Gestion des approvisionnements en contexte de gestion de

Transcription

Ousmane Alkaly
Gestion des approvisionnements
en contexte de gestion de pro jet :
analyse de deux mesures
de niveau de service
Memoire de ma^trise
presente
a la Direction des Etudes
de Cycles Superieurs
de l'Universite du Quebec
pour l'obtention
du grade de Ma^tre es sciences (M.Sc.)
Programme de Ma^trise en gestion de projet
Departement des sciences administratives
Hull
Universit
e du Qu
ebec a
Mai 2002
c Ousmane Alkaly, 2002
Remerciements
Je desire remercier le directeur de ce memoire, M. Tomasz Skapski, professeur au
departement de sciences comptables de l'Universite du Quebec a Hull, pour m'avoir
informe et conseille au long de ce travail de recherche.
Je remercie chaleureusement le co-directeur de ce memoire, M. Alain Charbonneau,
professeur au departement de l'informatique de l'Universite du Quebec a Hull, pour
m'avoir encadre, soutenu et guide durant la redaction du memoire et pour m'avoir initie
a l'utilisation d'outils informatique. La disponibilite de M. Charbonneau, son goût du
travail et de la decouverte ont grandement contribue a la realisation de ce projet.
Je tiens egalement a remercier M. Kazimierz Zaras, professeur au departement des
sciences de la gestion de l'Universite du Quebec en Abitibi-Temiscamingue, qui a accepte, malgre ses nombreuses occupations, d'être evaluateur du memoire.
J'adresse de sinceres remerciements au professeur Jean-Paul Paquin, responsable du
programme de l'administration de l'Universite du Quebec a Hull, pour m'avoir aide
a trouver un directeur de memoire ainsi que pour sa disponibilite et son ecoute, au
professeur Alain Beauls qui fut mon premier contact a l'UQAH en 2000 alors qu'il
etait responsable du Programme.
Je tiens au passage a remercier a M. Paul Rosemont qui m'a plusieurs fois aide a
comprendre certains passages mathematiques et a M. Paul Courtemanche pour ses
services rendus avec amabilite et patience.
Je tiens a exprimer ma profonde reconnaissance a Gilles et Yolande Chouinard pour
leur si chaleureux accueil au Canada, leur soutien moral inestimable et pour tous les
moyens qu'ils ont mis a ma disposition.
Enn, je dedie ce travail a toutes les personnes qui me sont cheres et particulirement
a mes parents, El Hadj Amadou Alkaly et Hadjia Marie Chalare.
i
Resume
En gestion de projet, la consolidation des outils de support permet de ma^triser davantage le processus operationnel des projets, en particulier en gestion des approvisionnements. Dans un contexte realiste, ou la demande pendant le delai de livraison suit
une loi de probabilite, la quantite a commander et le moment ou passer une commande
sont etudies a travers deux mesures de niveau de service que sont la probabilite de non
rupture de stock et le taux de satisfaction.
An d'etablir une comparaison entre ces deux indicateurs de performance du systeme
d'approvisionnement, nous avons cherche a calculer un point d'indierence qui traduit
l'egalite des valeurs optimales de ces mesures de niveau de service sous contrainte
budgetaire. Ce point d'indierence permet donc de preciser des plages de valeurs
qui indiquent qu'une valeur optimale de mesure de niveau de service est superieure a
l'autre.
La determination des valeurs optimales des mesures de niveau de service et leur comparaison nous ont amene a developper une approche numerique qui constitue une des
contributions majeures de ce travail. Ceci nous a conduit a developper un logiciel de
recherche de point d'indierence et nous en donnons des applications dans les cas ou la
demande pendant le delai de livraison suit une loi de probabilite exponentielle, Weibull,
Rayleigh ou gamma.
Ousmane ALKALY, Etudiant
Tomasz SKAPSKI, Directeur de recherche, UQAH
Alain CHARBONNEAU, Co-directeur de recherche, UQAH
Kasimierz ZARAS, Examinateur externe, UQAT
ii
Table des Matieres
Liste des gures
v
Liste des tableaux
vi
Notation
vii
Introduction
1
1 Modelisation mathematique du systeme (Q; s) avec utilisation des
niveaux de service
9
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Modele deterministe . . . . . . . . . . . . . . . .
Modele probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mesures de niveau de service . . . . . . . . . . . .
Valeur optimale des mesures de niveau de service :
Le point d'indierence . . . . . . . . . . . . . . .
Lois de probabilite utilisees en gestion de stock . .
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P1 et P2
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15
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2 Calcul du point d'indierence par une methode analytique-numerique 21
2.1 Reformulation des calculs a eectuer . . . .
2.2 Calcul de P1 et de P2 . . . . . . . . . . . .
2.3 Calcul de R(s) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Cas de la loi exponentielle E () . . .
2.3.2 Cas de la loi de Weibull W (b; 1=2) . .
2.3.3 Cas de la de Weibull avec W (b; 1=3) .
2.3.4 Cas de la loi de Rayleigh R() . . . .
2.3.5 Cas de la loi Gamma avec a = 1=2 .
2.3.6 Cas de la loi Gamma generale . . . .
2.4 Calcul approche du point d'indierence . . .
iii
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25
3 Applications
3.1 Cas de la loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Cas de la loi exponentielle E () . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Approximation de la loi normale N (; 2) par l'exponentielle
3.2 Cas de la loi de Weibull W (b; c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Le cas c = 1=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Le cas c = 1=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Le cas c = 2 : la loi de Rayleigh R(2 ) . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Quelques cas supplementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Cas de la loi gamma G (a; ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Un resultat d'invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Conclusion
39
Annexe A : Les distributions utilisees en gestion de stock
A.1 Distribution exponentielle E () . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Distribution normale N (; 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Distribution de Weibull W (b; c) . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Distribution de Rayleigh R() . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Distribution de la loi G (a; ) . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Annexe B : Le programme de calcul du point d'equilibre
46
Annexe C : Exemple d'utilisation du programme
56
Bibliographie
59
iv
Liste des gures
1.1
1.2
1.3
3.1
3.2
A.1
A.2
A.3
Resolution graphique de la EOQ . . . . . . . . . .
Systeme d'approvisionnement (cas probabiliste) .
Representation graphique de la contrainte (1.4.9)
Representation graphique du tableau 3.7 . . . . .
Representation graphique du tableau 3.8 . . . . .
Loi de Weibull pour c = 1=3; 1=2; 1; 2; 4 . . . . . .
Loi de Rayleigh pour = 1=2; 1; 2 . . . . . . . . .
Loi gamma pour = 1=2; 1; 2 . . . . . . . . . . .
v
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12
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16
32
38
43
44
45
Liste des tableaux
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Cas de l'exponentielle . . . . . . . . . . . . . .
Cas Weibull : c = 1=2 . . . . . . . . . . . . . .
Cas Weibull : c = 1=2, QW = 1000, K = 6000
Cas Weibull : c = 1=3 . . . . . . . . . . . . . .
Cas Weibull : c = 2 . . . . . . . . . . . . . . .
Cas de la loi Weibull : QW = 1000, K = 4000 .
Cas de la loi gamma : QW = 1000, K = 4000 .
Cas de la loi de Weibull : QW =ind vs N . . .
vi
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37
Notation
Quantites economiques
Nc ; nombre de commandes, p. 11
A ; coûts par commande, p. 11
D ; demande annuelle, p. 11
H ; coût unitaire de stockage, p. 11
; coût unitaire de l'article en stock, p. 11
Smoy ; stock moyen annuel, p. 11
r ; coût de stockage, p. 11
K ; coûts de gestion, p. 11
QW ; le Q de Wilson, p. 11
K ; la quantite AD=r, p. 21
Cs ; coûts totaux annuel de stockage, p. 11
Cc ; coûts de commande, p. 11
Q ; quantite commandee, p. 11
s ; point de rapprovisionnement, p. 14
Niveau de services
b(x; s) ; quantite manquante a la n d'un cycle, p. 15
b(s) ; esperance de la quantite manquante en n de cycle, p. 14
(Q; s) ; fraction de la demande non satisfaite, p. 15
P1 (s), P1 (Q; s) ; probabilite de non rupture de stock, p. 14
P2 (Q; s) ; taux de satisfaction, p. 14
P1 ; valeur optimale de P1 (Q; s) sous la contrainte de budget, p. 15
P2 ; valeur optimale de P2 (Q; s) sous la contrainte de budget, p. 15
Q1 ; s1 ; p. 17
Q2 ; s2 ; p. 17
vii
R(s) ; p. 18
ind ; point d'indierence, p. 19
Probabilites
L ; delai de livraison, p. 13
X ; demande pendant le delai de livraison L, p. 13
gL (l) ; loi de densite de L, p. 13
fX (x) ; loi de densite de X , p. 13
fX jL (xjl) ; loi de densite conditionnelle de X sachant L, p. 13
fX;L (x; l) ; loi de densite jointe de X et L, p. 14
FX (x) ; fonction de repartition de X , p. 41
EX (x) ; esperance mathematique de X , p. 15
; moyenne de X
; ecart-type de X
2 ; la variance de X
E () ; loi exponentielle, p. 41
R() ; loi de Rayleigh, p. 42
N (; 2) loi normale de moyenne et de variance 2 , p. 41
W (b; c) ; loi de Weibull de parametres b et c, p. 42
() ; fonction Gamma, p. 42
G (a; ) ; loi Gamma de parametres a et , p. 43
I (; ) ; fonction Gamma incomplete, p. 44
viii
Introduction
Le troisieme millenaire a vu le jour sous un processus accelere de mondialisation
de l'economie caracterise par une forte concurrence et une competition croissante,
plongeant les acteurs que sont les entreprises, industries et organisations dans un environnement d'insecurite et d'instabilite ou la course erenee a la survie est devenue
le mot d'ordre. Dans un tel contexte, les entreprises n'ont d'autre choix que de viser
la performance et faire preuve d'eÆcacite et d'eÆcience. Le management traditionnel
ne suÆt plus a lui seul a relever ce de ; il existe une autre forme d'organisation et de
gestion applicable dans de nombreuses spheres d'activites : c'est la gestion de projet1 .
La gestion de projet se retrouve aujourd'hui sur toutes les levres et est presentee comme
le \management miracle" a appliquer pour faire face a ce contexte contemporain. Jadis
utilisee dans l'industrie aerospatiale et par les rmes conseils en genie, elle est en passe
d'être vulgarisee pour devenir le mode de gestion par excellence du nouveau millenaire.
Preferee au management traditionnel, notamment dans un monde en perpetuelle mutation (Bloch et al. [4]), la gestion de projet se dierencie de la gestion classique par
ses principes et modes de fonctionnement (Cleland et King, [8]). Autre avantage, la
gestion de projet s'inscrit le plus souvent dans des organisations et environnements ou
cohabitent des activites operationnelles et des activites entrepreneuriales. De ce fait,
la gestion des operations, peut parfaitement s'integrer comme une composante a part
entiere de la gestion de projet.
Nous trouvons dans la litterature plusieurs denitions pour expliquer et clarier le
concept gestion de projet. Generalement ces denitions s'equivalent, se completent
ou font ressortir des specicites types de la gestion de projet. Selon Declerck et al.,
[10] : \la gestion de projet peut être denie comme etant un ensemble de methodes
ou de techniques creees pour la conception, l'analyse et la conduite d'activites temporaires, fortement irreversibles, non repetitives, realisees sous contrainte de temps et
de ressources". Kerzner, [12], la complete en introduisant le concept de l'approche
1 Processus
ayant pour but de realiser un produit specique ou une uvre concrete ou encore un
processus de changement dont le but est de produire quelque chose de nouveau, O'Shaughnessy [17].
