Pondichéry - Epsilon 2000

3ème
2012 - Pondichéry
ENONCE
Activités numériques
Exercice 1
Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de large. Il a reçu la consigne
suivante :
"Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre
entier de cm, et de façon à ne pas avoir de perte".
1. Peut-il choisir de découper des plaques de 10 cm de côté ? Justifier votre réponse.
2. Peut-il choisir de découper des plaques de 11 cm de côté ? Justifier votre réponse.
3. On lui impose désormais de découper des carrés les plus grands possibles.
a. Quelle sera la longueur du côté d'un carré ?
b. Combien y aura-t-il de carrés par plaque ?
Exercice 2
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
La note de restaurant suivante est partiellement effacée.
Retrouvez les éléments manquants, en présentant les calculs effectués dans le tableau fourni en Annexe 1.
RESTAURANT "La Gavotte"
4 menus à 16,50 € l'unité
………
1 bouteille d'eau minérale
………
3 cafés à 1,20 € l'unité
………
Sous-total
………
Service 5,5 % du sous-total
4,18 €
Total
………
Exercice 3
Dans un pot au couvercle rouge, on a mis 6 bonbons à la fraise et 10 bonbons à la menthe.
Dans un pot au couvercle bleu, on a mis 8 bonbons à la fraise et 14 bonbons à la menthe.
Les bonbons sont enveloppés de telle façon qu'on ne peut pas les différencier.
Antoine préfère les bonbons à la fraise. Dans quel pot a-t-il le plus de chance de choisir un bonbon à la
fraise ? Justifier votre réponse.
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Activités géométriques
Exercice 1
Un jeune berger se trouve au bord d'un puits de forme
cylindrique dont le diamètre vaut 75 cm : il aligne son regard
avec le bord intérieur du puits pour en estimer la profondeur.
Le fond du puits et le rebord sont horizontaux. Le puits est
vertical.
1. En s'aidant du schéma ci-dessous (il n'est pas à l'échelle), donner les longueurs CB, FG et RB en
mètres.
2. Calculer la profondeur BG du puits.
3. Le berger s'aperçoit que la hauteur d'eau dans le puits est 2,60 m.
Le jeune berger a besoin de 1 m 3 d'eau pour abreuver ses moutons.
En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits ?
Exercice 2
Voici la figure à main levée d'un quadrilatère :
1. Reproduire en vraie grandeur ce quadrilatère.
2. Pourquoi peut-on affirmer que OELM est un losange ?
3. Marie soutient que OELM est un carré, mais Charlotte
est sûre que ce n'est pas vrai. Qui a raison ? Pourquoi ?
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Problème
On rappelle que l'aire d'un triangle se calcule par la formule :
base  hauteur
2
hauteur
base
Rémy dispose de 96 m de grillage avec lesquels il souhaite construire un enclos pour son poney.
Il cherche quelle forme donner à son enclos pour que celui-ci ait la plus grande surface possible.
Toutes les parties sont indépendantes.
Partie 1
Sa première idée est de réaliser un rectangle avec les 96 m de grillage.
1. Calculer la longueur et la largeur de ce rectangle sachant que :
 La longueur est le double de la largeur ;
 Son périmètre est 96 m.
2. Calculer l'aire de ce rectangle de 96 m de périmètre.
Partie 2
Sa deuxième idée est de réaliser un carré.
Calculer l'aire d'un carré de 96 m de périmètre.
Partie 3
Sa troisième idée est de réaliser un hexagone régulier.
Le schéma à main levée ci-contre représente un hexagone
régulier ABCDEF de 96 m de périmètre. Il est inscrit dans
un cercle de centre O et de rayon 16 m. Le segment [OH] est
une hauteur du triangle équilatéral OBA.
1. Calculer la longueur OH, exprimée en m. En donner l'arrondi au centième près.
2. Utiliser ce résultat pour calculer l'aire du triangle OBA, exprimée en m 2 et arrondie au 1/10.
3. En déduire l'arrondi à l'unité de l'aire d'un hexagone régulier de 96 m de périmètre.
Partie 4
Sa quatrième idée est de réaliser un octogone régulier de 96 m de périmètre.
La figure en Annexe 2 représente le plan réalisé par Rémy.
Cet octogone est inscrit dans un cercle de centre I. Le segment [IK] est une hauteur du triangle isocèle
IMN.
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1. Vérifier que MN  12 m dans la réalité.
2. En prenant pour échelle 1 cm pour 3 m, représenter dans le cadre en Annexe 3 le triangle IMN, puis le
point K. Laisser apparent tous les traits de construction.
3. Mesurer sur votre dessin la longueur IK.
Combien de mètres cela représente-t-il dans la réalité ?
4. En déduire l'aire du triangle MIN, puis, à partir de cette valeur, calculer l'aire d'un octogone régulier de
96 m de périmètre.
Partie 5
Les recherches ont permis à Rémy de remarquer que l'aire d'un polygone régulier de 96 m de périmètre
semble augmenter quand on augmente le nombre de ses côtés. Il imagine qu'un enclos circulaire aurait
peut-être une surface encore plus grande.
1. Quel rayon faut-il prendre pour avoir un disque de périmètre 96 m ?
2. En déduire l'aire d'un disque ayant pour périmètre 96 m.
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Document réponse à rendre avec votre copie
Annexe 1
Activités numériques, exercice 2
RESTAURANT "La Gavotte"
Calculs effectués
4 menus à 16,50 € l'unité
………
……………………………………………………
1 bouteille d'eau minérale
………
……………………………………………………
3 cafés à 1,20 € l'unité
………
……………………………………………………
Sous-total
………
……………………………………………………
Service 5,5 % du sous-total
4,18 €
Total
………
……………………………………………………
Annexe 2
Problème, partie 4
Annexe 3
Problème, partie 4, question 2
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CORRIGE
Activités numériques
Exercice 1
1. 110 :10  11 . Par contre, 88 n'est pas divisible par 10 donc il y aura de la perte. Il ne peut donc pas
choisir de découper des plaques de 10 cm de côté.
2. 110 :11  10 et 88 :11  8 donc il peut choisir de découper des plaques de 11 cm de côté.
3. a. La dimension d'un carré est un diviseur commun à 110 et 88. On veut des carrés les plus grands
possible donc on cherche le plus grand diviseur commun (PGCD) à 110 et 88. Effectuons l'algorithme
d'Euclide pour déterminer ce PGCD :
110  88  1  22
88  22  4  0
Donc PGCD(110;88)  22 .
La longueur du côté d'un carré mesure donc 22 cm.
b. 110 : 22  5 et 88 : 22  4 . Il y aura donc 5  4  20 carrés par plaque.
Exercice 2
Voir annexe.
Exercice 3
Dans le pot au couvercle rouge, il y a 16 bonbons dont 6 à la fraise donc il a une probabilité de
6
 0,375 de tomber sur un bonbon à la fraise.
16
8
Dans le pot au couvercle bleu, il y a 22 bonbons dont 8 à la fraise donc il a une probabilité de
 0,36
22
de tomber sur un bonbon à la fraise.
Antoine a donc plus de chance de choisir un bonbon à la fraise dans le pot au couvercle rouge.
Activités géométriques
Exercice 1
1. CB  0,2 m ; FG  0,75  0,2  0,95 m ; RB  1,80  1  0,8 m .
2. Les points R, C, F sont alignés et les points R, B, G sont alignés. (CB) et (FG) sont parallèles. D'après
RC RB CB


