1 TRIBU 1

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Etude des tribus
Chapitre 1
Rappel (espace mesurable).................................................................................... 2
Atomes d’un espace mesurable (définition 1)....................................................... 3
Atome d’un espace mesurable (définition équivalente 2)..................................... 4
Atome d’un espace mesurable (définition équivalente 3)..................................... 5
Cas d’une tribu finie .............................................................................................. 6
Vérification de la propriété (• • •) ter des atomes ................................................. 7
La partition en atomes d’une tribu finie................................................................ 8
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Rappel (espace mesurable)
Un espace mesurable est un couple ( Ω , Γ) où Ω est un ensemble et Γ un
ensemble de parties de Ω appelé TRIBU DE PARTIES DE Ω et qui vérifie :
1) si A ∈ Γ alors A ∈ Γ
2) Ω ∈ Γ donc φ∈ Γ
3) Si I est un ensemble fini ou dénombrable et si A i ∈ Γ pour tout i tel que i ∈ I
alors :
U Ai ∈ Γ
i∈I
Remarque sur la propriété 3
Si la propriété 3 est vérifiée alors :
Si A i ∈ Γ pour i ∈ I , alors : A i ∈ Γ puisque d’après les Lois de De Morgan
I
i∈I
U Ai = I Ai = I Ai et si A n ∈ Γ alors A n ∈ Γ et U A n ∈ Γ et
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
U Ai ∈ Γ.
i∈I
Propriété Si Ψ est un ensemble non vide de tribus de parties de Ω
l’intersection I { Γ / Γ ∈ Ψ } est encore une tribu ( I { Γ / Γ ∈ Ψ } est l’ensemble
des parties de Ω qui sont des éléments de toutes les tribus de l’ensemble Ψ ).
Tribu engendrée par un ensemble quelconque de parties de Ω
Soit Φ un ensemble non vide de parties de Ω . Soit ΨΦ l’ensemble de toutes
les tribus de Ω qui contiennent Φ , alors ΨΦ n’est pas vide car la tribu
Part (Ω ) de toutes les parties de Ω contient Φ (Part (Ω ) ∈ ΨΦ ) .
Définition
La tribu intersection I { Γ / Γ ∈ ΨΦ } se nomme Tribu engendrée par Φ .
Propriété
La tribu engendrée par Φ est contenue dans n’importe quelle tribu qui
contient Φ , c’est la plus petite tribu qui contient Φ .
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Atomes d’un espace mesurable (définition 1)
Soit ( Ω , Γ) un espace mesurable, A est un atome de ( Ω , Γ) lorsque :
(•) A ∈ Γ
(••)
A est non vide (A ≠ φ)
(• • •) Si B ∈ Γ tel que B ⊂ A, alors si B est non vide( φ ≠ B)
on a nécessairement : B = A.
Propriété
Si A et A’ sont deux atomes distincts alors A ∩ A' = φ .
Preuve
A ∈ Γ et A '∈ Γ implique: A ∩ A'∈ Γ.
Supposons que A I A ' ≠ φ alors : A ∩ A' ⊂ A et d ' après (• • •)
A I A ' ⊂ A implique A I A ' = A donc A ⊂ A'
de même: A I A' ⊂ A' implique A I A ' = A' donc A' ⊂ A
il en résulte que A = A ' ce qui est impossible si on sup pose A et A' distincts.
Remarque
On a utilisé :
• E ∩ F = E si et seulement si E ⊂ F (et aussi E ∪ F = F si et seulement si E ⊂ F)
• E ⊂ F et F ⊂ E si et seulement si E = F.
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Atome d’un espace mesurable (définition équivalente 2)
Propriété
Un atome A de ( Ω , Γ) est une partie Ω telle que :
(•) A ∈ Γ
(••) A est non vide (A ≠ φ)
(• • •) bis Si B ∈ Γ alors : si A ∩ B est non vide (A ∩ B ≠ φ)
on a nécessairement A = A ∩ B (donc A ⊂ B).
Preuve
1) La propriété (• • •) implique la propriété (• • •) bis :
(• • •) Si B ∈ Γ tel que B ⊂ A, alors si B est non vide( φ ≠ B)
on a nécessairement : B = A
1implique
(• • •) bis Si B ∈ Γ alors : si A ∩ B est non vide (A ∩ B ≠ φ)
on a nécessairement A = A ∩ B (donc A ⊂ B).
En effet, sup posons (• • •) vérifiée.
Soit B ∈ Γ tel que A ∩ B ≠ φ alors : A ∩ B ∈ Γ et A ∩ B ⊂ A.
donc : A ∩ B = A d ' après (• • •)
.
2) La propriété (• • •) bis implique la propriété (• • •) :
(• • •) bis Si B ∈ Γ alors : si A ∩ B est non vide (A ∩ B ≠ φ)
on a nécessairement A = A ∩ B (donc A ⊂ B).
1implique
(• • •) Si B ∈ Γ tel que B ⊂ A, alors si B est non vide( φ ≠ B)
on a nécessairement : B = A
En effet, sup posons (• • •) bis vérifiée.
soit B ∈ Γ tel que B ⊂ A et B ≠ φ alors : A ∩ B ≠ φ ( parce que et A ∩ B = B
puisque B ⊂ A) .
A ∩ B = A d ' après la propriété (• • •) bis et B = A.
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Atome d’un espace mesurable (définition équivalente 3)
Propriété
Un atome A de ( Ω , Γ) est une partie Ω telle que :
(•) A ∈ Γ
(••) A est non vide (A ≠ φ)
(• • •) ter
Si B ∈ Γ alors : ou bien A ⊂ B ou bien A ⊂ B
Preuve
1)
(• • •) Si B ∈ Γ tel que B ⊂ A, alors si B est non vide( φ ≠ B)
on a nécessairement : B = A.
1implique
(• • •) ter
Si B ∈ Γ alors : ou bien A ⊂ B ou bien A ⊂ B
En effet, sup posons (• • •) vérifiée.
Soit B ∈ Γ, si A ⊄ B alors A ∩ B ≠ φ donc A ⊂ B d ' après la propriété
(• • •) qui implique (• • •) bis
2) (• • •) ter
Si B ∈ Γ alors : ou bien A ⊂ B ou bien A ⊂ B
1implique
(• • •) Si B ∈ Γ tel que B ⊂ A, alors si B est non vide( φ ≠ B)
on a nécessairement : B = A.
Supposons que B ⊂ A et B ≠ φ alors A ⊄ B et d ' après (• • •) A ⊂ B.
A ⊂ B et B ⊂ A veut dire : A = B.
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Cas d’une tribu finie
On se donne un espace mesurable ( Ω , Γ) et l’on impose à la tribu Γ de parties
de Ω d’être un ensemble fini de parties de Ω que l’on peut désigner par :
Γ = { B k / k ∈ K }, K étant un ensemble fini.
Si K contient p éléments on peut numéroter les éléments de K et donc de Γ :
K = {1, 2, ........, p}, Γ = B1, B 2 ,.........., B p
{
}
Propriété
Les atomes de ( Ω , Γ) lorsque Γ = { Bk / k ∈ K } , K étant un ensemble fini, sont
tous les éléments de Γ qui s’écrivent :
I Ck
avec C k = B k ou C k = B k
k∈K
et, d ' après la définition :
ICk ≠ φ
k∈K
Preuve
(•) est vérifié, en effet :
lorsque C k = B k ou C k = Bk avec B k ∈ Γ alors C k ∈ Γ puisque Γ est une tribu
donc si A =
I C k avec C k = Bk ou C k = Bk on a aussi : A ∈ Γ donc (•) est vérifié.
k∈K
(••) est vérifié puisque l' on impose
I C k ≠ φ.
k∈K
Il reste à vérifier par exemple la propriété (• • •) ter (voir plus loin).
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Vérification de la propriété (• • •) ter des atomes dans le cas fini
Soit A =
I Ck
avec C k = B k ou C k = Bk et A ≠ φ .
k∈K
1on veut vérifier :
(• • •) ter
Si B ∈ Γ alors : ou bien A ⊂ B ou bien A ⊂ B
On sait que Γ = { Bk / k ∈ K } .Alors il existe i tel que B = Bi




