Grands théorèmes de l`analyse fonctionnelle

Grands théorèmes de l’analyse
fonctionnelle - MAT 321
ÉCOLE POLYTECHNIQUE –
Grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle
Frank Pacard
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Exemple d’espace de Banach
Exemple : L’espace (`∞ (N; K), k k∞ ) est un espace de Banach.
Dém : Soit (xm )m≥0 est une suite de Cauchy de (`∞ (N, ; K), k k∞ ).
On note
xm := (xnm )n∈N ,
où xnm ∈ K.
Par définition, pour tout ε > 0, il existe m0 ≥ 0 tel que, pour tous m, m0 ≥ m0 ,
0
sup |xnm − xnm | < ε.
n≥0
Donc, pour chaque n ≥ 0, la suite (xnm )m≥0 est une suite de Cauchy dans (K, | |), qui est
un espace métrique complet. Cette suite converge vers une limite que l’on note zn ∈ K.
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Exemple d’espace de Banach
On note z := (zn )n≥0 . Vérifions que z ∈ `∞ (N; K) et que
lim xm = z.
m→+∞
On sait que
0
sup |xnm − xnm | < ε.
n≥0
pour m, m0 ≥ m0 .
Donc
|xnm − zn | ≤ ε,
pour tout m ≥ m0 .
Finalement, la suite z est bornée (prendre par exemple ε = 1) et la suite (xm )m≥0 converge
vers z pour la norme k k∞ .
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Exemple d’espace de Banach
Exemple : L’espace C ([0, 1]; R) muni de la norme kf k∞ = supx∈[0,1] |f (x)| est complet.
Dém : Soit (fm )m≥0 est une suite de Cauchy de (C ([0, 1]; R), k k∞ ). Par définition, pour
tout ε > 0, il existe n0 ≥ 0 tel que, pour tous m, n ≥ n0 ,
sup |fn (x) − fm (x)| < ε.
x∈[0,1]
Donc, pour chaque x ∈ [0, 1], la suite (fn (x))n≥0 est une suite de Cauchy dans (R, | |),
qui est un espace métrique complet. Cette suite converge vers une limite que l’on note
f (x) ∈ R.
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Exemple d’espace de Banach
Vérifions que f ∈ C ([0, 1]; R) et que limm→+∞ kfn − f k∞ = 0.
On sait que pour tout ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que
sup |fn (x) − fm (x)| < ε.
x∈[0,1]
pour m, n ≥ n0 .
Donc, pour tout ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que
sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε.
x∈[0,1]
pour tout n ≥ n0 .
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Exemple d’espace de Banach
La fonction fn0 est continue en tout point de [0, 1], donc il existe δ > 0 tel que
|y − x| < δ
⇒
|fn0 (y ) − fn0 (x)| < ε.
Écrivons
|f (y ) − f (x)| ≤ |f (y ) − fn0 (y )| + |fn0 (y ) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − f (x)|.
Conclusion, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que
|y − x| < δ
⇒
|f (y ) − f (x)| < 3 ε,
ce qui montre que f est continue sur [0, 1].
Finalement, la suite (fn )n≥0 converge vers f dans (C ([0, 1]; R), k k∞ ).
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Applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés
Proposition (Caractérisation des applications linéaires continues)
Soient (E , k kE ) et (F , k kF ) deux espaces vectoriels normés et L : E → F une application
linéaire. Alors, les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) L est continue sur E ;
(ii) L est continue en 0 ;
(iii) il existe une constante C > 0 telle que
kL(x)kF ≤ C kxkE ,
pour tout x ∈ E .
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Applications linéaires continues
On note L(E , F ) l’espace vectoriel des applications linéaires de E dans F et L(E , F ) le
sous-espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F .
Si L ∈ L(E , F ), on peut définir
kLkL(E ,F ) :=
kL(x)kF
kL(x)kF
= sup
= sup kL(x)kF .
x∈E −{0} kxkE
kxk≤1 kxkE
kxk=1
sup
En particulier
kL (x)kF ≤ kLkL(E ,F ) kxkE .
