Modèles stochastiques Modèle de file d`attente
Transcription
Modèles stochastiques Modèle de file d`attente
Modèles stochastiques Modèle de file d’attente 1. Structure de base Système de file d'attente Population Population: clients entrants file d'attente service clients servis La population constitue la source de clients potentiels. Elle est caractérisée par son nombre d'élément (fini ou infini). Clients: Les clients (issus de la population) se joignent au système avec un taux moyen d'arrivée. File d'attente: La file d'attente est caractérisée par le nombre maximum permis de clients en attente (fini ou infini) Service: Le service peut être assuré par un ou plusieurs serveurs. Le temps qui s'écoule entre le début et la fin de service d'un client est dénoté le temps de service suivant une distribution de probabilité. Donc le taux de service est une autre caractéristique du système. 1. Structure de base Système de file d'attente Population clients entrants file d'attente service clients servis Stratégie de: La stratégie de service réfère à l'ordre selon laquelle les clients service sont servis: premier arrivé premier servi, au hasard, selon des priorité, … Hypothèses: Le temps s'écoulant entre deux arrivées consécutives est distribué exponentiellement Le temps de service est aussi distribué exponentiellement Terminologie et notation: Pn ( t ) = Probabilité d'avoir n clients dans le système au temps t s = Nombre de serveurs λn = Taux moyen d'arrivée (espérance mathématique du nombre d'arrivées par unité de temps) de nouveaux clients dans le système lorsque n clients sont dans le système Paramètre définissant la distribution exponentielle des arrivées lorsque n clients sont dans le système 1 λn µn = Temps moyen entre les arrivées lorsque n clients sont dans le système = Taux moyen de service d'un client lorsque n clients sont dans le système Paramètre définissant la distribution exponentielle du service d'un client lorsque n clients sont dans le système 1 µn = Temps moyen de service d'un client lorsque n clients sont dans le système Quand nous commençons à analyser un système de file d'attente, l'état de ce dernier dépend beaucoup de l'état initial et du temps écoulé. Nous disons alors que le système est en situation transitoire, et son étude est alors très complexe. C'est pourquoi dans la théorie des files d'attente, nous préférons faire l'étude une fois que le système a atteint sa situation d'équilibre où les états du système sont essentiellement indépendantes de l'état initial et du temps déjà écoulé. On suppose en quelque sorte que le système est en opération depuis un très long moment. Notation et terminologie lorsque la situation d'équilibre tient: Pn = Probabilité qu'il y ait n clients dans le système L = Nombre moyen ( espérance mathématique ) de client dans le système Lq = Nombre moyen de client dans la file d'attente ( excluant ceux dans le service ) W = Temps moyen dans le système Wq = Temps moyen dans la file (excluant le temps de service) s = Nombre de serveurs De plus, définissons Alors L = ∑ nPn n Lq = ∑ ( n − s ) Pn λ = ∑ λn Pn ( taux moyen d'arrivée ) n Par les formules de Little n≥ s L = λW Lq = λ Wq Donc, essentiellement il faut d'abord déterminer les Pn pour compléter l'étude d'une file d'attente 2. Processus de naissance et de mort Hypothèses: Le temps s'écoulant entre deux arrivées consécutives est distribué exponentiellement Le temps de service est aussi distribué exponentiellement Sous les hypothèse précédentes, une file d'attente peut être vu comme un processus de naissance et de mort: naissance ↔ arrivée du client mort ↔ départ du client du système après son service Dans le processus de naissance et de mort: Hyp. 1: Naissance ↔ Le temps s'écoulant entre deux naissances consécutives est distribué exponentiellement Hyp. 2: Mort ↔ Le temps s'écoulant entre deux morts consécutives est aussi distribué exponentiellement Hyp. 3: Chaque transition à partir de l'état n est de type n → ( n + 1) ( une seule naissance ) ou n → ( n − 1) ( une seule mort ) Diagramme de transition entre les états λ0 0 λn µn µ1 λ1 1 µ2 λ2 2 λn − 2 ⋯ µ3 λn −1 n −1 µn −1 λn n +1 ⋯ n µn µn +1 = Taux moyen de naissance lorsque n personnes sont dans le système = Taux moyen de mort lorsque n personnes sont dans le système Le processus de naissance et de mort peut être considéré comme une chaîne de Markov en temps continu où les densités de transitions sont spécifiées à l'aide des λn et µn . MAIS les équations d'équilibre suivantes donne un système d'équations plus facile à résoudre pour identifier les π j : M π j q j = ∑ π i qij j ∈ {0,… , M } i =0 i≠ j M Interprétation intuitive: ∑π j =1 j =0 π j q j : taux auquel le processus part de j puisque π j : probabilité (à l'équilibre) que le processus soit dans l'état j q j : taux de transition pour sortir de l'état j étant donné que le processus est dans l'état j π i qij : taux de passage de l'état i à l'état j puisque qij : taux de transition de l'état i à l'état j étant donné que le processus est dans l'état i M ∑π q i ij : taux de passage à l'état j quelque soit l'état i dans lequel se trouve i =0 i≠ j le processus Donc il s'ensuit que taux de départ de j = taux d'arrivée à j Interprétation intuitive: π j q j : taux auquel le processus part de j puisque π j : probabilité (à l'équilibre) que le processus soit dans l'état j q j : taux de transition pour sortir de l'état j étant donné que le processus est dans l'état j π i qij : taux de passage de l'état i à l'état j puisque qij : taux de transition de l'état i à l'état j