Si Ci = Bi alors : A =
C k = Bi ∩ 
C k  ⊂ Bi = B
 k∈K, k ≠ i 
k∈K






Si Ci = Bi alors : A =
C k = Bi ∩ 
C k  ⊂ Bi = B
 k∈K , k ≠ i 
k∈K


C k ≠ φ , A est bien un atome puisque pour tout élément B non vide
Si A =
I
I
I
I
I
de Γ :
k∈K
A ⊂ B ou A ⊂ B.
(Propriété (• • •) ter )
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La partition en atomes d’une tribu finie
On se donne un espace mesurable ( Ω , Γ) dont la tribu Γ est un ensemble fini de
parties de Ω .Soit Γ = { B k / k ∈ K }où K est un ensemble fini .
Propriété
• L’ensemble des atomes de la tribu finie Γ est une partition de Ω .
• La tribu Γ est engendrée par l’ensemble de ses atomes.
On sait déjà que deux atomes distincts sont disjoints, les atomes forment une
famille finie d’éléments de Γ disjoints deux à deux.
Si ω ∈ Ω alors :
ω∈
I Ck avec :Ck = Bk si ω ∈ Bk et Ck = Bk si ω ∉ Bk .
k∈K
Toute tribu qui contient les atomes de Γ contient la tribu Γ .
En effet tout élément B k ∈ Γ est la réunion des atomes qui le contient (voir plus
loin)