On vérifie que l’on a là une norme sur L(E , F ).
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Applications linéaires continues
On vérifie aussi que si L ∈ L(E , F ) et si L̃ ∈ L(F , G ), où E , F et G sont des espaces
vectoriels normés, alors L̃ ◦ L ∈ L(E , G ) et
kL̃ ◦ LkL(E ,G ) ≤ kLkL(E ,F ) kL̃kL(F ,G ) .
En particulier, si L ∈ L(E , E ), on a
kLn kL(E ,E ) ≤ (kLkL(E ,E ) )n ,
pour tout n ∈ N.
Remarque : Rapprocher cette définition de la définition des normes subordonnées sur
l’espace des matrices.
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Exemples
Exemple : On munit C ([0, 1]; K) de la norme
kf k∞ := sup |f (t)|.
t∈[0,1]
L’application linéaire I : C ([0, 1]; K) → C ([0, 1]; K) définie par
Z x
I (f )(x) :=
f (t) dt,
0
pour tout x ∈ [0, 1], est une application continue et, pour tout x ∈ [0, 1], on a
Z x
|I (f )|(x) ≤
|f |(t) dt ≤ kf k∞ .
0
Donc kI (f )k∞ ≤ kf k∞ ce qui montre que l’application I est continue.
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Exemples
Exemple : On munit C ([0, 1]; K) de la norme
Z 1
kv k1 :=
|v (t)| dt.
0
L’application
A : C ([0, 1]; K) → K,
définie par A(v ) = v (0) n’est pas continue de (C ([0, 1]; K), k k1 ) dans (K, | |).
Pour tout j ∈ N − {0}, on note vj (x) := (1 − jx)+ . On a
kvj k1 =
1
2j
et
A(vj ) = 1.
Ce qui montre que l’on ne peut pas avoir une inégalité de la forme |A(v )| ≤ C kv k1 , valable
pour toute v ∈ C ([0, 1]; K).
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Applications linéaires sur un espace de dimension finie
Proposition
Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie et F est un espace vectoriel normé, alors
L(E , F ), l’espace des applications linéaires de E dans F coı̈ncide avec L(E , F ) l’espace des
applications linéaires continues de E dans F .
Proposition
Supposons que (F , k kF ) est un espace de Banach. Alors, l’espace L(E , F ) muni de la norme
k kL(E ,F ) est également un espace de Banach.
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Théorème de Riesz
Théorème (Théorème de Riesz)
Un espace vectoriel normé (E , k k) est de dimension finie si et seulement si Bf (0, 1), la boule
unité fermée de E , est compacte.
Lemme (Lemme de Riesz)
Soit (E , k k) un espace vectoriel normé et F un sous-espace fermé de E . On suppose que F 6= E .
Alors, pour tout ε ∈ ]0, 1[ , il existe x ∈ E tel que kxk = 1
et
miny ∈F kx − y k ≥ 1 − ε.
Lemme
Dans un espace vectoriel normé, un sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé.
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Critères de densité dans C (X ; R)
Soit (X , d) un espace métrique compact. On muni C (X ; K) de la distance associée à la
norme de la convergence uniforme
kf k∞ := sup |f (x)|.
x∈X
Définition
Un sous-ensemble H ⊂ C (X ; K) est séparant si, pour tous x 6= y ∈ X , il existe f ∈ H telle que
f (x) 6= f (y ).
On dit que H ⊂ C (X ; K) est une sous-algèbre si H est stable pour les lois +, x et par la
multiplication par un scalaire.
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Critères de densité dans C (X ; R)
Dans le résultat suivant, on suppose que K = R.
Théorème (Stone-Weierstrass)
On suppose que (X , d) est un espace métrique compact. Soit H une sous-algèbre de C (X ; R)
qui contient les fonctions constantes et qui est séparante. Alors H est dense dans C (X ; R), pour
topologie associée à la norme de la convergence uniforme.
