dv - theoreme de haar

DV - THEOREME DE HAAR
Sommaire
Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Théorème de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Réciproque du théorème de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Introduction
L’exposé qui suit a pour but de démontrer le théorème de Haar et sa réciproque. La première partie
est constituée par l’étude des propriétés des groupes topologiques qui seront utiles pour la démonstration de ce théorème. Nous y avons établi toutes celles qui pouvaient l’être de façon élémentaire, en
admettant les résultats de topologie générale utilisés.
La deuxième partie consiste en la démonstration du théorème dans le sens direct. Dans cette partie
une mesure désigne une forme linéaire sur l’espace des fonctions continues à support compact, et il
n’est pas besoin de faire intervenir la notion de mesure de Radon.
La troisième partie consiste en la démonstration de la réciproque du théorème de Haar. Elle utilise
essentiellement la notion de mesure au sens de la théorie de l’intégration de Lebesgue, et tous les
résultats concernant cette théorie seront admis.
Références :
G. Hochschild : La structure des groupes de Lie
André Weil : L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications
Pierre Eymard : Cours de topologie 1970-71
DV 3
Groupes topologiques
Dans tout cet exposé, G désignera un groupe, d’élément neutre noté e. La loi du groupe sera notée
multiplicativement.
Si A et B sont deux parties de G, on désignera par A.B l’ensemble des éléments de G du type x.y où
x est dans A et y dans B.
Si A est une partie de G et x un élément de G, on désignera par x.A (resp. A.x) l’ensemble des éléments
du type x.y (resp. y.x) où y parcourt A.
Enfin, si A est une partie de G, on notera A2 pour A.A, et par récurrence
An = A.An−1 = An−1 .A .
On désignera par A−1 l’ensemble des éléments du type x−1 où x est dans A.
Définition 1 On appelle groupe topologique, un groupe G muni d’une topologie telle que :
– l’application (x, y) 7→ x.y de G × G, muni de la topologie produit, dans G soit continue.
– l’application x 7→ x−1 de G dans G, soit continue.
Ces deux propriétés sont équivalentes à la condition suivante : l’application (x, y) 7→ x−1 .y de G×G,
dans G est continue.
On tire immédiatement de cette définition que les applications γ(s) et δ(s) définies par
γ(s)(x) = s−1 .x et δ(s)(x) = x.s
sont, pour s fixé dans G, des homéomorphismes de G, et que l’application
x 7→ xn
est, pour n entier relatif fixé, une application continue de G dans G.
Définition 2 On appelle système fondamental de voisinages de l’unité de G, une famille V de
parties de G, vérifiant :
(GT I) L’intersection des éléments de V se réduit à {e}
(GT II) Quels que soient V et V ’ dans V , il existe V ′′ dans V , inclus dans V ∩ V ′ .
(GT III) Quel que soit V dans V , il existe V ′ dans V tel que V ′−1 .V ′ soit inclus dans V .
(GT IV) Quels que soient x dans G et V dans V , il existe V ′ dans V inclus dans x.V.x−1 .
DV 4
Notons V (e), l’ensemble des parties de G contenant un élément de V . On voit facilement que les
propriétés GT sont encore valables pour V (e) et que toute partie V contenant un élément de V (e) est
dans V (e). On a de plus les propriétés suivantes :
− Si V est dans V (e), il existe V ′ dans V (e) tel que V ′−1 .V ′ soit inclus dans V . Alors, V ′−1 est inclus
dans V , et donc V ′ est inclus dans V −1 . Il en résulte que V −1 appartient à V (e).
− Si x est dans G et V dans V (e), alors x.V.x−1 est aussi dans V (e) d’après (GT IV).
Notons V (x) l’ensemble des parties de G de la forme x.V , où V parcourt V (e). Ce sera aussi, puisque
x−1 .V.x est dans V (e), l’ensemble des éléments de la forme V.x, où V parcourt V (e).
Proposition 1 Les ensembles V (x) définissent sur G une topologie séparée unique telle que G
soit un groupe topologique séparé, et les éléments de V (x) soient les voisinages de x.
(V I) Il est clair que si V contient un élément de V (e), alors V est dans V (e). Soit U dans V (e). Si W
contient x.U , alors x−1 .W contient U , donc se trouve dans V (e). Par suite W se trouve dans V (x).
(V 2) Soit V1 et V2 dans V (e). Il existe W dans V (e), inclus dans V1 ∩ V2 . Alors x.W est un élément
de V (x) inclus dans x.V1 ∩ x.V2 , donc x.V1 ∩ x.V2 est dans V (x).
(V 3) Soit V dans V (e). D’après (GT 1), l’ensemble V contient e donc x.V contient x.
(V 4) Soit V dans V (e), il existe V ’ dans V (e) tel que V ′−1 .V ′ soit inclus dans V . Alors x.V ′−1 est
dans V (x), et, pour tout y de x.V ′−1 , l’ensemble y.V ′ est inclus dans x.V ′−1 .V ′ donc dans x.V qui
appartient alors à V (y).
(V 5) Le groupe G = x.G est dans V (x) pour tout x de G.
Ces cinq propriétés montrent que l’on peut définir sur G une unique topologie telle que, pour tout x
de G, l’ensemble V (x) soit l’ensemble des voisinages de x.
−1
Soit x0 et y0 dans G, et z = x−1
0 .y0 . Soit V dans V (e). Il existe V1 et V2 dans V (e) tels que V1 .V1
soit inclus dans V , et V2 soit inclus dans z.V1 .z −1 . Alors, soit x dans x0 .V2 et y dans y0 .V1 . On a les
inclusions suivantes :
x−1 .y ∈ (x0 V2 )−1 .(y0 .V1 ) ⊂ V2−1 .z.V1 ⊂ z.V1−1 .V1 ⊂ z.V .
Donc lorsque (x, y) appartient à (x0 .V2 ) × (y0 .V1 ) alors x−1 .y appartient à z.V , ce qui montre la
continuité de l’application
(x, y) 7→ x−1 .y .
Il en résulte que G est un groupe topologique.
DV 5
Soit x et y dans G distincts. D’après (GT I), il existe V dans V (e) ne contenant pas x−1 .y. Alors, soit
U dans V (e), tel que U.U −1 soit inclus dans V . Si x.U et y.U n’étaient pas disjoints, alors x−1 .y serait
dans U.U −1 donc dans V , ce qui est faux. Donc x.U ∩ y.U est vide et G est séparé.
Remarque : soit V1 un système fondamental de voisinages de e, et V2 une partie de P(G). Si tout
élément de V1 contient un élément de V2 et réciproquement, le système V2 est aussi un système fondamental de voisinages de e, et V1 (e) est identique à V2 (e) : les deux systèmes définissent donc la même
topologie sur G. On dira que V1 et V2 sont équivalents.
Exemples de systèmes équivalents
i) Les voisinages ouverts de e, ceci par définition du voisinage d’un point.
ii) Les voisinages symétriques de e. Une partie E de G est dite symétrique si
E = E −1 .
Alors si V est un voisinage de e, l’ensemble V ∩ V −1 est un voisinage symétrique de e.
iii) les voisinages symétriques ouverts de e. Si V est ouvert alors V ∩ V −1 est symétrique et aussi
ouvert. En effet, l’application qui à x associe x−1 étant un homéomorphisme de G, si V est ouvert,
alors V −1 est ouvert.
Proposition 2
Soit A une partie de G, et V un système fondamental de voisinages de e, alors
\
A=
A.V .
V ∈V
Soit x dans l’intersection des A.V , et U dans V (e). Soit U0 inclus dans U tel que U0−1 soit dans V . Alors
x est dans A.U0−1 et x.U0 ∩A n’est pas vide. Donc x.U ∩A est non vide, ce qui signifie que x est dans A.
Soit x dans A, et V dans V . Alors V −1 est dans V (e), donc x.V −1 ∩ A n’est pas vide, ce qui signifie
que x est dans A.V , et ceci pour tout V . Donc x est dans l’intersection des A.V .
Corollaire 1
Un groupe topologique est régulier, et l’ensemble des voisinages fermés de e
constitue un système fondamental de voisinages de e.
Soit U un ouvert contenant x, et V dans V (e) tel que x.V soit un ouvert inclus dans U . Soit W dans
V (e) ouvert tel que W 2 soit inclus dans V . Alors, W est inclus dans W 2 donc dans V , et x.W est un
ouvert contenant x dont l’adhérence x.W est incluse dans x.V donc dans U . Ceci montre que G est
régulier. Alors, dans tout voisinage ouvert de e, on peut trouver un voisinage fermé de e, ce qui montre
que les voisinages fermés constituent un système fondamental de voisinages de e.
DV 6
Proposition 3
1) Si A et B sont des parties compactes de G, alors A.B est compact.
2) Si A est un ouvert de G, pour toute partie B de G, les ensembles A.B et B.A sont ouverts.
1) L’ensemble A.B est l’image du compact A × B par l’application qui à (x, y) associe x.y. Cette
application étant continue, l’image du compact A × B est le compact A.B.
2 Si A est ouvert, pour tout s de G, les applications γ(s) et δ(s) sont des homéomorphismes. Donc s.A
et A.s sont ouverts. Alors B.A (resp. A.B) est la réunion des s.A (resp. A.s) pour s décrivant B. Ce
sont donc des ensembles ouverts.
Définition 3 On dira qu’une partie E de G est bornée, si, pour tout voisinage V de l’unité, il
existe un nombre fini de points de E, notés s1 , . . . , sn , tels que
E⊂
n
[
si .V .
i=1
Remarques
− Il suffit que cette propriété soit vérifiée pour les éléments d’un système fondamental de voisinages de e.
− Il suffit aussi que les points si soient dans G. En effet, soit U un voisinage de e tel que U −1 .U soit
inclus dans V . S’il existe t1 , . . . , tp dans G tels que E soit inclus dans la réunion des ti .U , choisissons
si dans ti .U ∩ E supposé non vide. Soit x dans E. L’élément x se trouve dans un ensemble ti .U . Cet
ensemble contient si , donc ti est dans si .U −1 . On en déduit que x est dans si .U −1 .U , donc dans si .V .
Par suite, E est inclus dans la réunion des si V , et les si sont dans E.
On déduit immédiatement de cette remarque que toute partie d’un ensemble borné est bornée.
Propriétés des ensembles bornés
1) Si A est borné, alors A est borné.
2) Si A et B sont bornés, alors A.B est borné.
3) Toute partie compacte est bornée.
4) Si G possède un voisinage de l’unité borné, et si A est borné, alors A−1 est borné.
1) Soit V dans V (e). Il existe s1 , . . . , sn dans A tels que
A⊂
n
[
i=1
si .U .
DV 7
où U est un voisinage de e tel que U 2 soit inclus dans V . Alors A.U est inclus dans la réunion des
si .U 2 donc dans celle des si .V , et comme A est inclus dans A.U , on en déduit que A est borné.
2) Soit V dans V (e). Soit W dans V (e) tel que V contienne W 2 , et soit s1 , . . . , sn dans B, tels que la
réunion des si .W contienne B. Soit U défini par
U=
n
\
si .W.s−1
i .
i=1
Alors U.B est inclus dans la réunion des si .V , et U appartient à V (e). Il existe t1 , . . . , tp dans A, tels
que A soit inclus dans la réunion des tj .U . On obtient donc
A.B ⊂
p
[
j=1
tj .U.B ⊂
p [
n
[
tj .si .V ,
j=1 i=1
ce qui montre que A.B est borné.
3) Soit C compact, et V dans V (e). L’ensemble C est recouvert par les s.V lorsque s parcourt C. Donc
il existe un nombre fini de ces ensembles recouvrant C qui est donc borné.
