5.3 représentation de black

Asservissements linéaires
Représentations graphiques
5.3 REPRÉSENTATION DE BLACK
5.3.1 Définition
Une fonction complexe peut aussi être représenté par module et argument.
G0 ( jω ) = G 0 ( jω ) exp(arg G0 ( jω ))
(5.5)
Si on prend le logarithme naturel de la relation (5.5), on arrive à séparer module et
argument, dont le sens physique respectif a été exposé au chapitre précédent (§ 4.6.1).
ln(G0 ( jω )) = ln G0 ( jω ) + j (arg G0 ( jω ))
(5.6)
Plutôt que représenter la fonction complexe ln|G0(jω)| sur deux axes, des raisons
historiques ont conduit à un autre choix pour le diagramme de Black: on représente bel et bien
l'argument sur un axe, mais sur l'axe x, et on représente bien le logarithme, mais décimal sur
l'autre axe – y – non pas en échelle logarithmique explicite, mais en échelle linéaire
logarithmique implicite graduée en décibels.
5.3.2 Méthode de tracé
A partir de (5.4), on calcule module et argument pour quelques valeurs de pulsations.
On peut calculer les valeurs particulières de pulsations qui provoquent un argument multiple
de 90° (identiques à celles des intersections avec les axes sur le diagramme de Nyquist), et
aussi celle qui provoque un module unité.
Fig. 5.4 Diagramme de Black de la fonction de transfert (5.3).
Si cette représentation améliore la qualité de lecture pour les petits modules par rapport
au diagramme de Nyquist, l'inconvénient du report des valeurs de pulsations subsiste.
Jean-Marc Allenbach
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Asservissements linéaires
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5.3.3 Assistance de tracé par ordinateur
Pour le tracé de Black, on fait appel à deux fonctions qui assurent respectivement le
tracé de la réponse harmonique dans le plan de Black et sa superposition par l'abaque de
Nichols.
>> nichols(num,den,omega)
>> ngrid
On a aussi développé au Laboratoire d'Automatique de l'eig un programme affbla qui
contient tout l'environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat.
(1-3*s)*(1+20*s)
Diagramme de Black-Nichols: G0(s)= ---------------------------------------------(1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s)
40
0 dB
30
0.25 dB
0.5 dB
20
-1 dB
1.3 dB
3 dB
10
-3 dB
6 dB
-6 dB
0
-10
-12 dB
-20
-20 dB
-30
-40 dB
-40
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
Fig. 5.5 Tracé de Black (5.3) obtenu avec affbla.
Jean-Marc Allenbach
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