1
systemique ou des specialistes de fonctions diverses sont assignes a un projet en particulier a realiser a l'interieur de contraintes de coûts, de delais et de performance.
L'approche systemique est couramment utilisee en gestion de projet pour expliquer le
mode de fonctionnement d'une organisation, d'un systeme dans son ensemble ainsi que
les interactions et interdependances de ces sous-systemes, autrement dit pour posseder
une vue d'ensemble, un regard global sur tout le systeme. Le projet est lui-même un
sous-systeme qui s'inscrit a l'interieur d'autres systemes. Il est donc inimaginable de
vouloir gerer convenablement un projet en l'isolant, en oubliant qu'il fait partie d'un
ensemble plus grand et plus complexe evoluant dans un environnement dynamique. Au
cours du deroulement du processus de generation, de lancement et d'execution du projet
ainsi que de son integration dynamique en une operation, la gestion de projet se presente
comme une entite montrant des interactions entre des environnements traditionnels et
nouveaux (Declerck et al. [10], O'Shaughnessy [17]).
Lorsqu'on se refere au cycle de vie d'un projet, particulierement pendant la phase
de realisation du projet (les extrants prevus sont obtenus) et la phase operationnelle
(mise en route des extrants realises) des operations de suivi, contrôle et evaluation interviennent. Ces operations permettent au gestionnaire d'être au courant du deroulement
des activites et d'être a l'aût des problemes qui peuvent eventuellement survenir pour
y apporter des corrections si necessaires ; enn elles permettent aux gestionnaires de
s'assurer que le projet a atteint les objectifs pour lesquels il a ete concu.
Dans cette etude, nous nous interessons aux aspects operationnels de la gestion de projet particulierement la gestion des approvisionnements. C'est un domaine tres vaste,
relativement jeune et sommairement evoque dans la litterature manageriale qui traite
peu des problemes de la gestion operationnelle et des aspects fonctionnels des projets
(Leroy, [14]). De nos jours, cette fonction du management qui est deja reconnue comme
indispensable suscite de plus en plus l'interêt de nombreux scientiques. Cet engouement se justie en partie comme un \eet de mode" (Midler, [15]). Il s'explique aussi et
surtout par la necessite d'impliquer la fonction approvisionnement d'une organisation
des les premieres phases du projet. Cette aÆrmation est conrmee par Urli et Page,
[24], qui, a travers une etude, sont parvenus a la conclusion suivante : des economies
supplementaires sur les achats de biens et de services de l'ordre de 7.2% pourraient
facilement se realiser pour la plupart des projets si la fonction approvisionnement etait
plus integree en amont.
Des lors il devient indispensable d'integrer la fonction approvisionnement en contexte de
projet, car c'est de la capacite des organisations a transformer ces projets en operations
stables et ma^trisees de plus en plus productives, que dependra l'abondance des rentrees
2
de tresorerie qui, si elles se maintiennent, permettront en retour de nancer d'autres
projets (Leroy, [14]).
Quant a la gestion des approvisionnements, elle doit être consideree comme un ensemble
d'operations globales qui ne se limite pas seulement a faire des achats. Elle debute au
moment ou le besoin est exprime et prend n lorsque le bien ou le service est rendu
au demandeur. La fonction approvisionnement, ne doit plus être consideree comme
une simple fonction routiniere d'achat cantonnee sur des negociations hasardeuses avec
des fournisseurs qu'elle n'a jamais choisis. Elle doit obeir a un certain nombre de
principes qui sont immuables quel que soit le type d'entreprise et comporte plusieurs
operations qui se font en harmonie, dont l'accomplissement a bon terme est protable
pour l'entreprise.
La gestion des approvisionnements est un domaine en perpetuelle evolution surtout en
contexte de projet ou les activites sont non repetitives et irreversibles. A ce propos,
Andersen, [1], souligne que les missions de la fonction achat et le prol de carriere des
acheteurs ont beaucoup evolue. L'anticipation des besoins d'achat et l'anticipation de
l'evolution des fournisseurs constituent deux axes majeurs du management moderne
des approvisionnements. La fonction approvisionnement ne peut donc plus se faire
de facon intuitive par des personnes novices et inexperimentees. D'ailleurs, DantyLafrance n'a-t-il pas deplore dans Strategie et politique d'approvisionnement, [9], cet
etat de fait qui sevit en France ?
Selon Savard et al., [20], le concept d'approvisionnement signie l'action de rendre
operationnel par la determination des besoins, le ux des stocks et des activites connexes a l'interieur et a l'exterieur de l'entreprise. Cette action favorise la diminution des
coûts en utilisant certains modes de contrôle economique et ce, dans l'objectif de rendre
le produit accessible selon les conditions des dierents marches qualies de commercial,
domestique et industriel. A partir d'une telle denition, deux points importants sont
a retenir dans le cadre de ce travail : premierement la gestion des approvisionnements
englobe non seulement la gestion des achats mais aussi celle des stocks ; deuxiemement,
les approvisionnements constituent un aspect sensible dans la reduction des coûts eleves
de logistique qui deviennent de plus en plus un dilemme pour les entreprises en raison
ce sujet, Pfohl et al., [19], soulignent qu'en Allemagne,
des diÆcultes de les contenir. A
les coûts de logistique ont augmente ces dernieres annees de 13.3% dans les compagnies
industrielles et de 21.8% dans les compagnies commerciales.
Parmi les raisons evoquees par les gestionnaires pour justier cette situation, le probleme
des stocks vient souvent en premier lieu. Par exemple, au Canada, les stocks detenus
par un manufacturier representent en moyenne 34% de ses actifs et 90% de son fonds
3
de roulement (Silver et Peterson, [18]). En France, les stocks representent 30% du
bilan des entreprises apres compensation des credits clients et fournisseurs (Blondel,
[5]). Cela constitue une importante immobilisation nanciere qui engendre des frais
nanciers (taux du decouvert bancaire si le fonds de roulement est un emprunt, coût
moyen du capital de l'entreprise, taux de rentabilite des capitaux investis) auxquels
s'ajoutent des frais dus au stockage.
Par consequent, si les stocks etaient correctement contrôles par les gestionnaires de
projet, les fonds de roulement et d'exploitation d'un projet seraient considerablement
reduits, donc les marges brutes d'autonancement seraient augmentees mettant en
valeur les chances de l'organisation de prosperer et de se developper. Finalement, la
mauvaise gestion des stocks diminue ces marges, ce qui entra^ne une perte dans la part
du marche et procure un avantage aux concurrents (Bjork, [3]).
La detention des stocks ne presente pas seulement des inconvenients. Les avantages et
privileges qui y sont lies et qui justient son maintien sont innombrables. Cependant
il est inutile de les developper amplement dans le present travail. Notons simplement
quelques fonctions majeures des stocks decrites par Zeng et Hayya, [26] :
supporter et fournir les matieres premieres necessaires a la manufacture (cas de
la demande dependante2 ) ;
proteger les compagnies contre les incertitudes qui apparaissent suite aux divergences entre la demande et la production, la deterioration des machines et les
erreurs humaines.
En denitive, les stocks constituent un des principaux parametres qu'une entreprise
peut ma^triser pour atteindre le niveau de service desire contrairement a la demande
qu'elle ne peut contrôler. Des lors, un probleme de choix de politique d'approvisionnement pour maintenir les stocks a un niveau optimal et faire face a la demande se pose
au gestionnaire ; probleme qui se resume en deux questions primordiales a savoir : a
quel moment doit-il passer sa commande ? Et quel volume commander ? Ce sont la
des questions que souleve notre theme de recherche : Gestion des approvisionnements
en contexte de gestion de projet : analyse de deux mesures de niveau de service.
Tel qu'enonce, ce theme introduit de prime abord la problematique de la gestion des
approvisionnements en contexte de gestion de projet. D'ou le probleme general de
recherche : les gestionnaires de projet utilisent les modeles classiques et deterministes
de la gestion des approvisionnements en contexte de gestion de projet, alors que les
2 Demande
qui se fait a l'interne et qui concerne les produits semi-nis et les matieres premieres.
4
interventions courantes de la gestion des stocks dans le fonctionnement operationnel
des organisations sont constamment soumises a des circonstances aleatoires.
Une telle problematique pousse indubitablement a choisir une politique d'approvisionnement et a decrire les specicites qui la caracterisent en contexte de projet.
Dans le present travail, ou seule la demande independante3 est prise en compte, nous
allons reprendre un modele qui existe deja dans la litterature et qui repond simultanement aux questions qui conduisent a notre theme de recherche : il s'agit du systeme
d'approvisionnement a quantite xe avec revue continue d'articles deni par une quantite economique constante et un point de reapprovisionnement (ou de commande).
Lorsque le nombre d'articles en stock diminue sous l'eet de la demande cliente, le
point de reapprovisionnement d'un article correspond au seuil critique qui indique de
passer une nouvelle commande de reapprovisionnement.
Le delai de livraison est la seule periode au cours de laquelle peut survenir une rupture
de stocks. Or, le souci majeur de tout gestionnaire est d'eviter cette penurie an d'orir
un meilleur service a la clientele, c'est-a-dire satisfaire les demandes clientes grâce a
une disponibilite des produits, condition sine qua non pour qu'une entreprise puisse
demeurer competitive. De prime abord cet objectif pousse a commander a l'avance et
en quantite elevee. Or le gestionnaire n'a jamais renonce a sa \deontologie premiere"
qui est d'ouvrer en faveur d'une reduction des coûts. Ces deux objectifs sont de toute
evidence opposes. Par consequent, il faudrait trouver le juste milieu qui permettrait
d'atteindre les deux objectifs, c'est-a-dire mettre en place un systeme de gestion qui
permettrait de denouer ce dilemme au prot de l'organisation.
Face a ce litige, la gestion des stocks tente de trouver un equilibre d'une part entre
les divers coûts impliques dans l'acquisition du materiel en stock (coûts de commande
et coûts de stocks) et d'autre part entre les coûts de stockage (coûts pertinents) et les
coûts de penurie engendres par une rupture de stock. Le premier arbitrage a etablir
par la gestion des stocks porte donc sur l'equilibre entre les coûts de stockage et de
coûts de commande. A ce sujet, d'importants progres ont ete realises. En eet, le
modele de la quantite economique a commander communement appele EOQ (Economic Order Quantity) est une solution a ce probleme. L'autre recherche d'equilibre,
particulierement importante en gestion des stocks, porte sur l'arbitrage entre les coûts
de stockage d'une part et les coûts de penurie engendres par une rupture de stock
d'autre part. La aussi la determination du stock suÆsant pour couvrir la periode du
risque de rupture est une solution, autrement dit la determination du point de com3 Demande
l'entreprise.
provenant des clients et donc qui ne depend pas des modalites de fonctionnement de
5
mande (quantite s).
Il existe deux ecoles de pensee sur la facon d'etablir le point de reapprovisionnement
(implicitement les stocks de securite) dans le cas d'un systeme d'approvisionnement a
quantite xe (Q; s).
La premiere approche considere que les coûts lies a une rupture de stock peuvent être
connus et determines : des coûts explicites peuvent être alloues aux penuries de stock.
Pourtant, en contexte de gestion de stock, le coût le plus diÆcile a etablir est bien celui
de la rupture de stock. Ce coût doit être etabli aussi bien dans le cas d'une commande
en sourance que celui d'une vente perdue, et peut être exprime aussi bien par unites
de base que par nombre de ruptures ou en d'autres unites. A la diversite des methodes
pour etablir ces coûts s'ajoutent la diÆculte d'anticiper le comportement des demandes
futures en raison du mecontentement des clients et l'incidence reelle de ces nouveaux
coûts sur l'attitude des clients.