4) Soit V un voisinage de l’unité borné symétrique. Il existe s1 , . . . , sn tels que A soit inclus dans la
réunion des si .V . Alors A−1 est inclus dans la réunion des V.s−1
i . D’autre part comme V est borné et
−1
comme si .V.si est un voisinage de l’unité, il existe ti,1 , . . . , ti,pi tels que
V ⊂
Alors
A−1 ⊂
pi
[
ti,j .s−1
i .V.si .
j=1
pi
n [
[
ti,j .s−1
i .V .
i=1 j=1
Comme les voisinages de e bornés symétriques forment un système fondamental on en déduit que A−1
est borné.
Remarque : il est clair aussi qu’une réunion d’un nombre fini de parties bornées est bornée.
Définition 4 Un espace topologique est dit localement compact, si tout point de cet espace
possède un voisinage compact.
Remarques
− Lorsque la topologie est séparée cette propriété a lieu si et seulement si tout point possède un voisinage ouvert relativement compact.
DV 8
− Dans le cas d’un groupe topologique séparé, il suffit de vérifier une de ces propriétés pour e, en effet,
si C est un voisinage compact de e, alors x.C est un voisinage compact de x.
Proposition 4 Si G est localement compact, une partie A de G est compacte si et seulement si
elle est fermée bornée.
Soit A fermé borné. Si C est un voisinage compact de e, il existe s1 , . . . , sn tels que A soit inclus dans
la réunion des si .C. Cette réunion est alors compacte, et A, qui est fermé dans un compact, est compact.
La réciproque est évidente.
Corollaire 2 Les voisinages compacts de l’unité d’un groupe localement compact constituent
un système fondamental de voisinages de e.
Ceci est vrai pour les voisinages fermés et les voisinages bornés. Dans tout voisinage de e, il existe un
voisinage fermé et un voisinage borné de e. L’adhérence de l’intersection de ces deux voisinages est un
voisinage fermé borné de e, donc un voisinage compact.
Proposition 5 Soit G un groupe localement compact, et K un compact de G. Il existe un
compact K0 contenant K dans son intérieur.
◦
◦
Soit C un voisinage compact de e. Alors C est un voisinage ouvert de e. Il en résulte que K.C est un
ouvert inclus dans le compact K.C et contenant K. Donc le compact K.C répond à la question.
Proposition 6 Soit V un voisinage de l’unité d’un groupe G localement compact. Il existe une
application continue sur G, à valeurs réelles positives, dont le support est inclus dans V , et qui
prend la valeur 1 au point e.
Si G est discret, en prenant
f (x) =
0
1
si x 6= e
si x = e
on définit une application répondant à la question.
Supposons que G ne soit pas discret. On peut supposer que V est un voisinage ouvert relativement
compact de e. Il existe alors un ouvert U0 dont l’adhérence est strictement incluse dans V , et qui
DV 9
contient e. D’après le lemme d’Urysohn appliqué aux fermés non vides {e} et V \ U0 du compact V , il
existe une application f , continue sur V , à valeurs réelles positives, telle que
f (e) = 1
et
f (x) = 0
pour tout x de V \ U0 . On prolonge f en une fonction fe, en posant
fe(x) = 0
pour tout x de G \ V .
Soit U un ouvert de R ne contenant pas zéro. La fonction f est nulle sur V \ V , d’où
fe−1 (U ) = f −1 (U ) = f −1 (U ) ∩ V ,
et, comme f est continue sur V , cet ensemble est un ouvert de V donc de G.
Soit U un ouvert de R contenant zéro. On a
fe−1 (U ) = (f −1 (U ) ∩ V ) ∪ (G \ U 0 ) .
Cet ensemble aussi est un ouvert de G. Donc fe est continue sur G.
L’ensemble U0 contient l’ensemble des x où fe ne s’annule pas. Donc fe a son support contenu dans U 0
et par suite dans V , et comme
fe(e) = f (e) = 1 ,
la fonction fe répond à la question.
Proposition 7 Soit G un groupe localement compact, et K un compact de G. Il existe une
fonction définie et continue sur G, à support compact, prenant ses valeurs dans R+ et qui vaut 1
pour tout x de K.
Supposons qu’il existe un ouvert V de V (e) tel que K.V soit égal à K. Dans ce cas K est ouvert. Soit
fe la fonction caractéristique de K. Son support est K. Les ensembles
fe−1 (0) = G \ K
et fe−1 (1) = K
sont ouverts. Alors pour tout ouvert U de R, l’ensemble fe−1 (U ) est ouvert, donc fe est continue et
répond à la question.
Si pour tout ouvert U de V (e), les ensembles K et K.U sont distincts, soit V un ouvert relativement
compact de V (e). Tous les voisinages ouverts U de e ne contiennent pas V , sinon l’intersection K des
DV 10
ensembles K.U contiendrait K.V et l’on aurait K.V = K. Soit donc U ne contenant pas V . Alors
U ∩ V est strictement inclus dans V , donc, on a les inclusions strictes
K ⊂ K.(U ∩ V ) ⊂ K.V .
Alors, K.(U ∩ V ) est ouvert et contient K, et K.V est compact et contient K.(U ∩ V ). D’après le
lemme d’Urysohn, il existe f , continue sur K.V , à valeurs réelles positives, telle que, f soit nulle sur
K.V \ K.(U ∩ V ), et vaille 1 sur K. En prolongeant f par zéro en dehors de K.V , la fonction fe ainsi
obtenue répond à la question.
Définition 5 Soit f une application de G dans C. On dit que f est uniformément continue
à gauche (resp. à droite), si pour tout ε positif, il existe un voisinage V de e, tel que, pour tout
x de G, et pour tout y de V.x (resp. de x.V ), on ait,
|f (y) − f (x)| < ε .
On dira que f est uniformément continue, si elle l’est à la fois à gauche et à droite.
Remarquons qu’une fonction uniformément continue à gauche ou à droite est continue.
Proposition 8 Soit G un groupe topologique localement compact. Toute fonction continue sur
G à support compact et à valeurs complexes, est uniformément continue sur le groupe G.
Soit K le support de f et C un voisinage symétrique compact de e. L’ensemble C.K est compact et
contient K. Soit ε positif, et x dans G. Puisque f est continue en x, il existe, un voisinage Vx de e
inclus dans C, et tel que, si y est dans Vx .x, on ait
|f (y) − f (x)| <
ε
.
2
Il existe Ux dans V (e), tel que Ux2 soit inclus dans Vx . Comme C.K est recouvert par les Ux .x, lorsque
x décrit C.K, il existe x1 , . . . , xn tels que les Uxi .xi recouvrent C.K. Soit U l’intersection des Uxi . Cet
ensemble est inclus dans C.
Soit x dans G.
• Ou bien x est dans C.K, et dans ce cas il se trouve dans un Uxi .xi , donc dans le Vxi .xi correspondant.
Alors si y est dans U.x, donc dans Uxi .x, il se trouve dans Uxi .Uxi .xi c’est-à-dire aussi dans Vxi .xi . On
en déduit
|f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − f (xi )| + |f (xi ) − f (x)| < ε .
• Ou bien x n’est pas dans C.K. Il en résulte que x n’est pas dans K et donc que f (x) est nul. Si y est
dans U.x, alors x est dans U −1 .y. Si y se trouvait dans K, alors x serait dans U −1 .K donc, puisque C
DV 11
est symétrique, dans C.K, ce qui est faux. Il en résulte que y n’est pas dans K, et que f (y) est nul.
On a donc trouvé un voisinage U de e, tel que, pour tout x de G et tout y de U.x, on ait
|f (y) − f (x)| < ε ,
ce qui montre que f est uniformément continue à gauche.
La continuité uniforme à droite se montre de la même manière.
Corollaire 3 Soit G un groupe topologique localement compact, et f une fonction continue sur
G à support compact et à valeurs complexes. Pour tout ε positif, il existe un voisinage U de e, tel
que, pour tout x de G et tout y de U l’on ait
|f (x.y) − f (y.x)| < ε .
Soit U1 dans V (e) tel que, pour tout x de G et tout s de U1 .x on ait
|f (x) − f (s)| <
ε
.
2
Soit U2 dans V (e), tel que, pour tout x de G et tout s de x.U2 on ait
|f (x) − f (s)| <
ε
.
2
Alors, si U est l’intersection de U1 et de U2 , et si y est dans U , les éléments x.y et y.x sont respectivement
dans x.U2 et U1 .x et donc
|f (x.y) − f (y.x)| ≤ |f (x.y) − f (x)| + |f (x) − f (y.x)| < ε ,
ce qui donne le résultat.
Proposition 9 Soit A un compact d’un groupe topologique G localement compact et T l’algèbre
des fonctions g définies sur G × G par
g(x, y) =
n
X
ui (x)vi (y)
i=1
où les ui et les vi sont des fonctions continues sur G à valeurs réelles et à support dans A.
Si l’on désigne par T l’espace vectoriel des fonctions continues sur G × G, à valeurs réelles et à
support dans A × A, muni de la norme de la convergence uniforme, alors T est dense dans T .
DV 12
Si A est aussi ouvert, alors T est exactement l’algèbre des fonctions continues sur G × G, nulles sur
le complémentaire de A × A. On voit facilement en appliquant le lemme d’Urysohn que T sépare les
points de A × A, et contient les fonctions constantes sur A × A et nulles en dehors. Alors une simple
application du théorème de Stone-Weierstrass donne dans ce cas le résultat.
Si A n’est pas ouvert, la frontière de A, notée ∂A, n’est pas vide. L’ensemble A × A n’est pas ouvert
et ∂(A × A) n’est pas vide. Soit (b, b′ ) dans cet ensemble. Le lemme d’Urysohn permet de montrer que
T sépare les points de (A × A) ∪ {(b, b′ )}. Alors la proposition résulte du lemme suivant.
Lemme Soit C un espace topologique séparé, et K un compact de C tel que ∂K ne soit pas vide.
Soit a0 un point de ∂K. Soit A la sous-algèbre de C (C) des fonctions continues s’annulant sur le
◦
◦
complémentaire de K, et B une sous-algèbre de A séparant les points de K ∪ {a0 }. Alors B est
dense dans A pour la norme de la convergence uniforme.
◦
Soit K ′ = K ∪ {a0 }. On définit une application de C dans K ′ en posant

◦

x si x est dans K
Φ(x) =
.
◦
 a
si
x
n’est
pas
dans
K
0
On munit K ′ de la topologie la plus fine rendant Φ continue. L’ensemble des ouverts pour cette topologie est constitué des parties O de K ′ telles que Φ−1 (O) soit ouvert dans C. Remarquons alors que
K ′ est compact, comme image de K par l’application Φ continue.
Si F est l’algèbre des fonctions continues sur K ′ s’annulant en a0 munie de la norme de la convergence
uniforme, nous montrons qu’alors l’application qui à f dans A associe sa restriction fe à K ′ est un
isomorphisme isométrique de A sur F .
• Tout d’abord l’égalité
donne, pour tout ouvert U de R,
f = fe ◦ Φ ,
Φ−1 (fe−1 (U )) = f −1 (U )
et cet ensemble est un ouvert de C par définition de la topologie de K ′ . Il en résulte que fe est continue.
De plus
fe(a0 ) = f (a0 ) = 0 .
On constate bien que fe est dans F .
• Soit g dans F . En posant
la fonction g′ est dans A et
g′ = g ◦ Φ ,
ge′ = g .
DV 13
L’application qui à f associe fe est donc surjective. Il est clair que c’est un homomorphisme d’algèbres,
et que
sup |f (x)| = sup |fe(x)| ,
x∈C
x∈K ′
ce qui montre que l’on a une isométrie.
On peut donc considérer A et B comme des sous-algèbres de C (K ′ ).
Montrons alors la densité.
Soit B ′ l’ensemble des fonctions de la forme f + c, où f est dans B et c dans R . C’est une sous-algèbre
de C (K ′ ) qui contient B et donc sépare les points de K ′ ; elle contient aussi les constantes. Alors,
d’après le théorème de Stone-Weierstrass, elle est dense dans C (K ′ ).
