Calcul de la racine carrée d`un nombre

Calcul de la racine carrée d’un nombre
Méthode géométrique
La méthode géométrique s’appuie une définition géométrique de la racine carrée : la racine d’un nombre est la longueur du côté d’un carré ayant pour aire ce nombre.
Pour cela on va considérer un rectangle d’aire égale au nombre dont on cherche la racine
carrée et on va calculer les dimensions d’un nouveau rectangle, de même aire, dont le
plus petit côté a une longueur supérieure à celle du plus petit côté du rectangle initial et
dont le plus grand côté a une longueur inférieure à celle du plus grand côté du rectangle
initial. Et ainsi de suite, le nouveau rectangle, toujours de même aire, devenant à chaque
étape « de plus en plus carré ».
Un moyen simple pour y parvenir est de choisir pour longueur de l’un des côtés de chaque
nouveau rectangle, la moyenne des deux côtés du rectangle précédent.
Exemple 1 : Prenons un rectangle dont les côtés mesurent 1 et 2, c’est-à-dire dont l’aire
est égale
√ à 2 (ce qui nous permettra de calculer une valeur approchée de la racine carrée
de 2 : 2).
1+2
3
Calculons la moyenne de 1 et 2 :
= .
2
2
Pour obtenir un rectangle d’aire égale à 2 il faut maintenant calculer la longueur x de
3
l’autre côté telle que × x = 2,
2
4
3 4
2
2
= 2 × = (on a bien × = 2).
d’où x =
3
3
3
2 3
2
Pour l’étape suivante, la moyenne des deux valeurs trouvées précédemment vaut :
3 4
+
2 3 = 3 × 3 + 2 × 4 = 17
2
2×2×3
12
L’autre côté du rectangle d’aire égale à 2 est
2
17
12
=
17 24
24
(on a bien
×
= 2).
17
12 17
17 24
+
577
408
816
On obtient ensuite 12 17 =
et 2 ×
=
.
2
408
577
577 √
Ces deux valeurs nous donnent déjà un encadrement de 2 à 10−5 près,
577
816
≈ 1, 414 211 et
≈ 1, 414 215.
puisque
577
408
577 816
+
665 857
470 832
941 664
À l’étape suivante on obtient 408 577 =
et 2 ×
=
.
2
470 832
665 857
665 857
Ces valeurs donnent toutes deux 1,414 213 562 37 (valeur décimale approchée de
10−11 près).
On peut ensuite calculer
√
2 à
886 731 088 897
1 254 027 132 096
≈
≈ 1, 414 213 562 373 10
627 013 566 048
886 731 088 897
√
Exemple 2 : De la même manière calculons une valeur approchée de 11.
Déterminons le plus grand nombre entier dont le carré est inférieur ou égal à 11. Ce
nombre est 3, car 32 ≤ 11 < 42 .
11
comme dimensions du premier rectangle d’aire égale
Nous pouvons donc choisir 3 et
3
11
= 11.
à 11, puisque 3 ×
3
11
3+
3 = 3 × 3 + 11 = 20 = 10 alors le second côté est 11 × 3 = 33 .
La moyenne est
2
2×3
6
3
10
10
10 33
+
10 = 199 et 11 × 60 = 660 .
À l’étape suivante nous obtenons 3
2
60
199
199
199 660
+
199 = 79 201 et 11 × 23 880 = 262 680 .
Puis 60
2
23 880
79 201
79 201
√
Ces calculs nous fournissent une excellente approximation de 11 (à 10−9 près),
79 201
262 680
≈ 3, 316 624 790 1 et
≈ 3, 316 624 790 6,
puisque
79 201
√23 880
alors que la calculatrice nous donne 11 ≈ 3, 316 624 790.
On peut ensuite calculer
12 545 596 801
41 609 037 360
≈
≈ 3, 316 624 790 355 40
3 782 639 760
12 545 596 801
Remarque :
Pour accélérer l’algorithme de calcul on peut choisir le nombre entier dont le carré est le
plus proche du nombre dont on cherche la racine carrée.
√
Exemple 3 : Évaluons 23.
Le nombre entier dont le carré est le plus proche de 23 est 5.
