Logique des propositions

Transcription

Damien Nouvel
Damien Nouvel (Inalco)
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Fondements de la logique
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
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Notions élémentaires
§
Le monde de la logique formelle classique
• Valeurs de vérité : vrai, faux
• Monde ouvert (non clos)
• Manipulation de propositions
ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu)
ñ Monde discret (logique non floue)
§
Validité d’une proposition
• Syntaxique : est-elle bien formée ?
• Sémantique : a-t-elle du sens ?
§
Validité d’un raisonnement
• Prémisses : propositions en condition (antécédent)
• Conclusion : proposition en conséquence
ñ Est-ce que les prémisses sont suffisantes (et nécessaires) ?
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Quelques exemples
§
Raisonnements non valides à divers niveaux
• Syntaxe
• Aristote mortel est
ñ Syntaxe de la prédication
ñ Contrainte liée au langage
• Sémantique
• Tout Socrates est mortel
ñ Sémantique de la quantification
ñ Contrainte liée au sens des symboles
• Raisonnement
• Tout chat est mortel
• Or Socrates est mortel
• Donc Socrates est un chat ?!
ñ Règles d’inférence (déduction)
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Formules bien formées
§
Langage formel
•
•
•
•
Formules (dont variables atomiques) : p, q, r …
Parenthèses (op. syntaxique) : ( et _
)
Négation (op. unaire) : ␣ (ou !, „, )
Connecteurs logiques (op. binaires)
•
•
•
•
Conjonction, et : ^ (ou ., &)
Disjonction, ou : _ (ou +, |)
Implication : Ñ
Équivalence : Ø
• Priorité (à gauche) des opérateurs : (, ), ␣, ^, _, Ñ, Ø
• Formules bien formées (définition récursive)
• Si p est une f.b.f. alors ␣pet(p) aussi
• Si p et q sont des f.b.f. alors p ^ q, p _ q, p Ñ q et p Ø q aussi
• Les autres formules ne sont pas bien formées
ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
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Arbre d’expression
§
Décomposition d’une formule sous forme d’arbre
• Éléments : nœuds (ronds) et arcs (traits)
• Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)
• Position des nœuds : racine (haut) et feuilles (bas)
ñ Description de la structure de l’expression
• Nœuds internes : opérateurs
• Feuilles : atomes
§
Exemple
• Formule : ␣p _ q ^ r
• Équivalente (priorité) à : (␣(p) _ ((q) ^ (r))
_
␣
p
^
q
r
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Assignations
§
Association de valeurs à des variables atomiques
• Les variables atomiques ne se décomposent pas
• Valeurs de vérité V, F (ou 1, 0, J, K)
ñ Permet le calcul des formules
• Valeur de vérité pour chaque variable atomique
• Connecteurs logiques qui les séparent
§
Exemple
•
•
•
•
•
•
•
Formule : ␣p _ q ^ r
Assignation : p = V, q = V et r = V
Calcul : ␣V _ V ^ V = F _ V ^ V = F _ V = V
Assignation : p = V, q = F et r = V
Calcul : ␣V _ F ^ V = F _ F ^ V = F _ F = F
Assignation : p = F, q = F et r = F
Calcul : ␣F _ F ^ F = V _ F ^ F = V _ F = V
ñ Pour n variables, 2n assignations possibles
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Tables de vérité (assignations)
Négation
p ␣p
V F
F V
Conjonction
p q
p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
Implication
p q
pÑq
V V V
V F F
F V V
F F V
Disjonction
p q
p_q
V V V
V F V
F V V
F F F
Équivalence
p q
pØq
V V V
V F F
F V F
F F V
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Exercice
§
Ajouter les parenthèses, déterminer l’arbre d’expression et la
table de vérité pour
•
•
•
•
p ^ ␣q
␣(p _ q)
p ^ ␣q _ ␣p ^ q
␣(p ^ q) _ (␣p ^ r) _ (p ^ ␣r)
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Problème
§
Exprimez les relations entre les éléments suivants
• Transports :
tbus, metro, tram, rer, voiture, taxi, velo, moto, pied, autolibu
• Motorisation : tmoteur, pedale, 2roues, 4rouesu
• Caractéristiques :
tvehicule, elec, public, proprio, location, payant, gratuitu
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Formes normales
Plan
2. Formes normales
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Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
• Identiques
p ^ q Ñ r et p ^ q Ñ r
• Identiques aux parenthèses près
•
•
•
•
p ^ q Ñ r et (p ^ q) Ñ r
Identiques à une commutation près
p ^ q Ñ r et q ^ p Ñ r
Et autres propriétés (associativité, distributivité, etc.)
