Chapitre 7: Forces centrales

Transcription

Introduction
http://www.space.com/23782-comet-ison-is-alive-survives-sun-swing-video.html
En présence d’une force centrale dérivant d’une énergie potentielle (seul cas considéré dans ce
chapitre), le mouvement du point matériel M peut-être parfaitement décrit. Dans le cas
particulier d’une force en « 1/r2 » (force de gravitation, force électrique), la trajectoire est une
conique (ellipse, parabole ou hyperbole).
Trajectoire de la comète
ISON lors de son passage
au plus près du SOLEIL
entre le 28 Novembre et le
1er décembre 2013
Photos prises par le sattelite SOHO
1
I Caractéristiques d’un mouvement à force centrale
II Energie potentielle effective
III Application à une force en « 1/r2 »
2
I CARACTERISTIQUES D’UN MOUVEMENT A FORCE CENTRALE
1) Planéité de la trajectoire
Soit une force

F
centrale (dérivant d’une énergie potentielle) dont le centre est O.
Dans tout ce chapitre, on supposera le référentiel galiléen. On en déduit que le
moment cinétique en O est conservé.

LO
O
Plan contenant
OM

et v à chaque instant



LO  OM  mv  OM  p

LO  OM


LO  v
OM
M

v
Le déplacement d’une particule soumise à une
force centrale s’effectue dans un plan
perpendiculaire au vecteur moment cinétique.
3
2) Loi des aires
http://www.youtube.com/watch?v=uzTq94bF6jo
Plus le satellite est proche de la Terre et plus il tourne vite. Lorsque la trajectoire est
circulaire, il se déplace à vitesse constante.

LO

v
A1
O
A1

v
Les deux aires colorées ont la même surface
Loi des aires :

LO
dA

 Cste
dt
2m
Le rayon vecteur (d’origine O) balaie des aires
égales pendant des intervalles de temps égaux.
4
3) Lois de conservation
La force est centrale et on suppose qu’elle ne dépend que de r  OM et qu’elle dérive
d’une énergie potentielle Ep. On utilise les coordonnées polaires pour repérer le point
dans le plan de la trajectoire (perpendiculaire au moment cinétique).
-) L’énergie mécanique est donc conservée :



v  r ur  r  u
v 2  r 2  r 2 θ 2
1
1
2
E m  E c  E p  mv  E p r   m r 2  r 2 θ 2  E p r   C ste  E0
2
2


(on peut vérifier que si on dérive cette expression par rapport au temps, on retrouve le PFD)
-) Le moment cinétique est conservé :

2  
L0  m r θ u z  C ste
Nous venons d’écrire deux constantes du mouvement. Il y a deux inconnues, r(t) et (t) et
nous avons deux équations, on peut donc déterminer ces deux fonctions ainsi que
l’équation de la trajectoire r().
5
II ENERGIE POTENTIELLE EFFECTIVE
1) Energie potentielle effective


1 2 2  2
 m r  r θ  E p r   E0
2
L  m r 2 θ
 0
La deuxième relation permet d’exprimer
θ
en fonction de r et de constantes. En la
réintroduisant dans la première équation, il apparaît une équation différentielle qui ne
dépend que de r et de ses dérivées par rapport au temps.
2
1
L
2
0

