Pr Hamid TOUMA - Faculté des Sciences Rabat

Surface sphérique :
Miroir, dioptre et lentille
Pr Hamid TOUMA
Département de Physique
Faculté des Sciences de Rabat
Université Mohamed V
Les miroirs sphériques
Définition :
Un miroir sphérique est
une portion de sphère
réfléchissante, de centre
C et de sommet S. Le
rayon du miroir sphérique
est défini par la mesure
algébrique :
R  SC
CS est l’axe principal
optique (D) de ce miroir
sphérique. La surface
réfléchissante
s’obtient
par un dépôt métallique.
C
.
.
S
D
Il est à noter que
l’origine
de
l’axe
optique D peut être
fixée arbitrairement
en C ou en S.
Miroirs convexes
Exemples :
Miroir plan
Miroirs de surveillance
Miroir de sortie d’usine
Miroir concave
Un miroir sphérique peut
être concave ou convexe .
rétroviseurs de camion
Miroir concave
Surface réfléchissante
Sens de propagation
de la Lumière
R = SC < 0
Sens de propagation
de la Lumière
Miroir convexe
C
.
R
.
S
.
S
R
Axe optique
D
.
C
D
R = SC  0
Par convention, dans l’approximation de
Gauss, un miroir sphérique de sommet S et
de centre C est représenté par le plan
tangent en S à sa surface.
.
C
S
.
Surface
réfléchissante
l’approximation
de Gauss
.
S
.
C
D
Dans l’approximation de Gauss, :
Le foyer image F’ est à la moitié du rayon du
miroir sphérique
SC
CF' = CF = 2
SC
f'  SF'  SF 
2
Le foyer image F ’ est et le
foyer objet F sont confondus
avec le milieu du segment SC
S
du miroir sphérique.
. . .
F’
F
C
Foyer image F’ :
objet A à l’infini image A’ au foyer
SC
f'  SF' 
2
f’ : distance focale image
F’ : foyer principal image
Foyer objet F :
objet A au foyer image A’ à l’infini
SC
f  SF 
2
f : distance focale objet
F : foyer principal objet
Vergence d’un miroir sphérique :
La vergence d’un miroir sphérique de
sommet S et de centre C est définie comme
l’inverse de sa distance focale. C’est une
expression algébrique. L’unité de la
vergence est donc le mètre-1, m-1, appelé
dioptrie et notée d.
1
1
2 1 1
V= =
=
= =
f' SF' SC f SF
Miroir concave est convergent avec une vergence
négative, ses foyers sont réels.
Foyers
11
< 0 réels
V =
SF'
SF'
.F’ .
F
S
•Miroir convexe est divergent avec une vergence
positive, ses foyers sont virtuels.
V
1
SF'
0
Foyers imaginaires
.S .F’
C
Il est à noter que ces formules sont
des relations entre les positions et les
dimensions de l’objet AB et de son
image A’B’.
Elles sont établies et valables dans les
conditions de l’approximation de Gauss.
Pour obtenir la relation de conjugaison
conjugaison,,
il suffit de considérer les points
situés sur l’axe principal optique D du
miroir..
miroir
Relation de conjugaison de A et A’ :
Au point I : i = i ’ (1ère loi de Snell-Descartes)
le sommet S
I
A
.
C
i
w
SA'
.A’ .S
i
Le point objet A et son
point image A’,
A’, formée
par le miroir M :
+
1

1
SA

2
SC

1
SF'
D
le centre C
1
1
2


CA ' CA CS
On
appelle
grandissement
linéaire
d’un
miroir sphérique
pour une position
de l’objet AB, le
rapport
entre
une
dimension
linéaire
de
l’image A’B’ et
celle
de
de
l’objet AB.
A' B '
SA '
t 

