent
(1) est totalement similaire aux variables instrumentales.
(2) veut dire qu’il n’y a pas de collinéarité stricte entre les z et que
tous varient. Sinon on ne peut faire la première étape.
(3) veut dire qu’on prédit K variables linéarement indépendantes en
faisant la première étape. Sinon on ne peut faire la seconde.
(⇒ L ≥ K )
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Doubles moindres carrés
Validité des doubles moindres carrés : preuve
β̂ 2SLS
=
h
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
i −1
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 Y
=
h
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
i −1
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 (X β + e )
=
h
=
i −1
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X β
h
i −1
+ X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 e
h
i −1
β + X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 e
Or IE(z 0 ε) = 0, mais IE(z 0 ε|x ) 6= 0
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Doubles moindres carrés
Validité des doubles moindres carrés : preuve
β̂ 2SLS − β
=
=
=
i −1
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 X
X 0 Z (Z 0 Z ) −1 Z 0 e
# −1
"
−1
−1
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
X Z
Z Z
Z X
X Z
Z Z
Z e
N
N
N
N
N
N
"
# −1
−1
1
1
1
0
0
0
Σxz
Σzz
Σzx
N i i i N i i i
N i i i
−1
1
1
1
0
0
Σxz
Σzz
Σ z 0ε
N i i i N i i i
N i i i
h
Qui converge vers
h
i −1
Cov (x, z )Var −1 (z )Cov (z, x )
Cov (x, z )Var −1 (z )Cov (z, ε)
Or IE(z 0 ε) = 0
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Doubles moindres carrés
Doubles moindres carrés : conclusion
Si on a plusieurs instruments “valables” pour une même variable
instrumentale, pas la peine de choisir
Les Variables instrumentales sont un cas particulier des doubles moindres
carrés avec autant d’instruments que de variables