m
r

 E p r   E0

2
2
2mr

ne dépend que de r  
LO
θ

m r2
E p,eff r  ne dépend que de r
6
1) Energie potentielle effective
L20
E p,eff r   E p r  
2 m r2
s’appelle l’énergie potentielle effective
L20 s’appelle la barrière centrifuge car elle empêche la particule de
2 m r 2 s’approcher infiniment près de O
1
m r 2  E p,eff r   E0
2
7
2) Particule soumise à une force attractive
Si la force est attractive, l’énergie potentielle est nécessairement une fonction croissante de r.
Physiquement, on choisit l’énergie potentielle nulle pour r tendant vers l’infini. Donc pour
tout r, l’énergie potentielle est négative.
On ne s’intéresse ici qu’à connaître le type de trajectoire de la particule (résolution graphique)
1
m r 2  E p,eff r   E0
2
Energie
E0
L20
2 m r2
E p,eff r 
E p r 
r
0
Suivant la valeur de E0, il y a des
solutions ou pas et le type de
trajectoire dépend de E0.
8
1
m r 2  E0  E p,eff r   0
2
Energie
r0
E p,eff r0   E p,eff, min
E0
E p,eff r 
r
E 0  E p,eff r0   E p,eff, min
Pas de solution
9
1
m r 2  E0  E p,eff r   0
2
Energie
r0
E p,eff r0   E p,eff, min
E0
E p,eff r 
r
E 0  E p,eff r0   E p,eff, min
A tout instant, r=r0. La trajectoire est
donc un cercle de rayon r0.
10
1
m r 2  E0  E p,eff r   0
2
Energie
E0
E p,eff, min
r0
E p,eff r 
r
E p,eff r0   E 0  0
La distance à O, r, ne peut varier qu’entre deux
valeurs rmin et rmax. La trajectoire est donc une
trajectoire fermée (ellipse par exemple).
Aux instants où la particule atteint les deux
extrema de sa trajectoire (r=rmin ou r=rmax), r  0
ce qui ne veut pas dire que l’énergie cinétique
est nulle !!!
Remarque : plus E0 est proche de 0, plus rmax augmente et tend vers l’infini
11
1
m r 2  E0  E p,eff r   0
2
Energie
E0  0
E0
r0
E p,eff r 
r
E p,eff, min
La distance à O, r, ne peut être que plus grande
qu’une valeur minimale rmin. La trajectoire est
donc une trajectoire ouverte (branche
d’hyperbole par exemple).
Aux instants où la particule atteint le minimum
de sa trajectoire (r=rmin), r  0 ce qui ne veut
pas dire que l’énergie cinétique est nulle !!!
12
1
m r 2  E0  E p,eff r   0
2
Energie
E0
r0
E p,eff r 
r
E p,eff, min
Selon la valeur de E0, la trajectoire peut
être une trajectoire fermée (un cercle
éventuellement) ou ouverte.
13
3) Particule soumise à une force répulsive
Si la force est répulsive, l’énergie potentielle est nécessairement une fonction décroissante de r.
Physiquement, on choisit l’énergie potentielle nulle pour r tendant vers l’infini. Donc pour tout r,
l’énergie potentielle est positive.
On ne s’intéresse ici qu’à connaître le type de trajectoire de la particule (résolution graphique)
E p,eff r 
Energie
1
m r 2  E p,eff r   E0
2
E0
L20
2 m r2
E p r 
r
0
Suivant la valeur de E0, il y a des
solutions ou pas et le type de
trajectoire dépend de E0.
14
1
m r 2  E0  E p,eff r   0
2
E p,eff r 
Energie
L20
2 m r2
E0
E p r 
r
E0  0
Pas de solution
15
1
m r 2  E0  E p,eff r   0
2
E p,eff r 
Energie
E0
L20
2 m r2
E p r 
r
E0  0
La distance à O, r, ne peut être que plus grande
qu’une valeur minimale rmin. La trajectoire est
donc une trajectoire ouverte (branche
d’hyperbole par exemple).
Aux instants où la particule atteint le minimum
de sa trajectoire (r=rmin), r  0 ce qui ne veut
pas dire que l’énergie cinétique est nulle !!!
16
1
m r 2  E0  E p,eff r   0
2
E p,eff r 
Energie
E0
L20
2 m r2
E p r 
r
La trajectoire est nécessairement une
trajectoire ouverte.
17
III APPLICATION A UNE FORCE EN 1/r2
1) Introduction
Parmi les quatre forces fondamentales dans l’Univers , deux varient en 1/r2:
-) la force de gravitation
-) la force électrique

Mm 
Fg   G 2 u
r

1 Qq 
Fe 
u
2
4 0 r

K
F

u avec K>0 pour la force de gravitation et la force
On peut écrire :
2
r
électrique si Qq<0, sinon K<0.
On peut en déduire l’énergie potentielle :
E p r   -
K
r
L20
K
E p,eff r   - 
r 2 m r2
Nous allons surtout nous intéresser au cas K>0 et nous allons étudier les
trajectoires qui sont des coniques.
18
2) Coniques
Une conique est une courbe obtenue à l’intersection entre un cône et un plan. Ainsi ,
on obtient une ellipse, une parabole ou une hyperbole.
Définition géométrique :
ellipse
http://fr.wikipedia.org/wiki/Conique
F’
F
FM  F’ M  2a
parabole
F
hyperbole
F’
F
http://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/conique/36235
FM  F’ M  2a
Une conique est caractérisée par un centre O, deux foyers F et F’ et
deux paramètres : a et b en cartésiennes ; e et p en polaires
19
2) Coniques
ELLIPSE :
y
a est le demi-grand axe,
b est le demi-petit axe
B
b
A’
a
O
F’
c
p
x
A
F
B’
x 2 y2
Cartésiennes : 2  2  1
a
b
c2  a 2  b2
Polaires : r 
p
1  e cosθ


