Horloge en bois BUCO 1320

Horloge en bois BUCO 1320
R.Schorpp
Horloge en bois
BUCO 1320
Calcul
R.Schorpp
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Horloge en bois BUCO 1320
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R.Schorpp
TABLE DES MATIERES
Table des matières .........................................................................................................2
Introduction.....................................................................................................................3
Calcul...............................................................................................................................4
3.1 Mouvement de rotation du fléau .................................................................................4
3.2 Amplitude de l’oscillation ............................................................................................4
3.3 Moment d’inertie.........................................................................................................5
3.4 Période d’oscillation ...................................................................................................6
3.4.1 Construction ........................................................................................................6
3.4.2 Rapport de transmission......................................................................................7
3.5 Entraînement..............................................................................................................7
3.6 Réserve de marche ....................................................................................................7
3.6.1 Augmentation de la réserve de marche...............................................................8
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Horloge en bois BUCO 1320
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R.Schorpp
INTRODUCTION
L’entreprise Baumann AG à Diepoldsau a construit pendant les années 60 et 70 d'anciennes
horloges à roues dentées en bois sous la marque BUCO (Baumann Uhren COpien).
On peut lire dans le catalogue :
Les premières horloges à roues dentées possédaient un échappement à verge muni d’un
fléau, comme élément d’échappement. Elles étaient mues par un poids suspendu,
possédaient seulement trois paires de roues dentées et une aiguille. Dante Alighieri les
mentionne pour la première fois dans sa divine comédie écrite en 1320.
L’horloge à fléau modèle numéro 1320 se présente comme suit :
Figure 1: horloge à fléau BUCO 1320
Une telle horloge, utilisant l’énergie cinétique d’un pendule horizontal comme élément
stabilisateur, ne peut être précise.
Elles étaient autrefois remises à l’heure chaque jour à midi d’après la position du soleil.
Pour cette raison une aiguille des minutes est superflue.
Cette horloge à fléau peut être calculée grâce aux lois de la physique.
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3.1
R.Schorpp
CALCUL
Mouvement de rotation du fléau
Le mouvement de rotation est décrit par l’équation différentielle suivante:
Dm = J ⋅ β&&
(1)
[
Dm = Momentdero tation moteur mN = m ⋅ kgm / s 2
[
J = Moment d ' inertie de la masse en rotation kgm
β = angle de rotation du temps [rad ]
β&& = accélération rad / s 2
[
]
2
]
]
Une solution de l’équation (1) est une oscillation de la forme:
β = β max ⋅ cos(ω0 t + ϕ 0 )
ω0 = vitesse angulaire [rad / s ]
β max = amplitude de l ' oscillation [rad ]
ϕ 0 = 0 da β = β max bei t = 0
La vitesse est:
β& = − β max ⋅ ω0 sin(ω0t )
L’accélération ou la décélération:
β&& = − β max ⋅ ω0 ⋅ ω0 cos(ω0t )
(2)
Introduit dans (1):
Dm = J ⋅ β max ⋅ ω0
avec ω0 =
2
⎛ 2π
Dm = J ⋅ β max ⋅ ⎜⎜
⎝ T0
⎞
⎟⎟
⎠
2π
T0
2
(3)
Pour mettre en mouvement le fléau il faut un moment Dm agissant sur son axe.
Dm (3) peut être calculé dès que J, βmax et T0 sont connus.
3.2
Amplitude de l’oscillation
R=
60.0 mm
35 mm
L = 4.0 mm
L’amplitude d’oscillation est déterminée par le système d’échappement.
Figure 2: Fléau avec poids
Pour mettre le fléau en mouvement la roue d’échappement doit pousser l’échappement.
Cela fonctionne de la manière suivante :
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R.Schorpp
haut
bas
u
u
u
u
u
a
u
b
c
d
a
Figure 3; échappement (vu d’en haut)
a)
La pointe supérieure de la roue d’échappement pousse l’échappement qui tourne
dans le sens des aiguilles d’uns montre.
L’échappement tourne d’un angle d’environ +25° et la pointe supérieure s’échappe.
La pointe inférieure freine l’oscillation (jusqu’à environ 30°) et pousse l’échappement
dans la direction opposée.
L’échappement tourne d’un angle d’environ -25° et la pointe inférieure s’échappe.
La pointe supérieure freine l’oscillation (jusqu’à environ -30°) et pousse
l’échappement dans la direction opposée.
b)
c)
d)
a)
L’amplitude de l’oscillation est alors :
β max = 25° = 0.436 [rad ]
3.3
Moment d’inertie
Le moment d’inertie de la masse en rotation est la somme des moments d’inertie pris
séparément.
