Histoire des mathématiques et construction des savoirs

Action innovante catégorie B
2005/2006/2007
Histoire des mathématiques
et construction des savoirs
Académie de Besançon
LP Tristan Bernard
13, rue Goya
25200 Besançon
Téléphone : 03 81 52 00 01
Fax : 03 81 51 87 31
Contact : Mme Brunner PLP2 math-sciences
Bilan de l'action innovante
faisant l'objet du contrat Cinno-056-3
signé le 28 octobre 2005
entre le Lycée Professionnel Tristan Bernard et le Rectorat Pôle académique de l'Innovation
S.Brunner LP Tristan Bernard
Irem de Franche Comté
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Le but de cette action est de donner un ancrage historique et une culture scientifique aux élèves des lycées
professionnels. Les compétences des intervenants devant être multiples, cette action se déroule en partenariat
avec l'IREM (institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques) de l'université de Franche-Comté.
Cette année, à l'IREM, nous avons sélectionné et analysé des textes anciens pouvant être exploités avec profit
par les élèves en question. Nous avons préparé deux séquences : l'une pour le 6 avril 2006 et l'autre prévue pour
le 13 avril et reportée en septembre 2006
Séquence1 : Un problème d'arithmétique au début du 20ème siècle.
Classe de 1ère année de CAP Employé de Vente Spécialisée
1.1.
Préparation
Depuis le début de l'année, les élèves sont habitués à entendre de ma part des références à l'histoire des maths et
des sciences et au principe de leur évolution. Ils ont eu aussi l'occasion de faire quelques exercices en
numération ancienne.
Lors des séances précédentes, nous avons illustré les cours de math avec la confection de factures. (Utilisation
des quatre opérations et du pourcentage.)
Je les ai préparés à la venue, dans leur classe, de professeurs de l'université pour travailler sur des maths telles
qu'on les enseignait il y a longtemps.
1.2.
Séance du 6 avril 2006 (1 heure par groupe)
Intervenants: A.M. Aebischer, H. Languereau professeurs agrégés de l'université de F.Comté.
S.Brunner PLP2 math-sciences, professeur de la classe.
5 élèves présents dans un groupe, 4 élèves présents dans l'autre groupe (période perturbée par les grèves)
Après avoir été présentées au groupe, Anne Marie et Hombeline se sont attachées à mettre les élèves en position
de remonter le temps jusqu'à celui de leurs arrières grands parents et la période d'entre deux guerres. Après quoi
nous leur avons présenté le livre de Lemoine dont est extrait le problème choisi.
Enoncé du problème : Un marchand d'oranges avait acheté 200 douzaines d'oranges; il a laissé gâter 40
oranges ; et pour gagner 56 francs sur son marché, il a dû revendre les oranges 2F50 de plus qu'elles ne lui
avaient coûté. Trouver le prix total d'achat des oranges et le prix d'achat du cent.
Les élèves sont rentrés assez facilement dans le problème et une fois les difficultés liées au langage levées, l'ont
résolu par un raisonnement arithmétique et oral. L'obstacle le plus important étant de devoir faire des opérations
et non pas le raisonnement comme on aurait pu le penser au départ.
Les questions des élèves :
Elles portent sur le vocabulaire : qu'est-ce que le "cent"? que signifie "gâter"? , "sur son marché"? ainsi que sur
les unités utilisées : douzaines, centaines, unités.
Le raisonnement des élèves :
200 douzaines = 2400 oranges, puis 2360 oranges vendues qui font 23.6 centaines.
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Calculer 23.6×2.5 = 59 F. faire le lien avec les 56 F de l'énoncé puis voir que les 3 francs d'écart correspondent
aux 40 oranges invendues.
Utiliser pleinement les propriétés des fonctions linéaires (3 pour 40 puis 6 pour 80 par doublement, 9 pour 120
par addition, 18 pour 240 par doublement encore et enfin 180 pour 2400).
L'intervention des professeurs :
Nous sommes finalement très étonnées de la simplicité avec laquelle les élèves ont réussi à résoudre le
problème. Ils sont très satisfaits de leur raisonnement et pas du tout convaincus par la solution algébrique que
nous leur présentons. A vrai dire, nous sentons confusément que nous devons déployer beaucoup de savoir-faire
compliqué pour finalement écrire que : 3 = 0.4 x.
Conclusion :
Le calcul en francs plutôt qu'en euros ne pose aucun problème.
L'usage de l'arithmétique est beaucoup plus naturel pour nos élèves que pour nous qui avons dû déjà passer par
la résolution algébrique afin de pouvoir raisonner en arithmétique.
1.3.
