Exercice D3

Exercice D3
1. En étudiant
• Si a ≡ 0
• Si a ≡ 1
• Si a ≡ 2
• Si a ≡ 3
• Si a ≡ 4
• Si a ≡ 5
• Si a ≡ 6
les différents cas possibles de congruence modulo 7 de a, on établit que :
(7), alors a2 ≡ 0 (7).
(7), alors a2 ≡ 1 (7).
(7), alors a2 ≡ 4 (7).
(7), alors a2 ≡ 9 ≡ 2 (7).
(7), alors a2 ≡ 16 ≡ 2 (7).
(7), alors a2 ≡ 25 ≡ 4 (7).
(7), alors a2 ≡ 36 ≡ 1 (7).
Le reste dans la division euclidienne par 7 étant un entier naturel strictement inférieur à 7, on en déduit que les
restes possibles de la division euclidienne de a2 par 7 sont les éléments de l’ensemble {0; 1; 2; 4}.
2. a et b étant deux entiers relatifs, on a d’après la question pérécdente :
a2 ≡ 0 (7) ou a2 ≡ 1 (7) ou a2 ≡ 2 (7) ou a2 ≡ 4 (7) et
b2 ≡ 0 (7) ou b2 ≡ 1 (7) ou b2 ≡ 2 (7) ou b2 ≡ 4 (7).
En faisant les différentes sommes possibles (0 + 0; 0 + 1; 0 + 2; 0 + 4; 1 + 0; 1 + 1;...)
on constate que a2 + b2 est divisible par 7 si et seulement si a ≡ 0 (7) et b ≡ 0 (7),
c’est-à-dire si et seulement si a et b sont divisibles par 7.
On peut donc en déduire que : si 7 divise a2 + b2 , alors 7 divise a et 7 divise b.
Si 7 divise a2 + b2 , alors 7 divise a et 7 divise b,
on peut donc écrire a = 7k et b = 7k 0 avec k et k 0 entiers relatifs.
Alors : a2 + b2 = (7k)2 + (7k 0 )2 = 49k 2 + 49k 02 = 49(k 2 + k 02 ).
Comme (k 2 + k 02 ) est un entier, on en déduit que 49 divise a2 + b2 .
Réciproquement, il est immédiat que si 49 divise a2 + b2 , alors 7 divise a2 + b2 .
On a donc démontré que « 7 divise a2 + b2 » est équivalent à « 49 divise a2 + b2 ».
3. Le cercle de centre O et de rayon 7 a pour équation : x2 + y 2 = 72 . Si M est un point à coordonnées entières
(x; y) alors 49 divise x2 + y 2 , donc 7 divise x2 + y 2 , donc 7 divise x et 7 divise y.
Sachant que les points du cercle de centre O et de rayon 7 ont une abscisse x telle que −7 ≤ x ≤ 7, on en déduit
que x ne peut prendre que les valeurs −7 ; 0 et 7.
• Si x = −7, l’équation x2 + y 2 = 72 donne y = 0.
• Si x = 0, l’équation x2 + y 2 = 72 donne alors y = −7 ou y = 7.
• Si x = 7, l’équation x2 + y 2 = 72 donne y = 0.
Les points à coordonnées entières du cercle de centre O et de rayon 7 sont donc les points ayant pour coordonnées
(−7; 0); (7; 0); (0; −7) et (0; 7).
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Terminale S : Arithmétique - Exercices
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