Soit f dans A et ε positif. Il existe g dans B ′ tel que
sup |f (x) − g(x)| <
x∈K ′
On a donc aussi
|f (a0 ) − g(a0 )| <
ε
.
2
ε
.
2
Mais f (a0 ) est nul. Alors, si l’on pose
fε = g − g(a0 ) ,
on a
sup |fε (x) − f (x)| ≤ sup |f (x) − g(x)| + |g(a0 )| < ε .
x∈K ′
x∈K ′
Comme fε est dans B, il en résulte donc que B est dense dans A .
Proposition 10 Soit G un groupe topologique, et G un sous-groupe de G dense dans G. Soit
f une application uniformément continue à gauche (resp. à droite) sur G et à valeurs complexes.
Cette application se prolonge de manière unique en une application définie sur G, continue et à
valeurs complexes.
Soit f uniformément continue à gauche sur G. Nous désignons par V (e) l’ensemble des voisinages de
e dans G.
Pour tout ε positif, il existe un voisinage ouvert V de e dans G, tel que, pour tout t de G, et tout x de
V.t, on ait
ε
|f (x) − f (t)| < .
2
Alors, si x et y sont dans V.t on a
|f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (t)| + |f (t) − f (y)| < ε .
DV 14
Il existe aussi un ouvert V0 de G appartenant à V (e), tel que
V = V0 ∩ G .
Soit z dans G. Comme G est dense dans G, il existe z0 dans G ∩ V0−1 .z. Soit alors
U = V0 .z0 .z −1 .
C’est un ouvert de G contenant e, et l’on a
U.z = V0 .z0 .
Si x et y se trouvent dans U.z ∩ G, qui n’est autre que V.z0 , on a
|f (x) − f (y)| < ε .
Ceci signifie que f vérifie la condition de Cauchy relativement au filtre
F = {z.V ∩ G | V ouvert de V (e)} .
Alors, d’après un résultat de topologie générale, la limite de f suivant le filtre existe, et si l’on note
fe(z) cette limite, la fonction fe est l’unique prolongement continu de f à G.
On aurait un raisonnement analogue pour la continuité uniforme à droite.
Proposition 11 Soit G un groupe topologique localement compact, et G un sous-groupe de G
dense dans G. Une fonction continue sur G se prolonge en une fonction continue sur G à support
compact si et seulement si elle est uniformément continue sur G et nulle en dehors d’une partie de
G bornée dans G.
Supposons que l’application f continue sur G se prolonge en une application continue sur G à support
compact. Son prolongement fe est uniformément continu sur G. On voit facilement aussi, que si un
ensemble de G est borné dans G, il l’est aussi dans G. Le support de fe est compact donc borné dans
G. L’intersection de ce support avec G est donc borné dans G. Comme cet ensemble contient les points
de G où f n’est pas nulle, la fonction f s’annule en dehors d’un ensemble borné de G.
Réciproquement, si f est uniformément continue sur G, elle se prolonge de manière unique en une
fonction fe continue dans G.
Soit B un borné de G en dehors duquel f est nulle. On voit facilement que B est borné aussi dans
G, donc que B est borné dans G. Comme G est localement compact, il en résulte que B est compact. Enfin, la fonction f étant nulle sur le complémentaire de G ∩ B, par continuité et par densité,
on en déduit que fe est nulle sur le complémentaire de B dans G. Donc fe est à support compact dans G.
DV 15
Proposition 12 Soit G un groupe topologique. Le groupe G est isomorphe à un sous-groupe
partout dense d’un groupe localement compact, si et seulement si il existe un voisinage de l’unité
borné dans G borné.
Nous ne démontrerons pas cette proposition dans le cas général. Nous établirons simplement ce résultat
dans le cas où la topologie de G est donnée par une distance invariante par translation.
Lemme
Soit G un groupe muni d’une distance d telle que, pour tout triplet (x, y, z) d’éléments
de G on ait
d(x.z, y.z) = d(z.x, z.y) = d(x, y) .
Alors G est un groupe topologique et l’application qui à x associe x−1 est une isométrie.
On a
d(x.y, x0 .y0 ) ≤ d(x.y, x.y0 ) + d(x.y0 , x0 , y0 ) ,
soit
d(x.y, x0 .y0 ) ≤ d(y, y0 ) + d(x, x0 ) ,
ce qui montre la continuité du produit. D’autre part
d(x−1 , y −1 ) = d(e, x.y −1 ) = d(y, x) = d(x, y) ,
ce qui montre que l’application qui à x associe x−1 est une isométrie donc est continue. Le groupe G
est bien un groupe topologique.
Soit G un groupe topologique dont la topologie est définie par une distance d invariante par translation
et possédant un voisinage de l’unité borné (au sens défini plus haut). Soit G le complété de G pour
cette distance. On peut définir sur G une structure de groupe de la manière suivante.
Soit x et y dans G. Soit (xn ) et (x′n ) (resp. (yn ) et (yn′ )) deux suites d’éléments de G qui convergent
vers x (resp. vers y). On pose
X2n = xn et X2n+1 = x′n ,
Y2n = yn
et Y2n+1 = yn′ .
Les suites (Xn ) et (Yn ) convergent respectivement vers x et y. Ce sont des suites de Cauchy de G, et
l’inégalité
d(Xn .Yn , Xm .Ym ) ≤ d(Xn , Xm ) + d(Yn , Ym ) ,
montre que (Xn .Yn ) est aussi une suite de Cauchy de G. Cette suite converge vers un élément de G
noté x.y. Cet élément ne dépend que de x et de y, car (xn .yn ) et (x′n .yn′ ) qui sont deux sous-suites de
(Xn .Yn ) convergent vers la même limite x.y. On définit ainsi une loi de composition interne sur G et
l’associativité de cette loi découle de la même propriété pour la loi de G par passage à la limite. De
même on voit facilement que l’élément neutre de G est aussi celui de G. Enfin l’égalité
−1
d(Xn−1 , Xm
) = d(Xn , Xm ) ,
DV 16
montre que (Xn−1 ) est aussi une suite de Cauchy de G qui converge donc vers un élément de G noté
x−1 , et cet élément ne dépend que de x. Il est clair que l’on obtient alors
x.x−1 = x−1 x = e .
On a bien muni G d’une structure de groupe, et par construction G est un sous-groupe de G.
Soit (zn ) une suite d’éléments de G qui converge vers l’élément z de G. On a donc
d(x.z, y.z) = lim d(xn .zn , yn .zn ) .
n→+∞
Mais, en raison de l’invariance de d par translation sur G, on a, pour tout n
d(xn .zn , yn .zn ) = d(xn , yn ) ,
d’où
d(x.z, y.z) = lim d(xn , yn ) = d(x, y) .
n→+∞
On obtient pour la même raison
d(z.x, z.y) = d(x, y) ,
ce qui montre que la distance de G est aussi invariante par translation, et que G est un groupe topologique dans lequel G est dense.
Démontrons alors la proposition.
Soit V un voisinage de e dans G, borné dans G. Alors l’adhérence V de V dans G est un voisinage de
e fermé donc complet. Exprimons que V est borné :
pour tout ε positif, il existe x1 , . . . , xn dans V tels que
V ⊂
n
[
xi .B(e, ε) ,
i=1
où B(x, ε) désigne la boule ouverte de centre x et de rayon ε. On a, en raison de l’invariance de d par
translation,
x.B(e, ε) = B(x, ε) .
Alors, dire que V est borné, revient à dire que V possède la propriété de ε−recouvrement. Cette propriété, jointe au fait que V est complet montre que V est compact, ce qui achève la démonstration
dans ce cas.
DV 17
Théorème de Haar
Nous désignerons par K (G) l’algèbre sur C des fonctions définies et continues sur G, à valeurs complexes et à support compact.
L’ensemble Gf désignera le support d’une fonction f de K (G).
On notera aussi KR (G), le sous-espace de K (G) des fonctions à valeurs réelles, et K+ (G) le sousensemble de K (G) des fonctions à valeurs positives.
Si f est dans K (G), on notera Re f la partie réelle de f , et Im f sa partie imaginaire. Ce sont deux
fonctions de KR (G).
Si f est dans KR (G) on posera
f+ = sup(f, 0) et
f− = sup(−f, 0) .
Alors f+ et f− sont dans K+ (G), et l’on a
f = f+ − f− .
Nous noterons ||f || ∞ le nombre sup |f (x)|.
x∈G
Enfin, si f est dans K (G), et x dans G, nous noterons δ(x)f la fonction définie sur G par
δ(x)f (y) = f (y.x) .
Pour x fixé, l’application qui à f dans K (G) (resp. KR (G), K+ (G)), associe δ(x)f , est un automorphisme de K (G) (resp. KR (G), K+ (G)).
Définitions 6 On appellera mesure réelle sur G, une forme linéaire I sur K (G) telle que I(f )
soit réel pour tout f de KR (G).
On appellera mesure positive sur G, une forme linéaire I sur K (G) telle que I(f ) soit positif
pour tout f de K+ (G).
On appellera mesure de Haar à droite sur G, une mesure positive I, non identiquement nulle,
et vérifiant de plus, pour tout f de K (G) et tout x de G :
I(δ(x)f ) = I(f ) .
DV 18
Remarques
1) Une mesure positive est réelle, car, si f est dans KR (G),
I(f ) = I(f+ ) − I(f− ) ,
et comme I(f+ ) et I(f− ) sont réels, il en est de même de I(f ).
2) Une mesure positive I est croissante sur KR (G), car, si f est supérieure à g, la fonction f − g est
positive, et donc I(f − g) est positif, ce qui donne
I(f ) ≤ I(g) .
Proposition 13 Soit I + une application définie sur K+ (G) à valeurs dans R+ vérifiant les quatre
conditions suivantes :
i) I + n’est pas identiquement nulle,
ii) I + (rf ) = rI + (f ) pour tout f de K+ (G) et tout réel r positif,
iii) I + (f + g) = I + (f ) + I + (g) quels que soient f et g dans K+ (G),
iv) I + (δ(x)f ) = I + (f ) pour tout x de G et tout f de K+ (G).
Alors, il existe une mesure de Haar à droite unique I sur G telle que I + soit la restriction de I à
K+ (G).
Si une telle mesure existe, elle vérifie nécessairement
I(f ) = I + ((Re f )+ ) − I + ((Re f )− ) + i(I + ((Im f )+ ) − I + ((Im f )− )) ,
ce qui donne l’unicité. Prenons alors cette expression comme définition de I, et vérifions que I répond
à la question.
a) Si f est dans K+ (G), on a
I(f ) = I + (f ) ,
donc, d’après i), l’application I n’est pas identiquement nulle.
b) Soit f et g dans KR (G). On a
f + g = (f+ − f− ) + (g+ − g− ) = (f + g)+ − (f + g)− ,
donc,
f+ + g+ + (f + g)− = f− + g− + (f + g)+ .
Les deux membres de cette égalité sont dans K+ (G). On peut appliquer iii), ce qui donne
I(f+ ) + I(g+ ) + I((f + g)− ) = I(f− ) + I(g− ) + I((f + g)+ ) ,
DV 19
et l’on obtient
I(f + g) = I((f + g)+ ) − I((f + g)− ) = I(f+ ) + I(g+ ) − I(f− ) − I(g− ) = I(f ) + I(g) .
Il en résulte que I est additive sur KR (G).
Soit maintenant f et g dans K (G). On aura
I(f + g) = I(Re(f + g)) + iI(Im(f + g)) = I(Re f ) + iI(Im f ) + I(Re g) + iI(Im g) ,
et l’on obtient finalement
I(f + g) = I(f ) + I(g) ,
ce qui donne l’additivité de I.
c) Soit f dans KR (G). Si r est un réel positif, on a
(rf )+ = rf+
et (rf )− = rf− ,
donc, en utilisant ii)
I(rf ) = I + (rf+ ) − I + (rf− ) = r(I + (f+ ) − I + (f− )) = rI(f ) .
