Modélisation et stabilisation avec des entrées - Revue e-STA

Modélisation et stabilisation avec des entrées bornées d’un
petit hélicoptère possédant deux rotors pivotants
Farid Kendoul ∗, Isabelle Fantoni, Rogelio Lozano
Heudiasyc, UMR CNRS 6599, UTC, BP 20529
60205 Compiègne, France
email :{fkendoul, ifantoni, rlozano}@hds.utc.fr
RESUME
Dans ce papier, nous avons présenté une nouvelle configuration pour un drone miniature autonome. Ce dernier utilise un mécanisme de contrôle original qui comporte deux rotors montés latéralement. La direction de
la poussée totale peut être obtenue en forçant les rotors
à pivoter latéralement et longitudinalement. L’étude de
ce mécanisme montre que les couples nécessaires pour
la commande peuvent être obtenus en exploitant la
nature gyroscopique des rotors pivotants. Cette configuration a été aussi validée sur deux prototypes que
nous avons construits. Après avoir décrit la modélisation de la dynamique de l’hélicoptère birotor, nous
avons proposé une loi de commande basée sur des saturations imbriquées qui a permis de prendre en compte
les contraintes réelles sur les entrées de commande. Les
résultats de simulation ont montré les bonnes performances de la stratégie de commande proposée.
ned Aerial vehicles) a beaucoup évolué pendant cette
dernière décennie et a attiré de nombreux chercheurs
travaillant dans les disciplines liées notament à l’automatique, l’électronique et à l’aérodynamique. Depuis,
différentes configurations de drones ont été proposées.
Les UAVs les plus connus dans la catégorie des véhicules
à voilure tournante sont entre autres les hélicoptères
standard avec un rotor principal et un rotor de queue,
les quadri-rotors possédant quatre rotors, etc. Récemment, Gary Gress [1] a eu l’idée d’exploiter et d’adapter la technologie des rotors pivotants pour concevoir
un mécanisme permettant la commande d’un drone miniature.
Dans le cadre du concours universitaire international des drones miniatures organisé par la DGA1 et
l’ONERA, nous nous sommes inspirés de l’idée ingénieuse de G. Gress pour concevoir un petit hélicoptère
baptisé BIROTAN (BI-Rotor Orientable en TANdem),
(voir la Figure 1). Ce birotor comporte deux hélices
MOT CLES : Drones miniatures, hélicoptères, rotors
pivotants, modélisation des robots volants, stabilisation, saturations imbriquées.
ABSTRACT
In this paper, we have presented a new configuration
for a small autonomous aircraft. This rotorcraft uses an
original mechanism with two propellers mounted laterally. The direction of the thrust can be obtained by
tilting the propellers laterally and longitudinally. The
study of this mechanism has showed that the required control moments can be obtained by exploiting the
gyroscopical nature of tilting rotors. This aerodynamical configuration has also been demonstrated using two
prototypes that we have constructed. Once the dynamical model of the helicopter is presented, we have synthesized a controller which is based on nested saturations method with considering the real constraints on
the control inputs. The simulation results have showed
the good performance of the proposed controller.
KEYWORDS : Small UAVs, helicopters, aerial robots
modeling, stabilization, nested saturations.
I. INTRODUCTION
Le domaine des drones miniatures ou UAVs (Unman∗ Correspondant,
e-mail : [email protected]
Fig. 1 – L’hélicoptère BIROTAN avec deux rotors pivotants
contrarotatives à pas fixe. Les rotors peuvent pivoter dans deux directions différentes pour générer les
couples de tangage et de lacet. Le couple de roulis est
obtenu par la différence de vitesses de rotation des deux
rotors. Contrairement aux hélicoptères classiques, cette
configuration ne nécessite pas de plateaux cycliques
1 Ce travail a été financé par la DGA (Délégation Générale de
l’Armement) et la région Picardie.
ou d’anti-couple. Elle est donc beaucoup moins compliquée mécaniquement. l’absence de tringles permet
d’atteindre des vitesses de rotation plus élevées. Cette
configuration simple et originale est aussi plus adaptée à la miniaturisation requise pour les drones. Le
drone BIROTAN a un fuselage qui ressemble à celui
d’un avion classique, lui permettant ainsi d’augmenter
la portance en vol de translation.