Exemple : L’ensemble des restrictions à [a, b] des fonctions polynômes à coefficients dans
R, est dense dans C ([a, b]; R), muni de la norme de la convergence uniforme. Autrement
dit : Toute fonction continue sur [a, b] est limite uniforme d’une suite de (fonctions) polynômes.
Exemple : L’ensemble des polynômes trigonométriques à coefficients dans R, est dense
dans C (S1 ; R), muni de la norme de la convergence uniforme.
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Critères de densité dans C (X ; R)
Exemple : Toute fonction continue (à valeurs dans R) sur [0, 1] × [0, 1] est limite uniforme
sur [0, 1] × [0, 1] de sommes finies de fonctions de la forme (x, y ) 7→ f (x) g (y ), où f et g
sont continues sur [0, 1].
Exemple : Le sous-espace de C ([0, 1]; R) des fonctions lipschitziennes sur [0, 1] i.e. l’ensemble des fonctions f ∈ C ([0, 1]; R) pour lesquelles, il existe une constant k > 0 telle
que
|f (x) − f (y )| ≤ k |x − y |,
est dense dans C ([0, 1]; R), muni de la norme de la convergence uniforme.
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Critères de densité dans C (X ; C)
Exemple : La fonction x →
7 e −ix n’est pas limite uniforme de combinaisons linéaires (finies)
de fonctions de la forme x →
7 e inx , où n ∈ N.
Définition
On dit que H ⊂ C (X ; C) est auto-conjugué si, ∀f ∈ H, f ∈ H.
Théorème (Stone-Weierstrass)
On suppose que X est compact. Soit H une sous-algèbre de C (X ; C) qui contient les fonctions
constantes, est séparante et auto-conjuguée. Alors, H est dense dans C (X ; C).
Exemple : Le C-espace vectoriel engendré par les x 7→ e inx , pour n ∈ Z, est dense
dans l’espace des fonctions continues 2π périodiques, muni de la norme de la convergence
uniforme.
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Le Théorème de Baire
Le Théorème de Baire est un des théorèmes importants de l’analyse fonctionnelle.
Théorème (Théorème de Baire)
Soit (X , d) un espace métrique
\ complet et (Un )n≥0 une suite d’ouverts de X qui sont denses
Un est dense dans X .
dans X i.e. Un = X . Alors,
n≥0
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Le Théorème de Baire
On a
X − Y = X − Y̊
et
z }|
˚ {
X −Y = X −Y.
Donc,
\
Un = X
⇔ X−
n≥0
z }|
z[ }|
{
˚
˚
\ {
Un = ∅ ⇔ X −
Un = ∅ ⇔
(X − Un ) = ∅.
\
n≥0
n≥0
n≥0
Théorème (Théorème de Baire)
Soit (X , d) un espace
[ métrique complet et (Fn )n≥0 une suite de fermés de X d’intérieurs vides
˚
i.e. Fn = ∅. Alors,
Fn est d’intérieur vide.
n≥0
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Conséquences du Théorème de Baire
Exemple : L’espace E := R[X] ne peut pas être muni d’une norme qui le rend complet.
Exemple : Soit (Un )n≥0 une suite d’ouverts denses dans (R, | |). Alors
\
U :=
Un ,
n≥0
n’est pas un ensemble dénombrable.
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Applications du Théorème de Baire
Dém : Supposons que U est dénombrable infini (le cas où U est fini se traite de manière
identique). Il existe une application bijective φ de N dans U.
On vérifie que Vn := Un − {φ(n)} est encore un ouvert dense de R.
T
Le Théorème de Baire nous assure que n≥0 Vn est dense dans R. Mais

\
n≥0
Vn = 

\
Un  − U = ∅,
n≥0
ce qui constitue la contradiction recherchée.
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Théorème de point fixe de Banach
Soit T une application d’un espace métrique (X , d) dans un espace métrique (X 0 , d0 ).
Definition
On dit que T est contractante s’il existe k ∈ [0, 1[ tel que, pour tous x, y ∈ X ,
d0 (T (x), T (y )) ≤ k d(x, y ),
(autrement dit si T est k-lipschitzienne de rapport k ∈ [0, 1[).
