PROBABILITÉ 1.1 Ensemble fondamental d`une expérience

PROBABILITÉ
1.1 Ensemble fondamental d’une expérience aléatoire
1.1.1 Définitions
L’ensemble fondamental d’une expérience aléatoire est l’ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience.
Def. 1.1.1
Un ensemble est une collection des objets bien structuré par quelque ou quelques caractéristiques spécifiques.
Exemples : Quelque collection des objets comme :
• Les points d’un segment de ligne,
• Les lignes que traversent par un point,
• Les numéros naturelles entre 0 et 10,
Les ensembles se peut définir par deux formes : extension et compréhension
Extension : chaque un des éléments doit être écrite, par exemple:
•
•
A = {a, e, i, o, u, y}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Compréhension : L’ensemble est défini par une caractéristique, exemple :
• A = {les voyelles}
• B = {les numéros naturelles entre 1 et 8 inclusivement}
Habituallement l’ensemble est écrite entre crochets
Def.
« a » est un élément de A si y seul si « a » forme parte du ensemble A.
Si a forme parte du A :
Si non:
1.2 Ensemble fondamental
Une expérience aleaoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le resultat. L’ensemble fondamental d’une
expérience alatoire est l’ensemble de tous les résultats possibles de l’experience. Généralement est noté Ω. Un point
ω ∈ Ω est une réalisation de l’expérience.
Ex. 1.1
Si on lance un pièce. L’ensemble fondamentale est :
Ω = {F, P}
: F = face, P = pile
Ex. 1.2
Si on lance un dé, on s’intéresse au chiffre obtenu. Donc, l’ensemble fondamentale est :
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Ex. 1.3
Si on lance un dé, et on s’intéresse au si le chiffre est pair ou impair, l’ensemble fondamental est :
Ω = {pair, impair}
Ex. 1.4 On jette une pièce autant de fois que nécessaire pour obtenir une fois « face ». L’ensemble fondamentale est
alors :
Ω = {F, PF, PPF, PPPF, …, PPP….PPF, …}
1.3 Evenement d’une expérience aléatoire
Ex. 1.5 Si on lance un dé, et on s’intéresse au l’évènement d’avoir des chiffres impaires, l’ensemble de cet
evenement est alors :
A = {1, 3, 5}
:A∈Ω
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Ex. 1.6 On lance deux dés et on regarde les chiffres obtenus. L’ensemble fondamental est :
Ω = { (1,1), (1,2), (1,3), …,(2,1), (2,2), …, (6,5), (6,6)}
Mais, on peut considérer les evenements suivants :
•
• La somme des points est 6 : A = {(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)}
La somme des points est un multiple de 3 : B = {(1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (3,6), (6,3) (4,5),
(5,4), (6,6)}
: A∈ Ω et B∈ Ω en fait A et B sont sous-ensembles de Ω, cet à dire : A⊂Ω et B⊂Ω
Ex. 1.7
Une main de poker est toujours constituée de cinq cartes exactement. Trouver la probabilité de obtenir 2 as et 3
dames.
Sol.
Le numéro de manières d’obtention de 2 as de 4 c’est calcule en utilisant le formule de le coefficient binomial:
Cette formule nous donne le nombre de parties de r éléments dans un ensemble de n éléments. Ici n = 4 et r = 2,
donc:
et le numéro de manières d’obtention de 3 dames de 4 est n = 4 et r = 3 alors:
Si on multiplie les deux résultats on a :
mains différents avec 2 as et 3 dames.
En considérant 52 cartes en totale et chaque main de 5 cartes n = 52 y r = 5, on a:
Donc la probabilité de obtenir chaque un de cartes est :
Et si on veux la combinaison de 2 as et 3 dames on doit de considérer le numéro de manières de avoir chaque une de
elles. Donc :
pour des as, et
pour les dames
donc, en total on peux avoir :
combinaisons
Donc la probabilité est :