Un autre challenge des véhicules aériens est leur commande. Teel a développé une technique de commande
basée sur des saturations imbriquées [2], [3]. Cette technique a été utilisée pour la stabilisation du PVTOL
dans [4] et [5] et du quadri-rotor dans [6]. Le grand
intérêt de cette stratégie de commande est sa simplicité et sa prise en compte de la bornitude des entrées
de commande. En effet, les couples de commande obtenus par le mécanisme mentionné précédemment dépendent essentiellement des angles de pivotement des
rotors et de leurs vitesses de pivotement. Or, ces grandeurs sont limitées par la construction mécanique et la
dynamique des servo-moteurs. Ceci nous a conduit à
exploiter et adapter la stratégie de commande développée dans [6] pour la stabilisation du drone BIROTAN.
En plus de la bornitude des entrées de commande, nous
avons imposé des contraintes supplémentaires sur leurs
conditions initiales. Ces contraintes ont été satisfaites
en introduisant des fonctions variant dans le temps [7].
des deux poussées P1 et P2 .
– Le moment de tangage se résume aux couples gyroscopiques issus du pivotement latéral opposé des
deux rotors, Figure 5.
– Le moment de lacet est généré par la précession
longitudinale opposée des rotors, Figure 4.
Ce mécanisme utilise quatre servo-moteurs (voir Figure
2(a)) pour contrôler indépendamment le pivotement latéral et longitudinal des deux rotors. Les deux servos
internes permettent de pivoter les rotors longitudinalement avec le même angle α et dans deux sens opposés.
Quand aux servos externes, ils forcent les rotors à pivoter latéralement avec un angle β pour le rotor n˚1 et
−β pour le rotor n˚2.
Inspirés du mécanisme de G. Gress, nous avons
construit un prototype comme montré dans la Figure
2(b) qui a donné des résultats prometteurs.
La dynamique du drone Birotan peut être décomposée
en quatre blocs principaux (voire la Figure 3) : la dynamique du corps rigide, le processus de génération des
vecteurs de commande, l’aéorodynamique des pales et
la dynamique des moteurs et des servomoteurs.
U1
U2
U3
Ce papier est organisé comme suit : dans un premier
temps, un modèle mathématique de la dynamique du
drone est présenté ainsi que la description et l’analyse
du mécanisme de contrôle. Par la suite, en se basant
sur le modèle simplifié de l’engin, une loi de commande
basée sur des saturations emboîtées est synthétisée. La
dernière partie est consacrée à la présentation des résultats de simulation qui témoignent de l’efficacité du
contrôleur.
II. MODELISATION DU DRONE BIROTAN
Dans cette section, une brève description du système
de contrôle du drone Birotan est exposée avec l’analyse
de ses performances.
(a) mécanisme de G. Gress
(b) Notre prototype
Fig. 2 – Le mécanisme de contrôle basé sur la technologie des rotors pivotants
Gary Gress [1] a découvert qu’en utilisant deux rotors
pivotants, il est possible d’obtenir les trois couples de
commande nécessaires pour stabiliser un véhicule aérien sur une trajectoire désirée.
– Le moment de roulis est obtenu par la différence
U4
w1
Dynamique
des moteurs w2
Dynamique
des
servo-moteurs
P1
Aérodynamique des
pales
P2
Pivotement longitudinal
α
Pivotement latéral
β
Processus de F
génération des
forces et des
couples de couples
commande
position
Dynamique
du
Corps Rigide orientation
Effets aérodynamiques
(fuselage, sol, vent, intéraction
des rotors, vent, ....)
Fig. 3 – La dynamique du drone BIROTAN
Génération Des Vecteurs De Commande
La stabilisation d’un objet volant à 6 degrés de liberté nécessite au minimum, une force et trois couples
(τφ , τθ , τψ ) qui sont le couple de roulis, de tangage et
de lacet respectivement. Dans ce qui suit, nous détaillerons chacun de ces couples et nous adresserons les expressions complètes des vecteurs force et couple. Afin
de développer notre analyse, nous allons d’abord définir
les repères suivants :
– I = (Ex , Ey , Ez ) est le repère inertiel lié à la terre.
– A = (E1 , E2 , E3 ) est le repère lié au corps rigide
de l’hélicoptère, Figure 5.
– A1 = (A1x , A1y , A1z ) et A2 = (A2x , A2y , A2z ) sont
deux repères supplémentaires qui sont liés aux rotors n˚1 et n˚2 respectivement (voir la Figure 4).
La position des rotors par rapport au repère A peut
être décrite par deux matrices de passages T1 et T2
telles que