Pour toute assignation, les formules ont même valeur
p ^ q Ñ r et ␣(p ^ q) _ r
…
ñ Notation avec ”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ?
ñ Mettre les expressions sous forme normale
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Formes normales
Équivalence de formules logiques
Double négation
Idempotence
Commutativité
Associativité
Distributivité
Absorption
Contradiction
Tiers-exclus
Lois de De Morgan
Implication
Équivalence
␣␣p ” p
p^p”p_p”p
p^q”q^p
p_q”q_p
(p ^ q) ^ r ” p ^ (q ^ r) ” p ^ q ^ r
(p _ q) _ r ” p _ (q _ r) ” p _ q _ r
p _ (q ^ r) ” (p _ q) ^ (p _ r)
p ^ (q _ r) ” (p ^ q) _ (p ^ r)
p _ (p ^ q) ” p
p ^ (p _ q) ” p
p ^ ␣p ” F
p _ ␣p ” V
␣(p _ q) ” ␣p ^ ␣q
␣(p ^ q) ” ␣p _ ␣q
p Ñ q ” ␣p _ q
p Ø q ” (p Ñ q) ^ (q Ñ p) ” (p ^ q) _ (␣p ^ ␣q)
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Formes normales
Formes normales
§
Système suffisant de connecteurs : ␣, ^, _
• Littéral : variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)
• Formes normales
• Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux
(p _ q) ^ (p _ ␣r)
• Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux
(p ^ q) _ (p ^ ␣r)
• Mise sous forme normale
• Suppression des connecteurs Ñ, Ø
• Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)
• Distributivité, commutativité, absorption
§
Exemple (FNC)
• ␣p Ñ (q ^ r)
” ␣␣p _ (q ^ r)
” p _ (q ^ r)
” (p _ q) ^ (p _ r)
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Formes normales
Exercice
§
Mettre sous FNC les formules
•
•
•
•
•
§
␣(p ^ q)
(p Ñ q) ^ ␣(q Ñ p)
(␣p ^ q) _ r
pØq
␣(p _ q) _ (p ^ r)
Mettre sous FND la formule
• p ^ (p Ñ q)
§
Dire si les équivalences suivantes sont justes
• (1)p ^ q _ r ” ␣(p Ñ ␣q) _ r(2)
• (1)␣(p _ q ^ ␣r) ” ␣p ^ ␣q _ r(2)
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Formes normales
Méthode des mintermes / maxtermes
§
Trouver une formule à partir de sa table de vérité
• Calcul des (min/max)termes pour les formes normales
• FND
• Minterme : conjonction des littéraux qui donnent V
• Formule comme disjonction des mintermes
• FNC
• Maxterme : disjonction des littéraux qui donnent F
• Formule comme conjonction des maxtermes
• Exemple
p
q
formule
(min/max)terme
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
p^q
p ^ ␣q
␣p _ q
␣p ^ ␣q
• FND : (p ^ q) _ (p ^ ␣q) _ (␣p ^ ␣q)
• FNC : (␣p _ q)
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Formes normales
Exercice
§
§
Calcul par (min/max)termes de la formule (p Ñ q) ^ ␣(p ^ q)
Table de vérité
p q formule (min/max)terme
V V F
␣p _ ␣q
V F F
␣p _ q
F V V
␣p ^ q
F F V
␣p ^ ␣q
• FND : ␣p ^ q _ ␣p ^ ␣q
• FNC : (␣p _ ␣q) ^ (␣p _ q)
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Dérivations logiques
Plan
2. Formes normales
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Théorèmes et démonstrations
§
Système logique
Théorèmes : ce que l’on peut démontrer
Symbole de la dérivation logique (démonstration) : $
Existence d’axiomes (théorèmes admis)
Utilisation de règles d’inférence (prémisses, conclusion)
Mécanismes d’interprétation des formules
ñ Le système est-il consistant, complet ?