La deuxieme approche suppose que des coûts tangibles aussi bien que des coûts intangibles sont associes a une rupture de stock. Compte tenu de cette diÆculte d'expliciter
et de mesurer l'ensemble de tous les facteurs relies a une rupture de stock, le gestionnaire emploie le concept globalisant de niveau de service. Ce concept n'est pas nouveau
en gestion classique et son introduction en gestion de projet permet de consolider davantage les outils de support existants. Le niveau de service indique l'habilete avec
laquelle les demandes des clients peuvent être satisfaites a partir du stock. Le niveau
de service traduit aussi la capacite de l'entreprise a remplir sa mission soit son aptitude a produire bien avec moins de ressources tout en donnant entiere satisfaction aux
clients dans les delais requis. En d'autres termes, le concept de niveau de service fait
ressortir les limites d'eÆcacite et d'eÆcience de l'entreprise. L'image d'une entreprise
est grandement dependante du niveau de service qu'elle ore ; c'est notamment a partir
de ce critere que les clients fondent leur opinion sur l'entreprise. C'est donc un indicateur4 de performance du systeme de gestion des approvisionnements. Dans le cadre de
ce travail nous souscrivons a cette deuxieme ecole de pensee.
An de rendre operationnel le concept de niveau de service, plusieurs indicateurs permettent d'evaluer la performance d'une politique d'approvisionnement ; ici, nous en
retiendrons deux. Ces indicateurs, communement appeles mesures de niveau de service, sont : la probabilite qu'il n'y ait pas de rupture de stock pendant un cycle
d'approvisionnement (notee P1 ) et la fraction de la demande satisfaite (notee P2 ). Plus
precisement, si la demande pendant le delai de livraison est modelisee par la variable
4 Statistique
ciblee et contextualisee selon une preoccupation de mesure, sur la manifestation observable d'un phenomene ou sur un element lie au fonctionnement d'une organisation, voir [25] p. 61.
6
aleatoire X , la probabilite que cette demande soit inferieure a s, s > 0 est par denition
P r(X s) alors que la fraction de la demande satisfaite correspond a la portion de la
commande cliente que peut honorer le gestionnaire.
Mais, ces deux mesures de niveau de service sont-elles les mêmes ? Sinon, peut-on
les comparer ? Ce sont la des questions soulevees par Zeng et Hayya, [26], qui nous
amenent au concept de point d'indierence des deux mesures de niveau de service. Les
reponses a ces questions et donc le calcul d'un point d'indierence, permettront aux
gestionnaires, qui dans la pratique se ent a l'une des deux mesures de niveau de service
pour evaluer la performance de leur strategie de reapprovisionnement, de comparer ces
indicateurs.
En gestion des stocks, la demande pendant le delai de livraison suit une loi de probabilite qui appartient a une famille de lois dont les parametres sont connus ou a
determiner. Le point d'indierence des mesures de niveau de service P1 et P2 correspond
au calcul d'un parametre libre d'une famille de lois. Dans la pratique, ces calculs font
intervenir la resolution d'un probleme non lineaire. Dans ce memoire, nous proposons
une methode numerique qui permet de calculer un point d'indierence pour les mesures
de niveau de service P1 et P2 . De plus, notre procedure numerique permet de faire de
tels calculs pour des lois de probabilite jusque la non mentionnees dans la litterature.
Finalement, soulignons que nous avons developpe un programme Maple pour implanter
cette methode numerique.
? ? ?
Le present memoire est elabore en trois chapitres principaux suivi de trois annexes :
le premier chapitre rappelle le modele probabiliste du systeme d'approvisionnement a quantite xe avec utilisation du concept de niveau de services et pose le
probleme de la determination du point d'indierence ;
le deuxieme chapitre, qui marque notre contribution principale a ce secteur de
recherche, presente la methode numerique que nous avons developpee pour le
calcul des points d'indierence ;
le troisieme chapitre contient les resultats obtenus a partir du programme informatique qui implante notre methode de calcul ainsi qu'un resultat d'invariance
relativement aux distributions de Weibull et de Gamma ;
7
l'annexe A rappelle tres brievement quelques resultats qui concernent les distributions utilisees dans ce memoire ;
l'annexe B contient le programme informatique ecrit en Maple que nous avons
developpe a partir de la methode developpee au chapitre 2 ;
l'annexe C illustre le fonctionnement du programme Maple a partir d'un exemple
particulier.
8
Chapitre 1
Modelisation mathematique du
systeme (Q; s) avec utilisation des
niveaux de service
1.1 Modele deterministe
En contexte de demande independante1 , le principal modele deterministe rencontre
dans la litterature et qui continue de jouer un rôle central en theorie des stocks, est
celui de la quantite economique a commander, communement appelee EOQ (Economic
Order Quantity). Ce modele permet de trouver la quantite optimale a commander sur
une periode souvent annuelle, notee QW en reference au modele de Wilson. Cette
quantite permet de diminuer les coûts de logistique en minimisant l'ensemble des coûts
de commande et de stockage lorsque certaines hypotheses de base sont satisfaites.
Reduire l'ensemble de ces coûts a un strict minimum est incontestablement protable
pour le projet surtout que 25% des frais nanciers sont engendres par les coûts de
logistique Pfohl et al. [19].
Evidemment,
pour utiliser un modele, il faudrait prealablement conna^tre les hypotheses sur lesquelles celui-ci est bâti et les consequences que chacune d'elles implique :
le taux de consommation est connu et uniforme : la demande est constante et
connu avec exactitude ;
le coût des items ne varie pas avec la taille de la commande : le principe de remise
n'existe pas, donc il ne sert a rien de passer de grosses commandes ;
1 Demande
provenant des clients, donc autonome et qui ne depend pas des modalites de fonctionnement de l'entreprise. Cette demande concerne les produits nis.
9
toute la commande est livree instantanement : la commande est recue dans son
integralite portant les stocks a leur etat maximal a chaque reception ;
les delais de livraison sont connus de sorte qu'on peut passer la commande a
temps : il n'y a jamais de retard dans la livraison, certitude absolue d'acquisition
du materiel au moment voulu ;
le coût de passation de la commande est le même quelle que soit la taille de la
commande : il ne sert a rien de faire de nombreuses petites commandes car ce coût
interviendra a chaque fois augmentant ainsi les charges relatives a la commande ;
le coût de detention de stock est une fonction lineaire de la quantite d'items
detenus : plus la quantite de stock est importante plus ce coût est eleve ;
l'approvisionnement se fait par cycle (periode entre deux livraisons consecutives)
et aucune rupture de stock (penurie) n'est toleree bien que le stock de securite
soit nul.
Tel qu'enonce, ces hypotheses de base suscitent des commentaires qui introduisent notre
problematique specique de recherche : basee exclusivement sur une vision deterministe,
la EOQ ne prend pas en compte certaines situations aleatoires qui caracterisent les
phenomenes pratiques. Or, de nombreux auteurs, Pfohl et al. [19], trouvent qu'il est
parfois realiste de supposer que la demande et le delai de livraison peuvent varier.
Ainsi, la premiere etape a gagner est de comprendre les lois de probabilites que suivent la demande et le delai de livraison. Tadikamalla [22] pousse la reexion plus loin
en precisant qu'il est plus pertinent de s'interesser a la distribution de la demande
pendant le delai de livraison qu'a celle de la demande ou du delai de livraison pris
individuellement.
C'est dans cette optique que Brill et Chaouch [6] soutiennent qu'un etat stationnaire de
la demande (constante et connue) represente une situation critique pour les operations
courantes des fournisseurs au même titre qu'un ralentissement prolonge de la demande.
Par consequent, le modele de la EOQ, en raison de ses hypotheses de base, devient sujet
a polemique et est souvent repris par les chercheurs qui y apportent des modications.
Et pourtant, la EOQ presente indeniablement des avantages en raison de son application commode et pratique, et permet une ma^trise facile de la situation de chaque
article. De plus, elle fournit un cadre precurseur qui permet d'introduire des methodes
d'analyse qui seront appliquees a des systemes plus complexes ce qui la rend utile
dans l'examen de problemes concrets, Nedzela et Gianini [16]. C'est pourquoi Lee et
10
Nahmias [13] presentent la EOQ comme etant le modele le plus largement repandu en
gestion des stocks malgre ses limites bien connues.
Le modele de Wilson
An de calculer la quantite QW , le modele de Wilson nous amene a minimiser la fonctionnelle de coût de gestion K (Q) qui est obtenue de la somme des coûts de commande
et de coûts totaux annuels de stockage. Les coûts de commande Cc sont egaux aux
coûts par commande A multiplies par le nombre de commandes Nc . Nc est a son tour
egal a la demande annuelle D divisee par la quantite commandee Q. Ainsi,
AD
:
(1.1.1)
Cc =
Q
Quant aux coûts totaux annuels de stockage Cs , ils sont egaux au coût unitaire de
stockage H multiplie par le stock moyen annuel Smoy . D'une part H = r ou est le
coût unitaire de l'article en stock et r est le coût de stockage exprime en pourcentage du
coût unitaire de l'article en stock. D'autre part, dans le modele de Wilson, Smoy = Q=2
puisque, par hypothese, le stock varie lineairement de la quantite maximale Q a la
quantite minimale zero. Ainsi,
Q
Cs = r :
(1.1.2)
2
Finalement, de (1.1.1) et (1.1.2), nous obtenons
K (Q) = Cc + Cs
AD Q
=
+ r :
(1.1.3)
Q
2
De cettepfonctionnelle de Q, nous obtenons que la quantite economique a commander est
QW = 2AD=r. Notons egalement que QW verie l'egalite des coûts de commande
et des coûts totaux annuels de stockage. En eet, la relation Cc = Cs implique que
Q = QW . Ces observations sont exprimees a la gure 1.1.
Le modele de Wilson avec stock de securite
Maintenant, supposons que le gestionnaire desire maintenir un stock de securite s 0
an de prevenir, dans la pratique, les cas de rupture de stock. Dans ce cas, nous devons
inclure dans les coûts totaux annuels de stockage Cs la quantite supplementaire sr
qui est liee a la maintenance du stock de securite. Ainsi, le coût de gestion K (Q; s) est
donne par
Q
AD
+
+ s r :
(1.1.4)
K (Q; s) =
Q
2
11
Coût
K
#
Cc !
0
Cs
QW
Q
Figure 1.1: Resolution graphique de la EOQ
En reprenant la demarche indiquee ci-haut, il est facile de voir que K (Q; s), avec s 0,
sera minimale pour s = 0 et pour Q = QW .
La detention du stock de securite fait souvent partie d'une philosophie commerciale ou
même d'une culture d'entreprise qui consiste a orir aux clients le meilleur service qui
puisse exister au monde sans dierer les commandes assurant a long terme l'eÆcacite
de l'organisation : rentrees de fonds et reduction des coûts relies a la rupture de stock
[23].
1.2 Modele probabiliste
Dans le cadre ce travail, an de tenir compte du caractere aleatoire de la demande
pendant le delai de livraison, et an de gerer de facon plus optimale le projet, nous
apportons les modications suivantes au modele deterministe de Wilson :
la demande est incertaine, mais avec un taux moyen constant dans le temps ;
la loi de la demande pendant un delai de livraison est independante du temps t ;
les delais de reapprovisionnement (intervalles de temps qui s'ecoule entre le moment ou une commande est passee et sa reception, di ) forment une suite de
variables aleatoires independantes et de même loi ;
12
les demandes non satisfaites pendant un cycle donne sont reportees au debut du
cycle suivant ;
il est impossible de placer une commande avant que la commande precedente
n'ait ete honoree.