cα sα sβ sα cβ
cβ
−sβ 
T1 =  0
(1)
−sα cα sβ cα cβ
β
A2z
P2
E3
0X
A1z
P1
lenght: l
A2x
M2β
O
A2y
Q2
β
lenght: l
E2
h
E1
Ez
M1β
A1y
G
A1x
0X
m.g
Q1
Ey
Fig. 4 – Le pivotement longitudinal
et

cα
T2 =  0
sα
sα sβ
cβ
−cα sβ

−sα cβ
sβ 
cα cβ
Ex
Fig. 5 – Le pivotement latéral et les moments associés
(2)
avec β est l’angle de pivotement latéral et α décrit le
pivotement longitudinal des rotors.
Expression Du Vecteur Force F
La rotation des pales génère des poussées axiales P1 et
P2 qui peuvent être modélisées comme suit [9]
Pi =
Cl ωi2 ,
i = 1, 2
(4)
Pour trouver leurs expressions dans le repère lié au
drone A, il suffit de multiplier P1A1 par la matrice T1
et P2A2 par T2 . Après calculs, on trouve


(P1 − P2 )sα cβ
A2
1
 (P2 − P1 )sβ  (5)
F = T1 PA
1 + T2 P2 =
(P1 + P2 )cα cβ
Les Moments Gyroscopiques
Faire tourner un objet en rotation autour d’un axe
donné crée un couple gyroscopique qui est perpendiculaire à ces deux axes. En effet, le pivotement des rotors
avec un certain angle donne naissance à des couples
gyroscopiques qui sont les produits vectoriels des moments cinétiques des rotors et des vecteurs vitesses des
pivotements [7]. Ces moments sont exprimés dans les
repères liés aux rotors comme suit
A1
A2
M1α
= −Ir ω1 α̇A1x , M2α
= −Ir ω2 α̇A2x
(6)
pour le pivotement longitudinal, et
A1
A2
M1β
= Ir ω1 β̇A1y , M2β
= Ir ω2 β̇A2y
et
(3)
où Cl spécifie le coefficient de la poussée axiale qui
dépend principalement de la géométrie des pales et de
la densité de l’air. La vitesse de rotation du rotor i est
notée par ωi . les deux poussées P1 et P2 peuvent être
exprimées dans les repères A1 et A2 respectivement
comme
T
T
2
1
, PA
PA
2 = (0, 0, P2 )
1 = (0, 0, P1 )
multipliant ces couples par les matrices de transformation T1 et T2 , on obtient


2
−(ω1 + ω2 )cα
X
Ai

0
Mα =
Ti Miα
= Ir α̇ 
(8)
i=1
(ω1 − ω2 )sα
(7)
pour le pivotement latéral. Ir est le moment d’inertie
des rotors par rapport à leurs axes de rotation Aiz . En
Mβ =
2
X
i=1
Ai
Ti Miβ


(ω1 + ω2 )sα sβ
= Ir β̇  (ω1 + ω2 )cβ 
(ω1 − ω2 )cα sβ
(9)
G. Gress a démontré dans [7] que la composante
Ir β̇(ω1 +ω2 )cβ issue du pivotement latéral des deux rotors est suffisante pour la commande de l’angle de tangage. Ce moment gyroscopique peut être utilisé comme
une entrée principale pour fournir le couple de tangage
désiré.
Le Moment De La Résistance De L’air Q
Quand les pales tournent, elles sont sujettes à des forces
de traînées produisant des couples Qi qui agissent dans
le sens inverse à la rotation des pales (voir Figure 5).
T
T
1
2
QA
, QA
1 = (0, 0, −Q1 )
2 = (0, 0, Q2 )
(10)
Les quantités Qi peuvent être exprimées en fonction de
ω comme suit [9]
Qi = Ct ωi2 , i = 1, 2
(11)
Ct est le coefficient du couple de rotor qui est positif et
qui dépend aussi des paramètres des pales.
De la même manière, ces couples peuvent être exprimés
dans le repère A. On écrit


