December 2012

Aix-Marseille University
Faculté d’Economiques et de Gestion/Faculty of Economics and Management
Année 2012/13
…lière : AMSE M1
EXAMEN
DE MICROECONOMIE AVANCEE
ADVANCED MICROECONOMICS
EXAM
Nicolas Gravel /Hubert Stahn
Durée totale de l’épreuve / Duration of the exam : 2h00
Documents : aucun /none
Organisation/ Organization
Résoudre trois exercices au choix sur les quatre proposés et répondre à deux questions sur les quatre
proposées
Solve three problems out of the four that are proposed and answer two questions out of the four that are
proposed.
Barême/ Grading scheme :
5 points par exercice et 2,5 points par question
5 points per problem and 2.5 points per question
EXAMEN EN FRANCAIS
Exercice 1
p
Soit la fonction de dépense e(p1 ; p2 ; u) = 4u p1 p2
1. Sans construire la fonction de demande
" marshalienne,
# véri…er que la matrice de Slutsky du système
b
b
de demande est donnée par S(p; b) =
4p21
b
4p1 p2
4p1 p2
b
4p22
2. Déterminer explicitement la fonction de demande marshallienne et revéri…er le résultat précédent
Exercice 2
Soit la fonction de production y = f (x1 ; x2 ) =
py , p1 et p2 les prix de l’output, et des inputs 1 et 2
2
(min
p fx1 ; x2 g) pour min fx1 ; x2 g < 1 . On note par
min fx1 ; x2 g pour min fx1 ; x2 g 1
1. Véri…er que cette fonction de production n’est pas concave (un contre exemple su¢ t)
2. Donner un argument permettant de dire qu’à l’optimum du producteur x1 = x2 = x
3. En utilisant (2), représenter graphiquement le problème d’optimisation de la …rme (aide : bien comprendre ce qui ce passe en (x; y) = (1; 1))
4. En déduire l’expression de l’o¤re de produit y(py ; p1 ; p2 ) de la …rme en détaillant le mode de construction
1
Exercice 3
Les préférences de Mahdi pour deux biens sont données par la relation binaire % dé…nie par:
(x1 ; x2 ) % (z1 ; z2 ) () x1
z1 ou x1 + x2
z1 + z2
1. Représenter graphiquement un ensemble de paniers faiblement préféré, un ensemble de paniers faiblement dominés et une courbe d’indi¤érence représentative..
2. Les préférences de Mahdi sont elles ré‡exives ? Complètes ? Transitives ? Continues ? Localement
non saturables ? Convexes ? Justi…er avec soin.
Exercice 4
Lesquelles (laquelle) des fonctions suivantes peuvent être des fonctions de coûts d’une entreprise monoproduit évoluant sur un marché des facteurs concurrentiel (justi…er).
3
3
1
(i) C(p; y) = p14 p24 y 2
1
(ii)C(p; y) = 2(p1 p2 y) 2
1
(iii) C(p; y) = (p1 + (p1 p2 ) 2 + p2 )y
1
(iv) C(p; y) = (p1 (p1 p2 ) 2 + p2 )y
(v) C(p; y) = (p1 e p1 + p2 )y
Question 1
Dé…nir brièvement la notion de demande excédentaire d’une économie d’échange. Enoncer les propriétés
de cette fonction en mettant en lumière les hypothèses et/ou propriétés sur les comportements individuels
qui conduisent à ces propriétés
Question 2
En vous mettant dans un contexte di¤érentiable et en considérant une solution intérieure du programme
du consommateur, montrer que le multiplicateur de Lagrange associé à ce programme peut s’interpréter
comme la dérivée par rapport au budget de la fonction d’utilité indirecte i.e. = @b v(p; b)
Question 3 (vrai ou faux, justi…er avec soin)
(a) Une préférence ré‡exive, complète et transitive sur un sous-ensemble convexe et fermé de Rl+ peut
toujours être représentée numériquement par une fonction d’utilité.
(b) Dans une économie d’échange, le partage égal des dotations initiales de chaque bien entre les individus
est nécessairement e¢ cace au sens de Pareto.
(c) Si A est un sous-ensemble compact de Rk , alors toute fonction continue f : A ! A admettra au
moins un point …xe.
