Chapitre 8 1. a) Il s`agit d`un plan. Les traces dans les plans x = k, y

Chapitre 8
1.
a) Il s’agit d’un plan.
Les traces dans les plans x = k, y = k et z = k sont des droites.
b) Il s’agit d’une paraboloı̈de.
Les traces dans le plan x = k sont des paraboles,
les traces dans le plan y = k sont des paraboles,
les traces dans le plan z = k sont des cercles (z ≥ 0).
c) Il s’agit de la moitié supérieure d’une sphère.
Les traces dans le plan x = k sont des demi-cercles,
les traces dans le plan y = k sont des demi-cercles,
les traces dans le plan z = k sont des cercles (z ≥ 0).
4.
∂f
(x, y) = ex cos y
∂y
a) Dom f = R2 ,
∂f
(x, y) = ex sin y;
∂x
b) Dom g = R2 ,
∂g
(x, y) = e−xy (2x − y(x2 + y 2 ));
∂x
∂g
(x, y) = e−xy (2y − x(x2 + y 2 ))
∂y
c) Dom h = {(x, y)|y 6= 0}
x
∂h
1
x
(x, y) = − sin( )ecos( y )
∂x
y
y
∂h
x
x cos( xy )
(x, y) = 2 sin( )e
∂y
y
y
7.
a)
∂f
2y
(x, y) =
∂x
(x + y)2
∂f
2x
(x, y) = −
∂y
(x + y)2
;
∂2f
−4y
(x, y) =
2
∂x
(x + y)3
∂2f
4x
(x, y) =
2
∂y
(x + y)3
;
∂2f
2(x − y)
∂2f
(x, y) =
=
∂x∂y
(x + y)3
∂y∂x
b)
∂f
(x, y) = y x ln y
∂x
∂2f
(x, y) = y x (ln y)2
2
∂x
∂f
(x, y) = xy x−1
∂y
;
;
∂2f
(x, y) = x(x − 1)y x−2
2
∂y
∂2f
∂2f
(x, y) = y x−1 (x ln y + 1) =
∂x∂y
∂y∂x
1
c)
∂f
y
(x, y) = 2
∂x
x + y2
−2xy
∂2f
(x,
y)
=
∂x2
(x2 + y 2 )2
−x
∂f
(x, y) = 2
∂y
x + y2
;
;
∂2f
2xy
(x,
y)
=
∂y 2
(x2 + y 2 )2
∂2f
x2 − y 2
∂2f
(x, y) = 2
=
∂x∂y
(x + y 2 )2
∂y∂x
π
5π
11. D~v f ( , 1) = −(
+ 3)
4
4
√
3
λ
(λ > 0)
12. D~v f (1, 2) = −9
2
13.
¯ = 0~i + 0~j
a) ∇f
¯ = 2~i
b) ∇g
¯ = 2~i + 3~j
c) ∇h
¯ = x~i + y~j
d) ∇j
16.
a) Dom f = {(x, y)|
x2 y 2
+
≥ 0} = R2
4
9
r
b) Gr f = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D et z =
x2 y 2
+ }
4
9
Il s’agit de la moitié supérieure d’un cône (z ≥ 0 et on a z 2 =
c) Les lignes de niveau dans le plan oxy sont des ellipses.
17.
a) Plan tangent : π ≡ x − 3y − z = −1

 x=1+λ
y = 1 − 3λ
b) Droite normale : D ≡

z = −1 − λ
18.
¯ (√π, √π) = 0~i + 0~j
a) ∇f
2
x2 y 2
+ ).
4
9
¯ (6, 7, 8) = 3~i − 2~j + 5~k
b) ∇f
¯ (1, −2, 5) = 8~i + 4~j + 30~k
c) ∇f
22.
a) z = 2x + 4y − 6
r
r
2
2
b) (
, 0) et (−
, 0)
3
3
r
2
, 0) : minimum local
c) (
3
r
2
(−
, 0) : point de selle
3
23.
a) (−1, 2) : maximum local
7
(−2, ) : point de selle
2
(3, 6) : point de selle
c) (1, 2) : minimum local
(1, −2) : point de selle
(−1, 2) : point de selle
(−1, −2) : maximum local
d) Il existe une infinité d’extremums locaux
kπ
• maximum local : y = 2
(famille d’hyperboles)
x
(2k + 1)π
• minimum local : y =
(famille d’hyperboles)
x
24. Les points sont (1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1)
√
√
27. x = y = 10 3 2 et z = 5 3 2
3