Dans de telles conditions, le systeme d'approvisionnement est represente a la gure
1.2, voir Nedzela et Gianini [16] p.253. Cette gure reete davantage les cas pratiques
souvent rencontres en gestion des stocks.
Niveau
du stock
"
"
Q
"
"
Q
Q
s
#
#
0
d1
cycle 1
!
!
#
#
d2
cycle 2
!
!
t
Figure 1.2: Systeme d'approvisionnement (cas probabiliste)
A partir de ces hypotheses, la demande pendant le delai de livraison, X , se comporte
comme une fonction dont la loi de densite s'obtient comme suit :
gL(l) est la loi de densite du delai de livraison L ;
fX j L(x j l) est la densite conditionnelle de la demande X
livraison L, connaissant L ;
pendant le delai de
fX (x) la densite de la demande pendant le delai de livraison qui s'ecrit :
fX (x) =
=
Z 1
0
Z 1
0
13
fX;L (x; l) dl
fX j L (x j l)gL (l) dl ;
(1.2.5)
ou fX;L (x; l) est la loi de densite jointe de X et L.
Par cette approche, le stock de securite ne sera plus determine a priori par le gestionnaire mais sera pris en charge par la methode de calcul en modiant (1.1.4) comme
suit : le stock de securite est la dierence entre le stock disponible au debut du delai
de livraison, s, et la demande moyenne pendant la même periode, . Dans ce cas, le
coût de gestion devient
AD
Q
+
+ s r :
K (Q; s) =
Q
2
(1.2.6)
1.3 Mesures de niveau de service
La theorie d'inventaire s'est longtemps occupee de modeliser la performance de la politique du systeme d'approvisionnement a quantite xe par le biais de formules mesurant
le stock moyen, la penurie de stock et autres criteres en fonctions de Q et s [27]. Cette
modelisation a donne naissance a plusieurs mesures de niveau de service [11], dont :
la probabilite qu'il n'y ait pas de rupture de stock pendant un cycle, appelee P1 ;
l'esperance de la quantite manquante a la n d'un cycle, b(s) ;
la probabilite qu'un ou plusieurs cycles presentent des ruptures par unite de
temps, le plus souvent annuel, ;
le taux de satisfaction, ;
la fraction de la demande satisfaite, P2 .
Le choix d'une mesure de niveau de service releve du jugement du gestionnaire qui est
base sur la convenance plutôt que sur une justication scientique. Dans le cadre de
ce memoire, nous avons choisi d'utiliser les mesures de niveau de service P1 et P2 .
La mesure de niveau de service P1
La probabilite P1 de ne pas avoir une rupture de stock pendant le delai de livraison
est donnee par l'integrale de la fonction de densite de probabilite de X , la demande
pendant le delai de livraison :
P1 (s) = P r(X s) = F (s) =
14
Z s
0
fX (x) dx :
Pour des besoins ulterieurs, notons au passage que P1 est independante de Q, la quantite a commander. Nous pouvons donc considerer P1 comme une fonction de Q et de
s et noter ainsi cette fonction P1 (Q; s). On a :
P1 (Q; s) =
Z s
0
fX (x) dx :
(1.3.7)
La mesure de niveau de service P2
Pour le calcul de P2 , nous denissons prealablement b(s), l'esperance de la quantite
manquante a la n d'un cycle. Puisque, pour s xe, la quantite manquante a la n
d'un cycle, notee b(x; s), est donnee par
b(x; s) =
8
<
pour x s ;
x s;
:
0;
pour x < s ;
ou x est la demande durant le delai de livraison et ainsi,
b(s) = EX (b(x; s)) =
Z 1
s
(x s)fX (x) dx ;
ou EX (b(x; s)) designe l'esperance de b(x; s), s xe. Notons que lorsque x s > 0 nous
sommes alors en situation de rupture de stock.
Notre modele traite le cas de commande en sourance c'est-a-dire que les commandes
qui ne sont pas honorees sont mises en attente jusqu'a la reception du reapprovisionnement en cours. Donc il n'y a pas de ventes perdues. Ainsi, en esperance, la fraction de
demande non satisfaite durant le cycle courant, notee (Q; s), est
b(s)
(Q; s) =
:
Q
Finalement, la mesure de niveau de service P2 , la fraction de demande satisfaite, aussi
appele taux de satisfaction, est
b(s)
:
(1.3.8)
P2 (Q; s) = 1 (Q; s) = 1
Q
Tel que deni, P2 , est presentee par Berthier et Spalanzani, [2], comme etant un instrument de mesure de la qualite du service.
1.4 Valeur optimale des mesures de niveau de service : P1 et P2
Relativement aux mesures de niveau de service P1 et P2 , l'objectif du gestionnaire est
de maximiser ces mesures de niveau de service en termes de la quantite a commander Q
15
et du point de reapprovisionnement s. Cependant, dans un contexte ou le gestionnaire
dispose d'un budget annuel xe K , et ou A, D, , r sont des parametres donnes a
priori, Q et s dependent l'une de l'autre. En eet, pour une distribution donnee de la
demande pendant le delai de livraison, donc est connue, nous deduisons de (1.2.6)
que Q et s satisfont la relation :
AD
Q
+
+ s r = K :
Q
2
(1.4.9)
appelee contrainte de budget. A la gure 1.3, nous avons represente cette contrainte
pour les choix particuliers A = 10, D = 10000, = 1, r = 0:2, K = 800 et = 1.
3000
2500
2000
s
1500
1000
500
0
2000
4000
6000
8000
Q
Figure 1.3: Representation graphique de la contrainte (1.4.9)
Ainsi, l'objectif du gestionnaire se traduit par la formulation des deux problemes
mathematiques suivants : pour une distribution donnee de la demande pendant le
delai de livraison,
Probleme 1
Maximiser P1 (Q; s) sous la contrainte (1.4.9).
Probleme 2
Maximiser P2 (Q; s) sous la contrainte (1.4.9).
16
Nous notons les optimums de ces deux problemes respectivement par P1 et P2 et nous
designons les points (Q; s) ou ces optimums sont atteints respectivement par (Q1 ; s1 )
et (Q2 ; s2 ).
Calcul de (Q1 ; s1 )
La resolution du probleme 1 se fait simplement en observant que P1 est independante
de Q et en notant egalement que P1 (s) est une fonction croissante de s. Ainsi, P1 sera
maximum pour la valeur optimale de s qui verie la contrainte (1.4.9). Cette valeur
maximum s'obtient en resolvant :
@s
= 0;
@Q
et nous donne
r
2AD
Q1 = QW =
:
(1.4.10)
r
Finalement, en reportant cette valeur de Q = Q1 dans (1.4.9), nous obtenons que
1 h
s1 = +
K
p
i
2ADr :
(1.4.11)
r
Remarque 1.4.1
Notons que le calcul du point (Q1 ; s1 ) ne presente aucune diÆculte. De plus, puisque on ne veut pas avoir un stock de securite negatif, alors on doit
avoir s1 ce qui impose la contrainte sur les donnees :
p
K 2ADr :
(1.4.12)
Calcul de (Q2 ; s2 )
La resolution du probleme 2 s'obtient par la methode de Lagrange qui consiste a trouver
Q; s; ~ tel que :
rP2(Q; s) = ~ rC (Q; s) ;
(1.4.13)
ou r est l'operateur gradient, ~ est le facteur de proportionnalite entre les deux gradients et ou
Q
AD
+
+ s r K :
C (Q; s) =
Q
2
Le membre de gauche de (1.4.13) necessite de calculer au passage @P2 =@s qui s'obtient
par la formule de derivation d'une integrale de Leibniz. On obtient que
@P2
= P1 (Q; s) 1 :
@s
17
Ainsi, le systeme (1.4.13) devient donc,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
b(s)
=
Q2
1 P1 (Q; s)
=
Q
~
AD 1
+ r
Q2 2
~ ;
r
ou aussi, Q et r doivent verier la contrainte (1.4.9). On obtient de ces equations que
Q2 et s2 ) doivent satisfaire le systeme non lineaire :
q
Q2 = R(s) + R2 (s) + Q2W
K
s2 = +
r
ou
R(s) =
1
Q2
Q+ W
2
Q
b(s)
:
1 P1 (s)
(1.4.14)
;
(1.4.15)
(1.4.16)
Le calcul du point (Q2 ; s2 ) necessite d'eectuer la resolution
d'un probleme non lineaire qui pose des diÆcultes aux methodes analytiques lorsque
on utilise des lois de densite particulieres. Nous developperons donc, pour contourner
cette diÆculte, une methode numerique. Ce sera l'objet du chapitre 2.
Remarque 1.4.2
Notons aussi, an d'assurer que le stock de securite soit non negatif, que nous devrons
verier que s2 .
1.5 Le point d'indierence
Dans cette section, nous supposons que la loi de densite de la demande pendant le delai
de livraison appartient a une famille de distribution connue dont tous les parametres
sauf un sont xes. Nous noterons ce parametre libre de facon generique . Nous
aborderons plus en detail le type de lois considerees en contexte de gestion des stocks
a la section suivante et a l'annexe A. Ainsi, en general, pour une valeur donnee de
, les valeurs optimales des mesures de niveau de service, P1 et P2 , sont distinctes.
Il est donc naturel de chercher pour quelle(s) valeur(s) de ces quantites concident.
Ce point d'indierence permet donc de preciser des plages de valeurs du domaine de
variation du parametre qui indiquent qu'une valeur optimale de mesure de niveau de
service est superieure a l'autre. Ceci donne donc lieu a la denition suivante qui est
fondamentale pour la suite de notre travail.
18
Definition 1.5.1 Considerons une famille de lois de distribution qui dependent du
parametre . Le point d'indierence des mesures de niveau de service P1 et P2 est la
valeur ind telle que les valeurs optimales de deux mesures de niveau de services P1 et
P2 concident.
Il est important de souligner que P1 et P2 dependent des quantites A, D, , r et K puisque ce sont des optimums qui satisfont la contrainte (1.4.9).
Ainsi, ind est a son tour fonction de ces 5 quantites.
Remarque 1.5.1
La recherche du point d'indierence, nous conduit a notre question specique de
recherche : pour une famille de lois donnees, quelle est la valeur du parametre tel
que les valeurs optimales de deux mesures de niveau de services P1 et P2 concident ?
Cette question se traduit par la formulation du probleme mathematique suivant :
Probleme 3
Trouver tel que P1 = P2 .
Dans le cas ou la loi de distribution de la famille consideree est l'exponentielle, la
resolution du probleme 3 peut se faire par une methode analytique (Zeng et Hayya,
[26]). Cependant, des methodes numeriques doivent être envisagees pour resoudre ce
probleme lorsqu'on utilise d'autres loi de distribution. Dans l'article de 1999 de Zeng et
Hayya, nous retrouvons des calculs numeriques de points d'indierence pour certaines
valeurs de parametre de la loi de Weibull et de la loi Gamma. Cependant, une methode
numerique systematique semble faire defaut et constitue donc notre piste de recherche.
Le developpement d'une telle approche est la contribution majeure de notre travail est
l'objet du chapitre 2 du present memoire. En particulier, cela nous permettra d'obtenir
des valeurs numeriques tres precises comparativement a ce qui a ete publie dans [26]
et, par ailleurs, cette procedure numerique nous permettra de calculer des valeurs de
points d'indierence pour de nouvelles distributions qui ont ete laissees en plan jusqu'a
present. Nous illustrerons ces dernieres contributions au chapitre des applications de
ce memoire.
