Formulaire - Jocelyn De Brito : Mathématiques et musique

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG
ÉQUATION D'UNE DROITE ET SIGNE D'UNE EXPRESSION AFFINE
Soient A( x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points tels que x A ≠ x B .
La droite ( AB) a pour équation y =a x+ b avec a=
y B− y A
.
x B− x A
Pour déterminer b , on résout l'équation y A =a x A +b ou l'équation y B =a x B + b .
Si a≠0 , on a :
x
–
–∞
a x+b
Signe de −a
b
a
0
+∞
Signe de a
TAUX D'ÉVOLUTION
•
Calcul d'un taux : Une quantité évolue d'une valeur initiale y 1 à une valeur finale y 2 .
Le taux d'évolution t de y 1 à y 2 est t=
y 2− y 1
.
y1
•
Appliquer un taux : Faire subir une évolution de taux t , c'est multiplier une quantité
par le coefficient multiplicateur 1+ t .
•
Calcul du taux réciproque : Si une quantité subit une évolution de taux t ≠−1 ,
1
−1 .
l'évolution réciproque de taux t ' vérifie t '=
1+ t
•
Calcul d'un indice : y 1 et y 2 sont deux valeurs d'une même grandeur.
Définir l'indice base 100 de cette grandeur correspondant à y 1 , c'est associer à y 1 la
y2
valeur I 1=100 . Par proportionnalité, on a donc I 2 =100× .
y1
•
Calcul du taux global : Si une quantité subit n évolutions de taux respectifs t 1 , t 2 ,
…, t n , alors le taux global T vérifie T =(1+ t 1)(1+ t 2)…( 1+ t n )−1 .
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 1/6
POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
2
P ( x )=a x + b x+ c (avec a≠0 )
•
Discriminant : Δ=b 2−4 a c
•
Forme canonique : P( x)= a x+
•
Coordonnées du sommet : S −
(
(
b 2 Δ
−
2a
4a
)
b
;− Δ
2a
4a
 0
Solutions de
l'équation
a x 2b xc=0
−b− √ Δ
et
2a
−b+ √ Δ
x 2=
2a
x 1=
 =0
 0
b
2a
(racine double)
Pas de solution
x 0=−
a ( x− x 1)( x− x 2)
Factorisation de
a x 2b xc
)
2
Pas de factorisation
a ( x− x 0)
Représentation
graphique quand
a0
Représentation
graphique quand
a0
x
Signe de
2
a x + b x+ c
– ∞ x1
x2 + ∞
sig sig
P (x ) ne 0 ne 0
de de
a
−a
sig
ne
de
a
x
–∞
x0
+∞
P (x ) signe 0 signe
de a
de a
x
–∞
P (x)
(en notant x 1 la plus
petite racine)
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 2/6
+∞
signe de a
STATISTIQUES
Valeur du caractère
x1
x2
...
xp
Effectif
n1
n2
...
np
•
Effectif total : N =n1 +n 2+ ...+ n p
•
Fréquence de la valeur x i : f i=
•
ni
N
n 1 x 1 +n 2 x 2+ ...+ n p x p
Moyenne : ̄x =
ou ̄x = f 1 x 1+ f 2 x 2+ ...+ f p x p
N
Pour la médiane et les quartiles : On suppose que les valeurs de la série d'effectif N sont rangées
par ordre croissant (chacune d'elles étant répétée autant de fois que son effectif) : x 1≤ x 2≤...≤ x N .
•
Médiane :
Si N est impair, Me=x N + 1 (c'est le terme de rang N + 1 )
2
2
xN+ xN
+1
N
N
2
• Si N est pair, Me= 2
(c'est la moyenne des termes de rang
et
+1)
2
2
2
Premier quartile : Le premier quartile Q1 de la série est la valeur x i dont l'indice i est le
N
plus petit entier supérieur ou égal à
.
4
Troisième quartile : Le troisième quartile Q3 de la série est la valeur x i dont l'indice i est le
3N
plus petit entier supérieur ou égal à
.
4
Écart interquartile : E i=Q 3−Q1 .
•
•
•
•
PROBABILITÉS
•
P( Ω)=1 et P( ∅)=0
•
Pour tout évènement A , 0⩽P ( A)⩽1
•
Dans une situation d'équiprobabilité, P( A)=
•
P( A)=1−P ( A)
•
P( A∪ B)= P ( A)+ P (B)−P ( A∩ B)
•
A∪B= A∩ B et A∩B= A∪ B
nombre d'issues de A
nombre total d'issues de Ω
P ( A∩B)
P ( A)
•
Si P( A)≠0 , P A ( B)=
•
Si P( A)≠0 , P( A∩ B)= P ( A)×P A (B)
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 3/6
SUITES NUMÉRIQUES
Suites arithmétiques
Suites géométriques
un+ 1 en fonction de un
un+ 1=u n+ r
un+ 1=u n×q
Terme général à partir de u0
un =u 0+ n r
un =u 0×qn
Terme général à partir de u1
un =u1 +( n−1) r
un =u1×q
Terme général à partir de u p
un =u p+( n− p)r
un =u p×qn− p
n−1
Utilisation de la calculatrice pour les sommes : calcul de u1 +u2 + …+u100 avec un =2 n+ 3 .
