x - CdPMaths

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Fonctions carrées et polynômes du second degré Classe de 2nde
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Diaporama réalisé par S. Bignon
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I - La fonction carrée
Définitions :
On appelle fonction carrée la fonction f définie telle que :
f : IR −→ IR
x �−→ x 2
:/
/c
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x -3 -2 -1 0 1 2 3
x2 9 4 1 0 1 4 9
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La courbe représentative de cette fonction est appelée parabole.
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1
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0
2
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Diaporama réalisé par S. Bignon
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Propriété : La fonction carrée est une fonction paire, c’est à dire que pour tout nombre x, on a :
f (−x) = f (x)
Preuve :
f (−x) = (−x)2 = x 2 = f (x)
at
Remarque : Une fonction paire est caractérisée par une courbe symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
/c
dp
m
Propriété : Variations de la fonction carrée
• la fonction carrée est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0]
• la fonction carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[
x
0
0
+∞
+∞
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x2
−∞
+∞
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II - Fonctions polynômes du second degré
1) Définitions
Définition :
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur IR de la forme :
P (x) = ax 2 + bx + c
at
a, b et c sont des nombres réels appelés coefficients (a �= 0).
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Exemples :
1) P 1 (x) = 2x 2 − 8x + 5 est un polynôme du second degré de coefficients a = 2, b = −8 et c = 5.
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/c
dp
2) P 2 (x) = −x 2 + 7 est un polynôme du second degré de coefficients a = −1, b = 0 et c = 7.
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Définition :
Toute fonction polynôme P du second degré peut se mettre sous la forme :
a(x − α)2 + β avec a �= 0
Cette écriture est appelée forme canonique du polynôme du second degré.
Remarque : Dans ce cas, on a α = −
b
et β = f (α).
2a
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at
Exemples :
1) P 1 (x) = 2(x − 2)2 − 3 est la forme canonique du polynôme P 1 (x) = 2x 2 − 8x + 5.
En effet : 2(x − 2)2 − 3 = 2(x 2 − 4x + 4) − 3 = 2x 2 − 8x + 8 − 3 = 2x 2 − 8x + 5
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/c
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2) P 2 (x) = −x 2 + 7 est déjà sous forme canonique avec a = −1, α = 0 et β = 7.
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2) Variations et représentation graphique
m
at
Propriété : Variations
2
Une fonction polynôme du second degré P�(x) = ax �
+ bx + c est :
−b
- strictement décroissante sur l’intervalle −∞;
puis strictement croissante sur
2a
�
�
−b
; +∞ si a > 0
l’intervalle
2a
�
�
−b
- strictement croissante sur l’intervale −∞;
puis strictement décroissante sur
2a
�
�
−b
l’intervalle
; +∞ si a < 0
2a
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/c
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Remarque : La courbe représentative d’un polynôme du second degré est une parabole admettant
un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
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x
2
−3
+∞
+∞
CP
/c
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P 1 (x)
−∞
+∞
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Exemple : En utilisant la forme canonique
Soit P 1 (x) = 2(x − 2)2 − 3, cette fonction atteint un minimum pour (x − 2)2 = 0 c’est-à-dire pour x = 2.
Ce minimum est alors P 1 (2) = −3
1
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0
2
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−3
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