1 Références 2 Rendements

1 Références
Références
• CLM 1.3, 1.4
• CLM Intro 10, 10.1
2 Rendements
2.1
Prix et rendements
Prix des actifs
• Il y a n actifs et T périodes.
• Le prix de l’actif i à moment t est Pit .
• On suprime l’indice i si n = 1.
• Le log-prix est pt ≡ log Pt .
• L’indice t indique le moment où la quantité est connue.
• Une lettre minuscule indique un logarithme (naturel).
• L’unité de temps est souvent l’année, le mois ou le jour.
• L’unité de prix est le dollar ou une autre devise.
Rendements simples
• Rendement net simple :
Rt ≡
• Rendement brut simple :
Pt − Pt−1
Pt−1
1 + Rt =
Pt
Pt−1
• Le rendement est une quantité sans dimension.
• La stationnarité est plus plausible pour des rendements que pour les prix.
Rendements composés
• Rendement net composé (k périodes) :
• Rendement brut composé :
• Notez que
1 + Rt (k) =
Rt (k) ≡
Pt − Pt−k
Pt−k
1 + Rt (k) =
Pt
Pt−k
Pt−1
Pt
Pt−k+1
···
·
=
Pt−k
Pt−2 Pt−1
t
Y
τ =t−k+1
(1 + Rτ ).
2.2
Log-rendements
Log-rendements I
• Si on réalise le rendement net r/n à chacune de n sous-périodes le rendement brut pour la période entière est de
(1 + r/n)n .
• À la limite, le rendement brut pour la période entière est de
lim (1 + r/n)n = er .
n→∞
• Si 1 + R est le rendement brut pour la période entière,
(1 + R) = er
et r = log(1 + R).
Log-rendements II
• Log-rendement (ou rendement continument composé) :
rt = log(1 + Rt ) = log
• Log-rendement composé :
Pt
Pt−1
= pt − pt−1
rt (k) = log(1 + Rt (k)) = pt − pt−k
• Pour R petit, r ≈ R
2.3
Portefeuilles
Portefeuilles
• Prix de n actifs à t : P1t , . . . , Pnt
• À t − 1, le portefeuille q comprend ωi dollars (ou ωi /Pi,t−1 unités) de l’actif i,
• ωi < 0 est possible (vente à découvert)
Pn
• Normalisation : i=1 ωi = 1
• Prix de q à t − 1 :
Pq,t−1 =
n
X
i=1
• Prix de q à t :
Pqt =
n
X
i=1
ωi
Pi,t−1
ωi
· Pi,t−1 = 1
Pi,t−1
· Pit =
2
n
X
i=1
ωi (1 + Rit )
2.4
Rendements versus log-rendements
Avantages de R
• Soit q un portefeuille avec poids ω = (ω1 , . . . , ωn ) des actifs.
• Le rendement brut 1 + Rqt de q est de
n
1 + Rqt =
X
Pqt
= Pqt =
ωi (1 + Rit ).
Pq,t−1
i=1
• Le rendement net Rqt est ainsi
Rqt =
n
X
ωi Rit .
i=1
• La linéarité et simplicité de Rqt est pratique là où on étudie des portfeuilles.
Avantages de r I
• On peut décomposer un log-rendement composé comme somme des log-rendements simples :
rt (k) =
=
log(1 + Rt (k)) = pt − pt−k
k−1
X
j=0
(pt−j − pt−j−1 ) =
k−1
X
rt−j
j=0
• La linéarité et simplicité de rt (k) est pratique là où on étudie des rendements composés.
Avantages de r II
• Annualiser un rendement est calculer le rendement par année.
• Si l’unité de temps est l’année, le rendement annualisé de Rt (k) est de
1/k

k−1
Y
 (1 + Rt−j )
− 1.
j=0
• Le log-rendement annualisé rt (k) est plus simple :
rt (k)/k
2.5
Dividendes
Dividendes I
• Un dividende est un versement d’une entreprise à ses actionnaires.
• Soit Dt le dividende recu à t.
• Si Pt est avec dividende (cum dividend), le versement du dividende est apr ès la transaction à t et
Rt =
Pt
− 1.
Pt−1 − Dt−1
• Si Pt est ex dividende (ex dividend), le versement est avant la transation et
Rt =
Pt + D t
− 1.
Pt−1
3
Dividendes II
• Souvent un entreprise verse un dividende régulier, habituellement 1, 2, ou 4 fois par année.
• Souvent un entreprise ne verse pas de dividende ou verse des dividendes extraordinaires.
• Le log-rendement est une fonction non-linéaire des log-prix et des log-dividendes :
(
log(Pt + Dt ) − log(Pt−1 )
rt =
.
log(Pt ) − log(Pt−1 + Dt−1 ).
• Il faut inclure les dividendes pour calculer les rendements.
3 Obligations
3.1
Obligations et leur rendements
Obligations
• Une obligation est un contrat entre un émetteur et un détenteur.
• L’émmeteur verse un paiement, la valeur nominale (face value), au d étenteur à l’échéance.
• Habituellement l’émetteur verse des coupons réguliers au détenteur jusqu’à l’échéance (inclusif).
• Pour les obligations zéro coupon il n’y a pas de coupon.
• Pnt est le prix à t d’un obligation zéro coupon (ou obligation à escompte) qui paie un dollar dans n périodes, et
pnt ≡ log(Pnt ).
Rendements des Obligations
• Le rendement à l’échéance (yield) Ynt de cette obligation vérifie
Pnt =
1
.
(1 + Ynt )n
• Le log-rendement ynt ≡ log(1 + Ynt ) vérifie
ynt = −
pnt
.
n
Rendements “Holding Period”
• On calcule un rendement pendant la période de détention (holding period return) pour une obligation :
(1 + Rn,t+1 ) =
• En logs,
Pn−1,t+1
.