b2
 1  e2 a
Relations : p 
a
cea
e 1
20
2) Coniques
HYPERBOLE :
y
p
F’ A’
x 2 y2
Cartésiennes : 2  2  1
a
b
c2  a 2  b2
Polaires : r 
p
1  e cosθ
e 1
O
θ0
c
aA F
x


b2
 e2 -1 a
Relations : p 
a
cea
b
a
asymptotes : y   x
ou cos θ 0  
1
e
21
2) Coniques
PARABOLE :
y
p
x
F’
Cartésiennes :
Polaires : r 
O
p/2 F
y 2  2px
p
1  cos θ
e 1
22
3) Lois de Képler
Ces lois de Kepler ont été établies vers 1610. Elles concernent le système solaire mais
s’appliquent à tout système régi par la force de gravitation et peut se généraliser au
cas de la force électrostatique.
1ère loi : Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est un foyer.
2ième loi (loi des aires) : le rayon vecteur issu du Soleil balaye des aires égales
pendant des temps égaux.
3ième loi : les carrés des temps de révolution sont proportionnels aux cubes des
grands axes des ellipses.
23
4) Nature des trajectoires
En utilisant les lois de Kepler, on peut montrer que la force de gravitation est en 1/r2.
Réciproquement, en utilisant la RFD, on peut montrer que la trajectoire est une
conique.




K
2 



F

u

m
a

m
r
r
θ
ur
En effet,
2 r
r
. Si on pose u θ  
l’équation du mouvement (formule de Binet) :
1
, on en déduit
r θ 
d 2 u θ 
km 1



u



2
2
dθ
L0 p
qui définit le paramètre p. Cette équation différentielle admet comme solution :
u θ   u 0 cosθ  θ 0  
1
p
En choisissant bien l’axe polaire, on peut prendre 0=0 et u0>0. En posant e=pu0, on
obtient : r 
p
qui est l’équation d’une conique (en polaires).
1  e cosθ
24
5) Energie totale
On peut maintenant calculer l’énergie totale de la planète, comète…électron autour

du noyau…. F  -

2
1
1   dr 
2
2 2
2
E0  m r  r θ  E p r   m 
 r
2
2   d 



K
 2 u


u

m
a

m
r
r
θ
r
r
r2

r
p
1  e cosθ
 2
θ  E p r   C ste


En calculant E0-Ep(r), et en utilisant le fait que la trajectoire est une conique, on en
L20
k
déduit : E p r   
 Cste    Cste
mpr
r




L20 e 2  1 1 e 2  1
L20 L20 e 2  1
De même, E c r  
et donc E 0 
 k

2
2
2
p
2mp
mpr
2mp
En utilisant la relation entre p, e et a pour une ellipse ou une hyperbole, on a :
k

E


si e  1
0

2a

E  k si e  1
 0 2a
25
5) Energie totale
Energie
k

E


si e  1
 0
2a

E  k si e  1
 0 2a
E0>0 : e>1, hyperbole
E p,eff r 
r
E0=0 : e=1, parabole
E0<0 : 0<e<1, ellipse
e=0, cercle
26
6) Période du mouvement
Dans le cas d’une ellipse, le mouvement est périodique de période T. La loi des aires
permet de déterminer la relation entre T et a :
dA L 0

 Cste
dt 2m
L0
L20
T  π a b . Sachant que
La surface d’une ellipse est ab. On en déduit que :
k
mp
2m
et que b 2  a 2  c 2  a 2 1  e2 
On obtient la troisième loi de Kepler :
T 2 4 2 m

3
k
a
27
IV RESUME
Dans un mouvement à force centrale, la trajectoire est plane. La loi des aires est
toujours vérifiée. L’énergie mécanique et le moment cinétique sont conservés.
Lorsque la force est attractive, la trajectoire est soit fermée soit ouverte alors que pour
une force répulsive, on ne peut avoir que des trajectoires ouvertes.
Dans le cas d’une force en 1/r2 attractive,
Energie
k

E


si e  1
0

2a

E  k si e  1
 0 2a
E0>0 : e>1, hyperbole
E =0 : e=1,
r 0
parabole
E0<0 : 0<e<1, ellipse
e=0, cercle
T 2 4 2 m

k
a3
28

Chapitre 7: Forces centrales

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