2
−(Q1 + Q2 )sα cβ
X
i
 (Q1 + Q2 )sβ 
Q=
Ti QA
(12)
i =
i=1
−(Q1 − Q2 )cα cβ
Les Moments Générés Par La Force F
−−→
Se référant à la Figure 4, on définit O1 G = (0, −l, 0)T et
−−→
O2 G = (0, l, 0)T comme les vecteurs positions exprimés
dans A des points d’application des poussées P1 et P2
respectivement.
(Fξ , τη ), on obtient les équations standard d’un solide
évoluant dans un espace à trois dimensions [6],[10]).
Donc, le couple produit par les poussées par rapport au
centre de gravité G et exprimé dans A est donné par
mξ¨ + mgEz = Fξ
1 ∂ T
(η̇ Iη̇) = τη
Iη̈ + İη̇ −
2 ∂η
−−→
−−→
MF = (T1 P1 ) × O1 G + (T2 P2 ) × O2 G
(13)
Après le développement de cette équation, on obtient


l(P1 − P2 )cα cβ

0
MF = 
(14)
−l(P1 + P2 )sα cβ
Le Moment De La Réaction Inverse Mr.i
Ce couple parasite est causé par le pivotement de
chaque rotor. Effectivement, quand un servo-moteur
exerce un couple sur un rotor pour le forcer à pivoter,
il en résulte un couple de réaction inverse Mr.i qui agit
sur le corps rigide du drone. Ce moment auxiliaire dépend essentiellement des accélérations (β̈, α̈) et tend à
tourner le drone dans le sens inverse au pivotement induisant le système en instabilité. Cependant, comme les
deux rotors pivotent dans des sens opposés, ces couples
se compensent et s’annulent mutuellement. Alors dans
ce qui suit, Mr.i va être fixé à zéro.
Le Vecteur Couple Total τ
L’expression complète du vecteur couple τ =
(τ1 , τ2 , τ3 )T qui agit sur le drone et exprimé dans A
est donnée par
τ = Mα + Mβ + Q + MF
(15)
Finalement, en remplaçant les termes à droite par leurs
expressions, on obtient
(19)
Les forces généralisées peuvent être exprimées en fonction de la paire (F, τ ) définie en (5) et (16)-(18).
Fξ = RF
(20)
τη = W −1 τ
La matrice de rotation R définit la transformation entre
les deux repères A et I. Elle peut être obtenue en se
basant sur les angles d’Euler :
R
= Rφ .Rθ .Rψ

cθ cψ
= sφ sθ cψ − cφ sψ
cφ sθ cψ + sφ sψ
cθ sψ
sφ sθ sψ + cφ cψ
cφ sθ sψ − sφ cψ
(21)

−sθ
sφ cθ 
cφ cθ
W est la matrice qui lie le vecteur de rotation angulaire
Ω du drone exprimé dans A au vecteur des vitesses
généralisées η̇.
Ω = W η̇
(22)
avec

