Th`eme : Équations et inéquations du premier degré (ou pouvant s`y

Thème : Équations et inéquations du premier degré (ou pouvant s’y ramener)
L’exercice
Voici une activité proposée par un manuel scolaire de quatrième :
Activité 1 Mettre un problème en équation
Objectifs
‹ Montrer l’importance du choix de l’inconnue dans la mise en équation d’un problème ;
‹ Envisager avec les élèves les limites des tests d’égalité.
Lire le problème suivant :
!
En 1994, l’Union des banques suisses a publié le nombre de jours de vacances payés d’un ingénieur dans plusieurs
villes du monde. À Paris, un ingénieur avait 19 jours de vacances de plus qu’à Séoul (Corée du Sud) mais 5 jours
de moins qu’à Madrid (Espagne). À Séoul, il avait 5 fois moins de jours de vacances qu’à Madrid. Combien de
jours de vacances un ingénieur avait-il en 1994 dans chacune de ces trois villes ? ".
1. a) Dans quelle ville un ingénieur avait-il le moins de jours de vacances ? Appeler x ce nombre de jours.
b) Écrire en fonction de x le nombre de jours de vacances d’un ingénieur à Madrid et à Paris.
c) Démontrer que le nombre x est solution de l’équation : x ` 19 “ 5x ´ 5.
2. a) Retrouver parmi les valeurs de x proposées celle qui est solution de l’équation :
x “ 15 ; x “ 30 ; x “ 10 ; x “ 6 ; x “ 60.
b) En déduire le nombre de jours de vacances d’un ingénieur à Séoul, à Paris et à Madrid en 1994.
3. a) Reprendre le problème en choisissant comme inconnue y le nombre de jours de vacances d’un ingénieur
à Madrid. Exprimer en fonction de y le nombre de jours de vacances d’un ingénieur à Paris et à Séoul.
y
` 19.
5
c) Vérifier que le nombre de jours de vacances à Madrid trouvé à la question 2) b) est bien solution de
b) Démontrer que le nombre y est solution de l’équation : y ´ 5 “
l’équation d’inconnue y.
Le travail à exposer devant le jury
1- Commenter les différentes questions et proposer un objectif pour chacune d’elles. Analyser plus
particulièrement le rôle que les auteurs veulent faire jouer à la question 3)a).
Commentaires :
1.a) Cette question vise à fixer le choix d’une inconnue. Bien sûr, le nombre de jours de vacances
dans l’une quelconque des trois villes peut convenir. En forçant le choix de la ville où le nombre
de jours de vacances est le plus petit, les équations à écrire vont mettre en jeu des additions et
des multiplications et pas des soustractions et des divisions.
1.b) On peut remarquer que la question sous-entend que la réponse à la question précédente est le
nombre de jours de vacances à Séoul. On passe ici à la mise en équation du problème.
1.c) Donner l’équation à laquelle aboutit la mise en équation permet aux élèves en échec de continuer
la résolution du problème.
2.a) Même remarque que précédemment.
2.b) Retour vers la question initiale.
3.a) Il s’agit de montrer, par l’exemple, que le choix d’une inconnue n’est pas unique. Cette question
impose le choix d’une nouvelle inconnue.
Les questions suivantes reprennent les mêmes intentions que celles des questions 1.c) et 2.b).
L’énoncé ne propose pas la réponse parmi plusieurs réponses possibles. Il s’agit ici de vérifier que
les résultats trouvés à partir de la nouvelle variable sont identiques à eux qui ont déjà été trouvés.
2- Préciser les étapes importantes dans la résolution de problèmes relevant du premier degré et corrigez cette activité comme vous le feriez devant une classe.
– Étape 1 : choix d’une inconnue
– Étape 2 : mise en équation
– Étape 3 : résolution de l’équation
– Étape 4 : retour vers la situation modélisée et vérification de la cohérence des résultats.
Résolution :
1) a) Dans l’ordre croissant du nombre de jours de vacances : Séoul, Paris, Madrid.
b) Nombre de jours de vacances à Paris : x ` 19 ; nombre de jours à Madrid : x ` 19 ` 5 “ x ` 24.
c) Le nombre de jours de vacances à Madrid est à la fois égal à : x ` 24 et à 5x.
D’où : x ` 19 “ 5x ´ 5.
2) a) En calculant successivement les deux membres de l’équation, pour les valeurs de x données,
on trouve que x “ 6 est solution (et la seule) de l’équation.
b) On en déduit que le nombre de jours de vacances d’un ingénieur à Séoul est égal à 6, à Paris il
est égal à 25 et à Madrid à 30.
3) a) En choisissant y pour inconnue : le nombre de jours de vacances à Paris est égal à y ´ 5, et à
Séoul : y ´ 5 ´ 19 “ y ´ 24.
y
b) En égalant les deux expressions du nombre de jours de vacances à Séoul : y ´ 24 “ , et
5
y
y ´ 5 “ ` 19 (soit par calcul algébrique - en transposant 19, soit en égalant les deux expressions
5
du nombre de jours de vacances à Paris).
c) On avait trouvé 6 pour le nombre de jours de vacances à Séoul et 30 pour le nombre de jours de
vacances à Madrid. On vérifie ici que y “ 30 est bien solution de l’équation trouvée.
3- Proposez deux ou trois exercices, sur le même thème, dont l’un au moins se situe au niveau d’une
classe de Première.
Exercice I : (classe de Première)
Ñ
Ý Ñ
Ý
Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormal pO, i , j q. Déterminer les points
Ý
M px, yq tels que M appartiennent à la droite passant par Ap0, 3q dirigée par Ñ
u p1, ´2q et au disque
?
de centre O et de rayon 2.
Exercice II : Une artiste doit réaliser 26 statuettes de deux types avec de la glaise.
Le petit modèle nécessite 1h 30 de travail et 4 kg de glaise. Le grand modèle nécessite 2h 15 de
travail et 6 kg de glaise. Elle dispose de 45 h et doit utiliser son stock de glaise de 120 kg.
Combien de statuettes de chaque modèle doit-elle réaliser ?
La petite statuette est vendue 15 euros et la grande 25 euros. Calculer le chiffres d’affaire total si
toutes les statuettes sont vendues.