Énoncé Partie I. Intégrale de Nair Partie II. Plus petit commun

MPSI B
21 janvier 2017
Énoncé
Partie II. Plus petit commun multiple des premiers entiers
L'objet de ce problème1 est de prouver une inégalité de Chebychev portant sur le nombre
(noté π(n)) d'entiers premiers plus petits qu'un entier n.
Pour tout nombre naturel non nul n, on note dn le plus petit des multiples communs à
tous les entiers entre 1 et n.
1. Calculer dn pour n entre 1 et 9.
Partie I. Intégrale de Nair
2. Soit m et n des entiers tels que m ≤ n.
Pour tous entiers naturels non nuls m et n tels que m ≤ n, on pose
a. Montrer que dn I(m, n) ∈ Z.
n
b. Montrer que m m
divise dn .
1
Z
xm−1 (1 − x)n−m dx
I(m, n) =
0
3. Soit m un entier naturel non nul, montrer que chacun des nombres suivants
1. Montrer que
I(m, n) =
n−m
X
j=0
2.
2m
m
,
m
(−1)j n − m
m+j
j
(m + 1)
2m + 1
,
m+1
(2m + 1)
2m
,
m
m(2m + 1)
2m
m
divise d2m+1 .
a. Soit m < n, montrer que
4. Soit m ∈ N∗ , en considérant (1 + 1)2m , montrer que m 22m ≤ d2m+1
mI(m, n) = (n − m)I(m + 1, n)
Partie III. Une inégalité de Chebychev
b. Calculer I(1, n).
c. Montrer que
1.
n
m
I(m, n) = 1
m
b. Déterminer tous les entiers n pour lesquels dn ≥ 2n .
3. Dans cette question, on veut retrouver de manière indépendante le résultat de la question 2.c.
2.
a. Montrer que, pour tout y ∈ [0, 1[,
n X
n−1
1
I(m, n)y m−1 =
1 + y + · · · + y n−1
n
m−1
m=1
3.
n
ln n
G. Tenenbaum (Pub. Institut
M. Nair (Am. Math. Month. 89, no 2,
b. Déterminer tous les entiers n pour lesquels l'inégalité précédente est vraie.
126-129)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
a. Montrer que, pour tous les entiers n ≥ 9,
π(n) ≥ ln 2
1 d'après Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres
On Chebyschev-type inequalities for prime
a. Soit n un naturel non nul et p un diviseur premier de dn . L'exposant de p dans
la décomposition de dn en facteurs premiers est noté αp . Montrer qu'il existe un
entier mp compris entre 1 et n tel que αp soit l'exposant de p dans la décomposition
de mp en facteurs premiers.
b. Montrer que dn ≤ nπ(n) .
b. En déduire le résultat cherché.
Elie Cartan) p11 et
a. En distinguant les cas où n est pair ou impair, montrer que dn ≥ 2n pour tous
les entiers n tels que n ≥ 9.
1
Rémy Nicolai Ainech1
MPSI B
21 janvier 2017
3.
Corrigé
n X
n−1
I(m, n)y m−1
m
−
1
m=1
!
Z 1 X
m n−1
=
I(m, n)(xy)m−1 (1 − x)n−1−(m−1) dx
m
−
1
0
m=1
Z 1
Z 1
n−1
=
(1 − x + xy)
dx =
(1 + (y − 1)x)n−1 dx
Partie I. Intégrale de Nair
1. On utilise la formule du binôme et la linéarité de l'intégrale :
I(m, n) =
n−m
X
j=0
Z 1
m+j 1
n−m
X n − m
n−m
m−1
j j
j x
x
(−1) x dx =
(−1)
j
j
m+j 0
0
j=0
=
n−m
X
j=0
n − m (−1)j
j
m+j
0
1 m
x (1 − x)n−m
m
1
1
Z
−
0
0
b. Comme la relation est valable pour une innité de y (tous les éléments de l'intervalle), on peut déduire une égalité entre les polynômes associés ce qui permet
d'identier les coecients des puissances de y . On retrouve la formule déjà obtenue.
1 m
x (−1)(n − m)(1 − x)n−m−1 dx
m
Le crochet est nul car 0 < m < n. On obtient donc
I(m, n) =
Partie II. Plus petit commun multiple des premiers entiers
n−m
I(m + 1, n)
m
1. On présente dans un tableau les valeurs des premiers dn .
n
dn
a. On peut directement calculer
Z
I(1, n) =
1
(1 − x)n−1 dx =
0
0
1
1
1
1
[(1 + (y − 1)x)n ]0 =
(y n − 1) 1 + y + · · · + y n−1
=
n(y − 1)
n(y − 1)
n
2. On eectue une imtégration par parties
I(m, n) =
a. Par linéarité, une formule du binôme apparait dans la somme proposée
2.