cos ψ cos θ
W (η) =  sin ψ cos θ
− sin θ
− sin ψ
cos ψ
0

0
0
1
(23)
En définissant une matrice de coriolis/centrifuge
comme
1 ∂ T
C(η, η̇) = (İ −
(η̇ I))
(24)
2 ∂η
et en introduisant (20) dans (19), on peut écrire
τ1 = l (P1 − P2 )cα cβ − (Q1 + Q2 )sα cβ
− Ir α̇(ω1 + ω2 )cα + Ir β̇(ω1 + ω2 )sα sβ (16)
τ2 = (Q1 + Q2 )sβ + Ir β̇(ω1 + ω2 )cβ
τ3 = − l(P1 + P2 )sα cβ − (Q1 − Q2 )cα cβ
(17)
+ Ir α̇(ω1 − ω2 )sα + Ir β̇(ω1 − ω2 )cα sβ (18)
Dynamique Du Corps Rigide
Les équations du mouvement du corps rigide du drone
peuvent être obtenues en utilisant l’approche Lagrangienne. Les coordonnées généralisées utilisées ici sont
q = (x, y, z, φ, θ, ψ) ∈ R6
Le vecteur ξ = (x, y, z) représente la position du centre
de gravité du véhicule aérien relative au repère inertiel I. L’orientation du corps rigide est décrite par les
angles d’Euler η = (φ, θ, ψ) qui sont le roulis, le tangage
et le lacet, respectivement.
En appliquant la méthode d’Euler Lagrange au corps
rigide de masse m, soumis aux forces généralisées
mξ¨ = RF − mgEz
Iη̈ = W −1 τ − C(η, η̇)η̇
(25)
III. STABILISATION DU VEHICULE AERIEN
Dans cette section, nous allons appliquer une loi de
commande basée sur des saturations emboîtées pour la
commande du système (25). Ce choix est motivé par
le fait que cette méthode prend en compte la bornitude des entrées de commande. Ceci est d’une grande
importance dans notre cas, vue que les angles de commande α et β sont petits et bornés, et que la vitesse
des servo-moteurs est aussi limitée.
Les expressions des vecteurs de commande F et τ sont
très complexes. Elles présentent de fortes non-linéarités
et un grand couplage entre les entrées de commande. ce
qui rend leur exploitation pour la synthèse des lois de
commande très difficile. Il est donc nécessaire d’analyser ces expressions et d’effectuer quelques approximations afin d’aboutir à un modèle simple qui engendre les
termes et les caractéristiques essentielles de l’aéronef.
En effet, les angles de pivotement α et β sont en général
assez petits (< 15◦ ). On va donc adopter les approximations suivantes : cos α = cos β ' 1, sin α ' α et
sin β ' β.
Pour simplifier les expressions, on propose le changement de variables d’entrées suivant
On va noter u la somme des deux poussées P1 et P2 ,
que l’on va considérer comme la seule force principale.
Les composantes longitudinale et latérale du vecteur
force F dépendent de la différence des deux poussées
et des angles de pivotement. Elles sont donc petites
par rapport à u et peuvent être considérées comme des
perturbations dans le modèle général.
En réécrivant les équations dans (25), on obtient
Le vecteur de commande τ peut être représenté comme
la somme de deux quantités : le vecteur de commande
nominal et une perturbation qui comporte tous les petits termes parasites. En analysant son expression dans
(16)-(18), on peut définir les entrées de commande nominales comme suit
τ = W (C(η, η̇)η̇ + Iτ̃ ) ⇒ η̈ = τ̃
(28)
mẍ = −u sin θ,
θ̈ = τ̃θ
mÿ = u cos θ. sin φ,
φ̈ = τ̃φ
(29)
mz̈ = u cos θ. cos φ − mg, ψ̈ = τ̃ψ
u
τψ
Début
Commande de l'altitude Z
Linéarisation ==> Cont. Lin. PD
1
Stabilisation de l'angle du lacet
==>Cont. Lin. PD
2
τφ
PVTOL 1
τφ
3
φ
φ'
PVTOL 2
Couplage via
φ et r
Y'
τφ = l(P1 − P2 )
θ
θ'
Y
X'
τθ = Ir (ω1 + ω2 )β̇ + (Q1 + Q2 )β
τψ = −l(P1 + P2 )α
(26)
T
τ = (τφ , τθ , τψ ) + ∆τ
Nonlinear terms
Fin
A partir des développements ci-dessus, les vecteurs de
commande peuvent être représentés sous la forme suivante
F = (0, 0, u)T + ∆F
Nonlinear terms
Saturations Imbriquées