Les prolongements de la séance :
Faire présenter la résolution arithmétique du problème aux élèves absents lors de la séance par un ou deux
élèves y ayant participé. Donner un autre problème du même type à l'ensemble de la classe.
S'appuyer sur leur réussite pour leur présenter la résolution algébrique en développant les notions de prix
d'achat, prix de vente et bénéfice. (premières séances de septembre 2006)
Séquence 2 : reportée en septembre 2006
Remonter encore dans le temps jusqu'au Xème siècle et proposer d'étudier des extraits de textes de
mathématiciens arabes.
Séquence 2 : Compter au 18ème siècle
La même classe en 2ème année de CAP Employé de Vente Spécialisée
2.
Calculs au siècle des Lumières
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2.1.
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Préparation
Visite de l’exposition Claude Nicolas Ledoux et le siècle des Lumières à la Saline d’Arc et Senans en
septembre 2006.
Les élèves visitent l’exposition, guidés par un document leur permettant de cibler les grandes lignes de
l’Esprit et de l’Histoire en passant par l’Encyclopédie, les inventions les arts et l’architecture.
Après le pique-nique ils sont invités à découvrir la situation géographique, l’architecture et les fonctions
de la Saline avec un jeu de piste.
Le professeur de français histoire-géo, avec qui la visite a été préparée, en exploitera les ressources toute
l’année.
2.2.
Séance du 13 février 2007
Intervenants : H. Languereau professeur agrégé de l’université de F.Comté.
S.Brunner PLP2 maths-sciences, professeur de la classe.
Séance de 2h avec toute la classe répartie en groupes de 4 élèves.
1ère étape
Il s’agit d’amener les élèves à faire des conversions en livres, sous (sols) et deniers.
Un petit rappel historique permet de poser les données : 1 livre = 20 sous
1 sou = 12 deniers
Si un paquet de gaufrettes vaut 2 sous et 5 deniers, combien valent 4 paquets de gaufrettes ?
Les élèves tentent des conversions. L’exercice n’est pas aisé pour certains qui ont recours aux pièces
mises à leur disposition. Les plus habiles réussissent l’exercice et commencent à mettre en place le
raisonnement.
La formation de sous groupes favorise les échanges entre les élèves mais nous ne sommes pas trop de
deux pour répondre à toutes les sollicitations. L’extrême hétérogénéité des acquis est mise en exergue
par cet exercice. Pour certains, le sens des opérations de base n’est pas maîtrisé.
A la fin de la 1ère heure, on peut malgré tout mettre au tableau le raisonnement qui permet de calculer le
prix de plusieurs paquets de gaufrettes.
La pause
Une petite réflexion sur les différents sens du mot « livre ». Je livre un livre qui coûte 2 livres et pèse
une demi-livre
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2ème étape
Le document extrait du livre de 1755 « les comptes faits ou le tarif général de toutes les monnaies » de
M. BARREME est distribué aux élèves.
Une réflexion s’engage sur l’utilisation de ces tables (barèmes) pour calculer le prix de plusieurs objets.
On calcule le prix de 48 puis de 72, puis de 120« choses » si une chose vaut 5 deniers, etc.….
Les élèves manipulent assez facilement la distributivité et prennent conscience des avantages du système
décimal pour les calculs.
La 2ème heure est bien entamée et les élèves sont fatigués. Le reste de la séance est consacrée à des
discussions autour de la possibilité ou non de comparer les prix entre les années 1755 et 2007. Quelle
était alors la valeur d’un livre ? Quel objet pourrait servir d’étalon ?
Tout le monde s’accorde pour dire que ce n’est sûrement pas le sel.
Conclusion
A l’issue de la séance, les élèves sont assez satisfaits de constater qu’ils sont capables de faire des
calculs bien plus compliqués que ceux présentés et tout cela sans avoir besoins d’un livre de M.
Barreme.
3. Bilan de l’action
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A travers deux types d’exercices bien différents en ce qui concerne l’époque dont ils étaient issus, les
élèves ont pu constater que les mathématiques servent depuis toujours à résoudre les problèmes de la vie
courante. Ils ont pu approfondir leur raisonnement et mesurer leur savoir à l’aulne de celui de leurs
ancêtres.
L’intervention dans la classe de professeurs de la faculté a contribué à leur valorisation et la coanimation a permis un travail vivant et actif.
J’ai pu constater pour certains élèves dans la classe, une attitude moins passive et plus curieuse qui a
perduré.
Le travail de réflexion mené pour la préparation des séquences et l’observation des réactions des élèves
m’a permis d’affiner mon approche de leurs difficultés et la mise en place de remédiations.
Merci au groupe Histoire des Maths de l’IREM pour son précieux travail de recherche et sa participation
active à l’animation pédagogique.
S.Brunner LP Tristan Bernard
Irem de Franche Comté
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