ANALYSE LL(1) Soit G0 la grammaire suivante pour les formules de

ANALYSE LL(1)
Soit G0 la grammaire suivante pour les formules de logique propositionnelle :
G0 = h{E}, {a, b, (, ), ¬, ∧, ∨}, P, Ei, où P est composé des règles suivantes :
E → E ∧ E E → ¬E E → a
E → E ∨ E E → (E) E → b
(1) Ecrire une grammaire non ambiguë G1 telle que L(G1 ) = L(G0 ).
(2) Ecrire une grammaire non récursive à gauche G2 telle que L(G2 ) = L(G1 ).
(3) Ecrire une grammaire factorisée à gauche G3 telle que L(G3 ) = L(G2 ).
(4) Calculer les ensembles premier(A) et suivant(A) pour les symboles A non terminaux de
G3 , et premier(α) pour les α qui sont parties droites de règles de G3 .
(5) Construire la table LL(1) de G3 . Vérifier que G3 est bien LL(1).
(6) Simuler l’analyse LL(1) des mots ¬(a ∨ b) et a ∧ b ∨ a.
1. Construction des ensembles PREMIER
Si α est une proto-phrase de G, premier(α) est l’ensemble des terminaux qui commencent les
chaı̂nes se dérivant de α :
∗
premier(α) = {a ∈ Σ | α ⇒ au}
∗
Si α ⇒ ε alors ε appartient aussi à premier(α).
Pour calculer premier(X) avec X ∈ N ∪ Σ, on applique les règles suivantes jusqu’à ce qu’aucun
terminal ni ε ne puisse être ajouté aux ensembles premier.
(1) Si X ∈ Σ, premier(X) = {X}.
(2) Si X → ε ∈ P , on ajoute ε à premier(X).
(3) Si X ∈ N et X → Y1 . . . Yk ∈ P , mettre a dans premier(X) s’il existe i tel que a
est dans premier(Yi ) et que ε est dans tous les premier(Y1 ) . . . premier(Yi−1 ). Si ε ∈
premier(Yj )∀j , 1 ≤ j ≤ k, on ajoute ε à premier(X).
On calcule premier(X1 . . . Xn ) de la façon suivante :
(1) Ajouter à premier(X1 . . . Xn ) tous les symboles de premier(X1 ) différents de ε.
(2) Si ε ∈ premier(X1 ), ajouter également les symboles de premier(X2 ) différents de ε. Si
ε ∈ premier(X2 ), ajouter également les symboles de premier(X3 ) différents de ε, etc.
(3) Finalement, si ε appartient à premier(Xj ) pour tous les j = 1, 2, . . . n, on ajoute ε à
premier(X1 . . . Xn ).
2. Construction des ensembles SUIVANT
Si A ∈ N , suivant(A) est l’ensemble des symboles a ∈ Σ qui peuvent apparaı̂tre immédiatement
à droite de A dans une proto-phrase :
∗
suivant(A) = {a ∈ Σ | S ⇒ αAaβ}
Si A peut être le symbole le plus à droite d’une proto-phrase alors $ est dans suivant(A).
Pour calculer suivant(A) pour tous symbole non terminal A, on applique les règles suivantes
jusqu’à ce qu’aucun symbole non terminal ne puisse être ajouté aux ensembles suivant :
(1) Mettre $ dans suivant(S).
(2) si A → αBβ, le contenu de premier(β), excepté ε, est ajouté à suivant(B).
(3) s’il existe une règle A → αB ou une règle A → αBβ telle que ε ∈ premier(β) (c’est à
∗
dire β ⇒ ε), les éléments de suivant(A) sont ajoutés à suivant(B).
3. Construction de la table LL(1)
Entrée : G = hN, Σ, P, Si Une grammaire dont les règles sont numérotées.
Sortie : M Une table d’analyse LL(1) pour G.
Méthode :
(1) pour chaque regle i ∈ P de la forme A → α, procéder aux étapes 2 et 3.
(2) Pour chaque symbole terminal a ∈ premier(α), ajouter i à M (A, a).
(3) Si ε ∈ premier(α), ajouter i à M (A, b) pour chaque symbole terminal b ∈ suivant(A).
Si ε ∈ premier(α) et $ ∈ suivant(A), ajouter i à M (A, $).
(4) Mettre erreur dans toutes les entrées restées vides.