Fléau d'une longueur de 180 mm et d'un poids de 2g:
J1 = M F ⋅
[
L2
180 2
= 2⋅
= 5400 gmm 2
12
12
]
Axe du fléau d'un diamètre de 1.5mm et d'un poids de 10g :
J2 = M A ⋅
[
R2
1.5 2
= 10 ⋅
= 11.25 gmm 2
2
2
]
Poids en forme de cube de côté 35mm et d'un poids de 25g :
JG = MG ⋅
[
a2
352
= 25 ⋅
= 5104 gmm 2
6
6
]
Les poids peuvent être déplacer sur le fléau. Ils sont fixés de telle façon que l’horloge
marche exactement. Avec la distance R (Figure 2) par rapport à l’axe du fléau on peut
effectuer un réglage fin de la marche de l’horloge (position moyenne 60mm).
L’inertie se calcule d’après la loi de STEINER:
[
J 3 = 2( J G + M G ⋅ R 2 ) = 2(5104 + 25 ⋅ 60 2 ) = 190208 gmm 2
Total :
[
J = J 1 + J 2 + J 3 = 195619 gmm 2
]
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]
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3.4
3.4.1
R.Schorpp
Période d’oscillation
Construction
axe du fléau
39 mm
25
Ajustement
grossier
Axe de la roue
d'échappement
7 56
7
56
axe auxiliaire
7
56
56
axe
d'entraînement
7
56
7
7
56
18 mm
heures
Figure 4: Construction de l’horloge
L’axe des heures possède une roue dentée à 56 dents. Il est entraîné par l’axe
d’entraînement avec une roue à 7 dents.
L’axe d’entraînement possède une roue à 56 dents. Il entraîne l’axe auxiliaire avec une roue
à 7 dents.
L’axe auxiliaire possède une roue à 56 dents. Il entraîne l’axe de la roue d’échappement
avec une roue à 7 dents.
La roue d’échappement possède 25 pointes. Elle tourne donc 25 fois plus lentement que
l’axe auxiliaire.
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3.4.2 Rapport de transmission
La période d’oscillation du fléau se calcule comme suit:
L’axe des heures tourne une fois par 12hx60minx60s = 43200s
L’axe d’entraînement tourne une fois par 43200x7/56 = 5400s
L’axe auxiliaire tourne une fois par 5400x7/56 = 675s.
L’axe de la roue d’échappement tourne une fois par 675x7/56 = 84.375s
L’axe du fléau fait une oscillation complète en 84.375/25 = 3.375s.
C’est la période T0 = 3.375s
3.5
Entraînement
Le moment de rotation Dm sur l’axe du fléau est produit par la force de rotation de la roue
d’échappement.
2
⎛ 2π ⎞
2π ⎞
2
2
⎟⎟ = 195619 ⋅ 0.436 ⋅ ⎛⎜
Dm = J ⋅ β max ⋅ ⎜⎜
⎟ = 295604 gmm / s
T
3
.
375
⎝
⎠
⎝ 0 ⎠
2
2
g = 981cm / s = 9810mm / s
Dm = 295804 / 9810 = 30.1 [gmm]
2
[
]
La Figure 2 montre un levier de 4 mm. Il peut être ajusté par déplacement axial de la roue
d’échappement grâce à un écrou fixé sur l’axe.
La pointe doit exercer la force suivante:
F = Dm / L = 30.1 / 4 = 7.53 [g ]
Le moment de rotation nécessaire sur l’axe de la roue d’échappement d’un rayon de 39mm
est:
F ⋅ levier = 7.53 ⋅ 39 = 293.8 [gmm]
Le moment nécessaire sur l’axe auxiliaire est (transformé par le rapport des nombres de
dents):
293.8 ⋅ 56 / 7 = 2350 [gmm]
Le moment nécessaire sur l’axe d’entraînement est:
2350 ⋅ 56 / 7 = 18803 [gmm]
Avec un rayon de la roue d’entraînement de 18 mm la force d’entraînement nécessaire est:
18803 / 18 = 1044 [g ]
L’engrenage complet à un rendement supposé de 90%La force d’entraînement est donc de:
1044
= 1160 [ g ]
0 .9
L’entraînement est réalisé avec une corde enroulée sur la roue d’entraînement à laquelle est
suspendu un poids.
Un poids de 1500g et un contrepoids de 150g produisent une force nette de 1350g.
3.6
Réserve de marche
Le poids suspendu à la corde peut se déplacer sur environ 1m80.
La roue d’entraînement possède une circonférence de:
2πr = 2π ⋅ 18 = 113 [mm]
Le déplacement du poids (1m80) correspond à:
1800
= 15.9 tours de la roue d’entraînement.
113
Celle-ci tourne une fois par 5400s (3.4.2)
La réserve de marche est donc de:
15.9 ⋅ 5400 = 86017 [s] = 1433 [min] = 24 [std ]
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3.6.1 Augmentation de la réserve de marche
Si l’on oublie un jour de remonter l’horloge il serait judicieux de doubler la réserve.
Cela est possible avec un palan à une poulie.
Le déplacement est réduit de moitié mais le poids doit être doublé.
Un poids de 2500g et un contrepoids de 130g produisent une force nette de:
2500 − 130
= 1185 [g ]
2
Ce qui est suffisant.
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