étant donné que le processus est dans l'état i M ∑π q i ij : taux de passage à l'état quelque soit l'état i dans lequel se trouve i =0 i≠ j le processus Donc il s'ensuit que taux de départ de j = taux d'arrivée à j Nous utilisons donc par la suite ces ÉQUATIONS DE BALANCE ÉQUATIONS DE BALANCE Équations d'équilibre M π j q j = ∑ π i qij Intensités de transition j ∈ {0,… , M } M q j = ∑ q ji . i =0 i≠ j i =0 j ≠i M ∑π j =1 j =0 Remplaçons les valeurs des q j dans les équations d'équilibre: M M M i =0 i≠ j i =0 i≠ j i =0 i≠ j π j q j = ∑ π i qij ⇔ π j ∑ q ji = ∑ π i qij j ∈ {0,… , M } Donc les équations de balance deviennent M M i =0 i≠ j i =0 i≠ j π j ∑ q ji = ∑ π i qij M ∑π j =0 j =1 j ∈ {0,… , M } taux de départ de j = taux d'arrivée à j Diagramme de transition entre les états λ0 0 λn µn µ1 λ1 1 µ2 λ2 2 λn − 2 ⋯ µ3 λn −1 n −1 µn −1 λn n +1 ⋯ n µn µn +1 = Taux moyen de naissance lorsque n personnes sont dans le système = Taux moyen de mort lorsque n personnes sont dans le système Le processus de naissance et de mort peut être considéré comme une chaîne de Markov en temps continu où les densités de transitions sont spécifiées à l'aide des λn et µn . Nous pouvons donc appliquer les équations de balance pour déterminer les probabilités à l'équilibre Pn . Diagramme de transition entre les états λ0 0 µ1 λ1 1 λ2 µ3 λn −1 n −1 ⋯ 2 µ2 λn − 2 µn −1 λn n +1 ⋯ n µn µn +1 Nous pouvons donc appliquer les équations de balance pour déterminer les probabilités à l'équilibre Pn . Équations de balance deviennent π j ∑ q ji = ∑ π i qij i≠ j ∑π j j i≠ j =1 j = 0,1, 2,… Diagramme de transition entre les états λ0 0 µ1 λ1 1 λ2 µ3 λn −1 n −1 ⋯ 2 µ2 λn − 2 µn −1 λn µn Équations de balance deviennent π j ∑ q ji = ∑ π i qij i≠ j ∑π j i≠ j =1 j Pour n = 0 P0 λo = P1µ1 Pour n = 1, 2,… Pn ( λn + µn ) = Pn −1λn −1 + Pn +1µn +1 n +1 ⋯ n j = 0,1, 2,… µn +1 Diagramme de transition entre les états λ0 0 µ1 λ1 1 µ2 λ2 2 λn − 2 ⋯ µ3 λn −1 n −1 µn −1 1 µn µn +1 Pour n = 0 P0 λo = P1µ1 λ0 P0 µ1 λ λ λ λ 1 P2 = 1 P1 + ( µ1 P1 − λ0 P0 ) = 1 P1 = 1 0 P0 µ2 µ2 µ2 µ2 µ1 P1 = Pour n = 1, 2,… 0 2 n +1 ⋯ n État n 0 λn Pn ( λn + µn ) = Pn −1λn −1 + Pn +1µn +1 ⇔ Pn +1 = λn 1 Pn + (µ P − λ P ) µ n +1 µ n +1 n n n −1 n −1 λ2 λ2 λ2 λ1 λ0 1 P3 = P2 + ( µ2 P2 − λ1 P1 ) = P2 = P0 µ3 µ3 µ3 µ3 µ2 µ1 0 ⋮ n λn λn λn λ2 λ1 λ0 1 µn Pn − λn −1 Pn −1 ) = Pn +1 = Pn + Pn = P0 … ( µn +1 µn +1 µn +1 µn +1 µ3 µ2 µ1 0 ⋮ État n 0 1 λ0 P µ1 0 λ λ λ λ 1 P2 = 1 P1 + ( µ1 P1 − λ0 P0 ) = 1 P1 = 1 0 P0 µ2 µ2 µ 2 µ2 µ1 P1 = 0 2 P3 = 1 λ2 λ λ λ λ P2 + ( µ2 P2 − λ1 P1 ) = 2 P2 = 2 1 0 P0 µ3 µ3 µ3 µ3 µ2 µ1 0 ⋮ n Pn +1 = λn λ λ 1 λ λ λ Pn + µn Pn − λn −1 Pn −1 ) = n Pn = n … 2 1 0 P0 ( µn +1 µ n +1 µ n +1 µn +1 µ3 µ 2 µ1 0 ⋮ Pour simplifier n −1 Pn = ∏ λi i =0 n ∏ µi i =1 P0 n = 1, 2,… Pour simplifier n −1 Pn = ∏ λi i =0 n n = 1, 2,… P0 ∏ µi i =1 Pour déterminer P0 , nous utilisons n −1 λ ∏ λi ∏ i 1 i =0 i =0 1 = ∑ Pj = P0 + ∑ n P0 = P0 1 + ∑ n ⇔ P0 = n −1 j n ≥1 ∏ µ n ≥1 ∏ µ ∏ λi i i i =1 i =1 i =0 1+ ∑ n n ≥1 ∏ µ i n −1 i =1 Équations de balance deviennent π j ∑ q ji = ∑ π i qij i≠ j ∑π j j i≠ j =1 j = 0,1, 2,… 3. File d'attente infinie avec un serveur ( s = 1) : M / M / 1 Considérons un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se produisent comme dans un processus de naissance et de mort où λn ≡ λ µn ≡ µ ∀n i.e., indépendants du nombre de clients dans le système ∀n Diagramme de transition entre les états λ 0 µ λ 1 λ 2 µ λ µ ⋯ λ µ n −1 µ λ n µ n +1 ⋯ n −1 Alors Pn = P0 = 1 n −1 1+ ∑ n ≥1 = ∏ λi i =0 n ∏ µi ∏ λi i =0 n P0 n = 1, 2,… ∏ µi 1 i =1 λ ∑ n=0 µ ∞ n 1 P0 = n −1 ∏ λi 1 + ∑ i =n 0 n ≥1 ∏ µ i i =1 i =1 Sous l'hypothèse que λ <µ (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service) λ < 1, et la progression géométrique µ n λ 1 = ∑ λ n=0 µ 1− ∞ Notons que la condition µ λ <1 µ assure que le système pout atteindre l'équilibre. Autrement le système explose!! Alors 1 P0 = n −1 = ∏ λi 1 + ∑ i =n 0 n ≥1 ∏ µ i 1 λ ∑ µ n =1 ∞ n i =1 Sous l'hypothèse que λ <µ (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service) λ < 1, et la progression géométrique µ n λ 1 = ∑ λ n =1 µ 1− ∞ µ Par conséquent, 1 λ P0 = = 1− 1 µ 1− λ µ Par conséquent, 1 λ P0 = = 1− 1 µ n −1 Pn = ∏ λi i =0 n P0 n = 1, 2,… ∏ µi i =1 λ 1− µ P0 = 1 n −1 ∏ λi 1 + ∑ i =n 0 n ≥1 ∏ µ i De plus i =1 n −1 Pn = ∏ λi n λ λ λ P0 = P0 = 1 − µ µ µ ∏ µi n i =0 n i =1 Introduison la notion de facteur d'utilisation ρ= λ µ ρ représente en quelque sorte la proportion du temps que le serveur est occupé. Il s'ensuit que Pn = (1 − ρ ) ρ n n = 0,1, 2,… Il s'ensuit que Pn = (1 − ρ ) ρ n n = 0,1, 2,… Calculons maintenant les caractéristiques de la file d'attente M / M / 1 a) Nombre moyen de clients dans le système ∞ ∞ n=0 n=0 L = ∑ nPn =∑ n (1 − ρ ) ρ n ∞ = (1 − ρ ) ρ ∑ n ρ n −1 ∞ d n ρ ( ) ρ d n=0 = (1 − ρ ) ρ ∑ n =0 d ∞ n ρ = (1 − ρ ) ρ ∑ d ρ n=0 d 1 1 = (1 − ρ ) ρ = (1 − ρ ) ρ 2 d ρ 1− ρ ρ 1 − ( ) = ρ 1− ρ = λ µ 1− λ µ = λ µ −λ Il s'ensuit que Pn = (1 − ρ ) ρ n n = 0,1, 2,… b) Nombre moyen de clients dans la file d'attente ∞ Lq = ∑ ( n − 1) Pn n =1 ∞ ∞ n =0 n =1 = ∑ nPn − ∑ Pn = L − (1 − P0 ) = λ µ −λ − λ µ λ2 = µ (µ − λ) L= λ µ −λ Il s'ensuit que Pn = (1 − ρ ) ρ n n = 0,1, 2,… L= λ µ −λ λ2 Lq = µ (µ − λ ) c) Temps moyen pour un client dans le système 1 W = = = = λ λ µ −λ λ µ −λ L λ L 1 ∞ ∞ puisque λ = λ P = λ P = λ ∑ ∑ n n n n =0 n=0 d) Temps moyen pour un client dans la file d'attente λ2 1 λ = = = Wq = λ λ µ (µ − λ) λ µ (µ − λ ) Lq Lq 4. File d'attente infinie avec s serveurs : M / M / s Considérons un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se produisent