Question 4 On considère une entreprise qui maximise ses pro…ts dans un environnement concurrentiel.
Cette entreprise est confrontée à une variation aléatoire des prix des inputs qu’elle utilise, et des output
qu’elle produit. Ces prix sont parfois p = (p1 ; :::; pl ) (avec une certaine probabilité), et parfois q = (q1 ; :::; ql )
(avec une probabilité égale à 1 moins la probabilité que survienne les prix p). Le gouvernement du pays
propose à la …rme de stabiliser les prix à leurs niveaux moyens. Les propriétaires de la …rme devraient-ils
s’en réjouir ? Justi…er avec soin.
2
EXAM IN ENGLISH
Problem 1
p
Let e(p1 ; p2 ; u) = 4u p1 p2 be an expenditure function
1. Without computing" the Marshalian
# demands, verify that the Slutsky matrix of the demand system is
b
b
given by S(p; b) =
4p21
b
4p1 p2
4p1 p2
b
4p22
2. Compute the marshalian demands and verify directly the result of (1)
Problem 2
2
(min
p fx1 ; x2 g) if min fx1 ; x2 g < 1 be a production function. We note by py , p1
min fx1 ; x2 g if min fx1 ; x2 g 1
and p2 the prices of the output and inputs 1 and 2 respectively.
Let y = f (x1 ; x2 ) =
1. Verify that this production function is not concave (a counter-example su¢ ces)
2. Provide an argument showing that that x1 = x2 = x at any input combination that is involved in a
productive activity that maximizes the …rm’s pro…t.
3. Use (2) to draw a picture that summarizes the …rm’s pro…t maximization problem (Hint : Understand
what happens at (x; y) = (1; 1))
4. Use (3) to construct the supply y(py ; p1 ; p2 ) of the …rm. Explain how do you obtain the result.
Problem 3
Mahdi’s preferences for two goods are described by the binary relation % de…ned by:
(x1 ; x2 ) % (z1 ; z2 ) () x1
z1 or x1 + x2
z1 + z2
1. For an arbitrary bundle, provide a geometric depiction of its "No-worse-than" and "No-better-than"
sets. Draw also a picture of its indi¤erence "curve".
2. Are Mahdi’s preferences re‡exive ? Complete ? Transitive ? Continuous ? Locally non-satiable ?
Convex ? Justify with care.
Problem 4
Which of the following functions can be cost functions of a …rm producing one ouptut out of two inputs
purchased on competitive markets. Justify with care.
3
3
1
(i) C(p; y) = p14 p24 y 2
1
(ii) C(p; y) = 2(p1 p2 y) 2
1
(iii) C(p; y) = (p1 + (p1 p2 ) 2 + p2 )y
3
(iv) C(p; y) = (p1
(v) C(p; y) = (p1 e
1
(p1 p2 ) 2 + p2 )y
p1 + p )y
2
Question 1
De…ne the excess demand function of an echange economy. Spell out the properties of this function and
give the assumptions and/or the properties of individuals’behavior that lead to these properties
Question 2
In the di¤erentiable framework, consider an interior solution of the program of the consumer. Show
that the Lagrangian multiplicator associated to this program can be viewed as the derivative of the indirect
utility function with respect to the budget, i.e. = @b v(p; b)
Question 3 (True or False: Justify with care)
(a) A re‡exive, complete and transitive preference de…ned on a convex and closed subset of Rl+ can
always be numerically represented by a utility function.
(b) In an exchange economy, the equal sharing among all individuals of the initial endowments of each
good is necessarily Pareto-e¢ cient.
(c) If A is a compact subset of Rk , then any continuous function f : A ! A will have at least one …xed
point.
Question 4 We consider a …rm that maximizes pro…ts in a competitive environment. This …rm is submitted
to random ‡uctuations of the prices it faces. Speci…cally, prices are sometimes p = (p1 ; :::; pl ) with some
probability; and sometimes q = (q1 ; :::; ql ) (with the residual probability). The government of the country
where the …rm operates proposes to stabilize the prices at their average levels. Should de owners of the …rm
be satis…ed with that decision ? Justify with care.
4