1.6 Lois de probabilite utilisees en gestion de stock
En gestion des stocks des produits nis, les lois de distributions de la demande doivent
presenter les caracteristiques generales suivantes [7], [22] :
19
a) le domaine de denition de ces lois de densites est x 0, ce qui correspond a des
valeurs positives de la demande,
b) lorsque le niveau de la demande des articles augmente, les distributions observees
changent :
d'une decroissance monotone a
des distributions unimodales tres asymetriques vers la droite et nalement a
des distributions quasi-normales (tronquees a zero).
En gestion des stocks, les lois de probabilites les plus frequemment rencontrees dans la
litterature sont : l'exponentielle, la distribution gamma et celle de Weibull. Toutefois
il existe une multitude d'autres lois qui peuvent remplir les exigences enumerees cihaut mais qui sont soit moins utilisees ou qui sont des cas particuliers des trois lois
enumerees ci-haut. Nous en donnerons un exemple au chapitre des applications avec la
loi de Rayleigh. Mentionnons egalement que la loi normale, sous forme tronquee, peut
presenter un interêt pour modeliser les distributions rencontrees en gestion des stocks.
Nous en verrons un exemple au chapitre des applications.
A l'annexe A, nous donnons un bref rappel des lois utilisees dans le cadre de ce memoire.
20
Chapitre 2
Calcul du point d'indierence par
une methode analytique-numerique
Dans ce chapitre, nous presentons les elements de la methode de calcul a partir de
laquelle nous avons developpe un programme ecrit en Maple permettant d'obtenir,
pour des familles de lois donnees, la valeur recherchee d'un point d'indierence.
2.1 Reformulation des calculs a eectuer
Nous pouvons simplier les expressions de Q1 , s1 , Q2 , s2 en posant
K
K = :
r
(2.1.1)
Par ce changement de notation, nous obtenons en fonction de K et de QW :
Q1 = QW
(2.1.2)
s1 = + K
QW
(2.1.3)
et Q2 , s2 sont solution du systeme non lineaire :
q
Q = R(s) + R2 (s) + Q2W
s = + K
ou
R(s) =
1
Q2
Q+ W
2
Q
b(s)
:
1 P1 (s)
21
(2.1.4)
;
(2.1.5)
Et par ailleurs, la contrainte (1.4.12) sur les donnees devient simplement :
K QW ;
(2.1.6)
et la contrainte (1.4.9) devient :
Q2W
Q
+
+ s = K :
2Q
2
(2.1.7)
Apres le changement de variable (2.1.1) la remarque (1.5.1)
ramene la dependance du point d'indierence ind a celle des deux quantites K et
QW .
Remarque 2.1.1
2.2 Calcul de P1 et de P2
Comme mentionne a la section 4 du chapitre 1, le calcul de P1 est immediat. Il en va
dieremment pour le calcul de P2 qui, pour xe, necessite de resoudre un probleme
non lin
neaire.o Pour
n ceofaire, nous utilisons une methode de point xe qui genere deux
(i)
suites Q2 et s(2i) telle que, lorsque i ! 1, Q(2i) ! Q2 et s(2i) ! s2 .
Methode de point xe
Soit Q(0)
et s(0)
donnes. Nous calculons Q(2i+1) et s(2i+1) a partir de Q(2i) et s(2i) comme
2
2
suit :
Q
i
s
i
( +1)
2
( +1)
2
q
= R(s ) + R2 (s(2i) ) + Q2W
i
( )
2
1 (i) Q2W
Q +
2 2 Q(2i)
= + K
(2.2.8)
!
:
(2.2.9)
A notre connaissance, une telle methode a deja ete utilisee dans un contexte voisin par
Nedzela et Gianini, [16].
Le point de depart de la methode de point xe demeure a choisir
pour appliquer cet algorithme. Nous avons pris comme point de depart :
Remarque 2.2.1
Q(0)
= Q1
2
s(0)
= s1 :
2
22
Le critere d'arrêt pour contrôler la precision des calculs obtenus par cette methode de
point xe peut prendre plusieurs formes. Nous avons employes
js i
( +1)
2
s(2i)
s(2i) j
j
Qi
+
( +1)
2
Q(2i)
Q(2i) j
< T OL ;
ou T OL est une tolerance determinee par l'utilisateur du programme.
Finalement, notons qu'une analyse numerique complete du probleme de point xe
mentionne ci-haut demeure a faire : existence de solution, nombre de points xes, : : :
2.3 Calcul de R(s)
Il demeure une diÆculte que nous n'avons pas su resoudre par une methode entierement
numerique et c'est pour cette raison que notre code repose en partie sur une demarche
analytique. C'est aussi pour cette raison que le langage de programmation utilise est
Maple qui est aussi un logiciel de mathematique symbolique. Des logiciels de calcul
symbolique tels Maple et Mathematica permettent lorsque c'est possible de calculer
R(s) par l'intermediaire de fonctions speciales.
La diÆculte rencontree dans le calcul de R(s) est la suivante : pour de grande valeur
de s, le numerateur et le denominateur de R(s) sont numeriquement nuls. Nous avons
bien sur songe a reecrire R(s) (changement de variables) pour obtenir des quantites de
calcul de taille raisonnable mais, dans ce cas, la recherche des points xes du calcul de
P2 a a son tour occasionne des diÆcultes. Ainsi, le code qui resulte de notre travail
est a la fois analytique et numerique et permet donc d'être utilise dans la recherche de
point d'indierence pour les cas ou Maple est capable d'evaluer symboliquement R(s).
Nous indiquons maintenant, les fonctions R(s) obtenues a l'aide de Maple et qui jouent
un rôle dans le chapitre des applications traitees dans ce memoire.
2.3.1
Cas de la loi exponentielle E ()
Dans ce cas, b(s) = e
s =
et P1 (s) = 1 e
s ,
et on obtient
1
qui est une quantite independante de s. C'est pour cette raison qu'il est possible de
resoudre analytiquement le probleme 3 dans le cas de la loi exponentielle.
R(s) =
23
2.3.2
Cas de la loi de Weibull W (b; 1=2)
Dans ce cas aussi il est possible d'expliciter les fonctions b(s) et P1 (s) servant au calcul
de R(s). En eet,
R(s) = 2b 1 +
s 1=2 :
b
Mais, par notre choix du langage de programmation, ce calcul fastidieux est pris en
charge par Maple. C'est pour cette raison que nous avons pu etendre aisement nos
applications a des cas pour lesquels le calcul de R(s) devient fort complexe. Indiquons
ici l'expression equivalente generee par Maple :
R := limit ( exp( sqrt(x=b)) x 2 sqrt(x=b) exp( sqrt(x=b)) b
2 exp( sqrt(x=b)) b + exp( sqrt(x=b)) s
+2 exp( sqrt(s=b)) b sqrt(s=b) + 2 exp( sqrt(s=b))
2.3.3
Cas de la de Weibull avec W (b; 1=3)
Dans le cas de la loi de Weibull avec c = 1=3, l'expression de R(s) generee par Maple
est encore de taille raisonnable :
R := limit ( exp( (x=b) ^ (1=3)) x 3 (x=b) ^ (2=3) exp( (x=b) ^ (1=3)) b
6 (x=b) ^ (1=3) exp( (x=b) ^ (1=3)) b 6 exp( (x=b) ^ (1=3)) b
+exp( (x=b) ^ (1=3)) s + 3 exp( (s=b) ^ (1=3)) b (s=b) ^ (2=3)
+6 exp( (s=b) ^ (1=3)) b (s=b) ^ (1=3) + 6 exp( (s=b) ^ (1=3)) b;
x = innity)=exp( (s=b) ^ (1=3))
Cependant, pour d'autres valeurs de ce parametre, l'expression de R(s) devient fort
complexe et fait intervenir des fonctions speciales que nous ne voudrons pas considerer
ici. Mais, soulignons tout de même que le programme que nous avons concu permet
de calculer le point d'indierence même dans ces cas puisque Maple prend en charge
le calcul de R(s).
2.3.4
Cas de la loi de Rayleigh R()
Le cas de la loi de Rayleigh correspond au cas de la loi de Weibull avec la valeur
particuliere c = 2. En eet, W (; 2) = R(2 ).
24
L'expression de R(s) calculee par Maple est la suivante, ou nous devons faire la substitution ! 1=2 dans le cas ou c'est la fonction R(s) de R() qui nous interesse :
R := limit (1=2 ( 2 x exp( x ^ 2=) exp(x ^ 2=) + ^ (3=2)
sqrt(P i) erf(1= ^ (1=2) x) exp(x ^ 2=) + 2 s ^ (3=2)
sqrt(P i) erf(s= ^ (1=2)) exp(x2 =))==exp(x ^ 2=); x = innity)
=exp( s2 =)
2.3.5
Cas de la loi Gamma avec a = 1=2
L'expression de R(s) calculee par Maple dans ce cas est :
R := limit (( a ^ 2 x ^ 2 exp( a x) 2 a x exp( a x)
2 exp( a x) + s exp( a x) a ^ 2 x + s exp( a x) a
+2 exp( a s) + exp( a s) a s)=a; x = innity)
=(exp( a s) a s + exp( a s))
2.3.6
Cas de la loi Gamma generale
Dans le cas general, en notant I (; ) la fonction gamma incomplete, nous avons que
F (s) =
I (as; )
[1 I (as; + 1)] s [1 I (as; )] ;
a
ce qui nous permet d'obtenir une expression calculatoire de R(s). Mais, soulignons
encore une fois que nous avons cone cette tâche a Maple sans avoir a conna^tre ces
derniers resultats.
b(s) =
2.4 Calcul approche du point d'indierence
Supposons K et QW donnes et veriant l'hypothese (2.1.6).
1) Nous construisons la fonction
H () = P1 () P2() :
2) Nous trouvons deux valeurs et telle que le signe de H () et de H ( ) soient
dierents. La continuite de la fonction H , sur l'intervalle [; ], decoule de la continuite des fonctions P1 et P2 .
25
3) Nous appliquons la methode de la bissection a la fonction H () sur l'intervalle [; ]
c'est-a-dire que nous construisons iterativement une suite de valeurs approchees fng
telle que n ! ind lorsque n ! 1. Rappelons brievement le fonctionnement de cette
methode :
i) On pose
+
:
2
ii) Si sgnH (0 ) = sgnH (), on pose = 0 , sinon on pose = 0 , ou sgn designe le
signe de la fonction H au point considere, et on retourne a l'etape i).
=
Les ainsi obtenus constituent la suite fn g a calculer.
Encore une fois il faut choisir un critere d'arrêt pour cette methode.
Nous avons pris le critere suivant :
Remarque 2.4.1
max (H (n); jn
n j) T OL ;
ou T OL est une tolerance determinee par l'utilisateur du programme. Ce critere nous
assure donc que l'intervalle de recherche du point d'indierence est de petite taille ET
que la fonction H est petite au point approche de ind .
26
Chapitre 3
Applications
Dans ce chapitre, nous presentons, pour plusieurs lois de probabilite utilisees en gestion
de stock, les calculs obtenus a l'aide du programme de l'annexe B dont la fonction est
de resoudre le probleme 3, enonce au chapitre 1, par le biais des methodes numeriques
presentees au chapitre 2.
Pour chaque loi traitee, nous indiquons les valeurs des parametres du programme qui
ont ete utilisees soit K , QW et les bornes et de l'intervalle de recherche du point
d'indierence. Nous donnons la valeur ind correspondante et, an de comparer nos
resultats avec ceux de [26], nous calculons la quantite QW =ind ou ind est l'ecart-type
de la distribution ayant ind comme parametre.
