Les nombres complexes

Les nombres complexes
Manipuler les nombres complexes
Les nombres complexes sont une extension des nombres réels développée
pour résoudre certaines équations algébriques (telle x2 + 1 = 0) n’ayant pas
de racine réelle. Ils sont de la forme a + bi où i est défini par la relation
i2 = −1.
(1)
Les règles de l’arithmétique restent valables pour les nombres complexes.
Il suffit de remplacer le nombre i2 par −1 à chaque fois qu’il apparaît. Par
exemple,
(2 + 3i) + (7 − i) = 9 + 2i
et
(2 + 3i) × (7 − i) = 14 + 21i − 2i − 3i2 = 14 + 19i + 3 = 17 + 19i.
Pour diviser par un nombre complexe a+bi, il suffit de multiplier numérateur
et dénominateur par le nombre complexe conjugué a − bi. Par exemple,
2 + 3i
(2 + 3i) × (7 + i)
14 + 21i + 2i − 3
11 + 23i
11 23
=
=
=
=
+ i.
7−i
(7 − i) × (7 + i)
49 − 7i + 7i + 1
50
50 50
Le nombre a est la partie réelle du nombre complexe a + bi, le nombre b
est sa partie imaginaire, le nombre a − bi est le nombre complexe conjugué
et la racine carré du nombre positif
a2 + b2 = (a + bi) × (a − bi)
est son module. Les régles de l’arithmétique sont les suivantes :
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(2)
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
(3)
(a + bi) × (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(4)
1
ac + bd bc − ad
a + bi
= 2
+ 2
(5)
c + di
c + d2
c + d2
Il n’y a pas de relation d’ordre entre les nombres complexes. En effet,
ces nombres ne peuvent pas être représentés comme les points d’une droite
puisque chacun d’eux est décrit par deux nombres réels. On représente donc
le nombre complexe a + bi par un point P d’un plan, la partie réelle du
nombre correspondant à l’abscisse du point et la partie imaginaire à son
ordonnée.
y
a+ä b
ä
b
x
a
a-ä b
Exercices
Calculer le résultat.
1. (2 − 3i) + (−2 + i)
2. (2 − 3i) × (−2 + i)
3. (2 − 3i)/(−2 + i)
4. (a + bi)2
5. i4
Pour en savoir plus
? http://www.webmaths.com/index.php
? http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. −2i
2. −1 + 8i
3. − 75 + 45 i
2
4. (a2 − b2 ) + 2abi
5. 1