Devoir n ° 1 exemple de corrigé

Terminale STG
2007 2008
Devoir n ° 1.
Exemple de corrigé.
Page n ° 1
Monsieur Durand dirige une entreprise familiale qui fabrique des montres de luxe depuis cinquante ans.
Il part à la retraite et confie l'entreprise à son fils Vincent.
Dès la première semaine, Vincent demande à un collaborateur un compte rendu de l'activité journalière de
l'usine ; celui-ci lui remet le document 1.
Partie A : En lisant graphiquement les deux courbes du document 1, répondons aux questions suivantes :
1.
Le nombre maximum de montres produites en une journée est égal à 10.
En effet, les deux courbes sont représentées pour des valeurs de x comprises entre 0 et 10.
2.
Le coût de production de 6 montres est égal à 6 000 €.
Car la courbe coût de production passe par le point de coordonnées ( 6 ; 6 ).
Le coût de production de 8 montres est égal à 6 500 €.
Car la courbe coût de production passe par le point de coordonnées ( 8 ; 6,5 ).
3.
Pour obtenir une recette de 6 000 euros, il faut vendre 6 montres.
Car la courbe recettes passe par le point de coordonnées ( 6 ; 6 ).
Pour que le bénéfice soit strictement positif, il faut que la courbe représentant les recettes soit
strictement au dessus de celle représentant le coût de production.
Donc il faut vendre 7, 8, 9 ou 10 montres par jour pour que l'usine fasse un bénéfice.
Document 1
12
10
milliers d'euros
4.
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
nombre de montres
coût de productions ( milliers d'euros)
recettes ( milliers d'euros )
12
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Exemple de corrigé.
Page n ° 2
La semaine suivante, Vincent se demande s'il peut produire plus de montres à condition que l'usine reste
bénéficiaire. Il convoque son collaborateur qui lui remet le document 2 en page n ° 3, dressé à l'aide d'un tableur.
Partie B : En utilisant le tableau du document 2, répondons aux questions suivantes :
1.
Le coût de production pour 5 montres est égal à 5 875 €. Voir cellule B7.
Le coût de production pour 14 montres est égal à 15 280 €. Voir cellule B16.
2.
La recette pour 12 montres est égale à 12 000 €. Voir cellule C14.
3.
Avec 6 215 euros, on peut fabriquer 7 montres. Voir cellule B9.
4.
Pour que l'entreprise soit bénéficiaire, il faut que la recette soit strictement supérieure au coût de
production. Donc l'entreprise doit vendre entre 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; ou 13 montres.
5.
On a entré dans la cellule B2 la formule :
=0.01*A2^3-0.135*A2^2+0.7*A2+4.5
Que l'on a recopié jusqu'à la cellule B19.
La formule en B18 sera
=0.01*A18^3-0.135*A18^2+0.7*A18+4.5
La valeur dans la cellule B18 sera égale à 0,01 × 163 − 0,135 × 16² + 0,7 × 16 + 4,5 = 22,1.
Cette valeur correspond au coût de production de 16 montres, en milliers d'euros soit 22 100 €.
La formule en B19 sera
=0.01*A19^3-0.135*A19^2+0.7*A19+4.5
La valeur dans la cellule B19 sera égale à 0,01 × 173 − 0,135 × 17² + 0,7 × 17 + 4,5 = 26,515.
Cette valeur correspond au coût de production de 17 montres, en milliers d'euros soit 26 515 €.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Document 2
A
B
C
nombre de montres Coût de production ( en milliers d'euros ) Recette ( en milliers d'euros )
0
4.5
0
1
5.075
1
2
5.44
2
3
5.655
3
4
5.78
4
5
5.875
5
6
6
6
7
6.215
7
8
6.58
8
9
7.155
9
10
8
10
11
9.175
11
12
10.74
12
13
12.755
13
14
15.28
14
15
18.375
15
16
16
17
17
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Devoir n ° 1.
Exemple de corrigé.
Page n ° 3
La troisième semaine, Vincent se préoccupe de savoir combien il faut vendre de montres par jour pour que le
bénéfice soit maximum. Cette fois-ci le collaborateur décide de traiter le problème de façon algébrique.
Il propose de désigner par x, le nombre de montres vendues dans la journée, par C ( x ) le coût de production de
x montres et par R (x ) la recette pour x montres vendues. De plus, on a :
C ( x ) = 0,01x3 − 0,135 x² + 0,7 x + 4,5
et
R ( x ) = x.
On désigne par B ( x ), le bénéfice réalisé par l'entreprise dans une journée.
Partie C : Dans cette partie, il s'agit de répondre aux questions suivantes de façon algébrique :
1.
Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production.
Donc B ( x ) = R ( x ) − C ( x ) = x − ( 0,01x3 − 0,135 x² + 0,7 x + 4,5 ) = − 0,01 x3 + 0,135 x² + 0,3 x − 4,5.
2.
Calculons B ' ( x ) = − 0,01 × 3x² + 0,135 × 2x + 0,3 = − 0,03 x² + 0,27 x + 0,3.
Or − 0,03 ( x − 10 ) ( x + 1 ) = − 0,03 × ( x² − 10x + x − 10 ) = − 0,03x² + 0,27x+ 0,3.
Donc B ' ( x ) = − 0,03 ( x − 10 ) ( x + 1 )
3.
Etudions le signe de B ' ( x ) sur l'intervalle [ 0 ; 17 ].
x
− 0,03
x − 10
x+1
B'(x)
0
10
−
−
+
+
17
−
+
+
−
0
0
Sur l'intervalle [ 0 ; 10 [, B ' ( x ) est strictement positif.
Sur l'intervalle ] 10 ; 17 ], B ' ( x ) est strictement négatif.
Pour x = 10 alors B ' ( x ) est nul.
4.
Dressons le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [ 0 ; 17 ].
x
signe de B ′
0
+
10
0
2
17
−
B
− 4,5
− 9,515
B ( 0 ) = − 0,01 × 03 + 0,135 × 0² + 0,3 × 0 − 4,5 = − 4,5.
B ( 10 ) = − 0,01 × 103 + 0,135 × 10² + 0,3 × 10 − 4,5 =− 0,01 × 1000 + 0,135 × 100 + 3,0 − 4,5
B ( 10 ) = − 10 + 1,35 − 1,5 = 13,5 − 11,5 = 2.
B ( 17 ) = − 0,01 × 173 + 0,135 × 17² + 0,3 × 17 − 4,5 =− 0,01 × 4913 + 0,135 × 289 + 5,1 − 4,5
B ( 10 ) = − 49,13 + 39,015 + 0,6 = − 9,515.
5.
D'après le tableau de variations, pour tout x ∈ [ 0 ; 17 ] , B ( x ) ≤ B ( 10 ).
Donc le maximum de la fonction B est 2 et il est atteint pour x = 10.
Le nombre de montres qu'il faut vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximum est de 10.
Et le bénéfice maximum sera de 2 000 €.