1
n
2
2
3
6
4
12
a. D'après I.1. :
dn I(m, n) =
5
60
n
X
7
420
(−1)k−m
k=m
b. Pour m = 1 :
6
60
8
840
9
2520
n − m dn
∈Z
k − m |{z}
k
∈Z
n
n
1
m
I(m, n) = 1
I(1, n) = n = n
n
m
1
b. En multipliant I.2.c. par dn :
n
m
dn I(m, n) = dn
m | {z }
| {z }
∈Z
On peut continuer par récurrence jusqu'à m = n car :
∈Z
n
n(n − 1) · · · (n − m) m
(m + 1)
I(m + 1, n) = (m + 1)
I(m, n)
m+1
(m + 1)!
n−m
n(n − 1) · · · (n − m + 1)
n
=
mI(m, n) = m
I(m, n)
m!
m
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
donc m
divise dn .
3. Cas de x = m 2m
m . On applique II.2.b avec n = 2m. On en déduit que x divise d2m
donc d2m+1 car d2m divide d2m .
2
n
m
Rémy Nicolai Ainech1
MPSI B
21 janvier 2017
Cas de x = (m + 1) 2m+1
m+1 . On applique II.2.b avec 2m dans le rôle de n et m + 1
dans celui de m.
2m
Cas de x = (2m + 1) m+1
. D'après la dénition des coecients du binôme : x =
2m+1
(m + 1) m+1 . On se retrouve dans le cas précédent.
2m
Cas de x = (2m + 1) m+1
. D'après les deux cas précédents, d2m+1 est un multiple
2m
2m
commun à m m et (2m + 1) m+1
. Comme m et 2m + 1 sont premiers entre eux,
x est le ppcm des deux donc x divise d2m+1 .
4. D'après la formule du binôme :
2
X
2m
22m = (1 + 1)2m =
m
m
b. La décomposition de dn s'écrit
dn =
2m
m
2
car m(2m + 1)
2m
2m
m
ce produit étant étendu à tous les p premiers inférieurs ou égaux à n.
Chaque pαp est la composante en p dans la décomposition d'un mp donc
pαp ≤ mp ≤ n ⇒ dn ≤ nπ(n)
car π(n) est le nombre d'entiers premiers plus petits ou égaux à n.
3.
a. Pour n ≥ 9, on a vu que 2n ≤ dn . Donc
2n ≤ nπ(n) = eπ(n) ln n
est le plus grand des 2m + 1 coecients du binôme de ce dévelopen prenant le logarithme :
2m
1
2m
d2m+1
≤ (2m + 1)
≤
m(2m + 1)
≤
m
m
m
m
n ln 2 ≤ π(n) ln n ⇒ π(n) ≥ ln 2
est inférieur à d2m+1 car il le divise. On en déduit m22m ≤ d2m+1 .
ln n
n
b. On examine les cas particuliers en présentant les approximations numériques dans
un tableau
Partie III. Inégalité de Chebychev
1.
pαp
p
k=0
Il est clair que
pement donc
Y
a. Lorsque n est impair, on l'écrit n = 2m + 1. Alors II.4. entraine m22m ≤ d2m+1 .
Si n ≥ 9, alors m ≥ 4 et
2n = 2 22m ≤ 4 22m ≤ m 22m ≤ d2m+1 = dn
Pour n pair avec n ≥ 10, on a n = 2(m + 1) avec m ≥ 4 donc :
2n = 4 22m ≤ m 22m ≤ d2m+1 ≤ d2m+2 = dn
n
2
3
4
5
6
7
8
9
π(n)n
1
2
2
3
3
4
4
4
ln 2 lnnn
2
1.89
2
2.15
2.32
2.49
2.66
2.83
On en déduit que l'inégalité π(n) ≥ ln 2 lnnn est valable pour tous les n ≥ 4.
b. On forme le tableau des puissances de 2.
n
2n
2.
2
4
3
8
4
16
5
32
6
24
7
128
8
256
9
512
L'inégalité 2n ≤ dn est donc vraie pour tous les entiers sauf 1, 2, 3, 4, 6.
a. L'exposant αp de p dans la décomposition de dn est le plus grand des exposants
des m inférieurs à n. Il existe donc un mp plus petit ou égal m tel que αp soit
l'exposant de p dans la décomposition de mp .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
3
Rémy Nicolai Ainech1