Finalement, en n de chapitre, nous indiquons, pour les lois de Weibull et gamma,
un resultat simplicateur qui traduit que la quantite QW =ind ne depend que du seul
W.
rapport de K=Q
3.1 Cas de la loi exponentielle
3.1.1
Cas de la loi exponentielle E ()
Les valeurs suivantes des parametres du programme ont ete utilisees :
QW K
ind
QW =ind
1000 4000 0.00001 0.001 0.00033443789 0.33443789
Tab. 3.1: Cas de l'exponentielle
27
Dans le cas de la distribution exponentielle, il est a noter qu'un
changement des valeurs de K et QW ne perturbe pas le rapport QW =ind . Ce resultat
est demontrer dans [26]. Cependant, remarquons que ce resultat n'est pas vrai en
general. Nous en donnerons des exemples aux prochaines sections.
Remarque 3.1.1
3.1.2
Approximation de la loi normale N (; 2) par l'exponentielle
Par souci de completude, nous indiquons ici le resultat de l'analyse de Schroeder, [21],
dans le cas de la loi normale. Ce dernier, propose l'approximation suivante de la loi
normale :
ab
f (k) = exp( bk) ;
ou k = (x )= et ou a et b sont des constantes a determiner. On peut donc ainsi
utiliser le resultat obtenu ci-haut dans le cas de la loi exponentielle pour deduire que
b QW =ind = 0:33443789.
3.2 Cas de la loi de Weibull W (b; c)
3.2.1
Le cas c = 1=2
Dans le cas c = 1=2, les valeurs suivantes des parametres du programme ont ete
utilisees :
QW K
ind
QW =ind
1000 4000 200 300 264.8446953 0.84429404
1200 4800 200 400 317.8136221 0.84429407
Tab. 3.2: Cas Weibull : c = 1=2
Le programme indique que la valeur QW =ind semble la même
lorsque le rapport K=QW est maintenu xe. Nous demontrerons la veracite de cette
observation a la section 3.4.
Remarque 3.2.1
Dans l'article [26], la valeur approximative donnee pour ind est
0:8439. Nous avons donc obtenu par notre methode un gain de precision.
Remarque 3.2.2
Nous avons egalement repris ces calculs avec les parametres suivants :
28
QW K
ind
QW =ind
1000 6000 200 300 212.8431417 1.05057084
= 6000
Tab. 3.3: Cas Weibull : c = 1=2, QW = 1000, K
Apres avoir enonce le resultat de la section 3.4, nous donnerons un tableau de resultats
plus complet.
3.2.2
Le cas c = 1=3
Dans le cas c = 1=3, les valeurs suivantes des parametres du programme ont ete
utilisees :
QW K ind
QW =ind
1000 4000 10 30 16.979459310 2.2518948
1200 4800 10 30 20.375361490 2.2518936
Tab. 3.4: Cas Weibull : c = 1=3
ce qui, encore une fois, renforce l'idee que la valeur QW =ind est la même lorsque le
W est maintenu xe.
rapport K=Q
3.2.3
Le cas c = 2 : la loi de Rayleigh R(2)
Dans le cas c = 2, les valeurs suivantes des parametres du programme ont ete utilisees :
QW K
ind
QW =ind
1000 4000 10000 16000 12105.206 0.17832453
1200 4800 10000 16000 14526.247 0.17832453
Tab. 3.5: Cas Weibull : c = 2
ce qui nous vaut la même remarque que precedemment.
3.2.4
Quelques cas supplementaires
Finalement, dans cette sous-section, nous dressons un tableau des valeurs obtenues du
rapport QW =ind en fonction du parametre forme c de la loi de Weibull :
29
c
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
QW =ind
19.9709924
1.36068537
0.62193573
0.42524875
0.33443791
0.28073406
0.24426615
0.21724129
0.19592716
0.17832453
= 4000
Tab. 3.6: Cas de la loi Weibull : QW = 1000, K
3.3 Cas de la loi gamma G (a; )
Dans le cas de la loi gamma, nous obtenons le tableau 3.7 qui donne l'evolution du
point d'indierence en fonction du parametre forme de la loi gamma.
Pour la valeur = 1:0, on obtient bien la même valeur que celle
obtenue dans le cas de la loi exponentielle.
Remarque 3.3.1
Nous avons a nouveau observe pour cette loi que le rapport seul
W determine la valeur de la quantite QW =ind . Nous montrerons ce resultat a
de K=Q
la section 3.4
Remarque 3.3.2
Finalement, les graphiques de la gure 3.1 illustrent les relations de ind et de QW =ind
en fonction de 2 [0:5; 2:0] :
30
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.0001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
.001
0:5
0:6
0:7
0:8
0:9
1:0
1:1
1:2
1:3
1:4
1:5
1:6
1:7
1:8
1:9
2:0
ind (10 3 )
0.2994686
0.3072545
0.3145821
0.3215266
0.3281326
0.3344379
0.3404810
0.3462815
0.3518899
0.3572950
0.3625241
0.3675912
0.3725300
0.3773175
0.3819800
0.3865246
QW =ind
0.4235125
0.3966639
0.3759975
0.3594777
0.3458821
0.3344379
0.3246359
0.3161103
0.3086279
0.3019694
0.2959997
0.2906064
0.2857175
0.2812358
0.2771174
0.2733142
= 4000
Tab. 3.7: Cas de la loi gamma : QW = 1000, K
3.4 Un resultat d'invariance
La recherche d'un point d'indierence ind s'eectue en fonction des deux valeurs K et
QW . En eet, comme l'indiquent les tableaux 3.2, 3.4 et 3.5, dans le cas de la loi de
W est preserve, la valeur du parametre ind est
Weibull, même lorsque le rapport K=Q
modiee. Cependant, comme le montrerons les prochains resultats, lorsque le rapport
W est preserve, nous savons comment ind sera modiee en fonction de K et QW
K=Q
et, de plus, nous montrerons que le rapport QW =ind demeure a son tour constant.
Remarque 3.4.1
Nous pouvons reexprimer la fonction R(s) comme suit :
b(s)
R(s) =
1 F (s)
=
R1
s (x R
=
R1
(x
s R
1
s)fX (x) dx
fX (x) dx
0
s
s)fX (x) dx
1
s fX (x) dx
31
;
0.4
0.5
0.38
0.45
0.36
0.4
0.34
0.35
0.32
0.3
0.3
0.25
0.28 0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0.2 0.4
2
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t
t
ind vs QW =ind vs 1.8
2
Figure 3.1: Representation graphique du tableau 3.7
et donc, pour > 0,
R(s) =
R1
s (Rx
s)fX (x) dx
1
s fX (x) dx
=
R1
s (y
R
s)fX (y ) dy
=
R1
(y
s R
s)fX (y ) dy
1
s fX (y ) dy
1
s fX (y ) dy
;
ou on a pose x = y . Finalement, puisque y est une variable muette, nous pouvons la
remplacer par x et obtenir que
R(s)
R1
(x
= s R
s)fX (x) dx
1
s fX (x) dx
:
(3.4.1)
Au besoin, an de mettre en evidence les valeurs des parametres
(ex.: b, c ou a, ) utilises de la loi de distribution sous-jacente au calcul de R(s), nous
ecrirons R(b; c ; s) ou encore R(a; ; s).
Notation 3.4.1
Lemme 3.4.1
Soit > 0,
a) Pour la loi de Weibull, R(b; c ; s) = R(b; c ; s),
b) Pour la loi gamma, R(a=; ; s) = R(a; ; s).
32
En eet,
Demonstration
a) pour la loi de Weibull W (b; c), i.e. ou on a utilise le parametre echelle b,
c x c 1
exp
b b
1
= fX (b; c ; x) ;
fX (b; c ; x) =
x c b
et donc, de (3.4.1),
R(b; c ; s) =
R1
(x
s R
s)fX (b; c ; x) dx
=
R1
(x
s R
s)fX (b; c ; x) dx
1
s fX (; x) dx
1
s fX (b; c ; x) dx
= R(b; c ; s) :
b) pour la loi gamma G (a=; ), i.e. ou on a utilise le parametre echelle a=,
(a=) (x) 1 e
fX (a=; ; x) =
( )
1
= fX (a; ; x) ;
a=)(x)
(
et donc, de (3.4.1),
R(a=; ; s) =
R1
(x
s R
s)fX (a=; ; x) dx
=
R1
(x
s R
s)fX (a; ; x) dx
1
s fX (a=; ; x) dx
1
s fX (a; ; x) dx
= R(a; ; s) :
En utilisant le lemme 3.4.1, on etablit le theoreme d'invariance suivant :
Theoreme 3.4.1
W.
a) Pour la loi de Weibull, la quantite QW =ind ne depend que du rapport K=Q
W.
b) Pour la loi gamma, la quantite QW =ind ne depend que du rapport K=Q
33
Nous n'etablissons la demonstration que dans le cas de la loi de
Weibull puiqsque dans le cas de la loi gamma l'argumentation se fait de la même facon.
Demonstration
Soit c xe, le parametre forme de la loi de Weibull. Soit K et QW donnes et veriant
la contrainte (2.1.6), et soit > 0 xe. Eectuons le changement d'echelle K
QW
! K
! QW ;
W soit preserve pour tout . Pour i = 1; 2, notons comme
de sorte que le rapport K=Q
a l'habitude (Qi ; si ) le point ou l'optimum de Pi est atteint, avec un parametre echelle
b, lorsqu'on utilise K comme budget et la quantite de Wilson QW , et notons (Qi; ; si;)
le point ou l'optimum de Pi est atteint, avec un parametre echelle ~b, lorsqu'on utilise
plutôt K et QW . Dans ce dernier cas, puique la contrainte budgetaire est
( QW )2
Q
+
+s
2Q
2
ou ~ est la moyenne de la loi de Weibull
pliquent que
~ = K ;
(3.4.2)
W (~b; c), les relations (2.1.2) et (2.1.3) im-
Q1; = QW = Q1
(3.4.3)
s1; = ~ + K
(3.4.4)
QW :
Donc, en utilisant comme parametre echelle de la loi de Weibull ~b = b pour b donne,
puisque de facon generale
1
=b 1+
c
(voir annexe A, section A.3), nous avons
~ = ~b
1
1+
= b
c
1
1+
= :
c
(3.4.5)
Donc, en portant (3.4.5) dans (3.4.4), on obtient que
s1; = + K
QW = ( + K
QW ) = s1 ;
(3.4.6)
i.e., en resume, que pour ~b = b,
Q1; = Q1
(3.4.7)
s1; = s1 :
(3.4.8)
34
De même, le systeme (2.1.4) et (2.1.5) est satisfait, pour un choix de b = bind et
~b = bind , par
Q2; = Q2
(3.4.9)
s2; = s2 :
(3.4.10)
En eet, pour ces choix de (Q2; ; s2; ), le lemme 3.4.1 a) nous donne que
R(s2; ) = R(~b; c ; s2;)
= R(bind ; c ; s2 )
= R(bind ; c ; s2 )
= R(s2 ) ;
et donc on a bien que
Q
= R(s2; ) +
2;
q
R2 (s2; ) + ( QW )2
q
= R(s2 ) + R2 (s2 ) + Q2W
= Q2 ;
et que
s
;
2
= ~ + K
( QW )2
1 Q2; +
2
Q2;
= ind + K
= s2 ;
1 Q2W
Q +
2 2 Q2
i.e. que le choix (3.4.9) et (3.4.10) est coherent pour le systeme (2.1.4) et (2.1.5).
l'optimum de Pi , montrons qu'au point (Q ; s ) nous avons
Ainsi, en notant Pi;
i; i;
= P . En eet, en posant le changement de variable x = y comme a la remarque
Pi;
i
3.4.1, on obtient que
35
P
1
Z s
1;
=
;
Z s
1
=
0
= = 2
;
0
Z s
1
0
0
et que
fX (bind ; c ; x) dx
Z s
1
Z s
1
=
P
fX (bind ; c ; x) dx
0
fX (bind ; c ; y ) dy
1
f (b ; c ; y ) dy
X ind
fX (bind ; c ; y ) dy = P1 :
R1
s2; (x
= 1
s2; )fX (bind ; c ; x) dx
Q2;
R1
s2 (x
= 1
s2 )fX (bind ; c ; x) dx
Q2
R1
s2 (y
= 1
s2 )fX (bind ; c ; y ) dy
Q2
R1
s2 (y
= 1
(3.4.11)
s2 )fX (bind ; c ; y ) dy
= P2 :
Q2
(3.4.12)
Donc, si au point d'indierence bind on a P1 = P2 , les egalites (3.4.11) et (3.4.12) font
que bind est un point d'indierence pour le changement d'echelle propose car on a
bien que P1; = P2; . Finalement, puisque
s
~ = ~b
2
1+
c
1
1+
c
2
(voir annexe A, section A.3), on a que
s
~ = bind
et donc le rapport
d'echelle .