AB
SA
utilisation au moins de 2 sur 3 rayons particuliers
 tout rayon passant par le centre du dioptre n’est pas dévié
 tout rayon passant par F ressort // à l’axe optique D
 tout rayon // à l’axe optique D passe par F’
Objet réel
  objet  C
B
A
.C
A’
B’
I
.
S
C  image  F
Image réelle renversée
D
Objet réel
objet = C =image
B
. .
A’ A
C
F
I
S
B’
Image réelle renversée
D
Objet réel
C < Objet < F
B
A’
I
.C A . .
F
B’
D
S
 < Image < C
Image réelle renversée
Objet réel
Objet = F
B
A '
I
.C A. .
F
S
D
Image  
B '
Objet réel
F < Objet < S
B
.C . A .
F
I
S
B'
D
A'
Image virtuelle
S < image < 
objet virtuel
S < Objet < +
B'
I
.C . A' .
F
S
B
A
.
image réelle
F < image < S
D
Définition : Un dioptre sphérique est un
ensemble de deux milieux homogènes
d’indices de réfraction différents n1 et n2,
séparés par une surface sphérique.
Milieu 1 d’indice
de réfraction n1
Milieu 2 d’indice
de réfraction n2
Milieu 1
n1
4 configurations possibles : n 1  n 2 ou
SC  0
+
.
C
L’axe optique principal,
du dioptre sphérique de
sommet S, est l’axe CS
CS..
.S
D
Milieu 2 : n2
Milieu 1 : n1
n1
n1 n2
.S
.C
n2
SC  0
D
Relations de conjugaison
Établissons ces équations dans les
conditions de l’approximation de
Gauss. Autrement dit on ne
considère qu’un pinceau lumineux
dont le rayon moyen lui est
normal, c’est-à-dire formé de
rayons paraxiaux.
Origine au sommet S
n2
n1 n2 - n1
=
SA' SA SC
Milieu 1 : n1
.
A
n1 < n2
i
I
Milieu 2 : n2
. . .
A’
i1
C
2
w
D
S
Origine au centre C
n2 n1 - n2 
=
CS
CA' CA
n1
Foyer image F’ :
n2
n1 n2 - n1
=
Si le point objet A SA' SA SC
s’éloigne à l’infini
l’infini, son
conjugué est le foyer
F’
image F’ du dioptre
sphérique.
 n2  n1 - n2 
Si A  , alors A'  F', - 
= R
 SF' 
-R.n2
f' = SF'=
n1 -n2 
La distance focale image
du dioptre sphérique
(S, C, n1, n2).
n1 < n2
Milieu 1 : n1
 A
.C
Milieu 2 : n2
.
S
.
F’
D
f'= SF' A’
Le foyer image
Le point source A, situé à l’infini, est conjugué avec le
foyer image F ’
Foyer objet F :
Quand le point objet A
est situé en F, l’image A’
est à l’infini. Le point F
est le foyer objet. la
distance focal objet est
alors :
n2
n1 n2 - n1
=
SA' SA SC
 n1  n1 - n2 
Si A  F, alors A'  , 
=
R
 SF 
R.n1
f = SF =
n1 -n2 
La distance focale objet
du dioptre sphérique
(S, C, n1, n2).
n1 < n2
Milieu 1 : n1
Milieu 2 : n2
f = SF
.
F
Le foyer objet
.C
.
S
.F’
D
A' 
Le point source A, situé au foyer objet F, est
conjugué avec son point image A’ rejeté à l’infini.
f = SF =
-R.n2
R.n1
f' = SF'=
n1 -n2 
n1 -n2 
n2
n1 n2 - n1
V=
==
SF' SF SC
n2 - n1
V=
> 0 alors V : convergence
SC
n2 - n1
V=
< 0 alors V : divergence
SC
R.n1
f = SF =
n1 -n2 
-R.n2
f' = SF'=
n1 -n2 
SF et SF’ sont de signes opposés. F et F’ même
nature, les 2 sont réels ou les 2 virtuels. Chaque
foyer se situe dans un milieu. F et F’ sont toujours
de part et d’autre de S.
Le rapport des distances
SF' f'  n2  focales f et f’ d’un dioptre
= = -   sphérique (S, C, n1, n2)
est égal au rapport des
n
SF f
 1  indices changé de signe.
Milieu 1 : n1
n1 < n2
Milieu 2 : n2
F et F’
sont
F’
réels
. . .
F
C
.
S
Un dioptre
convergent
Milieu 2 : n2
Milieu 1 : n1
F’
.
D
. .
S
Un dioptre divergent
C
.
F
D
F et F’
sont
virtuels
Contrairement au miroir sphérique,, il n’y a jamais
de foyer entre S et C, pour un dioptre sphérique
et
(S, C, n1, n2). .
 Un dioptre sphérique est convergent si les deux
foyers F et F’ sont réels SF'> 0 V > 0
 Le centre C d’un dioptre sphérique convergent
est situé dans le milieu le plus réfringent (indice
de réfraction le plus grand).
 Un dioptre sphérique est divergent si les deux
foyers F et F’ sont virtuels SF' < 0
V <0
 le centre C d’un dioptre sphérique divergent
est situé dans le milieu moins réfringent (indice
de réfraction le plus grand).
AB
A'B'
AB
A'B'
n1 .i1 = n2 .i2 , i1 =
,i2 =
, n1 .
= n2 .
SA
SA
SA'
SA'
B
.A .F
i1
Milieu n1
I
.S .. .
C
F’
Milieu n2
Le grandissement
transversal d’un dioptre
sphérique (S, C, n1, n2)
A’ D
i2
B’
A'B' n1 SA'
t =
=
AB n2 SA
Définition : Une lentille est
un milieu transparent limité
par deux calottes sphériques
sphériques,,
ou par une calotte sphérique
et une plane
plane..
R1 = S1C1
.
C1
R1
S2
. .S
n
R2 =S2C2
R2
1
.C
2
D
La lentille idéale : surfaces sphériques
.
C2
. .S
.
C1
S1
R2
2
D
R1
S1S2 = S2C2 -S1C1
lentille mince si : S S  S C
1 2
1 1
S1S2  S2C2
Une lentille est dite mince quand son
épaisseur, mesurée sur l’axe principal, est
très petite comparée aux rayons de
courbure.
Par
suite,
nous
représenterons
schématiquement les lentilles à bords
minces et à bords épais
épais, respectivement
Convergente et Divergente.
symbole
convergente
divergente
Lentille convergente :
Plans focaux : Toute lentille mince
convergente, quelle que soit sa forme, possède
deux foyers principaux réels
réels, symétriques par
rapport au centre optique O.
• Le premier est le
foyer
principal
objet
et
le
second
est
le
foyer
principal
image.
OF' = f' = -f = -OF
Lentille convergente
Lumière parallèle
Foyer principal image
On appelle distance focale d’une lentille mince, la mesure
algébrique :
OF' = f' = -f = -OF