L’algorithme de calcul nous donne successivement :
24
115 1 151
5 520
23
, puis
et
,
et
,
5
5
24 240
1 151
12 707 040
2 649 601
et
ce qui fournit une valeur approÀ la quatrième étape on obtient
552 480
2 649 601
chée à 10−11 près avec respectivement 4,795 831 523 313 et 4,795 831 523 312
5 et
Enfin
67 337 171 782 080
14 040 770 918 401
≈
≈ 4, 795 831 523 312 72
2 927 703 120 960
14 040 770 918 401
Si on choisit simplement le plus grand nombre entier dont le carré est inférieur ou égal
à 23 pour commencer, soit 4, on obtient sensiblement les mêmes résultats, mais moins
rapidement car le rectangle de départ est « moins carré », donc plus éloigné de la réponse
recherchée :
4
39
184 2 993
14 352
, puis
et
,
et
,
28
8
39 624
2 993
17 913 697
85 911 072
À la quatrième étape on obtient
et
ce qui fournit une valeur ap3 735 264
17 913 697
4 et
prochée à 10−6 près seulement avec respectivement 4,795 831 57 et 4,795 831 48
Enfin
641 801 074 650 817
3 077 969 825 506 370
≈
≈ 4, 795 831 523 312 72
133 824 775 022 016
641 801 074 650 817
Algorithme de calcul
Il existe aussi une sorte de « super-division » permettant de calculer la racine carrée d’un
nombre.
Exemple 4 : Calculons
√
742, 08 en suivant les étapes du calcul
1. Découper le nombre en tranches de 2 chiffres à partir de la virgule : 742, 08 =
7 42, 08 et poser la « super-division »
7 42, 08
2. Chercher le plus grand nombre entier dont le carré est inférieur (ou égal) au nombre
de la première tranche de deux chiffres (la plus à gauche).
Dans notre exemple le nombre cherché est 2, car 22 ≤ 7 < 32 (le nombre cherché
ne comporte qu’un chiffre puisque chaque tranche ne comporte que deux chiffres
au plus)
On effectue alors la soustraction 7 − 22 = 3 et on calcule le double de la valeur
approchée de la racine carrée obtenue 2 × 2 = 4 pour préparer l’étape suivante
7 42, 08 2
3
4
3. "Abaisser" la tranche de 2 chiffres immédiatement à droite et chercher le nombre
que l’on peut placer à la place du • sans dépasser 342
7 42, 08 2•
3 42
4 • ו
7 convient car 47 × 7 = 329 (mais 48 × 8 = 384 > 342)
Calculer ensuite le nouveau reste et le double de la valeur approchée de la racine
carrée (27 × 2 = 54)
7 42, 08 27
3 42
4 7 × 7 = 329
13
54
4. Recommencer comme l’étape précédente, après avoir placé la virgule
7 42, 08 27, •
3 42
4 7 × 7 = 329
13 08 54 • ו
2 convient car 542 × 2 = 1 084 (mais 543 × 3 = 1 629)
7 42, 08 27, 2
3 42
4 7 × 7 = 329
13 08 54 2 × 2 = 1 084
2 24 544
5. Calcul des décimales suivantes de la racines carrée : les tranches suivantes ne sont
composées que de zéros :
7 42, 08
3 42
13 08
2 24 00
6 24
79
24
2
00
19
70
91
19
2
00
79
50
08
74
2
00
04
89
42
01
00
75
87
73
27, 241 145 35
4 7 × 7 = 329
54 2 × 2 = 1 084
544 4 × 4 = 21 776
5448 1 × 1 = 54 481
54482 1 × 1 = 544 821
544822 4 × 4 = 21 792 896
5448228 5 × 5 = 272 411 425
54482290 3 × 3 = 1 634 468 709
00
91 00 544822906 5 × 5 = 27 241 145 325
37 75 5448229070
√
742, 08, on peut aussi calculer
74 208√avec le premier
als
√
√
74 208
74 208
74 208
gorithme, puis diviser le résultat par 10, car 742, 08 =
=
= √
.
100
10
100
Remarque : Pour calculer
√
On obtient alors :
4 631
1 261 536 42 892 273
11 684 346 432
4 638
, puis
et
,
et
, ce qui fournit une
17
17
4 631
157 454
42 892 273
√
−9
valeur de 74 208 à 10 près c’est-à-dire avec 12 chiffres significatifs alors que la calculatrice n’en affiche que 10.
272 et
À la quatrième étape on obtient
3679494166210660 50 116 817 698 792 000
≈
≈ 272, 411 453 503 703 00
13507119905884
183 974 708 310 533
soit une précision de 10−14 avec 17 chiffres significatifs.
Et par suite
√
742, 08 ≈ 27, 241 145 350 370 300 (sauf erreur de calcul !)