•
•
•
•
•
§
Exemple de système logique
• Un axiome est un théorème : $ p
• Modus ponens : p, p Ñ q $ q
• Modus tollens : p Ñ q, ␣q $ ␣p
§
Autre notation
p
pÑq
q
(modus ponens)
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Interprétations et modèles
§
Interprétations
• Lien entre sémantique et assignations
ñ Une formule peut être
• Valide : vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)
• Satisfiable : au moins une interprétation qui la rend vraie
• Contingente : une interprétation la rend vraie et une autre
la rend fausse
• Insatisfiable : aucune interprétation ne la rend vraie
§
Modèles de formule
• Interprétations qui rendent la formule vraie
ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F}
ñ Bien plus approfondies en logique des prédicats
(quantification)
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Résolution par réfutation
§
Principe de la réfutation (absurde / apagogie)
• Démontrer que q est la conséquence logique de p1 , p2 . . . pn
”
”
”
”
”
§
démontrer
démontrer
démontrer
démontrer
démontrer
que
que
que
que
que
p1 , p2 . . . pn $ q
p1 , p2 . . . pn est conséquence logique de q
␣(p1 ^ p2 . . . pn ) _ q est valide
␣(␣(p1 ^ p2 . . . pn ) _ q) est insatisfiable
p1 ^ p2 . . . pn ^ ␣q est insatisfiable
Exemple
• Axiomes
• $ (p Ñ q) _ (p Ñ r) (1)
• $ p ^ ␣q (2)
• Démonstration que 1, 2 $ r par réfutation
• ((p Ñ q) _ (p Ñ r)) ^ (p ^ ␣q) ^ ␣(r)
” (␣p _ q _ ␣p _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r)
” (␣p _ q _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r)
” (␣p _ q _ r) ^ ␣(␣p _ q _ r) …(contradiction A ^ ␣A)
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Exercice
§
Montrer par réfutation
•
•
•
•
(␣p Ñ ␣q) $ (q Ñ p)
p Ñ q, q Ñ r $ p Ñ r
((p Ñ r) _ (q Ñ r)) ^ ␣r $ (␣p _ ␣q)
p _ q Ñ r, p _ s, ␣s $ r
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Complétude et cohérence des systèmes logiques
§
Cohérence (ou consistance)
• Il n’existe aucune formule telle qu’elle même et sa négation
soient conséquences du système
ñ Programme de Hilbert (Hilbert, 1900)
ñ Contre-exemple : p, ␣q, p Ñ q
ñ Contre-exemple : paradoxe du barbier (Russel, 1903)
§
Complétude
• Toute proposition que l’on sait sémantiquement correcte
peut être dérivée par le système
ñ Exemple : calcul des prédicats du 1er ordre (Gödel, 1929)
ñ Contre-exemple : théorème d’incomplétude (Gödel, 1931)
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Problème / exercice
Plan
2. Formes normales
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Politiquement logique
§
Prouvez les assertions suivantes par réfutation
• « Tout politicien est menteur, tu fais de la politique donc tu
ments. »
• « Tout politicien est menteur, tu ne ments pas, donc tu ne
fais pas de politique. »
• « Je connais un politique qui ne ment pas : tout les
politiciens ne sont pas des menteurs ! »
• « Dans une démocratie, il y a des élections et des libertés.
Dans une dictature, il n’y a pas d’élections, ni de liberté.
Donc un régime ne peut être à la fois démocratique et
dictatorial. »
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Cuisine logique
§
§
Sujet : un étudiant doit manger la veille d’un examen
Soient les (assertions) propositions suivantes
•
•
•
•
•
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Je peux me faire des pâtes ou aller chercher une pizza
Tous les mardis et jeudis, il y a le camion à pizza
Si je mange mal et que je me couche tard je rate l’examen
Si je ne révise pas mon cours, je vais rater mon examen
Si je révise mon cours, je vais me coucher tard
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Cuisine logique (suite)
§
Questions
Traduire toutes les propositions en logique
Donner les arbres d’expression des propositions (2) et (3)
Mettre la formule (3) sous forme normale conjonctive
Faire la table de vérité du (4), puis sa FNC par minmax
Prouver par réfutation que le mercredi, l’étudiant mangera
nécessairement des pâtes
• Prouver que pour réussir l’examen l’étudiant se couchera tard
• En supposant qu’il ne sait pas cuisiner (les pâtes seront
ratées), que mangera l’étudiant si l’on est un jeudi et qu’il
veut réussir l’examen ?
• Que se serait-il passé si l’examen était un lundi ?
•
•
•
•
•
27 / 28
Cuisine logique
§
Modélisez la composition de repas à l’aide de la logique
• si le client a commandé un plat du jour, on accompagnera le
repas d’une carafe d’eau,
• si le client a demandé un menu plus conséquent, ou a
commandé à la carte, on servira obligatoirement du vin,
• trois sortes de vins peuvent être servis : du blanc, du rosé ou
du rouge,
• avec de la viande, on servira du vin rouge et du rosé ou du
blanc avec le poisson.
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Logique des propositions

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