L’infini
et le foyer principal image F’
sont conjugués par la lentille L

L
.F
.
O
.
F’
D

le foyer principal objet F et L’infini 
OF' = f' = -f = -OF
sont conjugués par la lentille L
p'
A'B' OA'
t =
=
 t =
p
AB OA
grandissement linéaire
.
A
F
1
1
=
OA' OA OF'
Instrument
Objet =
optique
Image
L
B
1
La relation de conjugaison
.O
p
La relation de conjugaison du point
source A et son image A’, fournie par
une lentille convergente L de
distance focale f’.
.
F’
p’
A’
B’
vergence v
1
1
v = =(dioptries)
f' f
D
Lentille divergente :
Plans focaux : Toute
lentille divergente, quelle
que
soit
sa
forme,
possède
deux
foyers
principaux
virtuels,
symétriques par rapport
au centre optique O.
Le premier est le foyer
principal objet et le
second est le foyer
principal
image.
Ce
dernier est l’image d’un
point situé à l’infini.
L’infini et le foyer principal image F’ sont conjugués
par la lentille divergente L.
Autrement dit, tout rayon parallèle à l’axe principal
de la lentille émerge de celle-ci comme s’il venait du
foyer principal image F’.

le foyer principal objet F et L’infini
sont conjugués
par la lentille L

.F’
L
.
O
.F
OF' = f' = -f = -OF
D

1
1
1
=
OA' OA OF'
La relation de
conjugaison
Instrument
Image Objet =
optique
B
A
A’
A’B’ : image
L
.F’ . O..
B’
AB : objet réel,
.F
La vergence, exprimée dioptrie, d’une lentille
mince est l’inverse de sa distance focale f ’.
D
v( d )
1
=
f'(m)
L1
L2
e
D
.F O . F’ . .F .O .F’
1
1
1
2
2
D
2
F'F
1 2  D
intervalle optique
VDoublet = V1 + V2 -e.V1 .V2
Un doublet
Vergence d’un doublet:
Formule de Gullstrand
VDoublet = V1 + V2 -e.V1 .V2
La distance focale
f'1 .f'2
1
1
e
1
+
=  f' 
d’une lentille
f'1 f'2 f'1 .f'2 f'
f'1  f'2  e équivalente L
Dans le cas où les 2 lentilles sont accolées, e = 0, alors la
vergence :
V=V1+ V2
L
B
A
.F
.
F’
A’
B’
- < A < F alors F' < A'< +
D
L
B
.
A=
A'B' 
.
F’
F
A '
D

B '
B’
L
A’
.
F
B
A
.
O
.
F’
F < A < O alors   A'  F
D
Miroirs de surveillance