Si r est un nombre négatif, on a
(rf )+ = −rf−
et (rf )− = −rf+ ,
donc
I(rf ) = I + (−rf− ) − I + (−rf+ ) = −r(I + (f− ) − I + (f+ )) = rI(f ) .
Soit f dans K (G) et r = a + ib, où a et b sont réels. On écrit
I(rf ) = I(a Re f − b Im f ) + iI(a Im f + b Re f ) ,
et comme I est linéaire sur KR (G)
I(rf ) = aI(Re f ) − bI(Im f ) + i(aI(Im f ) + bI(Re f )) ,
et donc
I(rf ) = (a + ib)(I(Re f ) + iI(Im f )) = rI(f ) .
On en déduit bien que I est une forme linéaire.
d) Soit f dans K (G) et x dans G. En utilisant les égalités
δ(x)f+ = (δ(x)f )+
et δ(x)f− = (δ(x)f )− ,
ainsi que
Re(δ(x)f ) = δ(x) Re f
et
Im(δ(x)f ) = δ(x) Im f ,
DV 20
on obtient, grâce à la linéarité de I,
I(δ(x)f ) = I(f ) .
Théorème de Haar
Soit G un groupe topologique localement compact. Il existe une mesure
de Haar à droite sur G, unique à une constante multiplicative près.
Démonstration de l’existence
D’après la proposition précédente, il suffit de trouver une application I + vérifiant les quatre propriétés
voulues.
Soit g une fonction de K+ (G) non nulle. Il existe un nombre γ, strictement positif, tel que l’ensemble
A des éléments x de G qui vérifient
g(x) > γ ,
soit un ouvert de G non vide.
Soit f dans K+ (G). Le support Gf de f est un compact de G recouvert par les ouverts A.x lorsque x
décrit G. Il existe donc un nombre fini de points x1 , . . . , xn de G tels que
Gf ⊂
n
[
A.xi .
i=1
Soit x dans Gf . Il existe xi0 tel que A.xi0 contienne x. Alors x.x−1
i0 se trouve dans A, c’est-à-dire
g(x.x−1
i0 ) > γ .
On a donc
n
X
1
1
g(x.x−1
g(x.x−1
i )≥
i0 ) > 1 .
γ
γ
i=1
Il en résulte que
f (x) ≤ sup |f (t)| ≤
t∈G
n
X
1
||f || ∞ g(x.x−1
i ).
γ
i=1
On a ainsi trouvé des éléments z1 , . . . , zn de G, et des réels positifs γ1 , . . . , γn , tels que, pour tout
x de G,
(1)
f (x) ≤
Notons (f : g) la borne inférieure des nombres
n
X
γi .g(x.zi ) .
i=1
n
X
i=1
γi , où les nombres réels positifs γi vérifient l’inégalité
(1) pour au moins une famille {z1 , . . . , zn } d’éléments de G.
DV 21
Propriétés de ( : )
a) (f : g) est positif, et s’annule si et seulement si f est nulle
Par construction (f : g) est positif. Si f est nulle, on peut prendre tous les γi nuls, d’où la nullité de
(f : g). Si f n’est pas nulle, soit γ1 , . . . , γn et z1 , . . . , zn vérifiant (1). On a alors pour tout x de G
f (x) ≤
n
X
i=1
γi .g(x.zi ) ≤ ||g || ∞
n
X
γi ,
i=1
et l’on en déduit que, pour tout x,
f (x) ≤ ||g || ∞ (f : g) .
Or il existe au moins un x pour lequel f (x) est non nul. On en déduit que (f : g) ne peut être nul.
b) Soit f et g dans K+ (G), non nulles. On a les inégalités
1
(f : h)
(f : g)
≤
≤
.
(g : f )
(g : h)
1
Soit γ1 , . . . , γn dans R+ et z1 , . . . , zn dans G vérifiant (1) pour f et g. Soit δ1 , . . . , δp dans R+ et
z1′ , . . . , zp′ dans G vérifiant (1) pour g et h. On obtient pour tout x de G
f (x) ≤
p
n X
X
γi δj h(x.zi .zj′ ) .
i=1 j=1
On en déduit donc que
(f : h) ≤
p
n X
X
γi δj =
i=1 j=1
n
X
i=1

! p
X
γi 
δj  ,
j=1
et, en prenant la borne inférieure du membre de droite, on obtient
(f : h) ≤ (f : g)(g : h) .
En inversant les rôles de f et g on obtient aussi
(g : h) ≤ (g : f )(f : h) .
Les deux dernières inégalités donnent le résultat.
DV 22
c) Si r est un nombre réel positif, on a
(rf : g) = r(f : g) .
L’inégalité
f (x) ≤
implique
rf (x) ≤
d’où
n
X
γi g(x.zi )
i=1
n
X
rγi g(x.zi ) ,
i=1
(rf : g) ≤
n
X
rγi ,
i=1
et, en prenant la borne inférieure du membre de droite,
(rf : g) ≤ r(f : g) .
Si r est nul, on a l’égalité, sinon,
1
1
(f : g) = ( (rf ) : g) ≤ (rf : g) ,
r
r
ce qui donne l’inégalité inverse.
d) Si x est dans G, on a
(δ(x)f : g) = (f : g) .
L’inégalité
f (t) ≤
implique
n
X
γi g(t.zi )
i=1
δ(x)f (t) = f (t.x) ≤
d’où
n
X
(δ(x)f : g) ≤
γi g(t.x.zi ) ,
i=1
n
X
γi ,
i=1
et, en prenant la borne inférieure du membre de droite ,
(δ(x)f : g) ≤ (f : g) .
DV 23
On a aussi
(f : g) = (δ(x−1 )δ(x)f : g) ≤ (δ(x)f : g) ,
ce qui donne l’inégalité inverse.
e) On a l’inégalité
(f1 + f2 : g) ≤ (f1 : g) + (f2 : g) .
Si l’on a les inégalités
f1 (x) ≤
n
X
f2 (x) ≤
γi .g(x.zi ) et
i=1
on obtient
f1 (x) + f2 (x) ≤
d’où
p
X
p
X
γi .g(x.zi ) ,
i=n+1
γi .g(x.zi ) ,
i=1
(f1 + f2 : g) ≤
p
X
γi ,
i=1
et, en prenant la borne inférieure du membre de droite,
(f1 + f2 : g) ≤ (f1 : g) + (f2 : g) .
Construction de I +
Fixons g non nulle dans K+ (G). Soit f dans K+ (G). Notons

 [ 1/(f : g), (f : g) ] si f est non nulle
Kf =
.

{0}
si f est nulle
D’après les propriétés de ( : ), pour tout h non nul de K+ (G) et pour tout f de K+ (G), le nombre
(f : h)/(g : h) appartient à Kf . Soit K défini par
K=
Y
Kf .
f ∈K+ (G)
D’après le théorème de Tychonoff, l’ensemble K est compact. On peut considérer K comme l’ensemble
des applications T de K+ (G) dans R, telles que T (f ) soit dans Kf pour tout f de K+ (G). Alors, pour
tout h non nul de K+ (G) l’application K(h) définie par
K(h)(f ) =
(f : h)
(g : h)
DV 24
est dans K. Soit V un voisinage de l’unité dans G et KV+ l’ensemble des fonctions f de K+ (G)
telles que Gf soit inclus dans V et f (e) soit non nul. Cet ensemble n’est pas vide. Soit alors K(V )
l’adhérence dans K de l’ensemble des fonctions K(h) où h décrit KV+ . Soit {V1 , . . . , Vn } une famille
finie de voisinages de e dans G, l’ensemble
o
n
+
T
K(h) | h ∈ K n Vi
i=1
n’est pas vide et est inclus dans
Tn
i=1 K(Vi ).
Alors, puisque toute intersection finie de compacts K(V ) est non vide, l’intersection de tous les K(V )
est non vide. Nous pouvons désigner par I + un élément de cette intersection.
Cet élément I + est dans K, donc c’est une application de K+ (G) dans R telle que I + (f ) soit dans Kf
pour tout f de K+ (G). On peut traduire l’appartenance de I + à K(V ) de la manière suivante :
pour tout ε positif, et toute famille finie f1 , . . . , fn d’éléments de K+ (G), il existe h dans KV+ tel que
(fi : h)
+
− I (fi ) < ε .
sup 1≤i≤n (g : h)
Propriétés de I +
Nous montrons que I + satisfait les quatre conditions de la proposition 13.
i) Soit f dans K+ (G), non nul, et ε tel que
ε<
Il existe h tel que
1
.
(g : f )
(f : h)
+
(g : h) − I (f ) < ε ,
d’où
I + (f ) >
(f : h)
1
−ε>
− ε > 0.
(g : h)
(g : f )
Donc I + n’est pas identiquement nulle, et prend des valeurs positives.
ii) Soit r un réel positif, ε > 0 et
η = inf(ε, ε/r) .
Il existe h tel que
Alors
(rf : h)
η
+
<
−
I
(rf
)
(g : h)
2
et
(f : h)
η
+
< .
−
I
(f
)
(g : h)
2
(rf : h)
+
(rf
:
h)
+
+
− I (rf ) ,
|rI (f ) − I (rf )| ≤ rI (f ) −
(g : h)
(g : h)
+
+
DV 25
d’où, en utilisant la propriété c), de ( : ),
+
(rf : h) (f : h) +
+ I (rf ) −
.
|rI (f ) − I (rf )| ≤ r I (f ) −
(g : h) (g : h) +
+
Le membre de droite se majore par rη/2+ η/2, donc par ε. Ce résultat étant obtenu pour tout ε positif,
on a donc
rI + (f ) = I + (rf ) .
iv) Soit x dans G et f dans K+ (G). Il existe h tel que
(f : h)
ε
(δ(x)f : h)
ε
+
+
< .
−
I
(f
)
et
−
I
(δ(x)f
)
<
(g : h)
2
(g : h)
2
Alors
(f : h)
(f : h)
+
+
|I (δ(x)f ) − I (f )| ≤ − I (f ) + − I (δ(x)f ) ,
(g : h)
(g : h)
+
+
mais, en utilisant la propriété d) de ( : ), on trouve
(δ(x)f : h)
(f : h)
+
+
+
+
− I (f ) + − I (δ(x)f ) .
|I (δ(x)f ) − I (f )| ≤ (g : h)
(g : h)
Le membre de droite se majore par ε/2 + ε/2, donc par ε. Ce résultat étant obtenu pour tout ε positif,
on a donc
I + (δ(x)f ) = I + (f ) .
iii) Soit f1 et f2 dans K+ (G). Il existe h tel que
ε
(f1 + f2 : h)
+
<
−
I
(f
+
f
)
1
2
3
(g : h)
et, pour i = 1 ou 2,
On obtient
(fi : h)
ε
+
< .
−
I
(f
)
i
(g : h)
3
I + (f1 ) + I + (f2 ) − I + (f1 + f2 ) >
(f1 : h) (f2 : h) (f1 + f2 : h)
+
−
− ε.
(g : h)
(g : h)
(g : h)
On utilise alors la propriété e) de ( : ), ce qui donne
I + (f1 ) + I + (f2 ) − I + (f1 + f2 ) > −ε ,
et, comme ceci est vrai pour tout ε, on en déduit
I + (f1 ) + I + (f2 ) ≥ I + (f1 + f2 ) .
Si f1 + f2 est nulle, il en est de même de f1 et f2 et l’égalité aura lieu dans ce cas. Supposons donc
f1 + f2 non nulle.