où τφ est le couple de roulis qui est généré par la différence des deux poussées axiales P1 et P2 . Le couple gyroscopique issu du pivotement latéral opposé et la composante du couple de la résistance de l’air agissent dans
le même sens et se complimentent pour créer le couple
de tangage. En analysant l’expression de τθ , on constate
que l’angle de tangage est commandé par l’angle β et de
sa dérivée β̇, multipliés par des termes variant dans le
temps. Quand au mouvement de lacet, il est commandé
par l’angle α.
(27)
où ∆F et ∆τ sont des vecteurs dans R3 qui regroupent les termes parasites présents dans (5),(16)(18) et non inclus dans les entrées nominales (26). Ces
forces/moments non désirées sont supposées être petites avec une influence limitée sur le comportement
du système. Elles seront donc négligées dans le modèle
qui va servir à la synthèse des lois de commande.
L’objectif de commande est maintenant de trouver un
retour d’état (P1 , P2 , β, α) tel que les états q du système convergent vers leurs valeurs désirées. On va aussi
imposer des contraintes supplémentaires sur les conditions initiales des entrées de commande β et α. En effet,
on aimerait avoir β(0) = α(0) = 0. Physiquement, ceci
veut dire que les rotors sont initialement à la position
verticale par rapport au corps du drone ce qui correspond au cas réel.
X
Saturations Imbriquées
Fig. 6 – Le diagramme de la stratégie de commande
Le système (29) contient six variables et quatre
entrées de commande. C’est donc un système sousactionné qui peut être vu comme quatre sous-systèmes
connectés entre eux et chacun est commandé par une
entrée de commande. La stratégie de commande présentée ici (voire la Figure 6) vise à contrôler chacun de
ces sous-systèmes en commençant d’abord par l’altitude (z) et l’angle de lacet (ψ). Ensuite, on applique la
technique des saturations imbriquées pour commander
le mouvement latéral (φ − y) et le déplacement longitudinal (θ − x) [12] et [6].
Commande De La Position Verticale Et Du Lacet
Ces deux mouvements peuvent être commandés en utilisant des contrôleurs linéaires simples. Nous proposons
u=m
−az1 ż − az2 (z − zd ) + g
cos θ cos φ
τ̃ψ = −aψ1 ψ̇ − aψ2 (ψ − ψd ) + fψ (t)
(30)
(31)
Les angles θ et φ sont supposés être inférieurs à π2 .
Les gains (az1 , az2 , aψ1 , aψ2 ) sont positifs et doivent
être choisis convenablement. fψ (t) est une fonction
dépendante du temps qui permettra de satisfaire les
contraintes sur les CI (Conditions Initiales) des entrées
de commande. Son expression sera donnée dans la suite.
Commande De Roulis-Mouv. Latéral (φ, y)
Une fois que z et ψ sont stabilisés, on va considérer
le sous système représentant les mouvements de roulis et latéral. Ce sous-système peut être représenté par
une chaîne de quatre intégrateurs auquel s’ajoutent des
termes non linéaires, Figure 6. On peut donc exploiter
les résultats obtenus dans [4] et [6] pour proposer un
contrôleur qui prend en compte la saturation de τ̃φ et
les contraintes sur ses conditions initiales.
τ̃φ = −σφ1 (φ̇ + fφ1 (t) + σφ2 (φ̇ + φ + fφ2 (t) + σφ3 (φ̇ + 2φ
ẏ y
ẏ
+ + fφ3 (t) + σφ4 (φ̇ + 3φ + 3 + + fφ4 (t))))) (32)
g
g
g
Les fonctions fφi (t) dépendent du temps et des valeurs
initiales des états du système.
Commande De Tangage-Mouv. Longitudinal (θ, x)
A ce stade on considère que φ converge vers zéro et
on suit la même procédure que précedement [6]. On
obtient alors
τ̃θ = −σθ1 (θ̇ + fθ1 (t) + σθ2 (θ̇ + θ + fθ2 (t) + σθ3 (θ̇ + 2θ
ẋ
ẋ x
− + fθ3 (t) + σθ4 (θ̇ + 3θ − 3 − + fθ4 (t)))))(33)
g
g
g
