École Préparatoire en Sciences et Techniques de

PHYSIQUE III(TD N4)
EPST-Tlemcen 2014-2015
École Préparatoire en Sciences et Techniques de Tlemcen
Département de Physique
Physique III - TD N4
Exercice 01 :
On considère deux pendules simples identiques (tiges sans masse et de longueur l, avec à leurs extrémités des masses m). Les deux pendules sont reliés entre eux par l'intermédiaire d'un ressort de raideur k et de masse négligeable, attaché à une distance l du point d'attache des deux pendules (voir gure 1). A l'équilibre les pendules sont verticaux et le ressort n'est pas déformé.
On se propose d'étudier le mouvement des masses dans le plan qui les contient.
Les deux pendules sont repérés, à l'instant t, par leurs élongations angulaires θ1 et
θ2 supposées petites par rapport à leur position verticale d'équilibre. On désignera
g l'accélération de la pesanteur.
1. Déterminer le Lagrangien du système, et en déduire le système d'équations
diérentielles du mouvement des masses en fonction des xi = lθi .
2. Réécrire le système d'équations diérentielles sous forme matricielle.
Figure 1 3. En utilisant le résultat de l'algèbre linéaire selon lequel une matrice diagonalisable A peut se mettre sous la forme A = P DP −1 , où P et D sont une
matrice de passage et une matrice diagonale, respectivement, calculer les pulsations propres du système
et ses modes propres de vibration. On donne : m = 0.1kg, k = 1N/m, l = 1m.
4. On lâche sans vitesses initiales le système à l'instant t=0 dans les conditions
initiales suivantes : θ1 = θ0 et θ2 = 0, en déduire les lois d'évolution θ1 et θ2
aux instants t > 0.
5. Les deux modes de vibration du système ainsi qu'une solution générale du
mouvement de l'une des masses sont données sur la gure 2, à quoi correspond ce mouvement, donner la pulsation moyenne et la pulsation modulée,
et commenter la gure 2.
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Exercice 02 :
La poulie assimilée à un cylindre homogène de rayon R et de masse M tourne
sans frottement autour d'un axe horizontale xe. Le contact entre la poulie et le
l se fait sans glissement.
Quel est le nombre de degrés de liberté du système ?
Trouver les pulsations propres du système dans le cas particulier où : M = 2m et
k1 = k .
Déterminer les modes propres et donner la solution générale.
On xe la masse m. Calculer la pulsation propre ω01 du mouvement de M .
On xe la masse M . Calculer la pulsation propre ω02 du mouvement de m.
Comparer ω01 et ω02 aux pulsations propres du système couplé. Conclusion ?
Maintenant, on applique une force excitatrice F (t) = F0 sin(ωt) sur la masse m,
en déduire les équations du mouvement et discuter les cas de résonance et d'antirésonance.
Figure 3 Figure 4 Exercice 03 :
On considère une barre homogène de masse M , de longueur l (moment d'inertie JG = M12l ) mobile autour d'un axe xe à une de ses extrémités o. A l'autre
extrémité A est xé un ressort de raideur k1 . En position d'équilibre, la barre est
horizontale. Au milieu G de la barre est suspendue par l'intermédiaire d'un ressort
de raideur k2 une masse = m.
Écrire le Lagrangien du système.
En posant k1 = k, k2 = 4k, M = 3m, y = l · θ, donner les équations diérentielles
en x(t) et y(t) du mouvement.
Déterminer les fréquences propres, les modes propres et les solutions générales
décrivant les mouvements de la barre et de la masse m. On se propose d'amortir le
système décrit auparavant par le biais d'un amortisseur de coecient de frottement
visqueux β . De plus on soumet le système à une force périodique F (t) = F0 cos ωt
appliquée à m.
(t)
Z
et
Calculer l'impédance Z1 = Fẋ(t)
, la mettre sous la forme Z1 = Z0 + ZZ +Z
expliciter Z0 , Z2 et Z3 .
Donner un schéma électrique équivalent au système mécanique.
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Exercice 04 :
Dans le circuit ci-contre E(t) = E0 cos Ωt. A l'aide de la loi des mailles, trouvez
les équations de mouvements des courants i1 et i2 :
1. Trouver, à l'aide de la représentation complexe, l'impédance d'entrée.
2. En déduire, à l'aide de l'analogie de Maxwell, le système mécanique équivalent.
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