Pnt
rn,t+1 = pn−1,t+1 − pnt .
• Le rendement à l’échéance (connu à t) est la moyenne de rendements connu à l’avenir :
ynt
n−1
1X
rn−i,t+1+i .
= −pt /n =
n i=0
4
3.2
Structure à terme
Structure à terme
• La structure à terme est l’ensemble de rendements à l’échéance pour des obligations zéro coupon de maturités
différentes.
• La courbe de rendement (yield curve) est la graphique de Y nt ou ynt contre n.
• L’écart de rendement (yield spread) à t est Snt ≡ Ynt − Y1t ou snt ≡ ynt − y1t .
Cours à terme (Forward rates)
• Voici une façon de garantir à t un taux d’intérêt entre t + n et t + n + 1.
– Acheter une obligation qui paie un dollar à t + n + 1. (Payer Pn+1,t pour une obligation à échéance n + 1.)
– Vendre assez de l’obligation qui paie un dollar à t + n pour financer cet achat. (Vendre Pn+1,t /Pnt de
l’obligation à échéance n.)
• Le cours à terme (forward rate) est le taux garanti :
1 + Fnt =
Pnt
Pn+1,t
4 Moments
4.1
Stationnarité
Stationnarité I
• Un processus {rt } est stationnaire si pour chaque K, chaque (t 1 , t2 , . . . , tK ), et chaque τ , les lois de (rt1 , rt2 , . . . , rtK )
et de (rt1 −τ , rt2 −τ , . . . , rtK −τ ) sont identiques.
• Un processus {rt } est faiblement stationnaire (ou covariance-stationnaire) si pour chaque t et τ ,
– E[rt ] existe et ne dépend pas de t.
– cov[rt , rt−τ ] existe et ne depend pas de t.
Stationnarité II
• Ces hypothèses simplifient le monde en disant que l’avenir ressemble le pass é.
• C’est souvent une hypothèse raisonnable.
• Un processus stationnaire avec moyenne et variance fini est covariance stationnaire.
• En générale, un processus covariance stationnaire n’est pas stationnaire.
• Exception importante : un processus gaussian covariance stationnaire est stationnaire.
• Covariance stationnarité est utile pour les modèles linéaires.
5
4.2
Moments Conditionnels et Inconditionnels
Moments conditionnels et inconditionnels I
• “Conditionnel” veut dire conditionnel sur toutes les variables pertinentes observ ées en t − 1, t − 2, . . ..
• “Inconditionnel” veut dire marginal.
• Les moyennes conditionnelle et inconditionnelle d’une séries stationnaire rt sont
µt−1 ≡ Et−1 [rt ] et µ ≡ E[rt ].
• Variances conditionnelle et inconditionnelles de r t :
2
σt−1
≡ Et−1 [(rt − µt−1 )2 ] et σ 2 ≡ E[(rt − µ)2 ].
• La stationnarité est suffisante pour la constance des moments inconditionnels.
Moments conditionnels et inconditionnels II
• Les “variables pertinentes” comprennent, au minimum, les valeurs pass ées de rt .
• L’indice t indique que la quantité est connue en t.
• Il existe une convention alternative où µt est la moyenne conditionnelle de rt
• souvent volatilité veut dire variance conditionnelle.
4.3
Moments Statiques
Moments de la population et de l’échantillon
• Mettons que la série temporelle {rt } est stationnaire avec au moins quatre moments.
• On observe l’échantillon r1 , . . . , rT .
• Les moyennes de la population et de l’échantillon sont
µ = E[rt ] et µ̂ = T
−1
T
X
rt .
t=1
• Les variances de la population et de l’échantillon sont
2
2
2
σ = E[(rt − µ) ] et σ̂ = T
−1
T
X
t=1
(rt − µ̂)2 .
Asymétrie et Aplatissement
• L’asymétrie (skewness) de la population et de l’échantillon sont
S[rt ] = E[(rt − µ)3 ]/σ 3 et Ŝ = (T σ̂ 3 )−1
T
X
(rt − µ̂)3 .
t=1
• aplatissement (kurtosis)
K[rt ] = E[(rt − µ)4 ]/σ 4 et K̂ = (T σ̂ 4 )−1
T
X
t=1
(rt − µ̂)4 .
• L’asymétrie et l’aplatissement sont normalisé pour ne pas dépendre de la location et l’échelle de la distribution.
6
4.4
Moments Dynamiques
Moments Dynamiques
• Mettons que {rt } est covariance stationnaire.
• La fonction d’autocovariance est
γ(k) = cov[rt , rt+k ] = E[(rt − µ)(rt+k − µ)]
γ̂(k) = T
−1
T
−k
X
t=1
(rt − µ̂)(rt+k − µ̂)
• La fonction d’autocorrelation est
ρ(k) =
4.5
γ(k)
γ(k)
= 2
γ(0)
σ
ρ̂(k) =
γ̂(k)
γ̂(0)
Espérances Itérées
Espérances Itérées
• Soit X et Y des variables aléatoires.
E[E[X|Y ]] =
=
=
=
Z Z
Z Z
Z
Z
xf (x|y) dx f (y) dy
xf (x|y)f (y) dx dy
Z
x
f (x, y) dy dx
xf (x) dx = E[X]
• En général, si B comprend plus d’information que A,
E[X|A] = E[E[X|B]|A].
Espérances Itérées, Exemple Temporelle
• Exemple temporel:
E[rT +2 |rT , rT −1 , . . .]
= E[E[rT +2 |rT +1 , rT , rT −1 , . . .]|rT , rT −1 , . . .]
• Autrement dit,
Et [rt+2 ] = Et [Et+1 [rt+2 ]].
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