DV 26
L’ensemble Gf1 +f2 est un compact, et il existe une fonction p de K+ (G), telle que p ne s’annule pas
sur ce compact. Soit ε positif. Pour i = 1, 2, la fonction
fi
f1 + f2 + εp
est définie et continue sur Gp et nulle sur Gp \ Gf1 +f2 . On peut alors prolonger cette fonction en une
fonction continue qi de K+ (G), telle que qi soit nulle sur G \ Gp . Posons
q = f1 + f2 + εp .
On a alors
q.qi = f i et q1 + q2 ≤ 1 .
Puisque q1 et q2 sont continues, il existe un voisinage symétrique Vε de e dans G tel que, si y est dans
Vε .x, on ait, pour j = 1, 2
|qj (y) − qj (x)| < ε .
Soit h dans KV+ε , x1 , . . . , xn dans G et γ1 , . . . , γn dans R+ tels que
q≤
n
X
γi δ(xi )h .
i=1
Pour x fixé dans G, l’élément h(x.xi ) est nul si x.xi n’est pas dans Vε , donc
X
q(x) ≤
γi h(x.xi ) .
{i | x.xi ∈Vε }
−1 sera aussi dans V , et donc x−1 est dans V .x, auquel
Or, comme x.xi est dans Vε , l’élément x−1
ε
ε
i .x
i
cas
|qj (x) − qj (x−1
i )| < ε ,
d’où
qj (x) ≤ ε + qj (x−1
i ).
On obtient alors
fj (x) = q(x)qj (x) ≤
On en déduit
fj (x) ≤
d’où
X
{i | x.xi ∈Vε }
n
X
γi (ε + qj (x−1
i ))h(x.xi ) ,
i=1
(fj : h) ≤
Alors
(f1 : h) + (f2 : h) ≤ 2ε
n
X
i=1
γi (ε + qj (x−1
i ))h(x.xi ) .
γi +
n
X
(ε + qj (x−1
i ))γi .
i=1
n
X
i=1
−1
γi (q1 (x−1
i ) + q2 (xi )) ≤ (2ε + 1)
n
X
i=1
γi .
DV 27
En prenant la borne inférieure du membre de droite, on en déduit
(f1 : h) + (f2 : h) ≤ (1 + 2ε)(q : h) .
Si l’on utilise la propriété e) de ( : ), il vient
(q : h) = (f1 + f2 + εp : h) ≤ (fl + f2 : h) + ε(p : h) .
On obtient donc finalement, pour tout h de KV+ε ,
(f1 : h) + (f2 : h) ≤ (1 + 2ε)((f1 + f2 : h) + ε(p : h)) .
Notons
f3 = f1 + f2
et
f4 = p .
Il existe h dans Vε tel que, pour i compris entre 1 et 4,
(fi : h)
+
< ε.
−
I
(f
)
i
(g : h)
Alors
I + (f1 ) + I + (f2 ) ≤
(f1 : h) (f2 : h)
+
+ 2ε ,
(g : h)
(g : h)
et, en utilisant l’inégalité ci-dessus,
+
+
I (f1 ) + I (f2 ) ≤ (1 + 2ε)
(f3 : h)
(p : h)
+ε
(g : h)
(g : h)
+ 2ε ,
d’où
I + (f1 ) + I + (f2 ) ≤ (1 + 2ε)(I + (f3 ) + ε + ε(I + (p) + ε)) + 2ε .
Ceci étant vrai pour tout ε, lorsque ε tend vers zéro on trouve
I + (f1 ) + I + (f2 ) ≤ I + (f1 + f2 ) ,
et comme l’inégalité inverse a été démontrée, on a bien l’égalité.
Ceci achève la démonstration de l’existence d’une mesure de Haar à droite sur un groupe topologique
localement compact.
Avant de démontrer l’unicité, nous établissons les propositions suivantes :
Proposition 14 Soit J une mesure de Haar à droite quelconque sur G.
1) Si f est dans K+ (G), le nombre J(f ) est nul si et seulement si f est nul.
2) Soit KP la sous-algèbre de K (G) des fonctions dont le support est inclus dans le compact P ,
normée par || || ∞ . La restriction de J à KP est une forme linéaire continue.
DV 28
1) Soit f et g dans K+ (G). Si g est non nulle, et si l’on a
f≤
n
X
γi δ(xi )g ,
i=1
on obtient, en utilisant la linéarité de J et sa croissance sur KR (G),
J(f ) ≤
n
X
γi J(δ(xi )g) =
n
X
γi J(g) .
i=1
i=1
Alors, en prenant la borne inférieure du membre de droite
J(f ) ≤ (f : g)J(g) .
Si J(f ) était nul pour tout f de K+ (G), du fait de la décomposition d’une fonction de K (G) en
combinaison linéaire de fonctions positives, la mesure J serait identiquement nulle. Donc, il existe f
dans K+ (G) tel que J(f ) ne soit pas nul. Il en résulte que J(g) n’est pas nul si g n’est pas nul.
2) Il existe p dans K+ (G), égale à 1 sur P . On a alors, si f est dans KP ,
|f | ≤ p||f || ∞ ,
ce qui donne
J(|f |) ≤ ||f || ∞ J(p) .
D’autre part, les inégalités
conduisent aux inégalités
Re f ≤ |f | et
J(Re f ) ≤ J(|f |) et J(Im f ) ≤ J(|f |) ,
donc
On en déduit finalement
|J(f )|2 = |J(Re f )|2 + |J(Im f )|2 ≤ 2J(|f |)2 .
|J(f )| ≤
ce qui montre la continuité de J sur KP .
Proposition 15
Im f ≤ |f | ,
√
2 J(p)||f || ∞ ,
Soit I et J deux mesures de Haar à droite sur G, et f dans K (G × G). Posons
x f (y)
= fy (x) = f (x, y) .
Les fonctions x f et fy sont dans K (G). Posons alors
I f (x)
= I(x f ) et fJ (y) = J(fy ) .
On a les propriétés suivantes :
1) Les fonctions I f et fJ sont dans K (G).
2) On a l’égalité
J(I f ) = I(fJ ) .
DV 29
Si f est dans K (G × G), notons Ki la projection du support (G × G)f de f sur G suivant la i−ème
composante (i = 1, 2). Soit ε positif, et x0 dans G. A tout y de G on peut faire correspondre un
voisinage ouvert Vy de e dans G tel que, si (x, z) est dans x0 .Vy × y.Vy on ait
|f (x0 , y) − f (x, z)| <
ε
.
2
Le compact K2 est alors recouvert par un nombre fini d’ouverts de la forme yi .Vyi . Soit V l’intersection
de ces Vyi .
Soit x dans x0 .V et y dans G. Il y a deux possibilités :
• ou bien y est dans un yi .Vyi , alors (x, y) et (x0 , y) sont dans x0 .Vyi × yi .Vyi , et l’on a
|f (x0 , y) − f (x, y)| ≤ |f (x0 , y) − f (x0 , yi )| + |f (x0 , yi ) − f (x, y)| < ε ,
• ou bien y n’est pas dans un yi .Vyi , alors (x, y) et (x0 , y) ne sont pas dans (G×G)f , et f (x0 , y)−f (x, y)
est nul. On en déduit que
|| x f − x0 f || ∞ ≤ ε .
D’autre part, pour tout x de G, la fonction x f a son support dans K2 et il résulte de la proposition
précédente qu’il existe une constante c, ne dépendant que de K2 , telle que
|I f (x) − I f (x0 )| = |I(x f ) − I(x0 f )| ≤ c|| x f −
x0 f || ∞ ,
ce qui montre la continuité de I f .
Enfin, si x n’est pas dans K1 , le nombre f (x, y) est nul pour tout y de G, donc x f puis I (x f ) sont nuls,
ce qui veut dire que I f a son support dans le compact K1 .
On démontre de même que fJ est dans K (G).
2) Si f (x, y) est égal à u(x).v(y) où u et v sont dans K (G), la fonction f est dans K (G × G). On a
I f (x)
= I(x f ) = u(x).I(v)
et J(I f ) = J(u).I(v) ,
et aussi
fJ (y) = J(fy ) = J(u).v(y)
et I(fJ ) = J(u).I(v)
ce qui donne l’égalité dans ce cas particulier.
Par linéarité, on aura encore l’égalité pour toute fonction de l’ensemble T0 des combinaisons linéaires
finies de fonctions du type précédent.
Soit f dans KR (G × G) et ε un nombre réel positif. L’ensemble
A = K1 ∪ K2
DV 30
est un compact de G, et A × A contient (G × G)f . Il existe f0 dans T0 tel que (G × G)f0 soit contenu
dans A × A, et qui approche f uniformément à moins de ε.
Il existe une constante c ne dépendant que de A, telle que, pour toute fonction Φ à support dans A,
on ait
|I(Φ)| ≤ c||Φ || ∞ et |J(Φ)| ≤ c||Φ || ∞ .
On a alors
|J(I f ) − J(I f0 )| ≤ c|| I f − I f0 || ∞
et
|I(fJ ) − I(f0J )| ≤ c||fJ − f0J || ∞ ,
car toutes les fonctions en présence sont à support dans A. Mais
|| I f − I f0 || ∞ = sup |I f (x) − I f0 (x)| = sup |I(x f ) − I(x f0 )| ≤ c sup || x f − x f0 || ∞ ≤ c||f − f0 || ∞ ,
x∈G
x∈G
x∈G
et, pour une raison analogue,
||fJ − f0J || ∞ ≤ c||f − f0 || ∞ .
On en déduit alors
|J(I f ) − I(fJ )| ≤ |J(I f ) − J(I f0 )| + |I(f0J ) − I(fJ )| ≤ 2c2 ε .
Comme cette inégalité est vraie pour tout ε, on obtient
|J(I f ) − I(fJ )| = 0 ,
d’où le résultat, qui s’étend par linéarité à toute fonction de K (G × G).
Démonstration de l’unicité
Etant donné f dans K (G), si U0 est un ouvert relativement compact contenant e, l’ensemble
U1 = Gf .U0 ∪ U0 .Gf
est un ouvert relativement compact contenant Gf , et on obtient un ouvert U symétrique, et possédant
les mêmes propriétés que U1 en posant
U = U1 ∪ U1−1 .
Il existe une fonction p dans K+ (G) qui prend la valeur 1 sur U .
Soit ε positif. Il existe un voisinage V symétrique de e, relativement compact, tel que V soit inclus
dans U0 et tel que, pour tout x de G et tout y de V , on ait,
|f (x.y) − f (y.x)| < ε .
L’ensemble Gf .V ∪ V.Gf est inclus dans U . Soit alors y dans V . Si x.y n’est pas dans Gf , on a
f (x.y) = f (x.y)p(x) = 0 .
DV 31
Si x.y est dans Gf , alors x est dans Gf .V , donc dans U , auquel cas p(x) vaut 1, et l’on a encore
f (x.y) = f (x.y)p(x) .
Cette égalité est donc valable pour tout x de G et tout y de V . On montre de même que l’on a, dans
les mêmes conditions
f (y.x) = f (y.x)p(x) ,
ce qui permet d’obtenir, pour tout x de G et tout y de V ,
|f (x.y) − f (y.x)| < εp(x) .
(2)
Soit h un élément de K+ (G) à support dans V et vérifiant, pour tout y de G
h(y) = h(y −1 ) .
(Ceci est toujours possible, quitte à remplacer h(y) par h(y) + h(y −1 )). Posons
u(x, y) = h(y)f (x.y) .
On obtient une fonction continue sur G × G. D’autre part, si x n’est pas dans U , et si y est dans V ,
alors x.y n’est pas dans Gf , et f (x.y), donc u(x, y), est nul. Si y n’est pas dans V , alors h(y) est nul,
donc u(x, y) aussi. Ceci montre que u à son support inclus dans U × V , donc a un support compact.
Alors, si I et J sont deux mesures de Haar à droite sur G,
uJ (y) = J(uy ) = J(h(y)δ(y)f ) = h(y)J(δ(y)f ) = h(y)J(f ) et
I(uJ ) = I(h)J(f ) .