comme dans un processus de naissance et de mort où λn ≡ λ ∀n ⋮ µ s −1 ≡ ( s − 1) µ ∀n ≥ s µn ≡ sµ µ1 ≡ µ µ2 ≡ 2µ µ3 ≡ 3µ chaque serveur a un taux de service de µ , mais le taux de service depend du nombre de clients dans le système; si le nombre est inférieur à s seul un sous-ensemble de serveurs egal au nombre de clients sont actifs; si le nombre de clients est superieur ou égal a s, les s serveurs sont actifs Diagramme de transition entre les états λ 0 µ λ 1 2µ λ 2 λ ⋯ 3µ sµ λ n −1 λ n sµ n +1 ⋯ sµ Dénotons le facteur d'utilisation ρ comme suit: ρs = λ < 1. sµ S'appuyant sur les équations de balance, nous pouvons déterminer les probabilités Pn Notons que la condition ρ s = λ <1 sµ assure que le système pout atteindre l'équilibre. Autrement le système explose!! Équations de balance deviennent π j ∑ q ji = ∑ π i qij i≠ j ∑π j j i≠ j =1 j = 0,1, 2,… λ λ s −1 µ µ 1 P0 = ∑ + n =0 n ! s ! 1 − ρs n s s λ P0 ρ s µ Lq = 2 s !(1 − ρ s ) Wq = Lq λ W = Wq + 1 µ 1 λ L = λW = λ Wq + = Lq + µ µ −1 λ n µ P n ! 0 Pn = n λ µ P0 s !( n − s ) ! si 1 ≤ n ≤ s si s + 1 ≤ n 5. File d'attente finie avec 1 serveur ( s = 1) : M / M / 1/ K Considérons la situation où le système a une capacité finie K ; i.e., si le nombre de clients dans le système est K , alors il ne peut entrer dans le système et il est perdu. Nous avons donc un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se produisent comme dans un processus de naissance et de mort où λ λn = 0 si n ≤ K − 1 µ µn = 0 si n ≤ K si n ≥ K si n ≥ K + 1 Diagramme de transition entre les états λ 0 µ λ 1 λ 2 µ µ λ ⋯ λ µ K −2 µ λ K −1 µ K n −1 Alors Pn = 1 P0 = n −1 K 1+ ∑ n =1 ∏ λi i =0 n ∏ µi = λ ∑ µ n=0 P0 n = 1,… , K ∏ µi 1 K ∏ λi i =0 n i =1 n 1 P0 = n −1 ∏ λi 1 + ∑ i =n 0 n =1 ∏ µ i K i =1 i =1 Sous l'hypothèse que λ <µ (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service) λ < 1, alors µ λ λ Notons que la condition µ < 1 1 − n K λ µ assure que le système pout atteindre ∑ = λ l'équilibre. Autrement le système n =0 µ 1− µ explose!! K +1 Alors 1 P0 = n −1 K ∏ λi 1 + ∑ i =n 0 n =1 ∏ µ i = 1 λ ∑ n=0 µ K n i =1 Sous l'hypothèse que λ <µ (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service) λ < 1, alors µ λ K +1 1 − n K λ µ ∑ = λ n=0 µ 1− µ Par conséquent, λ 1− µ = 1− ρ P0 = K +1 1 − ρ K +1 λ 1− µ λ où ρ = µ Par conséquent, n −1 Pn = λ 1− µ 1− ρ P0 = = K +1 K +1 1 − ρ λ 1− µ où ρ = i =1 P0 = ∏ µi i =1 P0 = P0 ρ n = n −1 i =1 n −1 i =0 n 1 ∏ λi 1 + ∑ i =n 0 n ≥1 ∏ µ i De plus, pour n = 1,… , K Pn = P0 ∏ µi λ µ ∏ λi ∏ λi i =0 n 1− ρ n ρ 1 − ρ K +1 n = 1,… , K Donc pour n = 0,1,… , K Pn = 1− ρ n ρ 1 − ρ K +1 Calculons maintenant les caractéristiques de la file d'attente M / M /1 K L = ∑ nPn = n=0 ρ 1− ρ K + 1) ρ K +1 ( − 1 − ρ K +1 W= ∞ Lq = ∑ ( n − 1) Pn = L − (1 − P0 ) n =1 Wq = L λ Lq λ