Texas Instruments
Casio
« catalog » (« 2nde », puis
« 0 »), appuyer sur « ln » :
somme(suite(2X+3,X,1,100))
«CALC » (« OPTN »,
« CALC » (F4), « ► » (F6)),
« Σ( » (F3) :
Σ(2X+3,X,1,100)
« CATALOG » (« SHIFT »,
puis « 4 », appuyer sur « x »
(multiplier)) :
100
∑ ( 2 X+ 3)
X =1
DÉRIVÉES
•
Dérivées usuelles
Df
f  x =
Df '
f '  x=
ℝ
k (constante)
ℝ
0
ℝ
x
ℝ
1
ℝ
x
ℝ
2x
]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[
1
x
]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[
ℝ
x n (avec n∈ℕ * )
ℝ
•
2
−
1
x2
n x n−1
Opérations sur les dérivées
f ( x)=
f '(x)=
k u( x ) (avec k constante)
k u '( x )
u(x )+ v ( x )
u ' (x )+v '(x )
u ( x)
v ( x)
u ' (x) v ( x )−v ' (x) u( x )
[ v ( x)]2
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 4/6
LOI BINOMIALE
X suit la loi binomiale de paramètres n (un entier naturel non nul) et p∈[ 0 ;1 ] .
• E(X )=n p
• V ( X )=n p(1− p)
• σ ( X )= √ n p (1− p)
Utilisation de la calculatrice : exemple avec n=20 et p=0,6 .
Texas Instruments
Casio
Calcul de P( X =7)
« distrib » (« 2nde », puis
« var »), « binomFdp » :
binomFdp(20,0.6,7)
« DIST » (« OPTN »,
« STAT », « DIST »),
« BINM » :
binomialPD(7,20,0.6)
Calcul de P( X ⩽7)
« distrib » (« 2nde », puis
« var »), « binomFrép » :
binomFrép(20,0.6,7)
« DIST » (« OPTN »,
« STAT », « DIST »),
« BINM » :
binomialCD(7,20,0.6)
LOI NORMALE
X suit une loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ .
•
L'aire sous la courbe d'une loi normale a pour aire 1.
•
P( X ⩾μ )=0,5 et P( X ⩽μ )=0,5
•
P( X ⩾a)=1−P ( X<a ) et P( a⩽ X⩽b)= P( X ⩽b)−P ( X< a)
•
P( μ−2 σ⩽ X⩽μ−2 σ)≈ 0,95
Utilisation de la calculatrice : exemple avec μ =21 et σ=7 .
Texas Instruments
Casio
Calcul de P(10⩽X⩽30)
« distrib » (« 2nde », puis
« var »), « normalFrép » :
normalFrép(10,30,21,7)
« DIST » (« OPTN »,
« STAT », « DIST ») :
normCD(10,30,7,21)
Calcul de P(X ⩽40)
« distrib » (« 2nde », puis
« var »), « normalFrép » :
normalFrép(-10^99,40,21,7)
« DIST » (« OPTN »,
« STAT », « DIST ») :
normCD(-10^99,40,7,21)
Calcul de P( X ⩾25)
« distrib » (« 2nde », puis
« var »), « normalFrép » :
normalFrép(25,10^99,21,7)
« DIST » (« OPTN »,
« STAT », « DIST ») :
normCD(25,10^99,7,21)
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 5/6
ÉCHANTILLONNAGE ET ESTIMATION
Échantillonnage
On connait p , fréquence théorique d'un
caractère sur une population.
On a un échantillon de taille n .
[
]
1
1
; p+
est appelé
√n
√n
intervalle de fluctuation au seuil 95 % de la
fréquence de ce caractère aléatoire de taille n
issu de la population.
L'intervalle p−
Estimation
On connait f , fréquence observée d'un
caractère sur un échantillon de taille n d'une
population.
[
]
1
1
;f +
est appelé
√n
√n
intervalle de confiance au seuil 95 % de la
proportion p de ce caractère aléatoire de la
population.
L'intervalle f −
Conditions de validité :
n⩾30 , n p⩾5 et n(1−p)⩾5 .
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES – TLE STMG : 6/6