EXERCICE 3 1) Représentons la situation à l`aide d

EXERCICE 3
1) Représentons la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
0, 1
0, 1
E3
0, 9
E3
0, 05
E3
0, 95
E3
0, 1
E3
0, 9
E3
0, 05
E3
0, 95
E3
E2
E1
0, 9
2
0,
0,
8
0, 05
E2
E2
E1
0, 95
E2
a) X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.
b) On a
p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = p(E1 ∩ E2 ) × pE1 ∩E2 (E3 ) = p(E1 ) × pE1 (E2 ) × pE1 ∩E2 (E3 ) = 0, 2 × 0, 1 × 0, 9 = 0, 018.
De même
p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = 0, 2 × 0, 9 × 0, 05 = 0, 009 et p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = 0, 8 × 0, 05 × 0, 1 = 0, 004.
Par suite,
p(X = 2) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) + p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) + p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = 0, 018 + 0, 009 + 0, 004 = 0, 031.
On a aussi
p(X = 3) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = 0, 2 × 0, 1 × 0, 1 = 0, 002.
p(X = 2) = 0, 031 et p(X = 3) = 0, 002.
c)
p(X = 0) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = 0, 8 × 0, 95 × 0, 95 = 0, 722
et
p(X = 1) = 1 − p(X = 0) − p(X = 2) − p(X = 3) = 1 − 0, 722 − 0, 031 − 0, 002 = 0, 245.
La loi de probabilité de X est donc
xi
0
1
2
3
p(X = xi )
0, 722
0, 245
0, 031
0, 002
d) E(X) = Σxi p(X = xi ) = 0 × 0, 722 + 1 × 0, 245 + 2 × 0, 031 + 3 × 0, 002 = 0 + 0, 245 + 0, 062 + 0, 006 = 0, 313.
E(X) = 0, 313.
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4
c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.
2) a) Soit n un entier naturel non nul.
p(En ∩ En+1 ) = p(En ) × pEn (En+1 ) = pn × 0, 1 = 0, 1pn
et
p(En ∩ En+1 ) = p(En ) × pEn (En+1 ) = (1 − pn ) × 0, 05 = −0, 05pn + 0, 05.
Pour tout entier naturel non nul n, p(En ∩ En+1 ) = 0, 1pn et p(En ∩ En+1 ) = −0, 05pn + 0, 05.
b) D’après la formule des probabilités totales on a alors
pn+1 = p(En+1 ) = p(En ∩ En+1 ) + p(En ∩ En+1 ) = 0, 1pn − 0, 05pn + 0, 05 = 0, 05pn + 0, 05.
Pour tout entier naturel non nul n, pn+1 = 0, 05pn + 0, 05.
3) a) Soit n un entier naturel non nul.
un+1 = pn+1 −
1
19
= 0, 05pn + 0, 05 −
= 0, 05(pn −
1
1
0, 95 − 1
0, 05
= 0, 05(pn + 1 −
) = 0, 05(pn +
) = 0, 05(pn −
)
19
19 × 0, 05
19 × 0, 05
19 × 0, 05
1
) = 0, 05un .
19
La suite (un ) est donc une suite géométrique de raison 0, 05. De plus,
u1 = p1 −
1
1
1
1
14
= 0, 2 −
= −
=
.
19
19
5 19
95
La suite (un ) est géométrique de premier terme u1 =
14
et de raison q = 0, 05.
95
14
b) On sait alors que pour tout entier naturel non nul n, on a un = u1 × qn−1 =
× 0, 05n−1 puis
95
1
14
1
+ un =
+
× 0, 05n−1 .
pn =
19
19 95
Pour tout entier naturel non nul n, pn =
c) Puisque |0, 05| < 1, on sait que
lim 0, 05n−1 = 0 et donc
n→ +∞
lim pn =
n→ +∞
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1
14
+
× 0, 05n−1 .
19 95
5
1
.
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