EX 1 : Tirs au but Lors d`une séance de tirs au but, un gardien arrête

TS. DM7 - Correction
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E X 1 : Tirs au but
Lors d’une séance de tirs au but, un gardien arrête le premier tir avec la probabilité 0, 3, puis :
– s’il a arrêté un tir, il prend confiance et arrête le suivant avec la probabilité 0, 5.
– s’il prend un but, il se décourage et arrête le suivant avec la probabilité 0, 2.
On admet que tous les tirs sont « cadrés »et l’on note p n la probabilité que le gardien arrête le n-ième tir.
Ainsi p 1 = 0, 3 .
1. Calculer p 2 puis déterminer deux réels a et b tels que pour tout entier n ≥ 1 , on ait p n+1 = ap n + b.
Je note E n l’événement « le gardien arrête le n-ième tir » on a : p n = p (E n )
p 1 = p (E 1 ) = 0, 3
p E 1 (E 2 ) = 0, 5 puisque le gardien est confiant et p E 1 (E 2 ) = 0, 2 puisque le gardien est alors découragé.
³ ´
je peux en déduire d’après la formule des probabilités totales avec p E 1 = 1 − P (E 1 ) = 1 − 0, 3 = 0, 7
³ ´
p 2 = p (E 2 ) = p E 1 (E 2 ) × p (E 1 ) + p E 1 (E 2 ) × p E 1 = 0, 5 × 0, 3 + 0, 2 × 0, 7 = 0, 29
E n+1
0, 5
En
0, 5
p (E n )
E n+1
E n+1
1 − p (E n )
0, 2
En
0, 8
E n+1
³ ´
p (E n+1 ) =p E n (E n+1 ) × p (E n ) + p E n (E n+1 ) × p E n = 0, 5 × p (E n ) + 0, 2 × [1 − P (E n )] = 0, 3 × P (E n ) + 0, 2
je peux en déduire pour tout entier n ≥ 1 , la relation : p n+1 = 0, 3p n + 0, 2
¡ ¢
2. Montrer que la suite p n est décroissante.
¡ ¢
Pour tout entier n ≥ 1 , p n+1 = f p n
avec f (x) = 0, 3x + 0, 2
on a : p 2 ≤ p 1
et comme la fonction f est croissante, par récurrence immédiate, j’obtiens pour tout entier n ≥ 1 la relation :
¡ ¢
p n+1 ≤ p n la suite p n est décroissante.
3. En déduire qu’elle est convergente, déterminer sa limite.
¡ ¢
La suite p n est décroissante , minorée par 0 , en effet f (x) ≥ 0 pour x ≥ 0 ; donc elle converge vers un point fixe `
0, 2 2
=
solution de l’équation f (`) = ` ⇐⇒ 0, 3` + 0, 2 = ` ⇐⇒ ` =
0, 7 7
E X 2 : Une urne contient 4 boules blanches, 5 boules rouges et 3 boules vertes.
On tire simultanément et au hasard deux boules.
On donnera les résultats sous forme de rationnels.
Partie A
1. Combien de tirages différents y-a-t-il ?
R5
V1
V2
V3
R1
R2
R3
R4
B1
B2
B3
B4
Soit E = {B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 ,V1 ,V2 ,V3 } l’ensemble représentant les 12
boules de l’urne.
Un tirage simultané de deux boules de cette urne est une combinaison de 2 éléments de E ( une partie de E ayant 2 éléments )
à !
12
12!
le nombre de combinaisons de 2 éléments de E est
=
= 66
2
2!10!
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EX 2 :
2. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?
Si Ω représente l’univers des possibles de l’expérience aléatoire :
« un joueur tire simultanément au hasard, deux boules de E », c ar d Ω = 66
tous les évènements élémentaires sont équiprobables
il y a 6 cas favorables à « l’obtention de 2 boules blanches » : {B 1 ; B 2 } {B 1 ; B 3 } {B 1 ; B 4 } {B 2 ; B 3 } {B 2 ; B 4 } {BÃ3 ;!B 4 }
4
effectivement chaque issue favorable est une combinaison de 2 éléments de B = {B 1 , B 2 , B 3 , B 4 } il y en a
=6
2
¡4¢
1
6
2
=
ainsi la probabilité de tirer deux boules blanches est : ¡12
¢=
66 11
2
3. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
Il y a 10 cas favorables à « l’obtention de 2 boules rouges » :
{R 1 ; R 2 } {R 1 ; R 3 } {R 1 ; R 4 } {R 1 ; R 5 } {R 2 ; R 3 } {R 2 ; R 4 } {R 2 ; R 5 } {R 3 ; R 4 } {R 3 ; R 5 } {R 4 ; R 5 }
à !
5
effectivement chaque issue favorable est une combinaison de 2 éléments de R = {R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 } il y en a
= 10
2
¡5¢
5
10
2
=
ainsi la probabilité de tirer deux boules rouges est : ¡12
¢=
66 33
2
4. Quelle est la probabilité p de tirer deux boules de même couleur ?
Il y a 3 cas favorables à « l’obtention de 2 boules vertes » : {V1 ;V2 } {V1 ;V3 } {V2 ;V3 }
à !
3
effectivement chaque issue favorable est une combinaison de 2 éléments de V = {V1 ,V2 ,V3 } il y en a
=3
2
l’événement « tirer deux boules de même couleur » est la réunion des 3 événements distincts : « tirer deux boules
blanches » ou « tirer deux boules rouges » ou « tirer deux boules vertes »
19
6 10 3
+
+
=
la probabilité de tirer deux boules de même couleur est : p =
66 66 66 66
Partie B
Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l’urne avant le second tirage les deux boules tirées la
première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage :
– si deux boules sont de même couleur, il reçoit 40 euros,
– si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros.
On appelle gain du joueur la différence à l’issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce
gain peut-être positif ou négatif ). On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
X
•
•
•
peut prendre les valeurs :
50 = −30 + 40 + 40
lorsque « le joueur a reçu 2 fois 40 € »
15 = −30 + 40 + 5 lorsque « le joueur a reçu 1 fois 40 € et une fois 5 € »
−20 = −30 + 5 + 5 lorsque « le joueur a reçu 2 fois 5 € »
b) Déterminer la loi de probabilité de X . Donner les résultats à l’aide de p.
¡
¢ ¡
¢
¡
¢
p (X = 50) = p × p = p 2 p (X = 15) = p × 1 − p + 1 − p × p = 2p 1 − p
X
p(X = x i )
50
p2
15
2p − 2p 2
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢2
p (X = −20) = 1 − p × 1 − p = 1 − p
−20
1 − 2p + p 2
c) Calculer l’espérance de X . Interpréter.
¡
¢
¡
¢
E (X ) = 50 × p 2 + 15 × 2p − 2p 2 + (−20) × 1 − 2p + p 2 = 70p − 20
19
5
E (X ) = 70p − 20 = 70 ×
− 20 =
' 0, 15 ces règles de jeu sont favorables au joueur.
66
33