le théorème de Thalès :
. Pour les calculs, on utilise la deuxième égalité :
RF RG FG
0,8 0, 2
0,8  0,95
donc RG 

 3,8 m . On en déduit : BG  RG  RB  3,8  0,8  3 m .
RG 0,95
0, 2
3. Le volume V d'eau dans le puits est égal au volume d'un cylindre de diamètre 0,75 m (donc de rayon
0,375 m) et de hauteur 2,6 m :
V    0.3752  2,6  1,149 m3
Le berger trouvera donc suffisamment d'eau dans le puits.
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Exercice 2
1.
2. OELM est un losange car c'est un quadrilatère non croisé ayant tous ses côtés de la même longueur.
3. Dans le triangle EML, [EM] est le côté le plus long.
EM 2  5,62  31,36
ML2  EL2  42  42  16  16  32 .
EM 2  ML2  EL2 donc EML n'est pas un triangle rectangle (sinon on aurait égalité d'après le théorème
de Pythagore). Ce n'est donc pas un carré. Charlotte a raison.
Problème
Partie 1
1. Notons x la largeur du rectangle. 2x est alors la longueur du rectangle. Le périmètre de ce rectangle
96
vaut donc x  2 x  x  2 x  6 x . Or le périmètre mesure 96 m donc 6 x  96 m et donc x 
 16 m .
6
La longueur du rectangle mesure donc 32 m et la largeur mesure 16 m.
2. Aire  16  32  512 m2 . L'aire du rectangle mesure 512 m 2 .
Partie 2
96 : 4  24 . Le côté du carré mesure 24 m.
24  24  576 . L'aire du carré mesure 576 m 2 .
Partie 3
1. OAB est un triangle équilatéral donc la hauteur (OH) est également la médiatrice du segment [AB]
AB 16

 8 m . OHA est un triangle rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore :
donc AH 
2
2
AH 2  OH 2  OA2
82  OH 2  162
64  OH 2  256
OH 2  256  64
OH 2  192
OH  192  13,86 m
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AB  OH 16  192

 110,9 m 2 . L'aire du triangle OAB mesure environ 110,9 m2 .
2
2
3. Aire(hexagone)  6  8 192  665 m2 . L'aire de l'hexagone mesure environ 665 m2 .
2. Aire(OAB) 
Partie 4
1. 96 : 8  12 donc MN  12 m dans la réalité.
2. MN  4 cm sur le dessin. MIN  360 : 8  45 . MIN est un triangle isocèle en I donc
180  45
MNI  NMI 
 67,5 . Voir figure en annexe.
2
3. IK  4,8 cm sur le dessin donc IK  4,8  3  14,4 m en réalité.
NM  IK 12  14,4
4. Aire( MNI ) 

 86,4 m2 .
2
2
Aire(octogone)  86,4  8  691,2 m2 . L'aire de l'octogone mesure environ 691,2 m 2 .
Partie 5
1. Si r désigne le rayon du cercle, on doit avoir 2 r  96 donc r 
96
 15, 28 m .
2
2. L'aire du disque vaut alors environ  15, 282  733 m2 .
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Document réponse à rendre avec votre copie
Annexe 1
Activités numériques, exercice 2
RESTAURANT "La Gavotte"
Calculs effectués
16.50  4  66
4 menus à 16,50 € l'unité
66 €
1 bouteille d'eau minérale
6,40 €
76  3,60  66  6,40
3 cafés à 1,20 € l'unité
3,60 €
1,20  3  3,60
Sous-total
76 €
Service 5,5 % du sous-total
4,18 €
Total
80,18 €
x  5,5 / 100  4,18 donc x  4,18 100 / 5,5  76
76  4,18  80,18
(ordre des calculs : prix des 4 menus, prix des 3 cafés, sous-total, prix de la bouteille d'eau et total)
Annexe 2
Problème, partie 4
Annexe 3
Problème, partie 4, question 2
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