Une application contractante est, par définition, lipschitzienn, donc continue !
Theorem (Théorème de point fixe de Banach)
Soit (X , d) un espace métrique complet non-vide et T : X → X une application contractante.
Alors, T possède un unique point fixe dans X (i.e. il existe un unique x ∈ X tel que T (x) = x).
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Application du Théorème de point fixe de Banach
Exemple : On veut résoudre l’équation différentielle
dx
= F (x(t), t)
dt
avec x(0) = x0 ∈ RN . On suppose par exemple (pour simplifier) que F ∈ C 1 (RN × R; RN ).
On écrit x(t) = x0 + y (t) et on intègre
Z t
y (t) =
F (x0 + y (s), s) ds
0
On recherche un point fixe pour l’application T définie de C ([0, τ ]; RN ) dans lui même par
Z t
T (y )(t) :=
F (x0 + y (s), s) ds,
0
pour tout t ∈ [0, τ ].
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Théorème d’Ascoli
Exemple : On vérifie que la boule unité fermée de (C ([0, 1]; R), k k∞ ) n’est pas compacte
en considérant la suite de fonctions (fn )n≥0 définie par
fn (x) = x n .
En effet, la seule limite possible est la fonction qui vaut 0 sur [0, 1[ et 1 quand x = 1, mais
cette fonction n’est pas continue !
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Théorème d’Ascoli
Definition
Soit (X , d) un espace métrique compact et F ⊂ C (X ; K). On dit que la famille F est
équicontinue sur X si, pour tout x ∈ X et pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que
∀f ∈ F,
∀y ∈ X ,
(d(x, y ) < δ
⇒
|f (y ) − f (x)| < ε) .
Exemple : Soit (X , d) un espace métrique compact. Fixons k > 0 et considérons
F := {f ∈ C (X ; K) : |f (x) − f (y )| ≤ k d(x, y )}
l’ensemble des fonctions k-Lipschitziennes définies sur X à valeurs dans K. Cette famille
est équicontinue sur X .
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Exemples
Exemple : On considère X = [0, 1] muni de la distance usuelle et
Z 1
1
0
2
F := f ∈ C ([0, 1]; R) :
|f (t)| dt ≤ 1 .
0
Remarquons que, si f ∈ C 1 ([0, 1]; R) et si x < y , on peut écrire
Z y
f (y ) − f (x) =
f 0 (t) dt.
x
En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient l’inégalité
Z y
1
2
1
1
0
2
|y − x| 2 ≤ |y − x| 2 ,
|f (y ) − f (x)| ≤
|f (t)| dt
x
pourvu que f ∈ F. Grace à cette inégalité, on vérifie immédiatement que la famille F est
équicontinue sur [0, 1] (prendre δ = ε2 ).
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Théorème d’Ascoli
Exemple : On considère toujours l’espace C ([0, 1]; R), mais cette fois définissons
F := {x 7→ sin(nx) : n ≥ 1}.
On vérifie que la famille F n’est pas équicontinue sur [0, 1].
Theorem (Théorème d’Ascoli)
On suppose que (X , d) est un espace métrique compact, que F ⊂ C (X ; K) est une famille
équicontinue sur X et que pour tout x ∈ X , l’ensemble {f (x) : f ∈ F } est borné. Alors, de
toute suite d’éléments de F on peut extraire une sous-suite qui converge dans (C (X ; K), k k∞ ).
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Application
Exemple : Soit (fn )n≥0 une suite de C ([0, 1]; K).
On suppose qu’il existe une constante k > 0 telle que
|fn (y ) − fn (x)| ≤ k |y − x|,
pour tout n ≥ 0 et pour tous x, y ∈ [0, 1] et l’on suppose qu’il existe une constante C > 0
telle que
∀n ≥ 0,
sup |fn (x)| ≤ C .
x∈[0,1]
Alors (Théorème d’Accoli), on peut extraire de la suite (fn )n≥0 une sous-suite qui converge
dans (C ([0, 1]; K), k k∞ ), c’est-à-dire, une sous-suite qui converge uniformément sur [0, 1].
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