Posons
v(x, y) = h(y)f (y.x)
et
w(x, y) = h(y.x−1 )f (y) = h(x.y −1 )f (y) .
On montre, comme pour u, que v et w sont dans K (G × G), et l’on obtient
I v(x)
= I(hδ(x)f ) = I(δ(x−1 )hf ) = I(x w) = I w(x) .
Or
wJ (y) = J(δ(y −1 )hf (y)) = f (y)J(h)
et J(I w) = I(wJ ) = I(f )J(h) .
On trouve donc
I(vJ ) = J(I v) = J(I w) = I(f )J(h) .
En multipliant par h(y) les deux membres de l’inégalité (2), on tire, pour tout x de G et tout y de V ,
|u(x, y) − v(x, y)| ≤ εp(x)h(y) .
Mais, si y n’est pas dans V , alors h(y) est nul. Cette inégalité est donc valable pour tout x et tout y
dans G, et l’on a successivement
−εp(x)h(y) ≤ u(x, y) − v(x, y) ≤ εp(x)h(y) ,
DV 32
puis
−εph(y) ≤ uy − vy ≤ εph(y) ,
d’où
−εJ(p)h(y) ≤ J(uy ) − J(vy ) ≤ εJ(p)h(y) .
Par suite
−εJ(p)I(h) ≤ I(uJ ) − I(vJ ) ≤ εJ(p)I(h) ,
et finalement
|I(h)J(f ) − I(f )J(h)| ≤ εJ(p)I(h) .
Soit g un autre élément de K+ (G). On peut recommencer les calculs en prenant q dans K+ (G) à la
place de p, et on peut s’arranger pour que h puisse servir à la fois pour f et pour g. On obtient une
inégalité du même type
|I(h)J(g) − I(g)J(h)| ≤ εJ(q)I(h) .
Si f et g ne sont pas nuls, alors I(f ) et I(g) ne sont pas nuls, et l’on tire
J(g) J(h) J(f ) J(h) J(p)
J(q)
I(f ) − I(h) ≤ ε I(f ) et I(g) − I(h) ≤ ε I(g) ,
d’où
J(f ) J(g) J(p) J(q)
I(f ) − I(g) ≤ ε I(f ) + I(g) .
Comme p et q ne dépendent que de f et g, et que cette inégalité a lieu pour tout ε, il s’en suit que le
membre de gauche est nul, et donc que
J(f )
J(g)
=
= λ.
I(f )
I(g)
Le nombre réel J(f ) − λI(f ) est donc nul pour tout f de K+ (G), et par linéarité, ce résultat s’étend
à toute fonction de K (G). Il en résulte que I et J sont proportionnelles, ce qui achève la démonstration.
Remarque
Nous avons utilisé dans ce qui précède la notion de mesure de Haar à droite, qui est celle utilisée dans
le livre de G. Hochschild : “ La structure des groupes de Lie “. Pour la réciproque du théorème de
Haar, nous utiliserons la notion de mesure de Haar à gauche, qu’utilise André Weil dans son livre :
“ L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications “. Nous appellerons mesure de Haar
à gauche, une mesure positive sur G, non identiquement nulle, et vérifiant
I(γ(x)f ) = I(f )
pour tout f de K (G), et tout x de G, où γ(x)f désigne la fonction définie par
γ(x)f (y) = f (x−1 .y) .
L’opération γ a les mêmes propriétés que l’opération δ.
DV 33
Proposition 16 Il y a une bijection entre l’ensemble des mesures de Haar à droite sur G et celui
des mesures de Haar à gauche sur G.
Si f est dans K (G), notons fˇ(x) la quantité f (x−1 ). L’application qui à f associe fˇ est un automorphisme involutif de K (G). Si I est une mesure de Haar à gauche ou à droite sur G, posons
ˇ ) = I(fˇ) .
I(f
Alors Iˇ est une mesure positive sur G. On a
ˇ
\
δ(x)f
(y) = δ(x)f (y −1 ) = f (y −1 .x) = fˇ(x−1 .y) = γ(x)fˇ(y) ,
donc
ˇ
\
ˇ
I(δ(x)f
) = I(δ(x)f
) = I(γ(x)fˇ) .
De même,
ˇ
\
γ(x)f
(y) = γ(x)f (y −1 ) = f (x−1 .y −1 ) = f ((y.x)−1 ) = fˇ(y.x) = δ(x)fˇ(y) ,
donc
ˇ
I(γ(x)f
) = I(δ(x)fˇ) .
Il en résulte que Iˇ est une mesure de Haar à gauche si I est une mesure de Haar à droite et réciproˇ est une bijection de l’ensemble des mesures de Haar à droite
quement. L’application qui à I associe I,
sur celui des mesures de Haar à gauche. Le théorème de Haar assure donc l’existence d’une mesure
de Haar à gauche unique, à une constante multiplicative près, sur un groupe topologique localement
compact, et une telle mesure existe, dès qu’il existe une application I + de K+ (G) dans R+ , vérifiant
les conditions i, ii, iii, de la page 18, ainsi que la condition iv’) suivante :
pour tout x de G et tout f de K+ (G)
I + (γ(x)f ) = I + (f ) .
DV 35
Réciproque du théorème de Haar
Dans cette partie, une mesure positive sera une application m définie sur la tribu T , à valeurs dans
[ 0, +∞ ] , et telle que
1) m(∅) = 0
2) m
[
n
An
!
=
X
m(An )
n
pour toute suite (An )n≥0 d’éléments deux à deux disjoints de la tribu.
Soit G un groupe topologique et T une tribu de parties de G.
Dans ce qui suit, m désignera une mesure positive et complète sur G relativement à la tribu T , c’està-dire contenant toute partie contenue dans un ensemble de mesure nulle.
On désignera par T0 l’ensemble des éléments de T de mesure finie non nulle.
La mesure définie par m sur G × G sera notée m2 , et la tribu des parties de G × G relative à cette
mesure sera T2 .
Si f est une fonction
numérique
mesurable positive, ou une fonction intégrable sur G pour m, on
R
R
désignera par f.dm, ou par f (x) dx l’intégrale de f prise au moyen de m.
Si f est une fonction
numérique
R
RR mesurable positive ou une fonction intégrable sur G × G pour m2 , on
désignera par f.dm2 ou par
f (x, y) dx.dy l’intégrale de f prise au moyen de m2 .
On notera L2 (G) l’espace de Hilbert des fonctions f numériques mesurables telles que
fini, muni de la norme
1/2
Z
.
|f |2 .dm
||f || 2 =
R
|f |2 .dm soit
Si A est une partie de G, la fonction caractéristique de A sera notée 1lA .
On désignera par T l’application de G × G dans lui même qui à (x, y) associe (y −1 .x, y). Alors
T −1 (x, y) = (y.x, y) .
On suppose que la tribu T vérifie les deux propriétés suivantes :
(T 1) si A est dans T et s dans G, l’ensemble s.A est aussi dans T ;
DV 36
(T 2) si A est dans T2 , alors T (A) et T −1 (A) sont aussi dans T2 .
Réciproque du théorème de Haar
Si la mesure m définie sur G relativement à une tribu
T vérifiant les propriétés (T 1) et (T 2), est telle que
(M 1) m(s.A) = m(A) pour tout s de G et tout A de T ;
(M 2) pour tout s de G \ {e} il existe A dans T0 tel tel que
m(A ∩ s.A) < m(A) ,
alors, on peut définir sur G une topologie, de telle sorte que G soit isomorphe à un sous-groupe
partout dense d’un groupe topologique G.
De plus, toute fonction f de K (G) est mesurable sur G, et il existe une mesure de Haar à gauche
de G telle que l’intégrale de toute fonction f sur G prise au moyen de m, soit identique à la valeur
prise par la mesure de Haar à gauche sur cette fonction.
Nous allons démontrer ce résultat au moyen de propositions successives.
Proposition 17 Pour tout s de G,
− si f est mesurable, il en est de même de γ(s)f ,
− si f est intégrable, il en est de même de γ(s)f , et
Z
Z
f.dm = γ(s)f.dm .
Soit f mesurable, et B un borélien de R ; l’ensemble f −1 (B) est donc dans T . Alors, si s est dans G,
l’ensemble s.f −1 (B) est aussi dans T , mais ce n’est autre que (γ(s)f )−1 (B). Il en résulte que γ(s)f
est mesurable.
Soit A dans T . On a les égalités
γ(s) 1lA (x) = 1lA (s−1 .x) = 1ls.A (x) ,
d’où
Z
1lA .dm = m(A) = m(s.A) =
Z
1ls.A .dm =
Z
γ(s) 1lA .dm .
La proposition est vraie pour les fonctions caractéristiques d’ensembles, et, par linéarité, pour toute
fonction étagée positive.
Soit f mesurable positive, et (fn ) une suite croissante de fonctions étagées positives tendant simplement
vers f . Alors (γ(s)fn ) est une suite croissante de fonctions étagées positives tendant vers γ(s)f , et
comme, pour tout n,
Z
Z
fn .dm =
γ(s)fn .dm ,
DV 37
le théorème de convergence monotone donne
Z
Z
f.dm = γ(s)f.dm .
Enfin, si f est intégrable,
et
Z
Z
f+ .dm =
Z
f− .dm =
Z
γ(s)f+ .dm =
Z
(γ(s)f )+ .dm ,
γ(s)f− .dm =
Z
(γ(s)f )− .dm .
Toutes ces quantités sont donc finies, et par différence, on obtient le résultat pour f intégrable quelconque.
Corollaire 4
L2 (G).
L’application qui à f associe γ(s)f , pour s fixé dans G, est une isométrie de
Il suffit d’appliquer ce qui précède à |f |2 .
Proposition 18
- Soit f une fonction m2 −mesurable. Alors f ◦ T et f ◦ T −1 sont mesurables.
- Soit f une fonction m2 −intégrable, alors f ◦ T et f ◦ T −1 sont m2 −intégrables, et de plus
Z
Z
Z
−1
f ◦ T.dm2 = f ◦ T .dm2 = f.dm2 .
Soit B un borélien de R, alors f −1 (B) est dans T , puis T −1 (f −1 (B)). Mais ce dernier ensemble n’est
autre que (f ◦ T )−1 (B). Il en résulte que f ◦ T est mesurable. De la même façon f ◦ T −1 est mesurable.
Soit f une fonction mesurable positive. En appliquant le théorème de Fubini
Z
ZZ
Z
Z
f ◦ T.dm2 =
f ◦ T (x, y) dx.dy = dy f (y −1 .x, y) dx .
Or, pour tout y, on a, d’après la proposition 17,
Z
Z
Z
Z
−1
f (y .x, y) dx = γ(y)fy .dm = fy .dm = f (x, y) dx ,
d’où
Z
f ◦ T.dm2 =
Z
dy
Z
f (x, y) dx =
Z
f.dm2 .
DV 38
Enfin, si f est intégrable,
(f ◦ T )+ = f+ ◦ T
et (f ◦ T )− = f− ◦ T ,
et les intégrales de ces fonctions sont finies. Alors par différence on obtient l’égalité voulue pour toute
fonction f qui est m2 −intégrable.
La démonstration est analogue pour f ◦ T −1 .
Corollaire 5
L’application qui à f associe f ◦ T (ou f ◦ T −1 ) est une isométrie de L2 (G × G).
Là aussi on applique ce qui précède à |f |2 .
Proposition 19 Soit Φ dans L2 (G). Pour tout ε positif, et toute partie E appartenant à T0 , il
existe A dans T0 inclus dans E, et tel que, pour tout couple (s, t) de A × A on ait
Z
|Φ(s.x) − Φ(t.x)|2 dx < ε2 .
Soit (Φi ) un système orthonormal complet de fonctions de L2 (G). Les fonctions Ψij définies par
Ψij (x, y) = Φi (x)Φj (y)
constituent un système orthonormal complet de fonctions de L2 (G × G).
