TS 2016 Cours 2 Ch5. FonctionsB : Fonctions Continues, TVI 1

TS 2016
Cours 2
Ch5. FonctionsB : Fonctions Continues, TVI
1. Notion de Fonction Continue :
. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, on dit que f est continue en a ∈ I, lorsque lim f (x) = f (a).
x→a
On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en tout a ∈ I.
Graphiquement : f est continue en a,lorsque Cf la courbe qui représente f , ne présente pas de discontinuité en a, lorsque
Cf se trace "sans lever le crayon" à proximité de (a; f (a)), lorsque Cf ne présente "pas de trou" en (a; f (a)).
Exemple 1 : La fonction f , représentée ci dessous est continue sur [−2; 3]
Exemple 2 : La fonction g représentée ci-dessous, définie
sur [−2; 3] n’est pas continue en 1,
3
2
Cf
2
1
1
−2
Cg
−3
−2
1
−1
2
1
−1
2
3
−1
3
−1
−2
Remarque 1 : Pour montrer que f est continue en a, montrer que lim f (x) = f (a), c’est un calcul de limite.
x→a
Ci dessus, lim g(x) 6= lim+ g(x).
x→1−
x→1
Remarque 2 : Dans un tableau de variation, une flèche croissante ou décroissante, traduit une situation de continuité.
. Propriétés : Pour justifier de la continuité d’une fonction sur un intervalle,
Les fonctions usuelles, de référence, sont continues par intervalle :
1
La fonction x 7→ est définie sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[, elle est continue sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[.
x
La Somme de fonctions continues sur I est une fonction continue sur I :
La fonction x 7→ x + b est définie sur R,
somme de la fonction identité et d’une fonction constante, elle est continue sur R.
Le Produit de fonctions continues sur I est une fonction continue sur I :
La fonction x 7→ ax est définie sur R, produit de la fonction identité et d’une fonction constante, elle est continue sur R.
Le Quotient de fonctions continues est une fonction continue sur un intervalle où le dénominateur ne s’annule pas :
x+2
La fonction x 7→ 2
est définie sur R,
x +1
quotient de la fonction x 7→ x + 2 et x 7→ x2 + 1 qui ne s’annule pas sur R, est continue sur R.
. Applications : Justifier la continuité des fonctions suivantes en précisant les domaines de définitions et de continuités,
f (x) = 3x2 + 5x + 1
g(x) =
1
5+x
x2 − 1
h(x) =
x2 − 1
2x2 + 3
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Ch5. FonctionsB : Fonctions Continues, TVI
2. Théorème des Valeurs Intermédiaires, TVI : (Admis)
. Énoncé du TVI :
Lorsque f est une fonction continue sur un intervalle [a; b],
ALORS pour tout réel k, compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k admet au moins une solution.
La courbe ci-dessous représente f ,
Exemple : Soit f définie sur [−1; 3],
dont le tableau de variation est
2
x
−1
f (−1)
f
❅
❅
❘
❅
✒ ❅
❅
❘
❅
✒
3
f (3)
1
Cf
f (3)
y=k
b
p
−1
×
b
f (−1)1
b
×
×
2
3
. Corollaire :
Lorsque f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle [a; b],
ALORS pour tout réel k, compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k admet une unique solution.
3. Applications :
1) À partir d’un tableau de variations, la fonction f admet le tableau de variations suivant
x −10
√
2
f
−
❅
❅
❘
❅
4
0
2
✒ ❅
1
3
✒
❅
❘
❅
10
−1
−4
a) Donner le nombre de solutions des équations
f (x) = 0
f (x) = 1, 1
f (x) = −0, 5
b) Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l’équation f (x) = m.
2) Soit f la fonction définie sur [−1; 3] par f (x) = 2x3 − 3x2 + 4,
a)
b)
c)
d)
e)
Représenter f sur la calculatrice, et conjecturer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0.
Justifier que f continue sur [−1; 3].
Dresser le tableau de variation de f .
Montrer que f (x) = 0 admet une unique solution α.
Donner un encadrement de α à 10−2 près.
2