σi représentent des fonctions de saturation, voir [2].
Les fonctions (fψ (t), fφi (t), fθi (t)) peuvent être choisies
de manière à satisfaire les contraintes sur les CI des
angles de pivotement β et α. Ces fonctions peuvent
être prises sous la forme
f (t) = −h(ξ0 , ξ˙0 , η0 , η̇0 )e−rt , r > 0
(34)
avec h est une constante qui dépend des CI des états
du système dont l’objectif est d’imposer les CI désirées
du vecteur couple τ (dans notre cas, on aimerait avoir
τ (0) = 0). Le terme e−rt force ces fonctions à converger
vers zéro pour ne pas détériorer les performances de
commande. La constante r pourrait être utilisée pour
le choix de la dynamique de commande. En d’autres
termes, plus r est petite, plus les couples de commande
varient lentement et par conséquent les servo-moteurs
peuvent fournir les commandes instantannées désirées.
On peut donc déduire que les fonctions f (t) permettent
en plus de prendre en compte la dynamique des servomoteurs.
En utilisant [2] et [4], on peut démontrer que
(φ̇, φ, ẏ, y, θ̇, θ, ẋ, x) sont bornées et convergent vers zéro
même en présence des fonctions f (t).
La prochaine étape consistera à trouver les entrées de commande originales (P1 , P2 , α, β). En utilisant la transformation (28), on peut calculer (τ =
(τφ , τθ , τψ )T ). Maintenant, il reste à résoudre le système (26) et déduire les entrées originales en fonction
de (u, τφ , τθ , τψ ) qui sont connues à ce stade.
On avait
u = P1 + P2 , τφ = l(P1 − P2 )
(35)
on déduit alors que
P1 =
1
τφ
1
τφ
(u + ), P2 = (u − )
2
l
2
l
(36)
En utilisant les équations (3) et (11), on peut calculer
la vitesse wi et le couple résistant Qi du rotor i
r
Pi
Ct
ωi =
, Qi =
Pi
(37)
Cl
Cl
Maintenant, on peut résoudre l’équation différentielle
du système (26) pour trouver l’expression de β.
Z t
β = e−P (t)
eP (τ ) τθ dτ , avec
0
(38)
Z t
Q1 + Q2
P (t) =
dτ
0 Ir (ω1 + ω2 )
Finalement, l’angle α peut être déduit de la troisième
équation de (26)
τψ
α=−
(39)
lu
La poussée axiale totale u est supposée être strictement
positive pour tout t ≥ 0.
IV. SIMULATIONS
La construction du drone Birotan n’est pas complètement achevée, et l’identification de ses paramètres
exacts est difficile. Pour les simulations, on va donc utiliser des paramètres approximatifs qui ont les mêmes
ordres de grandeurs que ceux du "Draganflyer" [6]. Le
tableau ci-dessous résume les différents paramètres du
modèle du véhicule aérien et aussi les constantes utilisées pour le réglage du contrôleur. Mi sont les bornes
paramètre
m
Inertie (J)
l
Ir
az1
az2
aψ1
aψ2
valeur
1 kg
I3
0.2 m
0.001 kg.m2
1
2
1
2
paramètre
Mθ1
Mθ2
Mθ3
Mθ4
Mφ1
Mφ2
Mφ3
Mφ4
valeur
2
1
0.2
0.1
2
1
0.2
0.1
des fonctions de saturations σi .
La loi de commande décrite dans ce papier a été simulée pour le modèle complet du drone Birotan avec les
conditions initiales suivantes :
(x(0), y(0), z(0), φ(0), θ(0), ψ(0)) = (1, 1, 0, 0.1, 0.3, 0.4)
et η̇ = ξ˙ = 0. L’objectif est de stabiliser l’hélicoptère
à une altitude d’un mètre, avec une orientation désirée
pour le lacet, i.e., (zd , ψd ) = (1, 0).
Les résultats de simulation présentés dans la Figure
7 montrent que tous les états du système convergent
vers leurs valeurs désirées et que le véhicule aérien est
bien stabilisé après un certain temps de transition. La
Figure 8 montre que les contraintes sur les entrées de
commande sont satisfaites. En effet, les couples de commande sont bornés et les angles de pivotement β et α
sont initialement nuls et restent petits. Ces résultats