La fonction f qui à (x, y) associe Φ(x) 1lE (y) est dans L2 (G × G). Alors, d’après le corollaire précédent,
il en est de même de la fonction f ◦ T −1 qui à (x, y) associe Φ(y.x) 1lE (y).
Soit ε positif, et η strictement inférieur à m(E)δ2 , où δ = ε/4. Il existe un nombre fini de fonctions
Ψij et de coefficients cij , tels que
ZZ
X
|Φ(y.x) 1lE (y) −
cij Ψij (x, y)|2 dx.dy ≤ η .
i,j
On minore l’intégrale en multipliant la fonction à intégrer par 1lE , ce qui donne
ZZ
X
1lE (y)|Φ(y.x) −
cij Ψij (x, y)|2 dx.dy ≤ η .
i,j
Posons
ϕ(y) =
Z
|Φ(y.x) −
X
i,j
cij Ψij (x, y)|2 dx .
DV 39
D’après le théorème de Fubini, la fonction 1lE ϕ est mesurable et intégrable, et
Z
1lE (y)ϕ(y) dy ≤ η .
L’ensemble B des points de E où ϕ(y) est supérieur ou égal à δ2 est donc mesurable, car c’est
(1lE ϕ)−1 ( [ δ2 , +∞ ] ). On obtient
Z
Z
η ≥ 1lB ϕ.dm ≥ 1lB δ2 .dm ≥ δ2 m(B) .
On a donc
η
< m(E) .
δ2
Si l’on appelle B ′ le complémentaire de B dans E, la mesure de B ′ n’est pas nulle, et, pour tout s de
B ′ , on a
X
||γ(s−1 )Φ −
cij Φj (s)Φi || 2 = ϕ(s)1/2 < δ .
m(B) ≤
i,j
γ(s−1 )Φ
L2 (G)
La fonction
est donc dans
à une distance inférieure à δ de l’espace vectoriel V de
dimension finie, des combinaisons linéaires des Φi utilisés. Cet espace vectoriel peut être recouvert par
une infinité dénombrable de boules de rayon δ et de centre ξj . Considérons alors les boules B(ξj , 2δ),
et soit s dans B ′ . Il existe un point ξ de V et un ξi tels que
||γ(s−1 )Φ − ξ || 2 < δ
et ||ξi − ξ || 2 < δ .
Alors, la distance de ξi à γ(s−1 )Φ est inférieure à 2δ , et γ(s−1 )Φ se trouve dans 1a réunion des boules
B(ξj , 2δ).
Soit Ai l’ensemble des éléments s de B ′ tels que γ(s−1 )Φ soit dans B(ξi , 2δ). Cet ensemble est mesurable.
En effet, la fonction qui à (x, y) associe Φ(y.x) 1lB ′ (y) − ξi (x). 1lB ′ (y) se trouve dans L2 (G × G), et si
l’on pose
Z
ζi (y) =
|Φ(y.x) − ξi (x)|2 dx ,
d’après le théorème de Fubini, la fonction 1lB ′ ζi est mesurable, donc (1lB ′ ζi )−1 ( [ 0, 4δ2 [ ) est mesurable, mais ce n’est autre que (G \ B ′ ) ∪ Ai , et, comme G \ B ′ et Ai sont disjoints, la mesurabilité de
G \ B ′ entraine celle de Ai .
On a alors
′
0 < m(B ) ≤
∞
X
m(Ai ) ,
i=1
et il y a donc au moins un Ai de mesure non nulle ; appelons A cet ensemble. Si s et t sont dans A, on
a alors
||γ(s−1 )Φ − γ(t−1 )Φ || 2 < 4δ = ε ,
d’où
Z
|Φ(s.x) − Φ(t.x)|2 dx = ||γ(s−1 )Φ − γ(t−1 )Φ || 22 < ε2 .
DV 40
Enfin, A est inclus dans E donc a une mesure finie. Il répond à la question.
Définition d’un système fondamental de voisinages de l’unité
Soit W (Φ, ε) l’ensemble des éléments s de G tels que
||γ(s)Φ − Φ || 2 < ε .
D’après la proposition précédente, pour tout E de T0 , il existe A dans T0 , inclus dans E, tel que, si s
et t sont dans A,
||γ(t.s−1 )Φ − Φ || 2 = ||γ(t−1 )Φ − γ(s−1 )Φ || 2 < ε .
Cela signifie que l’ensemble A.A−1 est inclus dans W (Φ, ε) ∩ E.E −1 . Soit A dans T0 . L’ensemble
W (1lA , ε) est constitué des s tels que
Z
| 1lA (s−1 .x) − 1lA (x) |2 dx < ε2 .
Si s−1 x et x sont tous deux dans A, ou tous deux dans G \ A, la fonction à intégrer est nulle. Dans les
autres cas, elle vaut 1 : c’est la fonction caractéristique de (s.A \ A) ∪ (A \ s.A), et l’intégrale vaut
m(s.A) − m(A ∩ s.A) + m(A) − m(A ∩ s.A) = 2(m(A) − m(A ∩ s.A)) < ε2 .
On peut donc caractériser W (1lA , ε) de la manière suivante : c’est l’ensemble des éléments s de G tels
que
ε2
.
m(A ∩ s.A) > m(A) −
2
Alors, si l’on prend ε2 strictement inférieur à 2m(A), la mesure de A ∩ s.A n’est pas nulle, et cet
ensemble n’est donc pas vide, auquel cas s se trouve dans A.A−1 et W (1lA , ε) est inclus dans A.A−1 .
Soit
V1 = {A.A−1 | A ∈ T0 } et V2 = {W (Φ, ε) | Φ ∈ L2 (G), ε > 0} .
Nous allons montrer que ces deux familles constituent des systèmes fondamentaux de voisinages de e
dans G.
Du fait des inclusions obtenues ci-dessus, il suffira de montrer les propriétés (GT) pour un seul de ces
ensembles.
(GT 1) Puisque γ(e)Φ − Φ est nulle, il est clair que W (Φ, ε) contient toujours e. D’après la propriété
(M 2), il existe, pour tout s de G \ {e} un élément A de T0 tel que
||γ(s) 1lA − 1lA || 22 = 2(m(A) − m(A ∩ s.A)) > 0 .
Si l’on prend
ε2 < 2(m(A) − m(A ∩ s.A)) ,
DV 41
alors s n’appartient pas à W (1lA , ε) et ne pourra pas appartenir à l’intersection des W (Φ, ε) lorsque Φ
décrit L2 (G) et ε décrit ] 0, +∞ [ . Il en résulte que e est le seul point de cette intersection.
(GT II) Soit A et B dans T0 . Il existe E dans T0 inclus dans B, tel que E.E −1 soit inclus dans
W (1lA , ε) ∩ B.B −1 et pour ε assez petit, ceci est inclus dans A.A−1 ∩ B.B −1 .
(GT III) Soit s et t dans W (Φ, ε/2). On a
||γ(s.t−1 )Φ − Φ || 2 = ||γ(s−1 )Φ − γ(t−1 )Φ || 2 ≤ ||γ(s)Φ − Φ || 2 + ||γ(t)Φ − Φ || 2 < ε .
Donc s.t−1 est dans W (Φ, ε), et l’on a l’inclusion
W (Φ, ε/2).W (Φ, ε/2)−1 ⊂ W (Φ, ε) .
(GT IV) Soit A dans T0 . On a l’égalité
x.A.A−1 .x−1 = (x.A).(x.A)−1 .
Or, x.A est dans T0 puisqu’il a même mesure que A, donc x.A.A−1 .x−1 est dans V1 .
Le groupe G possède donc une structure de groupe topologique séparé. De plus on a la propriété (S)
suivante :
Pour tout voisinage de l’unité V , pour tout élément E de T0 , il existe A dans T0 tel que A soit inclus
dans E et A.A−1 soit inclus dans V .
Proposition 20 Pour qu’un ensemble E de G soit borné, il suffit qu’il existe un élément A de
T0 tel que E.A soit de mesure intérieure finie.
On rappelle que la mesure intérieure d’un ensemble est la borne supérieure des mesures des éléments
de T inclus dans cet ensemble.
Démontrons la contraposée de cette proposition.
Supposons E non borné. Il existe un voisinage V de e, tel que, pour toute suite finie x1 , . . . , xp de
points de E, l’ensemble E ne soit pas inclus dans la réunion des xi .V .
Soit s1 quelconque dans E. On construit par récurrence une suite (sn ) de points de E, telle que, pour
tout entier n, l’élément sn n’appartienne pas à si .V lorsque 1 ≤ i ≤ n − 1.
Supposons la suite construite jusqu’au rang n. Alors, E n’est pas inclus dans s1 .V ∪ · · · ∪ sn .V et l’on
peut choisir sn+1 dans le complémentaire dans E de cette réunion. On obtient ainsi le terme de rang
n + 1 de la suite.
DV 42
D’après la propriété (S), il existe B dans T0 tel que B soit inclus dans A et B.B −1 soit inclus dans V .
Soit i > j. Si si .B et sj .B n’étaient pas disjoints, l’élément si serait dans sj .B.B −1 donc dans sj .V , ce
qui n’est pas vrai par construction. Donc, les si .B sont deux à deux disjoints. Alors on a les inclusions
∞
[
i=1
si .B ⊂ E.B ⊂ E.A .
L’ensemble de gauche est mesurable et sa mesure vaut
!
∞
∞
∞
X
X
[
m(B) = +∞ .
m(si .B) =
si .B =
m
i=1
i=1
i=1
Il en résulte que E.A n’est pas de mesure intérieure finie.
Il existe un voisinage de e de mesure intérieure finie.
Proposition 21
Soit B1 et B2 deux éléments de T0 . D’après la proposition 18 et le théorème de Fubini, on a
ZZ
Z
m(B1 )m(B2 ) =
1lB1 (y −1 .x) 1lB2 (y) dx.dy = m(x.B1−1 ∩ B2 ) dx .
L’ensemble x.B1−1 ∩ B2 est donc mesurable pour presque tout x et, comme m(B1 )m(B2 ) est fini et
non nul, l’ensemble des x tels que x.B1−1 ∩ B2 soit de mesure finie et non nulle est mesurable et de
mesure non nulle. Il n’est donc pas vide, et l’on peut trouver x tel que x.B1−1 ∩ B2 soit dans T0 , auquel
cas x−1 .B2 ∩ B1−1 sera aussi dans T0 puisqu’il a même mesure que le précédent. Il en résulte que B1−1
contient un ensemble de T0 et, si y est dans B1 , l’ensemble y.(B1−1 ∩ x−1 .B2 ) appartient à T0 et est
inclus dans B1 .B1−1 . On en déduit que tout voisinage de e contient un élément de T0 .
Posons
A = B −1 ∩ x−1 .B2
et
avec m(A) > ε2 /2.
W = W (1lA , ε) = {s | m(A ∩ s.A) > m(A) − ε2 /2} ,
Soit B mesurable et inclus dans W . Les fonctions qui à (x, y) associent 1lA (x) 1lB (y) et 1lA (y −1 .x) 1lB (y)
sont mesurables. Le théorème de Fubini, donne alors pour la fonction Ψ produit des précédentes
Z
Z
Z
Z
−1
Ψ.dm2 = 1lB (y) dy 1lA (x) 1lA (y .x) dx = 1lB (y)m(A ∩ y.A) dy ,
d’où
Z
Ψ.dm2 ≥
Z
1lB (y)(m(A) − ε2 /2) dy = m(B)(m(A) − ε2 /2) .
Mais, l’inclusion de A dans B1−1 implique l’inégalité
1lA (x) ≤ 1lB1 (x−1 ) ,
DV 43
d’où
ZZ
Ψ(x, y) dx.dy ≤
ZZ
1lA (x) 1lB1 (x−1 .y) dx.dy = m(A)m(B1 ) .