QW
~
=
QW
ind
2
1+
c
=
QW
ind ,
1
1+
c
2
= ind ;
qui est invariant par rapport au changement
36
Le theoreme 3.4.1 montre qu'il aurait ete possible, pour les distributions de la loi de Weibull et de la loi gamma, de developper un programme partic W et du facteur
ulier de recherche de points d'indierence en fonction du rapport K=Q
. Nous ne l'avons pas fait puisque nous voulions une methode generale qui puisse
s'appliquer a d'autres types de lois de distribution qui ne satisfairont pas le lemme
3.4.1.
Remarque 3.4.2
Definition 3.4.1
Nous denissons le parametre de normalisation
N=
K
:
QW
Suite au theoreme 3.4.1, il devient pertinent de presenter, pour les lois de Weibull et
gamma, l'evolution de QW =ind en fonction du parametre de normalisation N . C'est
ce que nous donnons ci-bas dans le cas de la loi Weibull pour les valeurs c = 1=2 et
c = 1=3 du parametre forme :
N QW =ind ; c = 1=2 QW =ind ; c = 1=3
2.25
0.66068544
1.19577517
2.50
0.68718065
1.33189456
2.75
0.71357256
1.47298083
3.00
0.73986971
1.61896997
3.25
0.76608391
1.76986991
3.50
0.79222718
1.92566330
3.75
0.81829362
2.08633516
4.00
0.84429404
2.25189477
4.25
0.87024065
2.42231411
4.50
0.89613361
2.59759304
4.75
0.92197319
2.77773230
5.00
0.94776664
2.96275682
5.25
0.97352203
3.15261651
5.50
0.99924002
3.34733041
5.75
1.02492444
3.54692084
6.00
1.05057084
3.75137259
Tab. 3.8: Cas de la loi de Weibull : QW =ind vs N
37
ce qui donne sous forme graphique
1.2
4
1.1
3.5
1
3
0.9
2.5
0.8
2
0.7
1.5
0.6
2
3
4
5
1
6
QW =ind vs N , cas Weibull, c = 1=2
2
3
4
5
6
QW =ind vs N , cas Weibull, c = 1=3
Figure 3.2: Representation graphique du tableau 3.8
Pour le cas c = 1=2 il semblerait bien que la relation de QW =ind en fonction de N
soit lineaire. Ceci suggere qu'une approche analytique puisse être developpee pour le
calcul des points d'indierence dans ce cas particulier. Cependant, la relation n'est pas
lineaire pour le cas c = 1=3 et en general. Des remarques analogues peuvent être faites
dans le cas de la loi gamma.
38
Conclusion
Dans ce memoire, nous avons etudie deux indicateurs de performance, utiles aux gestionnaires, que sont les mesures de niveaux de services P1 , la probabilite de non rupture
de stock, et P2 , le taux de satisfaction. Ces deux instruments sont souvent confondus
par les praticiens ou, même lorsqu'ils en font une distinction, ces derniers n'arrivent
pas toujours a etablir un lien, une jonction evidente.
Nous avons donc etudie le concept de point d'indierence des mesures de niveau de
service P1 et P2 pour une famille de lois parametriques. Ce point d'indierence est
precisement la valeur du parametre de la famille de lois pour laquelle les optimums
des mesures de niveau de service concident. Ceci fait bien ressortir qu'au point
d'indierence les mesures sont confondues du point de vue pratique, c'est-a-dire qu'elles
ont une valeur commune. Mais, il n'en va pas de même pour tout autre choix du
parametre ! Par consequent, il devient interessant de calculer ce point d'indierence ce
qui a ete la question principale de recherche de ce memoire.
Suivant [26], dans le cas particulier de la loi exponentielle, nous pouvons calculer le
point d'indierence par une methode analytique. Cependant, pour d'autres familles
de lois, cette approche ne fonctionne plus et des methodes numeriques doivent être envisagees. C'est la la principale contribution de ce memoire. Par la suite, ayant construit
un programme informatique implantant ces methodes numeriques, nous avons ete en
mesure d'obtenir les points d'indierence pour de nouvelles distributions qui n'avaient
pas ete considerees dans la litterature. C'est le cas notamment pour la distribution de
Rayleigh et la distribution de Weibull qui, soulignons le, permet dans la pratique de
couvrir des situations de demande pendant le delai de livraison de nature tres diverses.
De plus, les calculs issus de notre methode se sont reveles plus precis que ceux obtenus
pour les distributions traitees jusqu'a present.
Cependant, puisque le calcul de R(s) repose sur une demarche analytique, le code
que nous avons produit n'est pas entierement numerique. Pour contourner cette diÆculte, nous avons cone la lourde tâche des calculs analytiques de R(s) au logiciel de
mathematiques symboliques Maple. Une amelioration a ce niveau serait souhaitable,
39
ce qui permettrait d'envisager le calcul de points d'indierence pour des distributions
pour lesquelles Maple n'arriverait pas a evaluer R(s). Mentionnons tout de même que
nous n'avons pas ete confronte a cette situation extrême.
A notre avis, une autre contribution de ce memoire se situe au niveau de la presentation
de la mesure du niveau de service P2 . En eet, la terminologie retrouvee dans la
litterature pour designer b(s) n'est pas entierement satisfaisante. Nous avons prefere
renomme cette fonction comme etant l'esperance de la quantite manquante a la n
d'un cycle, ce qui evoque davantage le sens premier de b(s).
Finalement, soulignons que la decomposition de la recherche du point d'indierence en
trois problemes bien formules, facilite la comprehension de notre question specique
de recherche tout en faisant mieux ressortir la complexite du probleme mathematique
sous-jacent.
40
Annexe A : Les distributions
utilisees en gestion de stock
Dans cette annexe, nous rappellons quelques resultats lies aux distributions utilisees
dans ce memoire.
A.1 Distribution exponentielle E ()
Une variable aleatoire continue X suit une loi exponentielle de parametre > 0 lorsque
sa fonction de densite est :
8
< exp ( x) ;
pour x 0 ;
fX ( ; x) =
: 0;
pour x < 0 ;
et la fonction de repartition est :
FX ( ; x) =
8
<
:
1 exp ( x) ;
pour x 0 ;
0;
pour x < 0 :
La moyenne et l'ecart type sont identiques et valent 1=.
A.2 Distribution normale N (; 2)
Une variable aleatoire continue X qui suit une loi normale de moyenne et de variance
2 a pour fonction de densite :
1
fX (; 2 ; x) = p exp (x )2 =(2 2 ) ; pour 1 x 1 :
2
L'approximation de cette loi qui est utilisee a la section (3.1.2) est, voir [21] :
ab
f (k) = exp( bk) ;
ou k = (x )= et ou a et b sont des constantes a determiner.
41
A.3 Distribution de Weibull W (b; c)
Une variable aleatoire continue X suit une distribution de Weibull de parametres b > 0
et c > 0 si sa densite est donnee par :
8 c 1
x c < c x
exp
;
pour x 0 ;
b
fX (b; c ; x) = b b
:
0;
pour x < 0 :
et la fonction de repartition s'ecrit :
FX (b; c ; x) =
8
<
:
x c b
1 exp
pour x 0 ;
;
pour x < 0 :
On appelle b le parametre echelle de la distribution tandis que c est le module qui
determine la forme de la distribution. Dans ce cas, la moyenne et la variance de cette
distribution s'ecrivent respectivement :
=b
1
1+
c
et
0;
2 = b2
( 2
1+
c
est la fonction gamma denie pour x 0 par
ou
(x) =
Z 1
0
1
1+
c
2 )
;
tx 1 e t dt :
La gure (A.1) montre la forme de la fonction densite pour certaines valeurs du
parametre c ou b = 1 :
Remarque A.3.1
Si c = 1, la fonction de densite de la distribution de Weibull devient une distribution exponentielle de parametre 1=b ;
Si c = 2, la fonction de densite de la distribution de Weibull devient alors une
distribution de Rayleigh avec le parametre 2 . Nous presentons cette ditribution
dans la prochaine section de cette annexe.
A.4 Distribution de Rayleigh R()
Une variable aleatoire continue X suit une distribution de Rayleigh de parametre > 0
si sa densite est donnee par :
8
< 2 x exp
x2 = ;
pour x > 0 ;
fX ( ; x) = :
0;
pour x < 0 :
42
2
1.5
c = 1=2
1
c=4
#
0.5
c=1
c=2
c = 1=3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
x
Figure A.1 : Loi de Weibull pour c = 1=3; 1=2; 1; 2; 4
Pour cette loi, la moyenne et la variance de cette distribution s'ecrivent respectivement :
p
et 2 = 1
:
2
4
parametre .
=
A.5 Distribution de la loi G (a; )
Une variable aleatoire continue X suit une distribution gamma de parametres a > 0
et k > 0 si sa densite est donnee par :
8
>
<
a x 1 e ax
;
pour x 0 ;
( )
fX (a; ; x) =
>
: 0;
pour x < 0 :
ou a est le parametre echelle de la distribution tandis que est le module qui determine
la forme de la distribution. Notons que la moyenne et la variance de cette distribution
43
1.2
= 1=2
1
=1
0.8
0.6
=2
0.4
0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
x
Figure A.2 : Loi de Rayleigh pour = 1=2; 1; 2
s'ecrivent respectivement :
et 2 = 2 :
a
a
La fonction de repartition de la loi gamma s'ecrit :
=
FX (a; ; s) = I (as; ) ;
ou I (; ) la fonction gamma incomplete.
parametre ou a = 2.
Remarque A.5.1
Pour 0 < 1, la distribution est decroissante monotone et en particulier pour
= 1 la distribution gamma concide avec la distribution exponentielle. Pour > 1
la distribution est unimodale et asymetrique a droite. Lorsque ! 1, la distribution
tend a la symetrie.
44
5
4
= 1=2
3
2
=1
1
0
=2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x
Figure A.3 : Loi gamma pour = 1=2; 1; 2
45
2
Annexe B : Le programme de calcul
du point d'indierence
Le programme suivant, ecrit dans le langage Maple 7, est une implantation de la
methode alaytique-numerique developpee au chapitre 2 de ce memoire.
# PROGRAMME DE RECHERCHE D'UN POINT D'INDIFFERENCE
#
# ENTREES: 1. fonction de densite: f(x) ;
#
2. Les valeurs de QW et KBAR
#
3. Les bornes de l'intervalle de recherche du point
#
d'indiff
erence : BMIN et BMAX.
#
4. La pr
ecision de la m
ethode du point fixe.
#
5. La pr
ecision de la m
ethode de bissection.
