Pourquoi les spaghetti cassent en 3 morceaux

Pourquoi les spaghetti
cassent en 3 morceaux ?
(quand une rupture en entraîne une autre)
Sébastien Neukirch et Basile Audoly
Laboratoire de modélisation en mécanique
CNRS et Université P. et M. Curie
www.lmm.jussieu.fr/spaghetti
expériences avec l'aide de Luc Lebon et Denis Vallet (PMMH-ESPCI)
Expérience type
●
●
Problème classique
Feynman cuisine
F>0
F>FFLAMB
F>FRUPT
PAF
PAF
Hypothèses
➔
➔
➔
Ruptures ne sont pas synchrones
Une rupture entraîne l'autre
Relâchement courbure induit 2ème rupture (!)
F
F
F
PAF n°2
PAF n°1
Expérience test : la catapulte à vide
on courbe
proche
limite
rupture
on relâche
la tige se brise
Ondes de flexion
➔
➔
➔
Période d'oscillation
A
video
onde de sur-courbure
casse au dessus !
T AB≃0.9L2
F
rupture
démarre ici
t1

S
EI
B
2ème rupture démarre ici
t0
t 1−t 0 ≪T AB
Dynamique d'une tige élastique
●
Équations de Kirchhoff (structure élancée, élasticité 1D)
 '= A ̈
F
r
 

M'
r '×F=I
d1 ×d̈1 d2 ×d̈2 
d
d
'≡
et ˙≡
ds
dt
●
A
I
F
M
:
:
:
:
aire de la section
moment d'inertie de la section
force interne (moyenne dans section)
moment interne (moyenne)
On linéarise autour de la configuration droite
EI '''' A ̈=I ̈ ''
M=EI : relation de constitution linéaire
x
θ
s
E : module de Young
ρA : masse linéique
z
Ordres de grandeur & adimensionement
●
L
Variables d'espace
2R
s=S/L : s∈[0 ;1]
=K /L et x=X /L
●
Variables de temps
élancement :
t≝
T
 L /c
≝L

A 2L
=
≃1000
I
R
vitesse du son :
: t ∈[0;10/]
c≝

E
≃1000 m /s

~10 ms
t L ≝ L /c : temps (long) que met le son pour traverser λ tiges (~0.25s)
L'équation devient :
 ''''̈ =
̈ ''

2
on néglige
inertie en rotation de la section
mvt rapide % flexion
Diagramme spatio-temporel de la solution
+vidéo
t /t L
/0
S/L
Où la pâte casse-t-elle ?
K RUPT
K 0 K RUPT
1.43
si
si
K
K
KRUPT
K0
1
2/3
1/3
1
2
≃
1.43 3
KRUPT
1
2/3
K0
1/3
s=1

K RUPT
K
K 0  RUPT
3
1.43

f
pa
s
s=1
!
paf !
s
Les records de courbure
un point (s,t) est un :
record local : si à s fixée,
t≥t ', ∀ t 't
record global : si ∀ s '
s , t≥s ' , t ', ∀ t 't
Comparaison théorie / expérience
t /t L
/0 ≃3
/0 ≃1.43
S/L
sans paramètre ajustable
Domaine de validité
- Cela marche-t-il avec l'extension ? non : comme ressort
- Avec la torsion ? non : simples ondes progressives de twist
''=
1 
c
2
̈
s , t
- Autres structures élancées : plaques, coques ?
- Retard à la rupture
K
temps exposition
Diagramme spatio-temporel de la solution en twist
t
/0
S/L
Applications : cheminée qui s'écroule
site web de :
Gabriele Varieschi
Loyola Marymount Univ.
Los Angeles, USA
Applications : impact d'un projectile sur une paroi
distribution de la taille des fragments
J. R. Gladden et al, PRL 94 (2005)
Applications : futur combat system (!)
distribution de la taille des fragments
K. Tarcza, Picatinny Arsenal & Univ Texas Austin, USA
fragmentation d'un obus (tungstène) contre une armure
obus
armure
( clichés aux rayons X )