Il résulte des inégalités précédentes que
m(B) ≤
m(A)m(B1 )
.
m(A) − ε2 /2
On en déduit que W est de mesure intérieure finie.
Proposition 22
Il existe un voisinage de l’unité borné.
Soit W un voisinage de e de mesure intérieure finie, et V un voisinage de e tel que V 2 soit inclus dans
W . Il existe un élément A de T0 inclus dans V . Alors V.A est inclus dans W , et comme W est de
mesure intérieure finie, il en est de même de V.A. Alors, d’après la proposition 20, l’ensemble V est
borné.
Cette proposition permet de démontrer la première partie de la réciproque du théorème de Haar,
puisque l’existence d’un voisinage de l’unité borné est une condition suffisante pour que G soit isomorphe à un sous-groupe dense d’un groupe localement compact.
Proposition 23
mesure non nulle.
Tout voisinage de l’unité contient un voisinage de e qui est mesurable et de
Soit A dans T0 . On sait qu’il existe B et C dans T0 tels que B soit inclus dans A−1 et C dans B −1
(donc C est inclus dans A). On a vu que x.B −1 ∩ A est mesurable pour tout x sauf au plus sur un
ensemble N de mesure nulle, et que l’ensemble W ′ des x tels que x.B −1 ∩A soit mesurable et de mesure
non nulle, est de mesure non nulle.
Si x appartient à W ′ , l’ensemble x.B −1 ∩ A n’est pas vide, donc x est dans A.B. Par suite W ’ est
inclus dans A.B donc dans A.A−1 .
Soit ε2 strictement inférieur à 2m(C), et x dans W (1lC , ε). La mesure de x.C ∩ C est non nulle. Alors,
ou bien x.B −1 ∩ A est mesurable, et comme il contient x.C ∩ C, sa mesure n’est pas nulle, donc x
appartient à W ′ , ou bien x.B −1 ∩ A n’est pas mesurable et x est dans N . On a donc l’inclusion de
W (1lC , ε) dans W ′ ∪ N . Soit
N ′ = N ∩ A.A−1
et W = W ′ ∪ N ′ .
La mesure m étant complète, l’ensemble N ′ est mesurable de mesure nulle, et W est aussi mesurable,
et l’on a
m(W ′ ) = m(W ) 6= 0 .
DV 44
Comme N ′ et W ′ sont inclus dans A.A−1 , il en est de même de W qui contient par ailleurs W (1lC , ε).
C’est donc un voisinage de e.
On a bien trouvé un ensemble mesurable, de mesure non nulle dans A.A−1 ce qui donne la proposition.
Corollaire 6
Il existe un voisinage de l’unité de mesure finie non nulle.
Soit V un voisinage de e de mesure intérieure finie. Il contient un voisinage de l’unité de mesure non
nulle, alors ce voisinage est de mesure finie non nulle.
Nous pouvons achever maintenant la démonstration de la réciproque du théorème de
Haar.
Soit f une fonction positive sur G qui admette sur G un prolongement continu, nul en dehors d’un
compact de G. Il faut et il suffit pour cela que f soit uniformément continue sur G, et nulle en dehors
d’un ensemble borné de G. (Voir proposition 11).
Soit ε ≥ 0, et E l’ensemble des éléments x dont l’image par f est strictement supérieure à ε. Comme
f est uniformément continue sur G, il existe un voisinage Wn de e, que l’on peut supposer mesurable
et de mesure non nulle, tel que, si x appartient à s.Wn ,
|f (x) − f (s)| <
1
.
n
En particulier, si s appartient à
En = {s | f (s) > ε + 1/n} ,
alors x est dans E. D’autre part
1
> ε,
n
ce qui montre que En .Wn est inclus dans E. Comme f est nulle en dehors d’un ensemble borné de G,
il en résulte que En est borné. Il existe s1 , . . . , sp dans En tels que
f (x) > f (s) −
En ⊂ En′ =
n
[
si .Wn .
i=1
L’ensemble En′ est mesurable et est inclus dans En .Wn , donc dans E.
Puisque E est la réunion des En , on en conclut que c’est aussi la réunion des En′ , donc que E est
mesurable. Ceci étant valable pour tout ε, on en déduit que f est mesurable.
Soit W un voisinage de e mesurable, de mesure finie. L’ensemble
E ′ = {x | f (x) > 0}
DV 45
est borné, donc inclus dans une réunion finie de q ensembles si .W . On a
′
m(E ) ≤
q
X
i=1
m(si .W ) ≤ q.m(W ) < ∞ .
Comme E ′ est inclus dans un compact de G, la fonction f est bornée sur E ′ , qui est de mesure finie,
donc f est intégrable sur G pour m.
Si f n’est pas identiquement nulle, il existe s, tel que f (s) soit non nul, et un voisinage W de e, que
l’on peut supposer mesurable et de mesure non nulle, tel que f (x) ne s’annule pas sur s.W . On a alors
Z
f (x) dx > 0 .
Soit maintenant
Φ dans K+ (G). La fonction Φ 1lG est intégrable pour m, et l’application I + qui à Φ
R
associe Φ 1lG .dm, vérifie
i) I + n’est pas identiquement nulle,
ii) I + (rΦ) = rI + (Φ), pour tout Φ de K+ (G) et tout réel r positif,
iii) I + (Φ + Ψ) = I + (Φ) + I + (Ψ), quels que soient Φ et Ψ dans K+ (G).
De plus, si t0 est dans G et Φ dans K+ (G), on a
Z
Z
Z
+
−1
I (γ(t0 )Φ) = γ(t0 )Φ 1lG .dm = Φ(t0 .x) 1lG (x) dx = (Φ. 1lG )(t−1
0 .x) dx ,
et donc
I + (γ(t0 )Φ) =
c’est-à-dire
Z
Φ 1lG .dm = I + (Φ) ,
I + (γ(t)Φ) = I + (Φ) ,
quels que soient t dans G, et Φ dans K+ (G).
Fixons s dans G, et soit η positif. Comme Φ est dans K+ (G), elle est uniformément continue sur G ,
et il existe un voisinage U de e dans G tel que, pour tout t′ de G et tout t de U.t′ , on ait
|Φ(t) − Φ(t′ )| < η .
En particulier, si t−1 se trouve dans U.s−1 , pour tout x de G, l’élément t−1 .x appartient à U.s−1 .x
donc
|Φ(t−1 .x) − Φ(s−1 .x)| < η .
Mais G est dense dans G, ce qui signifie que dans U.s−1 il existe un élément t−1
0 de G. Donc, pour tout
x de G, on a
−1
|Φ(t−1
0 .x) − Φ(s .x)| < η .
La fonction |γ(t0 )Φ − γ(s)Φ| est un élément de K+ (G), et l’on a l’inclusion
{x | |γ(t0 )Φ(x) − γ(s)Φ(x)| > 0} ⊂ {x | γ(t0 )Φ(x) > 0} ∪ {x | γ(s)Φ(x) > 0} .
DV 46
Or γ(s)Φ est dans K+ (G), donc {x ∈ G | γ(s)Φ(x) > 0} est mesurable et de mesure finie. D’autre part
{x ∈ G | γ(t0 )Φ(x) > 0} = t0 .{x ∈ G | Φ(x) > 0} .
Cet ensemble est donc mesurable de mesure finie. On a alors
m({x ∈ G | |γ(t0 )Φ(x) − γ(s)Φ(x)| > 0}) ≤ M ,
où
M = m({x ∈ G | γ(s)Φ(x) > 0}) + m{x ∈ G | Φ(x) > 0})
est une constante ne dépendant que de s. Il en résulte que
Z
|γ(t0 )Φ − γ(s)Φ| 1lG .dm ≤ ηM .
D’autre part, on a l’égalité,
I + (γ(t0 )Φ) = I + (Φ) ,
et donc
|I + (γ(s)Φ) − I + (Φ)| = |I + (γ(s)Φ) − I + (γ(t0 )Φ)| ≤ ηM .
Comme ceci est vrai pour tout η , on en déduit que I + vérifie la propriété
iv’) I + (γ(s)Φ) = I + (Φ)
pour tout s de G et tout Φ de K+ (G).
Alors, I + définit une mesure de Haar à gauche sur G.
Proposition 24 Soit G un groupe topologique séparé localement compact et m une mesure
positive sur G satisfaisant à (T 1), (T 2) et (M 1), ainsi qu’à
(MT 1) tout voisinage de l’unité contient un ensemble mesurable de mesure finie non nulle
(MT 2) il y a dans l’espace L2 (G) formé sur G au moyen de m, un ensemble partout dense formé
de fonctions uniformément continues à gauche sur G.
Alors m satisfait aussi à (M 2), et la topologie de G coïncide avec celle définie par m.
Soit V l’ensemble des voisinages de e pour la topologie définie a priori sur G. Soit s dans G \ {e}. Le
groupe G étant séparé, il existe U dans V tel que U ∩ s.U soit vide. Alors, d’après (MT 1), il existe A
dans T0 et inclus dans U . L’ensemble A ∩ s.A est vide, et
0 = m(A ∩ s.A) < m(A) ,
ce qui donne (M 2).
Soit V dans V et U dans V tel que U.U −1 soit inclus dans V . Il existe A dans T0 inclus dans U . Alors
A.A−1 est inclus dans V .
DV 47
Soit ε positif et Φ dans L2 (G), non nulle. D’après (MT 2), il existe f dans L2 (G) uniformément continue
à gauche, non nulle, telle que
||γ(s)f − γ(s)Φ || 2 = ||f − Φ || 2 <
Soit s dans W (f, ε/3), on a
||γ(s)f − f || 2 <
ε
.
3
ε
,
3
d’où
||γ(s)Φ − Φ || 2 ≤ ||γ(s)Φ − γ(s)f || 2 + ||γ(s)f − f || 2 + ||f − Φ || 2 < ε .
Donc W (f, ε/3) est inclus dans W (Φ, ε).
Soit alors
Eα = {x | |f (x)|2 > α2 } .
Comme f 2 est mesurable et intégrable pour m, l’ensemble Eα est mesurable et de mesure finie pour
α > 0. Notons Eα′ le complémentaire de Eα dans G. Il existe α tel que
Z
δ2
′ (x) dx <
|f (x)|2 1lE2α
,
3
où δ = ε/3.
En raison de la continuité uniforme à gauche de f , il existe V0 dans V tel que, si y est dans V0 .x, on
ait
|f (y) − f (x)| < α .
Alors, si s−1 est dans V0 , on a pour tout x de G,
|f (s−1 .x) − f (x)| < α .
Si x appartient à Eα′ et si s−1 est dans V0 , on a
|f (s−1 .x)| ≤ |f (s−1 .x) − f (x)| + |f (x)| < 2α ,
′ . Alors
donc s−1 Eα′ est inclus dans E2α
Z
Z
Z
δ2
−1
2
2
′ (x) dx <
′
.
|f (s .x)| 1lEα (x) dx = |f (x) | 1ls−1 .Eα′ (x) dx ≤ |f (x)2 | 1lE2α
3
Il existe V dans V symétrique et inclus dans V0 tel que, si y est dans V.x, on ait
Alors, si s−1 est dans V , on obtient
Z
|f (y) − f (x)| < p
δ
3m(Eα )
1lEα |f (s−1 .x) − f (x)|2 dx <
.
δ2
.
3
DV 48
On en déduit finalement
Z
Z
Z
|f (s−1 .x) − f (x)|2 ≤ |f (s−1 .x) − f (x)|2 1lEα (x) dx + (|f (s−1 .x)|2 + |f (x)|2 ). 1lEα′ (x) dx < δ2 ,
ce qui donne
ε
.
3
Par suite, V est inclus dans W (f, ε/3) donc dans W (Φ, ε), ce qui montre que tout W (Φ, ε) contient
un élément de V . Ceci prouve bien que les deux topologies coïncident.
||γ(s)f − f || 2 <