#
# SORTIES: 1. Le point d'indifference lambdaIND ou un message d'echec.
#
ptmort := proc() local f, FLAG, NAME, INP, OK, QW, KBAR, BMIN, BMAX, TOL1,
TOL2, mu, sigma, Q1E, S1E, P1E, II, s0, Q0, R, Q1, s1, S2E, Q2E, P2E, FBMIN,
FBMAX, OUP, JJ, C, PRECHERCHE, OK2, FPRECHERCHE, POINT INDIFFERENCE;
#
# Entrer de la loi de densite
# --------------------------#
ff := (1=(2 P P )) ((x=P P )^( 0:5)) exp( (x=P P )^(0:5));
f := unapply (ff; x; P P );
#
# Lecture des donn
ees
# ------------------#
46
printf(`Choisissez:nn0 );
printf(`1. Lire les donnees a partir d'un fichier textenn0 );
printf(`2. Entrer les donnees manuellementnn0 );
FLAG := scanf(`%d`)[1];
if (FLAG = 1) then
printf(Èntrez le nom du fichier (avec chemin) sous la forme drive:nnname.extnn0 );
NAME := scanf(`%s`)[1];
INP := fopen(NAME,READ,TEXT);
else
INP := default;
end if;
#
# Saisie des donnees
# -----------------#
printf(Èntrer QW et KBAR (KBAR >= QW) ?nn0 );
#
OK := FALSE;
while (OK = FALSE) do
QW := fscanf(INP,`%f`)[1];
KBAR := fscanf(INP,`%f`)[1];
if (QW > KBAR) then
printf(`QW est sup
erieure ou egale KBARnn0 );
else
OK := TRUE;
end if;
end do;
#
OK := FALSE;
while (OK = FALSE) do
printf(Èntrer les bornes de l'intervalle de recherchenn0 );
printf(Èntrer la borne inferieure BMIN:nn0 );
BMIN := fscanf(INP,`%f`)[1];
printf(Èntrer la borne superieure BMAX:nn0 );
BMAX := fscanf(INP,`%f`)[1];
if (BMIN >= BMAX) then
47
printf(`BMIN est superieure ou egale BMAXnn0 );
else
OK := TRUE;
end if;
end do;
#
printf(Èntrer la tolerance d
esir
ee pour la m
ethode du point
0
fixe.nn );
#
TOL1 := fscanf(INP,`%f`)[1];
#
printf(Èntrer la tolerance d
esir
ee pour la m
ethode de
bissection.nn0 );
#
TOL2 := fscanf(INP,`%f`)[1];
#
modR := module()
export calR;
calR :=
(s)->(integrate((x-s)*ff,x=s..infinity))/(1-integrate(ff,x=0..s));
end module;
# D
ebut de la recherche du point mort sur l'intervalle consid
er
e
# -------------------------------------------------------------#
# Calcul en FBMIN
# --------------#
# Calcul de la moyenne et de l'
ecart-type de f
# -------------------------------------------#
mu := integrate(x*f(x,BMIN),x=0..infinity);
sigma := sqrt(integrate((x-mu)*(x-mu)*f(x,BMIN),x=0..infinity));
#
# Calcul de P1*
48
# ------------#
Q1E := QW;
S1E := mu+KBAR-QW;
P1E := int(f(x,BMIN),x=0..S1E);
#
# Calcul de P2*
# ------------#
OK := FALSE;
II := 1;
s0 := S1E;
Q0 := Q1E;
#
if (KBAR < (Q0+(QW*QW)/Q0)/2) then
printf(Àttention: Critere 00 non satisfait.nn0 );
end if;
#
PP := BMIN;
while ((II < 30) and (OK = FALSE)) do
R := modR:-calR(s0);
Q1 := R+sqrt(R*R+QW*QW);
s1 := mu+KBAR-(Q0+(QW*QW)/Q0)/2;
if (abs((s1-s0)/s0)+abs((Q1-Q0)/Q0) < TOL1) then
OK := TRUE;
printf(ÒK1 = TRUE: %dnn0 , II);
printf(`s1, Q1: %12.10fnn %12.10fnn0 , s1, Q1);
else
II := II+1;
s0 := s1;
Q0 := Q1;
end if;
end do;
#
if (OK = FALSE) then
return(1);
end if;
49
#
printf(Àttention: critre 01 non satisfait.nn0 );
end if;
#
S2E := s1;
Q2E := Q1;
P2E:=1-int((x-S2E)*f(x,BMIN),x=S2E..infinity)/Q2E;
#
FBMIN := P1E-P2E;
printf(`FBMIN: %12.10fnn0 , FBMIN);
#
# Calcul en FBMAX
# --------------#
ecart-type de f
# -------------------------------------------#
mu := integrate(x*f(x,BMAX),x=0..infinity);
sigma := sqrt(integrate((x-mu)*(x-mu)*f(x,BMAX),x=0..infinity));
#
# Calcul de P1*
# ------------#
Q1E := QW;
S1E := mu+KBAR-QW;
P1E := int(f(x,BMAX),x=0..S1E);
#
# Calcul de P2*
# ------------#
OK := FALSE;
II := 1;
s0 := S1E;
Q0 := Q1E;
#
50
OK := TRUE;
end if;
#
PP := BMAX;
while ((II < 30) and (OK = FALSE)) do
OK := TRUE;
printf(`s1, Q1: %12.10fnn %12.10fnn0 , s1, Q1);
else
II := II+1;
s0 := s1;
Q0 := Q1;
end if;
end do;
#
return(2);
end if;
#
end if;
#
S2E := s1;
Q2E := Q1;
P2E:=1-int((x-S2E)*f(x,BMAX),x=S2E..infinity)/Q2E;
#
FBMAX := P1E-P2E;
printf(`FBMAX: %12.10fnn0 ,FBMAX);
#
# Test du signe pour d
emarrer la methode de bissection
# ----------------------------------------------------
51
#
if (FBMIN*FBMAX > 0) then
printf(`F(BMIN) and F(BMAX) sont de meme signe.nn0 );
return(3);
end if;
#
printf(`Choisissez la destination de la sortie:nn0 );
printf(`1. Ecrannn0 );
printf(`2. Fichier textenn0 );
FLAG := scanf(`%d`)[1];
if (FLAG = 2) then
printf(`crire le nom du fichier sous la forme drive:
name.extnn0 );
NAME := scanf(`%s`)[1];
OUP := fopen(NAME,WRITE,TEXT);
else
OUP := default;
end if;
#
# D
ebut de la m
ethode de bissection
# --------------------------------#
OK := FALSE;
JJ := 1;
while (JJ <= 50) and (OK = FALSE) do
#
C := (BMAX-BMIN)/2.0;
PRECHERCHE := BMIN+C;
#
ecart-type de f
# -------------------------------------------#
mu := integrate(x*f(x,PRECHERCHE),x=0..infinity);
sigma :=
sqrt(integrate((x-mu)*(x-mu)*f(x,PRECHERCHE),x=0..infinity));
#
52
# Calcul de P1*
# ------------#
Q1E := QW;
S1E := mu+KBAR-QW;
P1E := int(f(x,PRECHERCHE),x=0..S1E);
#
# Calcul de P2*
# ------------#
OK2 := FALSE;
II := 1;
s0 := S1E;
Q0 := Q1E;
#
end if;
#
PP := PRECHERCHE;
while ((II < 30) and (OK2 = FALSE)) do
OK2 := TRUE;
else
II := II+1;
s0 := s1;
Q0 := Q1;
end if;
end do;
#
if (OK2 = FALSE) then
return(4);
end if;
53
#
end if;
#
S2E := s1;
Q2E := Q1;
P2E:=1-int((x-S2E)*f(x,PRECHERCHE),x=S2E..infinity)/Q2E;
#
FPRECHERCHE := P1E-P2E;
printf(`FPRECHERCHE: %3d %12.10f %12.10fnn0 , JJ, PRECHERCHE,
FPRECHERCHE);
#
if ((abs(FPRECHERCHE) < TOL2) and (C < TOL2)) then
mu := integrate(x*f(x,PRECHERCHE),x=0..infinity);
sigma :=
sqrt(integrate((x-mu)*(x-mu)*f(x,PRECHERCHE),x=0..infinity));
POINT INDIFFERENCE := PRECHERCHE;
fprintf(OUP,`nn La solution est POINT INDIFFERENCEE = %11.8f nn0 ,
POINT INDIFFERENCE);
fprintf(OUP,`nn QW/sigmaIND = %11.8f nn0 ,
QW/sigma);
fprintf(OUP,`with F(P) = %12.8fnn0 ,FPRECHERCHE);
fprintf(OUP,`Nombre d'it
erations = %3d`, JJ);
OK := TRUE;
else
JJ := JJ+1;
if (FBMIN*FPRECHERCHE > 0) then
BMIN := PRECHERCHE;
FBMIN := FPRECHERCHE;
else
BMAX := PRECHERCHE;
FBMAX := FPRECHERCHE;
end if;
end if;
#
end do;
54
#
return(5);
end if;
#
if OUP < default then
fclose(OUP):
printf(`Le fichier de sortie %s a et
e cr
e
e`, NAME);
end if;
#
return(0);
#
end;
55
Annexe C : Exemple d'utilisation
du programme
Nous reproduisons ici un exemple d'utilisation du logiciel de l'annexe B. L'exemple
retenu evalue le point d'indierence dans le cas de la loi de Weibull avec c = 1=2. Pour
simplier la sortie et pour en ameliore la facilite de lecture, nous avons elimine certains
commentaires produits par le programme et insere quelques lignes d'espacement.
Exemple :
> ptmort();
Choisissez:
1. Lire les donnees a partir d'un fichier texte
2. Entrer les donnees manuellement
> 2
Entrer QW et KBAR (KBAR >= QW) ?
> 1000
> 4000
Entrer les bornes de l'intervalle de recherche
Entrer la borne infrieure BMIN:
> 200
Entrer la borne suprieure BMAX:
> 300
Entrer la tolrance dsire pour la mthode du point fixe.
> .000001
Entrer la tolrance dsire pour la mthode de bissection.
> .000001
OK1 = TRUE: 21
s1, Q1: 2362.8120040000
56
3812.0528210000
FBMIN: -.0012225861
OK2 = TRUE: 27
s1, Q1: 2170.6861410000
4643.2590140000
FBMAX: .0010679976
Choisissez la destination de la sortie:
1. Ecran
2. Fichier texte
> 1
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
FPRECHERCHE:
1 250.0000000000 -.0003715400
2 275.0000000000 .0002823965
3 262.5000000000 -.0000620040
4 268.7500000000 .0001059618
5 265.6250000000 .0000209045
6 264.0625000000 -.0000208198
7 264.8437500000 -.0000000253
8 265.2343750000 .0000104231
9 265.0390625000 .0000051950
10 264.9414062000 .0000025839
11 264.8925781000 .0000012787
12 264.8681640000 .0000006269
13 264.8559570000 .0000003010
14 264.8498535000 .0000001377
15 264.8468018000 .0000000564
16 264.8452759000 .0000000156
17 264.8445130000 -.0000000047
18 264.8448945000 .0000000055
19 264.8447037000 .0000000004
20 264.8446083000 -.0000000022
21 264.8446559000 -.0000000009
22 264.8446797000 -.0000000003
23 264.8446917000 -.0000000001
24 264.8446977000 .0000000004
25 264.8446947000 -.0000000002
57
FPRECHERCHE: 26 264.8446961000 .0000000005
FPRECHERCHE: 27 264.8446953000 .0000000003
La solution est POINT INDIFFERENCE = 264.8446953000
QW/sigmaIND = .84429404
with F(P) = .00000000
Nombre d'itrations = 27
58
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Gestion des approvisionnements en contexte de gestion de

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