témoignent des bonnes performances du contrôleur décrits dans ce papier. Notons aussi que cette loi de commande est robuste contre les incertitudes et les dyna-
miques non modélisées. Néanmoins, une étude approfondie [11] de la robustesse du contrôleur est nécessaire
afin de déterminer les conditions de convergence du système en présence des forces/moments parasites ∆F et
∆τ .
0.1
Roll [rad]
20
x[m]
0
−20
−40
0
10
20
30
0
−0.1
40
4
2
0
0
10
20
30
−0.5
40
20
30
40
0
10
20
30
40
0.5
Yaw [rad]
z[m]
10
0
1.5
1
0.5
0
0
0.5
Pitch [rad]
y[m]
6
0
10
20
30
Time[sec]
40
0
−0.5
0
10
20
30
Time[sec]
40
Fig. 7 – Stabilisation de la position et de l’orientation
du drone en considérant le modèle complet (∆F et ∆τ )
14
0
τφ
u
10
8
−0.02
0
20
40
−0.04
0
−0.5
0
20
40
0
20
40
0.5
β[rad]
α[rad]
20
0
−0.5
40
0.2
0
−0.2
0
0.5
τψ
τθ
0.5
0
20
Time[sec]
40
0
−0.5
[1] G.R. Gress, “Using dual propellers as gyroscopes for
tilt-prop hover control,” AIAA, Inc, 2002.
[2] A.R. Teel, “Global stabilisation and restricted
tracking for multiple integrators with bounded
controls,” Systems and Control Letters, vol. 18, pp.
165-171, 1992.
[3] A.R. Teel, “A non linear small gain theorem for the
analysis of control systems with saturation,” IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. 41, Issue
9, pp. 1256-1270, 1996.
[4] R. Lozano, P. Castillo and A. Dzul, “Global Stabilization of the PVTOL : Real-Time application to a
mini-aircraft,” Int. Journal of Control, vol. 77, no.
8, pp. 735-740, May 2004.
[5] A. Zavala-Rio, I. Fantoni, R. Lozano, “Global stabilization of a PVTOL aircraft with bounded inputs,” Int. Journal of Control, vol. 76, no. 18, pp.
1833-1844, December 2003.
“Real-time
[6] P. Castillo, A. Dzul and R. Lozano,
Stabilization and Tracking of a Four Rotor
Mini-Rotorcraft,” IEEE Transactions on Control
Systems Technology, Regular paper, vol. 12, Issue
4, pp. 510-516, Juillet 2004.
[7] G.R. Gress, “A dual-fan VTOL aircraft using opposed lateral Tilting for pitch control,” Presented
at the AHS 59th Annual Forum, Phoenix, Arizona,
May 6-8, 2003.
0.02
12
Références
0
20
Time[sec]
40
Fig. 8 – Les entrées de commande intermédiaires et
originales
V. CONCLUSION
Dans cet article, nous avons montré que l’utilisation
de deux rotors pivotants suffit pour assurer la stabilisation d’un engin volant évoluant dans un espace à
trois dimensions. Nous avons aussi présenté le modèle
6-ddl du drone qui a servi à la synthèse de la loi de
commande. Le contrôleur développé ici est basé sur la
méthode des saturations imbriquées qui a permis de
prendre en compte les contraintes réelles sur les entrées
de commande. Sa robustesse est observée en simulation
et sa simplicité permet sa portabilité dans un calculateur embarqué à puissance modérée.
[8] J.C. Avila Vilchis, B. Brogliato, A. Dzul et R. Lozano,
“Nonlinear modelling and control of helicopters,”
Automatica, vol. 39, Issue 9, Septembre 2003,
Pages 1583-1596.
[9] Raymond W.Prouty, “Helicopter performance, stability, and control,” Krieger Publishing Compagny,
Malabar, Florida, 1995.
[10] I. Fantoni et R. Lozano, “Control of nonlinear mechanical underactuated systems,” Springer-Verlag,
Communications and Control Engineering Series,
pp. 225-237, 2002.
[11] M. Arcak, A. Teel, P. Kokotovic, “Robust nonlinear control of feedforward systems with unmodeled dynamics,” Automatica vol. 37, pp. 265-272,
2001.
[12] F. Kendoul, D. Lara, I. Fantoni, R. Lozano, “Embedded and bounded control for a class of unmanned aerial vehicles,” Soumis à International Conference on Robotics and Automation (ICRA’06).